吉林省延边州2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）试题 （Word版，含答案）

延边州2020-2021学年高二下学期期中考试
数学（理）试卷
答题时间：120分钟
试卷总分：140分
选择题（共12小题，每小题4分，共48分，每题只有一个选项正确）
1.
复数满足，则z=(
)
A.
B.
C.
D.
2.
用反证法证明命题“若,则,全为0（）”其反设正确的是（
）
A.
,至少有一个为0
B.
,至少有一个不为0
C.
,全不为0
D.
,中只有一个为0
3.有一段“三段论”，其推理是这样的：对于可导函数，若，则是函数
的极值点……大前提;因为函数满足……小前提;所以是函数的极值点……结论
，以上推理（
）
A.
大前提错误
B.
小前提错误
C.
推理形式错误
D.
没有错误
4.
学习合情推理后，甲、乙两位同学各举了一个例子，甲：由“若三角形周长为l，面积为S，
则其内切圆半径r＝”类比可得“若三棱锥表面积为S，体积为V，则其内切球半径r＝”；
乙：由“若直角三角形两直角边长分别为a、b，则其外接圆半径r＝”类比可得“若三棱
锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a、b、c，则其外接球半径r＝”．这两位同
学类比得出的结论(
)
A．两人都对
B．甲错、乙对
C．甲对、乙错
D．两人都错
5.
从0，2，4，6，8和1，3，5，7，9两组数中各取两个数，组成无重复数字的四位偶数的个数是（
）
A．720
B．1120
C．1200
D．1680
6.
一个矩形铁皮的长为，宽为，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个
无盖的小盒子，若记小正方形的边长为，小盒子的容积为，则（
）
A．当时，有极小值
B．当时，有极大值
C．当时，有极小值
D．当时，有极大值
7.
如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有种（
）
A．120
B．260
C．340
D．420
8.
直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为
（
）
A.
B.
C.
4
D.
9.如果对定义在上的偶函数，满足对于任意两个不相等的正实数，都有，则称函数为“函数”，下列函数为“函数”的是（
）
A．
B．
C．
D．
10.为了丰富教职工的文化生活，某学校从高一年级、高二年级、高三年级、行政部门各挑选出4位教师组成合唱团，现要从这16人中选出3人领唱，要求这3人不能都是同一个部门的，且在行政部门至少选1人，则不同的选取方法的种数为
(
)
A．336
B．340
C．352
D．472
11.
函数，若有正实数解，则实数的最小值为（
）
A.
3
B.
2
C.
D.
12．已知函数的定义域为，且满足（是的导函数），
若，则不等式的解集为（
）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分，请将答案写在答题纸上）
13.
从5台甲型和4台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，
则不同的取法共有________种(用数字作答).
14.
学校艺术节对同一类的四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“作品获得一等奖”；乙说：“作品获得一等奖”；丙说：“，两项作品未获得一等奖”；丁说：“是或作品获得一等奖”，若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是___．
15.
若函数与的图像在处有相同的切线，则____.
16．已知函数，，对任意的，，都有成立，则实数的取值范围是______.
三、解答题（共６小题，17、18题各10分，19、20、21题各12分，22题为附加题，共20分，请写出必要的解答过程）
17．（本小题满分10分）复数
（其中，i为虚数单位）.
（1）若复数为实数，求的值；
（2）若复数为纯虚数，求的值；
（3）在复平面内，复数对应的点在第四象限，求实数的取值范围．
18．（本小题满分10分）
观察下列等式:
；
；
；
；
；
(1)猜想第n(nN
)个等式;
(2)用数学归纳法证明你的猜想。
19．（本小题满分12分）
已知函数，在点处的切线方程为，求：
（1）实数的值；
（2）函数在区间上的最值.
20.
（本小题满分12分）
已知函数.
（1）若存在极值，求的取值范围；
（2）当时，求证：
21.（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若曲线在点处与轴相切，求的值；
（2）求函数在区间上的零点个数；
（3）若、，，试写出的取值范围.（只需写出结论）
22.附加题：（满分20分，计入试卷总分）
已知函数，且在处切线垂直于轴．
（1）求的值；
（2）求函数在上的最小值；
（3）若恒成立，求满足条件的整数的最大值．
（参考数据，）试卷第2页，总4页
试卷第6页，总1页
试卷第5页，总1页
延边州2020-2021学年高二下学期期中考试
理科数学考试答案
1-12
ABACBB
DCCADB
13.70
14.C
15.2
16．
17.（1）因为复数为实数，所以，所以或4；
（2）因为复数为纯虚数，所以，所以
（3）因为对应的点在第四象限，所以解不等式组得，，
即的取值范围是.
18.解（1）猜想第个等式为.
（2）证明：①当时，左边，右边，故原等式成立；
②假设当时，猜想成立，有，
则当时，
故当时，命题也成立。
由①②可知猜想对一切正整数都成立.
19.解：（1）因为在点处的切线方程为，
所以切线斜率是且，求得，即点
又函数，则
所以依题意得,解得
（2）由（1）知所以
令，解得或当或；当
所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是
又，所以当变化时，和变化情况如下表：
0
2
3
2
0
2
0
4
极小值
1
所以当，时，，
20.解（1）函数的定义域为，，
当时，对任意的，，故在上单调递增，无极值；
当时，当时，，单调递增；
当时，，单调递减.故在处取得极大值，无极小值.
综上所述，若存在极值，则的取值范围为.
（2）当时，.
设，其定义域为，则证明即可.
，设，则，
故函数在上单调递增.，.
有唯一的实根，且，.
当时，；当时，，故函数的最小值为.
.
21（1），因为在点处与轴相切，且，所以，解得.经检验符合题意；
（2）由（1）知，令，得.
（i）当时，，，函数在区间上单调递增，
所以，
所以函数在区间上无零点；
（ii）当时，若，则，若，则.
函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且，.
当，即时，函数在区间上有一个零点；
当时，即当时，函数在区间上无零点；
（iii）当时，，，函数在区间上单调递减，
所以，
所以函数
在区间上无零点.
综上：当或时，函数在区间上无零点；
当时，函数在区间上有一个零点.
（3）或.
22.（1）因为在处切线垂直于轴，则
因为，则，则
（2）由题意可得，注意到，
则则
因此单调递减，，
因此存在唯一零点使得，则在单调递增，
在单调递减，，则在上恒成立
从而可得在上单调递增，则
（3）必要条件探路
因为恒成立，令，则
因为，由于为整数，则，
因此
下面证明恒成立即可
①当时，由（1）可知，则
故，设，
则，则在单调递减
从而可得，由此可得在恒成立．
②当时，下面先证明一个不等式：，设
则，则在单调递减，在单调递增
因此，那么
由此可得
则，
因此单调递增，，
则在上单调递增，因此
综上所述：的最大值整数值为．