第一章空间向量与立体几何章末测试题-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（Word含答案解析）

2021-2022人教A版（2019）高二数学选修一
第一章章末测试题
一、单选题（共8小题）
1．若直线的方向向量，平面的一个法向量，若，则实数（
）
A．2
B．
C．
D．10
2．已知、、三点不共线，点是平面外一点，则在下列各条件中，能得到点与、、一定共面的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，点为线段上一点，且，若记，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知空间向量，满足||=||=1，且，的夹角为，O为空间直角坐标系的原点，点A，B满足=2+，=3-，则△OAB的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
5．对空间中两条不相交的直线和，必定存在平面，使得
（
）
A．
B．
C．
D．
6．如图所示，在空间直角坐标系中，，原点是的中点，点在平面内，且，，则点的坐标为（
）．
A．
B．
C．
D．
7．如图，在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
8．在棱长为1的正方体中，已知点是正方形内部（不含边界）的一个动点，若直线与平面所成角的正弦值和异面直线与所成角的余弦值相等，则线段长度的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题（共4小题）
9．正三棱柱中，，则（
）
A．与底面的成角的正弦值为
B．与底面的成角的正弦值为
C．与侧面的成角的正弦值为
D．与侧面的成角的正弦值为
10．在空间四边形中，分别是的中点，为线段上一点，且，设，则下列等式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
11．已知直线的方向向量分别是，若且则的值可以是（
）
A．
B．
C．
D．
12．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为等边三角形，平面平面，点在线段上，，交于点，则下列结论正确的是（
）
A．若平面，则为的中点
B．若为的中点，则三棱锥的体积为
C．锐二面角的大小为
D．若，则直线与平面所成角的余弦值为
三、填空题（共4小题）
13．空间四边形中，分别是边的中点，且，则____________.
14．已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且，现用基底{}表示向量，有=x+y+z，则x，y，z的值分别为____．
15．已知三棱锥中，，且，长度为1的线段的端点在上，端点在侧面内运动，若的中点为，的重心为，则的最小值是_________.
16．如图，在正四棱锥中，为的中点，.
已知为直线上一点，且与不重合，若异面直线与所成角为余弦值为，则________.
四、解答题（共5大题）
17．如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量方法证明：
（1）E，F，G，H四点共面;
（2）BD//平面EFGH．
18．如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．
（1）求；
（2）求EG的长．
19．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设，E，F分别是AD1，BD的中点．
（1）用向量表示，；
（2）若，求实数x，y，z的值．
20．如图，平面平面，，，，为上一点，且平面.
（1）证明：平面；
（2）若平面与平面所成锐二面角为，求.
21．如图，在三棱柱中，面ABC，，E为BC的中点，F为的中点，，．
（1）求证平面
；
（2）求证平面；
（3）在棱上是否存在点P，使得二面角的大小是，若存在，求出AP的长．若不存在，请说明理由．
参考答案
1．A
【详解】
的方向向量与平面的法向量共线.
，即，解得，故选A项.
2．B
若，且，
则，则，
即，所以，点、、、共面.
对于A选项，，A选项中的点、、、不共面；
对于B选项，，B选项中的点、、、共面；
对于C选项，，C选项中的点、、、不共面；
对于D选项，，D选项中的点、、、不共面.
故选：B.
3．A
解:
,
故选:A
4．B
||===，
||=，
则cos∠AOB===，
从而有sin∠AOB=，
∴△OAB的面积S=×××=，
故选：B．
5．C
【详解】
和是异面直线时，选项A、B不成立，排除A、B；
和平行时，选项D不成立，排除D,
故选C.
6．B
【详解】
过点作，垂足为，
在中，，，，
得、，
所以，
所以，
所以点的坐标为，
故选：B．
7．D
【详解】
由题意可得，，
以为坐标原点，向量，，方向分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，，，
因此异面直线与所成角的余弦值等于.
故选：D.
8．C
【详解】
解：以为坐标原点，，，
所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
可设，，，
由，，
，
，，，
设直线与平面所成角为和异面直线与所成角为，
可得，
，，
由，可得，
则，
当时，线段长度的最小值为．
故选：．
9．BC
【解析】如图，取中点，中点，并连接，则，，三条直线两两垂直，
则分别以这三条直线为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系；
设，则.
.
．底面的其中一个法向量为，
与底面的成角的正弦值为，错对．
的中点的坐标为,
∴侧面的其中一个法向量为，
与侧面的成角的正弦值为：，
故对错；
故选：BC．
10．ABD
【详解】
分别是的中点，，故A正确；
，
，，
，故B正确；
，故C错误；
，故D正确.
故选：ABD.
11．AC
【详解】
，
若且，
则，解得或，
所以或.
故选：AC
12．ABD
【详解】
解：对于，连接，当平面，根据线面平行的性质可得，从而得到为的中点．故正确；
为的中点，，
取中点，连接，因为为等边三角形，所以，又平面平面，
由面面垂直性质可得底面，
，，所以正确．
连接，因为底面，又平面，所以，
在中，，
取中点，连接，，，，
为锐二面角的平面角，
在中，，
，由余弦定理可得
，所以，故错误．
对于，建立空间直角坐标系，
则，0，，，2，，，2，，，0，，，0，，
因为，所以，
设平面
的法向量，则，即，取，
解得，所以，
，
故正确．
故选：．
13．
【详解】
点，，，分别为四边形的边，，，的中点，
、、、分别为、、、的中位线．
；
，
下面证明：平行四边形对角线的平方和等于四个边的平方和.
所以
故答案为：20
14．x=，y=，z=．
【详解】
∵=+=+=+
+=
∴x=，y=，z=．
故答案为：x=，y=，z=．
15．
【详解】
因，则平面PBC，在平面PBC内过点P作Pz⊥PC，则Pz⊥平面PAC
以点P为原点，射线PA，PC，Pz分别为x，y，z轴非负轴建立空间直角坐标系，如图：
因，则有，设，，则的中点，
连BG并延长交AC于点D，因G(m，n，p)是的重心，则D是BC中点，且，
而,，，则，即，
因，即，则，即，
所以点T的轨迹是以P为球心，为半径的球面在三棱锥内的部分(含边界)，
而，点G在上述轨迹外，且线段GP与上述轨迹必相交，
所以
故答案为：
16．
【详解】
连接、交于点，则，
因为四棱锥为正四棱锥，故底面，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
设，其中，
，则，
，由已知可得，
整理可得，因为，解得，即.
故答案为：
17．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【详解】
证明：（1）如图所示，连接BG，
则=+=+(+)=++=+，
由共面向量定理知，E，F，G，H四点共面．
（2）因为=-=-=(-)=，
且E，H，B，D四点不共线，所以EH∥BD．
又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH，所以BD∥平面EFGH．
18．（1）；（2）．
【分析】
设=，=，=，
（1）将和化为可求出结果；
（2）将化为++可求出结果.
【详解】
设=，=，=，则，
，，
，
（1）=，
（2）=++
=+(-)+(-)
=++=++，
∴
，
所以，即EG的长为．
19．（1），；（2）．
【详解】
解：（1）,
（2）
所以
20．（1）证明见详解；（2）
【详解】
平面，，
又平面平面，
且平面平面，，
所以平面，，
又，平面.
（2）因为平面，，
又,所以
如图所示，过作垂直，以为轴正方向，
以为轴正方向，以为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
设为平面的一个法向量，
则，即，
不妨取，解得，，
所以，
显然平面的一个法向量为，
，
解得，故的长为
21．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，.
【详解】
（1）证明：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，
则，，，
，，，
，，，
，，即，，
，BC、平面，
平面．
（2）证明：取的中点，则，
由（1）可知，即，
平面，平面，
平面．
（3）解：设，，平面的法向量，
，
，
取，得，
又是平面的法向量，
二面角的大小是，
，
解得，
在棱上存在点P，使得二面角的大小为，此时．
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