数学人教A版（2019）必修第一册教案 5.1任意角和弧度制——任意角（表格式）

任意角
【教学目标】
（1）要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念；
（2）学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；
（3）并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义?
【教学重点】
理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义?
【教学难点】
“旋转”定义角；终边相同的角的表示?
三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型?角的概念的推广正是这一思想的体现之一，是初中相关知识的自然延续?为进一步研究角的和?差?倍角?半角关系提供了条件，也为今后学习解析几何?复数等相关知识提供有利的工具?
本节课是三角函数的第一节课，学生正确的理解和掌握角的概念的推广尤为重要?
【学情分析】
（1）初中学生已经接触到角的定义，角的范围仅限于0°～360°；
（2）学生在理解终边相同的角的表示方法上，会出现障碍，其原因是：刚刚将角的概念推广，还不是很适应终边相同的角的“周而复始”这个现象的本质；
（3）学生在学习了象限角的概念后，怎样用集合和数学符号语言正确地表示象限角（如：第一象限角），会出现障碍，其原因是：对第一象限角是有无数个区间构成，它们的终边是“周而复始”的现象的刻画还不了解，教师要进一步的解释k·360°的运用特点?
【设计思路】
（1）通过创设情境，类比初中所学的角的概念，从运动的观点阐述，进行角的概念推广，引入正角?负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角?非象限角的概念及象限角的判定方法；
（2）通过几个特殊的角，画出终边所在的位置，归纳总结出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示?
这一设计符合新课程标准强调的加强对数学概念本质的认识，同时在教学中充分运用现代教育技术手段，将抽象的数学知识形象化?直观化，帮助学生理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义，和掌握终边相同的角的表示?
【教学准备】
借助信息技术工具（如：几何画板），
（1）角的推广在角的旋转量?旋转方向上给学生以动态的体会；
（2）动态的表现角的终边旋转过程，有利于学生观察到角的变化与终边的位置关系，从特殊到一般，让学生发现并验证终边相同的角的表示方法?
【教学过程】
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
创
设
情
境
思考：你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的?假如你的手表快了1．25小时，你应当如何将它校准?当时间校准以后，分针转了多少度?
取出一个钟表，实际操作，我们发现，校正过程中分针需要顺时针或逆时针旋转，有时转不到一周，有时转一周以上，这就是说角已不仅仅局限于0°~360°之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角?
针对上述问题，学生进行讨论?
学生容易回答前面一个问题，但在回答后面一个问题是会发现问题，从而引起认知冲突?说明角的概念扩展的必要性
组
织
探
究
1．任意角概念的引入
（1）问题：过去我们是如何定义一个角的?角的范围是什么?
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形?如图1．1-1．
（2）举出不在的角的实例，并加以说明?提供教材中的几个例子?
（3）你认为刻画这些角的关键是什么?
引导学生从旋转量?旋转方向这两个方面进行思考?
引导学生通过类比正数?负数和零，定义角的正角?负角和零角的概念?
（4）给出任意角的定义
2．象限角
（1）问题：如果把角放在直角坐标系中，那么怎样放比较方便?合理?
（先让学生以同一条射线为始边作出下列角：，，）
（2）给出象限角的概念
在总结分析合理放法的基础上，给出象限角的概念，并说明在同一坐标系下讨论角的好处?然后通过具体例子使学生直接感受象限角的概念?
3．终边相同的角
探究：将角按照上述的方法放在直角坐标系中后，给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应?反之，对于直角坐标系内任意一条射线OB（如图1．1—5），以它为终边的角是否唯一?如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系?
（1）在直角坐标系内标出，角的终边，你有什么发现?它们有怎样的数量关系???角的终边呢?
引导学生用含有其中一个角的关系式表示另外的角?
让学生利用计算机在旋转终边的过程中发现“终边相同”的角的关系，并利用集合表示出来?
（2）直角坐标系内，角对应了唯一一条射线（终边），那么是否存在与角终边相同的角?如果存在，如何表示?
4．巡视检查，然后请两位同学回答
回答问题
举例，再说明所举例的角为什么不在?
讨论
观察图1．1-3，进一步认识正角?负角?
利用任意角的定义，回答本节开始的“思考”中的表的校正问题?
画图探究，讨论?交流，不难给出合理的放法?
思考每组角的数量关系?
利用计算机在旋转终边的过程中发现“终边相同”的角的关系，并利用集合表示出来?
口答
回顾已有知识
结合具体的实例，感受角的概念推广的必要性
让学生认识到刻画这些角不仅要用旋转量，还要用旋转方向?
利用新概念重新认识问题?
通过尝试探究，由学生感受没有统一标准时，角的表示不方便?
探究终边相同的角之间的关系，理解并掌握其关系?
从具体问题入手，了解终边相同的角的关系?
从具体到一般，认识终边相同的角的关系及其表示?由几何位置“终边相同”探讨其代数特征的“统一”?
例
题
分
析
例1在范围内，找出与角终边相同的角，并判定它是第几象限角?
分析?板书
例2写出终边在轴上的角的集合?
指出这两个集合求并集的关键是把改写成，然后重新组合?
例3写出终边直线在上的角的集合，并把中适合不等式的元素写出来?
自学例2．
与教师共同完成例3，注意的正确取值是关键?
通过例题，进一步理解任意角?象限角和终边相同的角?
合作交流
尝
试
练
习
补充：
①时针经过3小时20分，则时针转过的角度为，分针转过的角度为?
②若角α是第二象限角，则180°—α是第象限角?
巡视，个别辅导
给出评价
尝试独立完成练习
回答结果
通过练习，掌握象限角的判断?终边相同的角的表示方法?
【教学反思】
这堂课从实际问题引入，引起学生的认知冲突?说明角的概念扩展的必要性，然后通过学生的自主探索，得出了定义，为后面的探究打下了基础，体现了新课程理念，教学效果好，是一堂好课?由于学生的计算机技术不高，导致课时安排过紧?
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