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专题03
函数及其表示
一、单选题
1．（四川省成都市2022届高三文科数学零诊考试试题）已知函数，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．（重庆一中2021届高三高考数学押题卷试题（二））已知函数在定义域上单调，且，则的值为（
）
A．3
B．1
C．0
D．﹣1
3．（湖北省荆州中学2021届高三下学期四模数学试题）定义域是一个函数的三要素之一，已知函数定义域为，则函数的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
4．（江西省2021届高三5月适应性大练兵联考数学试题）已知函数则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
5．（陕西省西安中学2021届高三下学期第八次模拟考试数学试题）如图所示是一个无水游泳池，是一个四棱柱，游泳池是由一个长方体切掉一个三棱柱得到的．现在向泳池注水，如果进水速度是均匀的（单位时间内注入的水量不变），水面与的交点为，则的高度随时间变化的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
6．（浙江省绍兴市上虞区2021届高三下学期第二次教学质量检测）已知函数，且，，，则（
）
A．2028
B．2026
C．2024
D．2022
7．（河南省2021届高三仿真模拟考试（三）数学试题）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.已知函数，则函数的值域为（
）
A．
B．
C．
D．
8．（四川省攀枝花市2021届高三二模考试数学试题）函数的部分图象大致是
A．
B．
C．
D．
9．（辽宁省实验中学2021届高三二模考试）已知函数的定义域为，且满足，且，，则（
）．
A．2021
B．1
C．0
D．
10．（浙江省稽阳联谊学校2021届高三4月联考）已知的值域为，则实数（
）
A．4或0
B．4或
C．0或
D．2或
二、填空题
11．（清华附中2021届高三考前热身数学试题）函数的定义域是_____________．
12．（江苏省扬州中学2021届高三3月高考数学考前试题）已知函数，则______．
13．（黑龙江省哈尔滨九中2021届高三五模数学试题）已知函数，若，则______．
14．（北京大学附属中学2021届高三5月阶段性检测数学试题）若函数的定义域是，则的值域是___________.
15．（山东省泰安市2021届高三四模数学试题）已知函数满足①定义域为；②值域为R；③．写出一个满足上述条件的函数______．
16．（2021届青海省西宁市高三一模）函数的定义域为，图象如图1所示，函数的定义域为，图象如图2所示.若集合，，则中有___________个元素.
17．（安徽省合肥一六八中学2021届高三下学期最后一卷）存在函数，对于任意都成立的下列等式的序号是________．
①；②；③；④．
18．（陕西省咸阳市2021届高三五月数学试题）已知函数对均有，若恒成立，则实数m的取值范围是_______.
19．（浙江省金华市2021届高三下学期5月高考仿真模拟数学试题）已知函数，(a>0，a≠1)，若，则m=___________，___________.
20．（广东省揭阳市普宁二中2021届高三适应性（二）数学试题）如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”.
函数的值域为_______，则与是“同域函数”的一个解析式为____________.
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专题03
函数及其表示
一、单选题
1．（四川省成都市2022届高三文科数学零诊考试试题）已知函数，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】，，故，故选C.
2．（重庆一中2021届高三高考数学押题卷试题（二））已知函数在定义域上单调，且，则的值为（
）
A．3
B．1
C．0
D．﹣1
【答案】A
【解析】因为函数在定义域上单调，且，
所以为常数，不妨设，则
由得，解得：，
所以，
所以.故选A.
3．（湖北省荆州中学2021届高三下学期四模数学试题）定义域是一个函数的三要素之一，已知函数定义域为，则函数的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由抽象函数的定义域可知，，解得，
所以所求函数的定义域为.故选A.
4．（江西省2021届高三5月适应性大练兵联考数学试题）已知函数则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】易得函数在R上单调递增，
则由可得，解得，
故不等式的解集为.故选A．
5．（陕西省西安中学2021届高三下学期第八次模拟考试数学试题）如图所示是一个无水游泳池，是一个四棱柱，游泳池是由一个长方体切掉一个三棱柱得到的．现在向泳池注水，如果进水速度是均匀的（单位时间内注入的水量不变），水面与的交点为，则的高度随时间变化的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意可知，当往游泳池内注水时，游泳池内的水呈“直棱柱”状，且直棱柱的高不变，
刚开始水面面积逐渐增大，水的高度增长得越来越慢，
当水面经过点后，水面的面积为定值，水的高度匀速增长，
故符合条件的函数图象为A选项中的图象.故选A.
6．（浙江省绍兴市上虞区2021届高三下学期第二次教学质量检测）已知函数，且，，，则（
）
A．2028
B．2026
C．2024
D．2022
【答案】A
【解析】令，由题意可得，，
因为为三次函数，而三次函数最多有三个零点，
所以，
则，
所以.故选A.
7．（河南省2021届高三仿真模拟考试（三）数学试题）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.已知函数，则函数的值域为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为，，所以是上的奇函数.
当时，，
所以当时，，
从而的值域为.故选B.
8．（四川省攀枝花市2021届高三二模考试数学试题）函数的部分图象大致是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】，函数是奇函数，排除，
时，，时，，排除，
当时，，
时，，排除，
符合条件，故选C.
9．（辽宁省实验中学2021届高三二模考试）已知函数的定义域为，且满足，且，，则（
）．
A．2021
B．1
C．0
D．
【答案】C
【解析】令，则，故，故，（舍），
令，则，故．
∴，
即，
故的周期为4，即是周期函数．
∴．故选C．
10．（浙江省稽阳联谊学校2021届高三4月联考）已知的值域为，则实数（
）
A．4或0
B．4或
C．0或
D．2或
【答案】B
【解析】由，
由，可得，或，或，
它的定义域为，值域为，
若，则，则函数的值域为，不满足条件.
若，则根据函数的定义域为，
此时，函数的零点为，，
若，当时，不满足题意.
若，当时，不满足题意.
所以，求得；
若，则函数的定义域为，
此时函数的零点为，，
同理可得，所以.
综上，或，故选B.
二、填空题
11．（清华附中2021届高三考前热身数学试题）函数的定义域是_____________．
【答案】
【解析】，，解得，故函数的定义域为.
故答案为：.
12．（江苏省扬州中学2021届高三3月高考数学考前试题）已知函数，则______．
【答案】
【解析】函数，因为，且，
则．
故答案为：．
13．（黑龙江省哈尔滨九中2021届高三五模数学试题）已知函数，若，则______．
【答案】
【解析】因为，所以，，
则，
故答案为：.
14．（北京大学附属中学2021届高三5月阶段性检测数学试题）若函数的定义域是，则的值域是___________.
【答案】
【解析】由，
当时，，所以，则，
所以，即的值域为，故答案为：
15．（山东省泰安市2021届高三四模数学试题）已知函数满足①定义域为；②值域为R；③．写出一个满足上述条件的函数______．
【答案】（答案为唯一）
【解析】的定义域为，值域为，且，因此符合题意．故答案为：.
16．（2021届青海省西宁市高三一模）函数的定义域为，图象如图1所示，函数的定义域为，图象如图2所示.若集合，，则中有___________个元素.
【答案】3
【解析】若，则或或1，∴，
若，则或2，∴，
∴.故答案为：3.
17．（安徽省合肥一六八中学2021届高三下学期最后一卷）存在函数，对于任意都成立的下列等式的序号是________．
①；②；③；④．
【答案】④
【解析】①当时，；当时，，与函数定义矛盾，不符合；
②当时，；当时，，与函数定义矛盾，不符合；
③当时，；当时，，与函数定义矛盾，不符合；
④令，所以，令，所以，
所以，所以，符合，
故答案为：④.
18．（陕西省咸阳市2021届高三五月数学试题）已知函数对均有，若恒成立，则实数m的取值范围是_______.
【答案】
【解析】∵函数对均有①，
∴将换为x，得②，
∴由①②，解得.
∴恒成立，恒成立，∴只需，
令，则，令，则，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴，∴，
∴m的取值范围为.故答案为：
19．（浙江省金华市2021届高三下学期5月高考仿真模拟数学试题）已知函数，(a>0，a≠1)，若，则m=___________，___________.
【答案】1
2
【解析】，解得，
由，则，得，
故答案为：1；2.
20．（广东省揭阳市普宁二中2021届高三适应性（二）数学试题）如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”.
函数的值域为_______，则与是“同域函数”的一个解析式为____________.
【答案】
，
或者
（答案不唯一）
【解析】因为，所以且，所以函数的定义域为，．
下面求函数的值域，不妨先求函数的值域，令，
令，，，所以，，
从而得出，，所以，，即函数的值域为，．
只要满足定义域为，，且值域为，的函数均符合题意，例如
或，，或，，
故答案为：；
或，，或，，或（答案不唯一）.
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