2021-2022学年上学期初中数学北师大新版八年级第一章勾股定理 经典题精练(word解析版)

2021-2022学年上学期初中数学北师大新版八年级同步经典题精练之勾股定理
一、选择题（共7小题）
1．（2021春?巴南区期中）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为、，那么的值是　　
A．1
B．2
C．12
D．13
2．（2019秋?岐山县期中）有一块边长为24米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边处有健身器材，由于居住在处的居民践踏了绿地，小明想在处树立一个标牌“少走米，踏之何忍”请你计算后帮小明在标牌的“”填上适当的数字是　　
A．3米
B．4米
C．5米
D．6米
3．（2019秋?慈溪市期末）长度为下列三个数据的三条线段，能组成直角三角形的是　　
A．1，2，3
B．3，5，7
C．1，，3
D．1，
4．（2016春?白云区期末）下列各组数中不是勾股数的是　　
A．3，4，5
B．4，5，6
C．5，12，13
D．6，8，10
5．（2015春?郴州校级月考）一直角三角形的斜边长为13，其中一条直角边长为12，则另一直角边长为　　
A．13
B．12
C．4
D．5
6．（2014秋?杭州期末）如图，中，，，，分别以，，为边在的同侧作正方形，，，四块阴影部分的面积分别为，，，，则等于　　
A．42
B．64
C．72
D．80
7．（2010?铁岭）如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖恰好碰到地面，经测量米，则树高为　　
A．米
B．米
C．米
D．3米
二、填空题（共8小题）
8．（2020春?兖州区期末）若8，，17是一组勾股数，则　　．
9．（2020春?当涂县期末）三个正整数，，，如果满足，那么我们称这三个数，，叫做一组勾股数．如，则3，4，5就是一组勾股数．请写出与3，4，5不同的一组勾股数　　．
10．（2020?株洲模拟）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连接，相交于点、与相交于点．若，则的值是　　．
11．（2018秋?浦东新区期末）如果一个直角三角形的两条直角边的长分别为5、12，则斜边上的高的长度为　　．
12．（2017春?临海市期末）如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积为
　　．
13．（2011?巴中）直角三角形的斜边长为13，一直角边长为12，另一直角边长是方程的根，则的值为　
　．
14．我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是和，那么的值为　　．
15．如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积　　．
三、解答题（共7小题）
16．（2021春?望城区期末）定义：如图，点、把线段分割成、、，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割点．
（1）已知、把线段分割成、、，若，，，则点、是线段的勾股分割点吗？请说明理由．
（2）已知点、是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长．
17．（2020秋?苏州期末）如图，四边形中，，，，，，求的长．
18．（2016秋?溧阳市期中）如果，，为正整数，且满足，那么，、、叫做一组勾股数．
（1）请你根据勾股数的意思，说明3、4、5是一组勾股数；
（2）写出一组不同于3、4、5的勾股数　
　；
（3）如果表示大于1的整数，且，，，请你根据勾股数的定义，说明、、为勾股数．
19．（2014?温州）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证：．
证明：连接，过点作边上的高，则．
．
又
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中．
求证：
证明：连接　　
　　
又　　
　　
．
20．阅读理解：
我们知道在直角三角形中，有无数组勾股数，例如5，12，13；9，40，41；但其中也有一些特殊的勾股数，例如：3，4，5是三个连续正整数组成的勾股数．
解决问题：
（1）在无数组勾股数中，是否存在三个连续偶数能组成勾股数？若存在，试写出一组勾股数；
（2）在无数组勾股数中，是否还存在其他的三个连续正整数能组成勾股数？若存在，求出勾股数；若不存在，说明理由．
21．中，，，，．证明：当，，为勾股数时，，，为正整数）也是勾股数．
22．在中，，，，分别是，，所对的三条边．
（1）如果，，求的长；
（2）如果，，求的长．
2021-2022学年上学期初中数学北师大新版八年级同步经典题精练之勾股定理
参考答案与试题解析
一、选择题（共7小题）
1．（2021春?巴南区期中）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为、，那么的值是　　
A．1
B．2
C．12
D．13
【答案】
【考点】勾股定理的证明
【分析】根据勾股定理可以求得等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到的值，然后根据即可求解．
【解答】解：根据勾股定理可得，
四个直角三角形的面积是：，即：
则．
方法二、小正方形的边长就是，其面积是1，
故选：．
【点评】本题考查勾股定理，以及完全平方式，正确根据图形的关系求得和的值是关键．
2．（2019秋?岐山县期中）有一块边长为24米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边处有健身器材，由于居住在处的居民践踏了绿地，小明想在处树立一个标牌“少走米，踏之何忍”请你计算后帮小明在标牌的“”填上适当的数字是　　
A．3米
B．4米
C．5米
D．6米
【考点】：勾股定理的应用
【专题】12：应用题
【分析】根据捷径恰好与、构成直角三角形，由勾股定理即可求出的长．
【解答】解：因为是一块正方形的绿地，所以，由勾股定理得，米，
计算得由点顺着，到点的路程是米，而米，则少走米．
故选：．
【点评】此题主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力，同时也增强了学生们要爱护草地的意识．
3．（2019秋?慈溪市期末）长度为下列三个数据的三条线段，能组成直角三角形的是　　
A．1，2，3
B．3，5，7
C．1，，3
D．1，
【考点】：勾股定理的逆定理
【专题】554：等腰三角形与直角三角形；64：几何直观
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形进行分析即可．
【解答】解：、，不能组成直角三角形，故此选项错误；
、，不能组成直角三角形，故此选项错误；
、，不能组成直角三角形，故此选项错误；
、，能组成直角三角形，故此选项正确．
故选：．
【点评】此题主要考查了勾股定理的逆定理，要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
4．（2016春?白云区期末）下列各组数中不是勾股数的是　　
A．3，4，5
B．4，5，6
C．5，12，13
D．6，8，10
【考点】：勾股数
【分析】分别求出两小边的平方和、最长边的平方，看看是否相等即可．
【解答】解：、，
以3、4、5为边能组成直角三角形，
即3、4、5是勾股数，故本选项错误；
、，
以4、5、6为边不能组成直角三角形，
即4、5、6不是勾股数，故本选项正确；
、，
以5、12、13为边能组成直角三角形，
即5、12、13是勾股数，故本选项错误；
、，
以6、8、10为边能组成直角三角形，
即6、8、10是勾股数，故本选项错误；
故选：．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
5．（2015春?郴州校级月考）一直角三角形的斜边长为13，其中一条直角边长为12，则另一直角边长为　　
A．13
B．12
C．4
D．5
【考点】：勾股定理
【分析】由勾股定理求出另一直角边长即可．
【解答】解：一直角三角形的斜边长为13，其中一条直角边长为12，
由勾股定理得另一直角边长．
故选：．
【点评】本题考查了勾股定理；由勾股定理求出另一直角边长是解决问题的关键．
6．（2014秋?杭州期末）如图，中，，，，分别以，，为边在的同侧作正方形，，，四块阴影部分的面积分别为，，，，则等于　　
A．42
B．64
C．72
D．80
【考点】：勾股定理
【分析】过作的垂线交于，通过证明的面积，依此即可求解．
【解答】解：可证，，，
则，
的左上方的顶点为，过作的垂线交于，
可证明，而图中全等于，
所以．
的面积的面积的面积
的面积
．
故选：．
【点评】本题考查勾股定理的知识，有一定难度，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．
7．（2010?铁岭）如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖恰好碰到地面，经测量米，则树高为　　
A．米
B．米
C．米
D．3米
【答案】
【考点】勾股定理的应用
【分析】在中，根据勾股定理可求得的长，而树的高度为，的长已知，由此得解．
【解答】解：中，米，米；
由勾股定理，得：米；
树的高度为：米；
故选：．
【点评】正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题的关键．
二、填空题（共8小题）
8．（2020春?兖州区期末）若8，，17是一组勾股数，则　15　．
【考点】：勾股数
【分析】分为最长边，17为最长边两种情况讨论，根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【解答】解：①为最长边，，不是正整数，不符合题意；
②17为最长边，，三边是整数，能构成勾股数，符合题意．
故答案为：15．
【点评】考查了勾股数的定义，解答此题要用到勾股数的定义及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．
9．（2020春?当涂县期末）三个正整数，，，如果满足，那么我们称这三个数，，叫做一组勾股数．如，则3，4，5就是一组勾股数．请写出与3，4，5不同的一组勾股数　6，8，10（答案不唯一）　．
【考点】：勾股数
【专题】69：应用意识；23：新定义
【分析】根据题中所给勾股数的定义写出一组即可，注意答案不唯一．
【解答】解：与3，4，5不同的一组勾股数可以为6，8，10．
故答案为6，8，10（答案不唯一）．
【点评】本题考查了勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数．注意：
①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数．
②一组勾股数扩大相同的整数倍得到的三个数仍是一组勾股数．
③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；
10．（2020?株洲模拟）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连接，相交于点、与相交于点．若，则的值是　　．
【答案】．
【考点】勾股定理的证明
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形
菱形
正方形；推理能力；图形的全等；运算能力
【分析】先证明，得出．设，则，，再由勾股定理得出，即可得出答案．
【解答】解：四边形为正方形，
，，
，
，
，
又，
，
，
，，
，
．
设，
为，的交点，
，，
四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，
，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
11．（2018秋?浦东新区期末）如果一个直角三角形的两条直角边的长分别为5、12，则斜边上的高的长度为　　．
【考点】：勾股定理
【专题】554：等腰三角形与直角三角形
【分析】利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法求出斜边上的高即可．
【解答】解：直角三角形的两条直角边的长分别为5，12，
斜边为，
三角形的面积为斜边上的高），
．
故答案为：．
【点评】此题考查了勾股定理，以及三角形面积公式，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
12．（2017春?临海市期末）如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积为
　　．
【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观
【分析】连接，在中，已知，的长，运用勾股定理可求出的长，在中，已知三边长，运用勾股定理逆定理，可得此三角形为直角三角形，故四边形的面积为与的面积之差．
【解答】解：连接，
，，，
，
，，
，
为直角三角形，
．
故四边形的面积为．
故答案为：．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，判断出的形状是解答此题的关键．
13．（2011?巴中）直角三角形的斜边长为13，一直角边长为12，另一直角边长是方程的根，则的值为　　．
【考点】85：一元一次方程的解；：勾股定理
【分析】现根据勾股定理求出直角三角形的一条直角边的长，再将该直角边代入方程，将方程转化为关于的一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：直角三角形的斜边长为13，一直角边长为12，
另一条直角边长为，
将代入得，
，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理和一元一次方程的解，方程中未知数的转化是解题的关键，要仔细对待．
14．我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是和，那么的值为　12　．
【答案】12．
【考点】勾股定理的证明
【专题】运算能力；推理填空题；推理能力；矩形
菱形
正方形
【分析】根据大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，可得直角三角形的面积，即可求得的值．
【解答】解：大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，
直角三角形的面积是，
又直角三角形的面积是，
．
故答案为：12．
【点评】本题考查了勾股定理，还要注意图形的面积和，之间的关系．
15．如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积　36　．
【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【专题】常规题型
【分析】连接，根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理求出是直角三角形，分别求出和的面积，即可得出答案．
【解答】解：连接，
在中，
，，，
，
，
在中，
，，
，
是直角三角形，
，
四边形的面积．
故答案为：36．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是能求出和的面积，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
三、解答题（共7小题）
16．（2021春?望城区期末）定义：如图，点、把线段分割成、、，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割点．
（1）已知、把线段分割成、、，若，，，则点、是线段的勾股分割点吗？请说明理由．
（2）已知点、是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长．
【考点】勾股定理的逆定理
【分析】（1）根据勾股定理逆定理即可判断．
（2）设，则，分两种情形①当为最大线段时，依题意；②当为最大线段时，依题意；分别列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）是．
理由：，，
，
、、为边的三角形是一个直角三角形．
故点、是线段的勾股分割点．
（2）设，则，
①当为最大线段时，依题意，
即，解得；
②当为最大线段时，依题意．
即，解得．
综上所述的长为或．
【点评】本题参考勾股定理的逆定理、解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解，属于中考常考题型．
17．（2020秋?苏州期末）如图，四边形中，，，，，，求的长．
【答案】．
【考点】勾股定理
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力
【分析】延长并反向延长，作于，于，作于，根据邻补角的定义得到，，，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：延长并反向延长，作于，于，作于，
，，
，，
，
，，，
，，
．
【点评】本题考查了勾股定理，矩形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
18．（2016秋?溧阳市期中）如果，，为正整数，且满足，那么，、、叫做一组勾股数．
（1）请你根据勾股数的意思，说明3、4、5是一组勾股数；
（2）写出一组不同于3、4、5的勾股数　12，16，20　；
（3）如果表示大于1的整数，且，，，请你根据勾股数的定义，说明、、为勾股数．
【考点】：勾股数
【分析】（1）直接利用勾股数的定义去验证即可；
（2）根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，即可写出一组勾股数；
（3）得到即可得到这是一组勾股数．
【解答】解：（1）、4、5是正整数，且，
、4、5是一组勾股数；
（2），且12，16，20都是正整数，
一组勾股数可以是12，16，20．答案不唯一；
故答案为12，16，20
（3）表示大于1的整数，
由，，得到、、均为正整数；
又，而，
，
、、为勾股数．
【点评】本题考查了勾股数的定义，欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和等于最长边的平方．注意本题答案不唯一．
19．（2014?温州）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证：．
证明：连接，过点作边上的高，则．
．
又
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中．
求证：
证明：连接　，过点作边上的高，则，　
　　
又　　
　　
．
【考点】勾股定理的证明
【专题】推理填空题
【分析】首先连接，过点作边上的高，则，表示出，进而得出答案．
【解答】证明：连接，过点作边上的高，则，
，
又，
，
．
【点评】此题主要考查了勾股定理得证明，表示出五边形面积是解题关键．
20．阅读理解：
我们知道在直角三角形中，有无数组勾股数，例如5，12，13；9，40，41；但其中也有一些特殊的勾股数，例如：3，4，5是三个连续正整数组成的勾股数．
解决问题：
（1）在无数组勾股数中，是否存在三个连续偶数能组成勾股数？若存在，试写出一组勾股数；
（2）在无数组勾股数中，是否还存在其他的三个连续正整数能组成勾股数？若存在，求出勾股数；若不存在，说明理由．
【答案】（1）存在，6、8、10；
（2）不存在，理由详见解答．
【考点】勾股定理的证明
【专题】运算能力；实数；一元二次方程及应用
【分析】（1）设出三个连续的偶数，利用勾股定理列方程求解即可；
（2）设出三个连续的正整数，利用勾股定理求解，检验即可．
【解答】解：（1）设中间的偶数为，则较大的偶数为，较小的偶数为，由勾股定理得，
，
解得，（舍去）
所以这三个连续偶数为6，8，10，
因此存在三个连续偶数能组成勾股数，如6，8，10；
（2）不存在．理由：假设在无数组勾股数中，还存在其他的三个连续正整数能组成勾股数．
设这三个正整数分别为、、，
由勾股定理得，
，
解得，（舍去）．
所以三个连续正整数是3，4，5，
所以除了3、4、5以外，不存在其他的三个连续正整数能组成勾股数．
【点评】本题考查勾股定理，理解“勾股数”的意义是得出正确答案的前提．
21．中，，，，．证明：当，，为勾股数时，，，为正整数）也是勾股数．
【考点】：勾股数
【专题】64：几何直观；554：等腰三角形与直角三角形
【分析】只要求证出、的平方和等于的平方即可．
【解答】解：中，，，，，
，
，
当，，为勾股数时，，，为正整数）也是勾股数．
【点评】此题主要考查了勾股定理与勾股数，关键是根据所给的数据证明．
22．在中，，，，分别是，，所对的三条边．
（1）如果，，求的长；
（2）如果，，求的长．
【考点】：勾股定理
【专题】69：应用意识；554：等腰三角形与直角三角形
【分析】（1）利用勾股定理计算的长；
（2）利用勾股定理计算的长．
【解答】解：（1）在中，，，，
；
（2）在中，，，，
．
【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．即：如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．注意勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
考点卡片
1．一元一次方程的解
定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
2．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2
的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
3．勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
4．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
5．勾股数
勾股数：满足a2+b2＝c2
的三个正整数，称为勾股数．
说明：
①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．
②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…
6．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．