数学人教A版（2019）必修第一册 教案 3.3幂函数

幂函数
【教学目标】
1．使学生理解幂函数的概念，能够通过图象研究幂函数的性质。
2．在作幂函数的图象及研究幂函数的性质过程中，培养学生的观察能力，概括总结的能力。
3．通过对幂函数的研究，培养学生分析问题的能力。
【学习指导】
本节的重点有两个：一是幂函数的定义；二是幂函数的图象与性质。研究幂函数的图象与性质可通过对典型的幂函数，如、及的图象研究归纳的图象特征和函数性质，通过对幂函数、及的图象研究归纳的图象特征和函数性质。难点也有两个：一是幂函数与指数函数定义是有区别的，学生容易混淆。二是幂函数的定义域与图象是复杂多变的，要根据指数的具体情况而定。
学习时应该注意：（1）研究幂函数的性质时，通常将分数指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分数形式再去进行讨论；（2）对于幂函数，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即，和三种情况下曲线的基本形状，还要注意，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即（）时图象是抛物线型；时图象是双曲线型；时图象是竖直抛物线型；时图象是横卧抛物线型。
运用幂函数的性质比较函数值的大小，若底数不同，指数相同，则用幂函数的性质即可作出判断，若底数相同，指数不同，则用指数函数的性质来作出判断。解题的时候要特别注意灵活的使用幂函数的图象和性质。
【教学过程】
一、例题精析
例1．写出下列函数的定义域，指出它们的奇偶性。并画出它们的图象，观察这些图象，看看有什么共同点？
（1）；（2）；（3）；（4）。
分析：分数指数幂可以与根式相互转化。把各函数解析式先化成根式形式即可。
例2．仿照例1研究下列函数的定义域和奇偶性，观察它们的图象，看看有什么共同点？
（1）；（2）；（3）；（4）。
分析：先将负指数幂化为正指数幂，再将分数指数幂化为根式。
评注：通过例1和例2的解决过程，体现数学学习的过程是一个建立在经验基础上的主动建构的过程，让学生在合作中获取知识。
二、知识提炼
1．幂函数图象
，互质
，都是奇数
是奇数
是偶数
是偶数
是奇数
2．幂函数图象性质
都过点（1，1）；
时，在第一象限内函数的图象随x的增大而上升，函数在区间上是单调增函数。当时，在第一象限内函数的图象随x的增大而下降，函数在区间上是单调减函数。
除原点外，任何幂函数图象与坐标轴都不相交，任何幂函数图象都不过第四象限；
任何两个幂函数图象最多有三个公共点。除，，，外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点。
⑤时幂函数图象总过原点，时，幂函数图象不过原点。
例3．讨论下列函数的定义域、值域、奇偶性与单调性：
（1）
分析：根据幂函数的性质讨论定义域、奇偶性，单调性。
评注：由例3让学生对幂函数性质的认识有一个提升。
例4．比较下列各题中两个值的大小。
（1）与
（2）与
（3）与
（4）与
分析：比较两数的大小可构造一个函数，考虑这个函数的单调区间。
评注：学生学习了幂函数以后，关键还在于对其性质要会灵活运用，例4是做一个基本的铺垫。
例5．取不同的有理数时，讨论幂函数的定义域。
分析：幂函数定义域不一定是R，其定义域要依据n的具体情况而定，当时，定义域中必不会有0.
评注：学习幂函数第1课时里研究了特殊的幂函数的定义域的问题，这里要求学生进一步研究一般的幂函数的定义域的问题，这是一种由特殊到一般的思想方法，由特殊到一般是数学里经常采用的思想方法，通过这道题可以体会这一思想方法。
例6．幂函数，，
，，在第一象限
的图象如图所示，则a，b，
c，d的大小关系是（　）
A．；
B．；
C．；
D．
分析：重点掌握幂函数在第一象限的图象特征，它是判断一些问题的法宝，当自变量x＞1时，幂指数大的函数的函数值大。
评注：通过这道题，使学生体会不仅仅是“形式上”掌握幂函数的概念、图象和性质，更重要的是真正的理解，例如需要掌握幂函数在第一象限的图象特征，这在今后的学习中也应注意。
例7．如果函数是幂函数，且在区间上是减函数，求满足条件的实数的集合。
分析：我们从题中得到两条信息：一是幂函数，二是此函数在上是减函数。由幂函数定义：形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数。的系数只能是1，从而得到；又由于该幂函数在上是减函数，由幂函数的性质可知，，即。由以上两条可求出满足所求的的范围。
评注：要注意最简单的概念和性质的灵活运用。
例8．已知，求的取值范围。
分析：由于对幂函数的概念和性质的不理解，就可能在解题过程中出现一些错误。
评注：本题实质上是解不等式，由于不等式的左右两边的幂指数都是，因此可借助于幂函数的图象性质来求解。正确思路是数形结合思想的运用。利用函数图象特征了解函数的性质，利用函数性质去解不等式。
例9．已知幂函数，（），在内，随增大而增大，且在定义域内图象关于轴对称，（1）求值及相应的。（2）对于（1）中所求函数，设函数问是否存在，使得在区间上是减函数且在区间上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由。
分析：抓住题目里所给的信息，分析解决题目结论的方法，是找到解决问题途径的关键所在。
评注：适当适时的与同学们一起探究一些有一定思维深度的问题对提高同学的思维能力有一定的帮助。
三、习题
1．下列命题中正确的是（　　）
A．当时，函数的图象是一条直线；
B．幂函数的图象都经过（0，0），（1，1）两点；
C．若幂函数的图象关于原点对称，则在定义域内随的增大而增大；
D．幂函数的图象不可能在第四象限。
2．下列函数中，定义域为的函数为（　　）。
A．；
B．；
C．；
D．．
3．下列函数中不是幂函数的是（　　）
A．；
B．；
C．；
D．．
4．，，，则下列关系式正确的是（
）。
A．
B．
C．
D．
5．已知函数
当　　　时，为正比例函数；
当　　　时，为反比例函数；
当　　　时，为二次函数；
当　　　时，为幂函数。
6．函数的图象，当时，在直线的上方；当时，在直线的下方，则的取值范围是　　　。
7．若，试求的取值范围。
8．为怎样的值时，函数的定义域是？
9．（1）求函数的定义域、值域。讨论当增大时，函数值如何变化？并画出图象；
（2）问上述函数的图象与函数的图象有何关系？
附答案：1．D
2．B
3．C
4．D
5．，0或；，2
（提示：当为正比例函数时，，即；当为反比例函数时，
，即或；
当为二次函数时，，即；
当为幂函数时，，即）
6．
7.幂函数的性质，有三种可能情况：或或
解得：。
8．
由①
由②，∴
综上：．
9．（1）；。当时，函数值y随x的增大而增大，当时，随的增大而减小。
（2）将的图象向左平移2个单位，即得到图象。
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