数学人教A版（2019）必修第一册 教案 3.1函数的概念及其表示——函数的表示法

函数的概念及其表示——函数的表示法
【教学目标】
1．知识与技能：掌握函数的解析法、列表法、图象法三种主要表示方法。
2．过程与方法：培养数形结合、分类讨论的数学思想方法。
3．情感、态度与价值观：掌握分段函数的概念。
【教学重难点】
教学重点：解析法、图象法。
教学难点：作函数图象。
【教学过程】
一、复习引入。
1．函数的定义是什么？函数的图象的定义是什么？
2．在中学数学中，画函数图象的基本方法是什么？
3．用描点法画函数图象，怎样避免描点前盲目列表计算？怎样做到描最少的点却能显示出图象的主要特征？
二、讲解新课：函数的表示方法。
表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种。
（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式。
例如，，，，，等等都是用解析式表示函数关系的。
优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值。中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数。
（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系。
学生的身高
单位：厘米
学号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
身高
125
135
140
156
138
172
167
158
169
数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，银行里的利息表，列车时刻表等等都是用列表法来表示函数关系的。公共汽车上的票价表。
优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。
（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。
例如，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，课本中我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的。
优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质。
三、例题讲解。
例1：某种笔记本每个5元，买个笔记本的钱数记为y（元），试写出以为自变量的函数的解析式，并画出这个函数的图像。
解：这个函数的定义域集合是{1，2，3，4}，函数的解析式为，。
它的图象由4个孤立点A（1，5）B（2，10）C（3，15）D（4，20）组成，如图所示。
例2：国内投寄信函（外埠），每封信函不超过20
g付邮资80分，超过20
g而不超过40
g付邮资160分，依次类推，每封的信函应付邮资为（单位：分），试写出以x为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图像。
解：这个函数的定义域集合是，函数的解析式为
这个函数的图象是5条线段（不包括左端点），都平行于x轴，如图所示。
这一种函数我们把它称为分段函数。
例3：画出函数的图象。
解：这个函数的图象是两条射线，分别是第一象限和第二象限的角平分线，如图所示。
说明：①再次说明函数图象的多样性；
②从例4和例5看到，有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数。注意分段函数是一个函数，而不是几个函数。
③注意：并不是每一个函数都能作出它的图象，如狄利克雷（Dirichlet）函数D（x）=，我们就作不出它的图象。
例4：作出分段函数的图像。
解：根据“零点分段法”去掉绝对值符号，即：
=
作出图像如下
例5：作出函数的图象
列表描点：
四、小结
本节课学习了以下内容：函数的表示方法及图像的作法
五、作业布置。
补充：
1．作函数的图像。
分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形。
解：（1）当时，即时，
当时，即时，
。
∴
这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出。
2．作出函数的函数图像
解：
步骤：（1）作出函数的图象
（2）将上述图象轴下方部分以轴为对称轴向上翻折（上方部分不变），即得的图象