第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试(基础题)——2020-2021学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（Word含答案解析）

第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试——2020－2021学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册
一、单选题
1．不等式的解集为（
）
A．
B．或
C．
D．或
2．（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
3．若，则下列不等式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
5．有一堵高墙，现截取长为的一段，依墙建一个容积为的长方体仓库．已知新建墙壁每平米的造价为元，仓库顶部每平米的造价为元，要使仓库造价最低，仓库的高应为（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知且，则下列说法是正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知，则下面四个数中最小的是
A．
B．
C．
D．
8．已知函数，则函数y
(
)
A有最小值-2
B．有最小值2
C．有最大值-2
D．有最大值-6
二、多选题
9．不等式的解集是，对于系数a，b，c，下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
10．已知a>0，b>0，且a+b=1，则（
）
A．
B．
C．
D．
11．已知、、、是实数，则下列一定正确的有（
）
A．
B．
C．若，则
D．若，，则
12．若函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则a的取值为（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
三、填空题
13．已知，.若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是______.
14．若存在实数，使成立，则m的取值范围为________．
15．关于的方程有四个不同的实数解，则实数的取值范围为______.
16．定义函数，，，若存在实数使得方程无实数根，则实数的取值范围是__________．
四、解答题
17．解关于的不等式：.
18．已知a，b均为正实数，且，求a＋b的最小值；
19．已知函数，不等式的解集是.
（1）求的解析式；
（2）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围.
20．已知
（1）若，求的取值范围.
（2）求证.
21．已知二次函数.
（1）若对于恒成立，求的取值范围；
（2）若，当时，若的最大值为2，求的值.
22．新型冠状病毒感染的肺炎治疗过程中，需要某医药公司生产的某种药品.此药品的年固定成本为250万元，每生产千件需另投入成本为.当年产量不足80千件时，（万元）.当年产量不小于80千件时，（万元）.每件商品售价为0.05万元，在疫情期间，该公司生产的药品能全部售完.
（Ⅰ）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；
（Ⅱ）该公司决定将此药品所获利润的用来捐赠防疫物资.当年产量为多少千件时，在这一药品的生产中所获利润最大？此时可捐赠多少万元的物资款？
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◎
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参考答案
1．A
，
结合二次函数的性质可得解集为．
故选：A
2．D
由题意，因为，则，
当且仅当时，即x=2时取等号，
所以的最小值为6，
故选：D
3．D
由题意知，可得，
因为，由于不知道是正数还是负数，不能确定其正负号，所以A、B不正确；
又因为，由，，
所以，所以.
故选：D.
4．D
当时，原不等式可化为，对恒成立；
当时，原不等式恒成立，需，
解得，
综上.
故选：D
5．A
设仓库的高为，则仓库底面垂直于墙壁的一边长为，
所以，仓库的总造价为（元），
当且仅当时，即当时，等号成立.
故选：A.
6．C
当时，，故A错误；
当时，无意义，故B错误；
当时，，故D错误；
因指数函数为单调递减函数，
当时，，即，故C正确.
7．C
因为，由均值不等式定理得，则；①
又，则，则，
所以；②
因为，所以，即，所以，则③
，则④
由①②③④知，最小的是
故正确答案为C
D
9．ABC
不等式的解集是，
可得，且的两个根为，
韦达定理，所以，故A正确,D错误；
由，则，故C正确；
二次函数开口向下，函数的零点为，
当时，，故B正确；
故选：ABC.
10．BCD
对于A，（当且仅当时取等号），，故A错误；
对于B，（因为0对于C，，当且仅当时，等号成立，故C正确；
对于D，因为(当且仅当时等号成立），所以，故D正确．
故选：BCD．
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
11．AD
因为，所以A正确；
当时，，故B错误；
当，时，，但，故C错误；
若，，则，，且，，所以，又，所以，故D正确；
故选：AD
12．BCD
由知对称轴为，
函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，即，
又，
所以.
故选：BCD
13．
由，得，得，
所以，
由，得，得，
所以，
因为是的充分不必要条件，
所以集合是集合的真子集，
所以，即．
故答案为：．
14．
，即
在上单调递增，则
即，解得
m的取值范围为
故答案为：
15．
因为关于的方程有四个不同的实数解，
所以若，方程为，显然不成立；
若，
当时，方程为，令两个正数根为、，
则，解得，
当时，方程为，令两个负数根为、，
则，解得，实数的取值范围为，
故答案为：.
16．
同一坐标内作出与图象，如图由图知，当时，函数值域是或，时，与无交点，无实根；当时，值域为，与图象总有交点；总有实根；当时，值域是或，此时，；当时，与图象无交点，无实根，综上，实数的取值范围是，故答案为.
17．①当时，原不等式可化为：,可得不等式的解集为，
②当时，原不等式可化为：，
不等式的解集为：；
③当时，原不等式可化为：,
当时，不等式的解集为：,
当时，不等式的解集为：,
当时，不等式的解集为:.
18．（1）=，
当且仅当,即时取等号，
的最小值为3；
（2）因为a，b均为正实数，且，，
当且仅当，即时取等号，结合，解得,符合题意，
∴a＋b的最小值18.
19．（1）由不等式的解集是知，
2和3是方程的两个根.
由根与系数的关系，得，即.
所以.
（2）不等式对于任意恒成立，
即对于任意恒成立.
由于的对称轴是，
当时，取最大值，，
所以只需，即.解得或.
故的取值范围为.
20．（1）∵
∴
∴
令
∴，∴，∴或
∵，∴
∴，当且仅当时取到等号
则的取值范围是
（2）证明：∵
∴当且仅当时取“=”
∴
∴
∴当且仅当时取“=”
21．（1）对于恒成立，
即对于恒成立，
∴，
解得；
（2）若，二次函数开口向下，对称轴，
在时，的最大值为2，
当，即时，，解得；
当，即时，，
解得（舍）或（舍）；
当，即时，，解得（舍）；
综上所述，的值为1，即.
22．（Ⅰ）因为每件药品售价为0.05万元，则千件药品销售额为万元，
依题意得：
当时，.
当时，.
所以.
（Ⅱ）当时，.
此时，当时，取得最大值万元.
当时，.
此时，即时，取得最大值1000万元.
由于，所以当年产量为100千件时，该厂在这一药品生产中所获利润最大，
此时可捐赠10万元物资款.
答案第1页，总2页
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