数学人教A版（2019）必修第一册教案 4.4对数函数（共3课时）

对数函数
【第1课时】
对数函数的概念、图像及性质
【教学目标】
【核心素养】
1．理解对数函数的概念，会求对数函数的定义域．（重点、难点）
2．能画出具体对数函数的图象，并能根据对数函数的图象说明对数函数的性质．（重点）
1．通过学习对数函数的图象，培养直观想象素养．
2．借助对数函数的定义域的求解，培养数学运算的素养．
【教学过程】
一、新知初探
1．对数函数的概念
函数y＝logax（a>0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，＋∞）．
思考1：函数y＝2log3x，y＝log3（2x）是对数函数吗？
提示：不是，其不符合对数函数的形式．
2．对数函数的图象及性质
a的范围
0a>1
图象
定义域
（0，＋∞）
值域
R
性质
定点
（1，0），即x＝1时，y＝0
单调性
在（0，＋∞）上是减函数
在（0，＋∞）上是增函数
思考2：对数函数的“上升”或“下降”与谁有关？
提示：底数a与1的关系决定了对数函数的升降．
当a>1时，对数函数的图象“上升”；当03．反函数
指数函数y＝ax（a>0，且a≠1）与对数函数y＝logax（a>0且a≠1）互为反函数．
二、初试身手
1．函数y＝logax的图象如图所示，则实数a的可能取值为（
）
A．5
B．
C．
D．
答案：A
解析：由图可知，a>1，故选A．
2．若对数函数过点（4，2），则其解析式为________．
答案：f（x）＝log2x
解析：设对数函数的解析式为f（x）＝logax（a>0且a≠1）．由f（4）＝2得loga4＝2，∴a＝2，即f（x）＝log2x．
3．函数f（x）＝log2（x＋1）的定义域为________．
答案：（－1，＋∞）
解析：由x＋1>0得x>－1，故f（x）的定义域为（－1，＋∞）．
三、合作探究
对数函数的概念及应用
类型1
例1：（1）下列给出的函数：①y＝log5x＋1；
②y＝logax2（a>0，且a≠1）；③y＝log（－1）x；
④y＝log3x；⑤y＝logx（x>0，且x≠1）；
⑥y＝logx．其中是对数函数的为（
）
A．③④⑤
B．②④⑥
C．①③⑤⑥
D．③⑥
（2）若函数y＝log（2a－1）x＋（a2－5a＋4）是对数函数，则a＝________．
（3）已知对数函数的图象过点（16，4），则f＝__________．
答案：（1）D（2）4（3）－1
解析：（1）由对数函数定义知，③⑥是对数函数，故选D．
（2）因为函数y＝log（2a－1）x＋（a2－5a＋4）是对数函数，
所以
解得a＝4．
（3）设对数函数为f（x）＝logax（a>0且a≠1），
由f（16）＝4可知loga16＝4，∴a＝2，
∴f（x）＝log2x，
∴f＝log2＝－1．
规律方法
判断一个函数是对数函数的方法
跟踪训练
1．若函数f（x）＝（a2＋a－5）logax是对数函数，则a＝________．
答案：2
解析：由a2＋a－5＝1得a＝－3或a＝2．又a>0且a≠1，所以a＝2．
对数函数的定义域
类型2
例2：求下列函数的定义域：
（1）f（x）＝；
（2）f（x）＝＋ln（x＋1）；
（3）f（x）＝log（2x－1）（－4x＋8）．
解：（1）要使函数f（x）有意义，则logx＋1>0，即logx>－1，解得0（2）函数式若有意义，需满足即解得－1（3）由题意得解得故函数y＝log（2x－1）（－4x＋8）的定义域为．
规律方法
求对数型函数的定义域时应遵循的原则
1．分母不能为0．
2．根指数为偶数时，被开方数非负．
3．对数的真数大于0，底数大于0且不为1．
提醒：定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1．
跟踪训练
2．求下列函数的定义域：
（1）f（x）＝lg（x－2）＋；
（2）f（x）＝log（x＋1）（16－4x）．
解：（1）要使函数有意义，需满足
解得x>2且x≠3，
所以函数定义域为（2，3）∪（3，＋∞）．
（2）要使函数有意义，需满足
解得－1所以函数定义域为（－1，0）∪（0，4）．
对数函数的图象问题
类型3
探究问题
1．如图，曲线C1，C2，C3，C4分别对应y＝loga1x，y＝loga2x，y＝loga3x，y＝loga4x的图象，你能指出a1，a2，a3，a4以及1的大小关系吗？
提示：作直线y＝1，它与各曲线C1，C2，C3，C4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有a4>a3>1>a2>a1>0．
2．函数y＝ax与y＝logax（a>0且a≠1）的图象有何特点？
提示：两函数的图象关于直线y＝x对称．
例3：（1）当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为（
）
A
B
C
D
（2）已知f（x）＝loga|x|，满足f（－5）＝1，试画出函数f（x）的图象．
思路点拨：（1）结合a>1时y＝a－x＝x及y＝logax的图象求解．
（2）由f（－5）＝1求得a，然后借助函数的奇偶性作图．
答案：（1）∵a>1，∴0<<1，∴y＝a－x是减函数，y＝logax是增函数，故选C．
（2）解：∵f（x）＝loga|x|，∴f（－5）＝loga5＝1，即a＝5，
∴f（x）＝log5|x|，
∴f（x）是偶函数，其图象如图所示．
母题探究
1．把本例（1）的条件“a>1”去掉，函数“y＝logax”改为“y＝loga（－x）”，则函数y＝a－x与y＝loga（－x）的图象可能是（
）
答案：C
解析：∵在y＝loga（－x）中，－x＞0，∴x＜0，
∴图象只能在y轴的左侧，故排除A，D；
当a＞1时，y＝loga（－x）是减函数，
y＝a－x＝x是减函数，故排除B；
当0＜a＜1时，y＝loga（－x）是增函数，
y＝a－x＝x是增函数，∴C满足条件，故选C．
2．把本例（2）改为f（x）＝＋2，试作出其图象．
解：第一步：作y＝log2x的图象，如图（1）所示．
（1）
（2）
第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝log2（x＋1）的图象，如图（2）所示．
第三步：将y＝log2（x＋1）的图象在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换，得y＝|log2（x＋1）|的图象，如图（3）所示．
第四步：将y＝|log2（x＋1）|的图象沿y轴向上平移2个单位长度，即得到所求的函数图象，如图（4）所示．
（3）
（4）
规律方法
函数图象的变换规律
1．一般地，函数y＝f（x±a）＋b，a，b为实数?的图象是由函数y＝f（x）的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的．
2．含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的．一般地，y＝f（|x－a|）的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|f（x）|的图象与y＝f（x）的图象在f（x）≥0的部分相同，在f（x）<0的部分关于x轴对称．
四、课堂小结
1．判断一个函数是不是对数函数关键是分析所给函数是否具有y＝logax（a>0且a≠1）这种形式．
2．在对数函数y＝logax中，底数a对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质．
3．涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析．
五、当堂达标
1．思考辨析
（1）对数函数的定义域为R．（
）
（2）函数y＝loga（x＋2）恒过定点（－1，0）．（
）
（3）对数函数的图象一定在y轴右侧．（
）
（4）函数y＝log2x与y＝x2互为反函数．（
）
答案：（1）×（2）√（3）√（4）×
2．下列函数是对数函数的是（
）
A．y＝2＋log3x
B．y＝loga（2a）（a>0，且a≠1）
C．y＝logax2（a>0，且a≠1）
D．y＝ln
x
答案：D
解析：结合对数函数的形式y＝logax（a>0且a≠1）可知D正确．
3．函数f（x）＝＋lg（5－3x）的定义域是（
）
A．
B．
C．
D．
答案：C
解析：由得
即1≤x<．
4．已知f（x）＝log3x．
（1）作出这个函数的图象；
（2）若f（a）解：（1）作出函数y＝log3x的图象如图所示．
（2）令f（x）＝f（2），
即log3x＝log32，解得x＝2．
由图象知：
当0所以所求a的取值范围为0【第2课时】
对数函数及其性质的应用
【教学目标】
【核心素养】
1．掌握对数函数的单调性，会进行同底对数和不同底对数大小的比较．（重点）
2．通过指数函数、对数函数的学习，加深理解分类讨论、数形结合这两种重要数学思想的意义和作用．（重点）
1．通过学习对数函数的单调性的应用，培养逻辑推理素养．
2．借助对数函数性质的综合应用的学习，提升逻辑推理及数学运算素养．
【教学过程】
一、合作探究
比较对数值的大小
类型1
例1：比较下列各组值的大小：
（1）log5与log5；
（2）log2与log2；
（3）log23与log54．
解：（1）法一（单调性法）：对数函数y＝log5x在（0，＋∞）上是增函数，而<，所以log5法二（中间值法）：因为log5<0，log5>0，
所以log5（2）法一（单调性法）：由于log2＝，log2＝，
又因对数函数y＝log2x在（0，＋∞）上是增函数，
且>，所以0>log2>log2，
所以<，所以log2法二（图象法）：如图，在同一坐标系中分别画出y＝logx及y＝logx的图象，由图易知：log2（3）取中间值1，
因为log23>log22＝1＝log55>log54，
所以log23>log54．
规律方法
比较对数值大小的常用方法
1．同底数的利用对数函数的单调性．
2．同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．
3．底数和真数都不同，找中间量．
提醒：比较数的大小时先利用性质比较出与零或1的大小．
跟踪训练
1．比较下列各组值的大小：
（1）log0.5，log0.6；
（2）log1.51.6，log1.51.4；
（3）log0.57，log0.67；
（4）log3π，log20.8．
解：（1）因为函数y＝logx是减函数，且0.5<0.6，所以log0.5>log0.6．
（2）因为函数y＝log1.5x是增函数，且1.6>1.4，所以log1.51.6>log1.51.4．
（3）因为0>log70．6>log70.5，
所以<，即log0.67（4）因为log3π>log31＝0，log20．8log20.8．
解对数不等式
类型2
例2：已知函数f（x）＝loga（x－1），g（x）＝loga（6－2x）（a＞0，且a≠1）．
（1）求函数φ（x）＝f（x）＋g（x）的定义域；
（2）试确定不等式f（x）≤g（x）中x的取值范围．
思路点拨：（1）直接由对数式的真数大于0联立不等式组求解x的取值集合．
（2）分a＞1和0＜a＜1求解不等式得答案．
解：（1）由解得1＜x＜3，∴函数φ（x）的定义域为{x|1＜x＜3}．
（2）不等式f（x）≤g（x），即为loga（x－1）≤loga（6－2x），
①当a＞1时，不等式等价于
解得1②当0＜a＜1时，不等式等价于
解得≤x<3．
综上可得，当a＞1时，不等式的解集为；
当0＜a＜1时，不等式的解集为．
规律方法
常见的对数不等式的三种类型
1．形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论；
2．形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解；
3．形如logax＞logbx的不等式，可利用图象求解．
跟踪训练
2．（1）已知loga>1，求a的取值范围；
（2）已知log0.7（2x）解：（1）由loga>1得loga>logaa．
①当a>1时，有a<，此时无解．
②当0所以a的取值范围是．
（2）因为函数y＝log0.7x在（0，＋∞）上为减函数，
所以由log0.7（2x）1．
即x的取值范围是（1，＋∞）．
对数函数性质的综合应用
类型3
探究问题
1．类比y＝af（x）单调性的判断法，你能分析一下y＝log（2x－1）的单调性吗？
提示：形如y＝af（x）的单调性满足“同增异减”的原则，由于y＝log（2x－1）由函数y＝logt及t＝2x－1复合而成，且定义域为2x－1>0，即x>，结合“同增异减”可知，
y＝log（2x－1）的减区间为．
2．如何求形如y＝logaf（x）的值域？
提示：先求y＝f（x）的值域，注意f（x）>0，在此基础上，分a>1和0例3：（1）已知y＝loga（2－ax）是[0，1]上的减函数，则a的取值范围为（
）
A．（0，1）
B．（1，2）
C．（0，2）
D．[2，＋∞）
（2）函数f（x）＝log（x2＋2x＋3）的值域是________．
思路点拨：（1）结合对数函数及y＝2－ax的单调性，构造关于a的不等式组，解不等式组可得．
（2）先求真数的范围，再根据对数函数的单调性求解．
答案：（1）B（2）（－∞，－1]
解析：（1）∵f（x）＝loga（2－ax）在[0，1]上是减函数，且y＝2－ax在[0，1]上是减函数，
∴
即∴∴1＜a＜2．
（2）f（x）＝log（x2＋2x＋3）＝log[（x＋1）2＋2]，
因为（x＋1）2＋2≥2，
所以log[（x＋1）2＋2]≤log2＝－1，所以函数f（x）的值域是（－∞，－1]．]
母题探究
1．求本例（2）的函数f（x）在[－3，1]上的值域．
解：∵x∈[－3，1]，
∴2≤x2＋2x＋3≤6，
∴log6≤log（x2＋2x＋3）≤log2，
即－log26≤f（x）≤－1，
∴f（x）的值域为[－log26，－1]．
2．求本例（2）的单调区间．
解：∵x2＋2x＋3＝（x＋1）2＋2>0，
又y＝logt在（0，＋∞）为减函数，
且t＝x2＋2x＋3在（－∞，－1）上为减函数，在[－1，＋∞）上为增函数，故由复合函数单调性可知，y＝log（x2＋2x＋3）单调递增区间为（－∞，－1），单调递减区间为[－1，＋∞）．
规律方法
1．已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解；若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系．
2．求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解．
二、课堂小结
1．比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是对数函数的单调性，若对数的底数是字母且范围不明确，一般要分a>1和02．解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用．
三、当堂达标
1．思考辨析
（1）y＝log2x2在[0，＋∞）上为增函数．（
）
（2）y＝logx2在（0，＋∞）上为增函数．（
）
（3）ln
x<1的解集为（－∞，e）．（
）
（4）函数y＝log（x2＋1）的值域为[0，＋∞）．（
）
答案：（1）×（2）×（3）×（4）×
2．设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则（
）
A．a>c>b
B．b>c>a
C．c>b>a
D．c>a>b
答案：D
解析：a＝log32log22＝1，由对数函数的性质可知log523．函数f（x）＝log2（1＋2x）的单调增区间是______．
答案：
解析：易知函数f（x）的定义域为－，＋∞，又因为函数y＝log2x和y＝1＋2x都是增函数，所以f（x）的单调增区间是．
4．已知a＞0且满足不等式22a＋1＞25a－2．
（1）求实数a的取值范围；
（2）求不等式loga（3x＋1）（3）若函数y＝loga（2x－1）在区间[1，3]上有最小值为－2，求实数a的值．
解：（1）∵22a＋1＞25a－2，∴2a＋1＞5a－2，即3a＜3，∴a＜1，即0＜a＜1．∴实数a的取值范围是（0，1）．
（2）由（1）得，0＜a＜1，∵loga（3x＋1）∴
即解得即不等式的解集为．
（3）∵0＜a＜1，∴函数y＝loga（2x－1）在区间[1，3]上为减函数，∴当x＝3时，y有最小值为－2，即loga5＝－2，∴a－2＝＝5，解得a＝．
【第3课时】
不同函数增长的差异
【教学目标】
【核心素养】
1．理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义．（重点）
2．区分指数函数、对数函数以及一次函数增长速度的差异．（易混点）
3．会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题．（难点）
借助三个函数模型的增长特征培养数学运算、数学建模的素养．
【教学过程】
一、新知初探
三种函数模型的性质
y＝ax（a>1）
y＝logax（a>1）
y＝kx（k>0）
在（0，＋∞）上的增减性
增函数
增函数
增函数
图象的变化趋势
随x增大逐渐近似与y轴平行
随x增大逐渐近似与x轴平行
保持固定增长速度
增长速度
①y＝ax（a>1）：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝kx（k>0）的增长速度，y＝logax（a>1）的增长速度越来越慢；
②存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax
二、初试身手
1．已知变量y＝1＋2x，当x减少1个单位时，y的变化情况是（
）
A．y减少1个单位
B．y增加1个单位
C．y减少2个单位
D．y增加2个单位
答案：C
解析：结合函数y＝1＋2x的变化特征可知C正确．
2．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是（
）
A．y＝ex
B．y＝ln
x
C．y＝2x
D．y＝e－x
答案：A
解析：结合指数函数、对数函数及一次函数的图象变化趋势可知A正确．
3．某工厂8年来某种产品总产量C与时间t（年）的函数关系如图所示．
以下四种说法：
①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．
其中说法正确的序号是________．
答案：②③
解析：结合图象可知②③正确，故填②③．
三、合作探究
几类函数模型的增长差异
类型1
例1：（1）下列函数中，增长速度最快的是（
）
A．y＝2019x
B．y＝2019
C．y＝log2
019x
D．y＝2019x
（2）下面对函数f（x）＝logx，g（x）＝x与h（x）＝－2x在区间（0，＋∞）上的递减情况说法正确的是（
）
A．f（x）递减速度越来越慢，g（x）递减速度越来越快，h（x）递减速度越来越慢
B．f（x）递减速度越来越快，g（x）递减速度越来越慢，h（x）递减速度越来越快
C．f（x）递减速度越来越慢，g（x）递减速度越来越慢，h（x）递减速度不变
D．f（x）递减速度越来越快，g（x）递减速度越来越快，h（x）递减速度越来越快
答案：（1）A（2）C
解析：（1）指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快，应选A．
（2）观察函数f（x）＝logx，g（x）＝x与h（x）＝－2x在区间（0，＋∞）上的图象（如图）可知：
函数f（x）的图象在区间（0，1）上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间（1，＋∞）上，递减较慢，且越来越慢，同样，函数g（x）的图象在区间（0，＋∞）上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h（x）的图象递减速度不变．
规律方法
常见的函数模型及增长特点
1．线性函数模型
线性函数模型y＝kx＋b（k>0）的增长特点是直线上升，其增长速度不变．
2．指数函数模型
指数函数模型y＝ax（a>1）的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．
3．对数函数模型
对数函数模型y＝logax（a>1）的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．
跟踪训练
1．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1024
37768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
关于x呈指数函数变化的变量是________．
答案：y2
解析：以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象（图略），可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故填y2．
指数函数、对数函数与一次函数模型的比较
类型2
例2：函数f（x）＝2x和g（x）＝2x的图象如图所示，设两函数的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2．
（1）请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
（2）结合函数图象，判断f与g，f（2019）与g（2019）的大小．
解：（1）C1对应的函数为g（x）＝2x，C2对应的函数为f（x）＝2x．
（2）∵f（1）＝g（1），f（2）＝g（2）
从图象上可以看出，当1＜x＜2时，f（x）＜g（x），
∴f＜g；
当x＞2时，f（x）＞g（x），
∴f（2019）＞g（2019）．
规律方法
由图象判断指数函数、一次函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、一次函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数．
跟踪训练
2．函数f（x）＝lg
x，g（x）＝0．3x－1的图象如图所示．
（1）试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；
（2）比较两函数的增长差异（以两图象交点为分界点，对f（x），g（x）的大小进行比较）．
解：（1）C1对应的函数为g（x）＝0．3x－1，C2对应的函数为f（x）＝lg
x．
（2）当xf（x）；当x1g（x）；当x>x2时，g（x）>f（x）；当x＝x1或x＝x2时，f（x）＝g（x）．
四、课堂小结
直线上升、指数爆炸、对数增长
对于直线y＝kx＋b（k≥0）、指数函数y＝ax（a>1）、对数函数y＝logbx（b>1），当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快，并且直线上升，其增长量固定不变．
五、当堂达标
1．思考辨析
（1）函数y＝2x比y＝2x增长的速度更快些．（
）
（2）当a>1，n>0时，在区间（0，＋∞）上，对任意的x，总有logax）
（3）函数y＝logx衰减的速度越来越慢．（
）
答案：（1）×（2）×（3）√
2．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是（
）
A．y＝1
B．y＝x
C．y＝3x
D．y＝log3x
答案：C
解析：结合函数y＝1，y＝x，y＝3x及y＝log3x的图象可知（图略），随着x的增大，增长速度最快的是y＝3x．
3．某人投资x元，获利y元，有以下三种方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，则投资500元，1000元，1500元时，应分别选择________方案．
答案：乙、甲、丙
解析：将投资数分别代入甲、乙、丙的函数关系式中比较y值的大小即可求出．
4．画出函数f（x）＝与函数g（x）＝x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞）上的大小关系．
解：函数f（x）与g（x）的图象如图所示．
根据图象易得：当0≤x<4时，f（x）>g（x）；
当x＝4时，f（x）＝g（x）；
当x>4时，f（x）19
/
19