数学人教A版（2019）必修第一册 教案 4.5函数的应用（二）（共3课时）

函数的应用（二）
【第1课时】
函数的零点与方程的解
【教学目标】
【核心素养】
1．理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．（易混点）
2．会求函数的零点．（重点）
3．掌握函数零点存在定理并会判断函数零点的个数．（难点）
1．借助零点的求法培养数学运算和逻辑推理的素养．
2．借助函数的零点同方程根的关系，培养直观想象的数学素养．
【教学过程】
一、新知初探
1．函数的零点
对于函数y＝f（x），把使f（x）＝0的实数x叫做函数y＝f（x）的零点．
思考1：函数的零点是函数与x轴的交点吗？
提示：不是．函数的零点不是个点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标．
2．方程、函数、函数图象之间的关系
方程f（x）＝0有实数根?函数y＝f（x）的图象与x轴有交点?函数y＝f（x）有零点．
3．函数零点存在定理
如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）f（b）<0，那么，函数y＝f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的解．
思考2：该定理具备哪些条件？
提示：定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f（a）·f（b）<0．
二、初试身手
1．下列各图象表示的函数中没有零点的是（
）
A
B
C
D
答案：D
解析：结合函数零点的定义可知选项D没有零点．
2．函数y＝2x－1的零点是（
）
A．
B．
C．
D．2
答案：A
解析：由2x－1＝0得x＝．
3．函数f（x）＝3x－4的零点所在区间为（
）
A．（0，1）
B．（－1，0）
C．（2，3）
D．（1，2）
答案：D
解析：由f（－1）＝－<0，f（0）＝－3<0，f（1）＝－1<0，f（2）＝5>0，f（3）＝23>0，得f（x）的零点所在区间为（1，2）．
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数有________个零点．
答案：2
解析：由Δ＝b2－4ac>0得二次函数y＝ax2＋bx＋c有两个零点．
三、合作探究
求函数的零点
类型1
例1：（1）求函数f（x）＝的零点；
（2）已知函数f（x）＝ax－b（a≠0）的零点为3，求函数g（x）＝bx2＋ax的零点．
解：（1）当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；
当x>0时，令－2＋ln
x＝0，解得x＝e2．
所以函数f（x）＝的零点为－3和e2．
（2）由已知得f（3）＝0即3a－b＝0，即b＝3a．
故g（x）＝3ax2＋ax＝ax（3x＋1）．
令g（x）＝0，即ax（3x＋1）＝0，
解得x＝0或x＝－．
所以函数g（x）的零点为0和－．
规律方法
函数零点的求法
1．代数法：求方程f（x）＝0的实数根．
2．几何法：对于不能用求根公式的方程f（x）＝0，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来．图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
跟踪训练
1．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出；否则，请说明理由．
（1）f（x）＝x2＋7x＋6；
（2）f（x）＝1－log2（x＋3）；
（3）f（x）＝2x－1－3；
（4）f（x）＝．
解：（1）解方程f（x）＝x2＋7x＋6＝0，
得x＝－1或x＝－6，
所以函数的零点是－1，－6．
（2）解方程f（x）＝1－log2（x＋3）＝0，得x＝－1，所以函数的零点是－1．
（3）解方程f（x）＝2x－1－3＝0，得x＝log26，所以函数的零点是log26．
（4）解方程f（x）＝＝0，得x＝－6，所以函数的零点为－6．
判断函数零点所在的区间
类型2
例2：（1）函数f（x）＝ln（x＋1）－的零点所在的大致区间是（
）
A．（3，4）
B．（2，e）
C．（1，2）
D．（0，1）
（2）根据表格内的数据，可以断定方程ex－x－3＝0的一个根所在区间是（
）
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.08
x＋3
2
3
4
5
6
A．（－1，0）
B．（0，1）
C．（1，2）
D．（2，3）
答案：（1）C（2）C
解析：（1）因为f（1）＝ln
2－<0，f（2）＝ln
3－1>0，且函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，
所以函数的零点所在区间为（1，2）．故选C．
（2）构造函数f（x）＝ex－x－3，由上表可得f（－1）＝0.37－2＝－1.63<0，
f（0）＝1－3＝－2<0，
f（1）＝2.72－4＝－1.28<0，
f（2）＝7.39－5＝2.39>0，
f（3）＝20.08－6＝14.08>0，
f（1）·f（2）<0，所以方程的一个根所在区间为（1，2），故选C．]
规律方法
判断函数零点所在区间的三个步骤
1．代入：将区间端点值代入函数求出函数的值．
2．判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．
3．结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．
跟踪训练
2．若函数f（x）＝x＋（a∈R）在区间（1，2）上有零点，则a的值可能是（
）
A．－2
B．0
C．1
D．3
答案：A
解析：f（x）＝x＋（a∈R）的图象在（1，2）上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a＝－2时，f（1）＝1－2＝－1<0，f（2）＝2－1＝1>0．故f（x）在区间（1，2）上有零点，同理，其他选项不符合，选A．]
函数零点的个数
类型3
探究问题
1．方程f（x）＝a的根的个数与函数y＝f（x）及y＝a的图象交点个数什么关系？
提示：相等．
2．若函数g（x）＝f（x）－a有零点，如何求实数a的范围？
提示：法一：g（x）＝f（x）－a有零点可知方程
f（x）－a＝0有解，即a＝f（x）有解．
故a的范围为y＝f（x）的值域．
法二：g（x）＝f（x）－a有零点，等价于函数y＝a与函数y＝f（x）的图象有交点，故可在同一坐标系中分别画出两函数的图象，观察交点情况即可．
例3：已知0）
A．1
B．2
C．3
D．4
思路点拨：→→
答案：B
解析：函数y＝a|x|－|logax|（0画出函数f（x）＝a|x|（0母题探究
1．把本例函数“y＝a|x|－|logax|”改为“y＝2x|logax|－1”，再判断其零点个数．
解：由2x|logax|－1＝0得|logax|＝x，作出y＝x及y＝|logax|（0由图可知，两函数的图象有两个交点，
所以函数y＝2x|logax|－1有两个零点．
2．若把本例条件换成“函数f（x）＝|2x－2|－b有两个零点”，求实数b的取值范围．
解：由f（x）＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b．
在同一平面直角坐标系中分别画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．
则当0四、课堂小结
1．在函数零点存在定理中，要注意三点：（1）函数是连续的；（2）定理不可逆；（3）至少存在一个零点．
2．方程f（x）＝g（x）的根是函数f（x）与g（x）的图象交点的横坐标，也是函数y＝f（x）－g（x）的图象与x轴交点的横坐标．
3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时也可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．
五、当堂达标
1．思考辨析
（1）f（x）＝x2的零点是0．（
）
（2）若f（a）·f（b）>0，则f（x）在[a，b]内无零点．（
）
（3）若f（x）在[a，b]上为单调函数，且f（a）·f（b）<0，则f（x）在（a，b）内有且只有一个零点．（
）
（4）若f（x）在（a，b）内有且只有一个零点，则f（a）·f（b）<0．（
）
答案：（1）√（2）×（3）×（4）×
2．函数f（x）＝2x－3的零点所在的区间是（
）
A．（0，1）
B．（1，2）
C．（2，3）
D．（3，4）
答案：B
解析：∵f（1）＝2－3＝－1<0，f（2）＝4－3＝1>0，
∴f（1）·f（2）<0，即f（x）的零点所在的区间为（1，2）．
3．对于函数f（x），若f（－1）·f（3）<0，则（
）
A．方程f（x）＝0一定有实数解
B．方程f（x）＝0一定无实数解
C．方程f（x）＝0一定有两实根
D．方程f（x）＝0可能无实数解
答案：D
解析：∵函数f（x）的图象在（－1，3）上未必连续，故尽管f（－1）·f（3）<0，但方程f（x）＝0在（－1，3）上可能无实数解．
4．已知函数f（x）＝x2－x－2a．
（1）若a＝1，求函数f（x）的零点；
（2）若f（x）有零点，求实数a的取值范围．
解：（1）当a＝1时，f（x）＝x2－x－2．
令f（x）＝x2－x－2＝0，得x＝－1或x＝2．
即函数f（x）的零点为－1和2．
（2）要使f（x）有零点，则Δ＝1＋8a≥0，解得a≥－，
所以a的取值范围是．
【第2课时】
用二分法求方程的近似解
【教学目标】
【核心素养】
1．通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件．（重点）
2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解．（难点）
3．会用二分法求一个函数在给定区间内的零点，从而求得方程的近似解．（易混点）
借助二分法的操作步骤与思想，培养数学建模及逻辑推理素养．
【教学过程】
一、新知初探
1．二分法的定义
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f（a）·f（b）<0的函数y＝f（x），通过不断地把它的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
思考：若函数y＝f（x）在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分法求解？
提示：二分法只适用于函数的变号零点（即函数在零点两侧符号相反），因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如f（x）＝（x－1）2的零点就不能用二分法求解．
2．二分法求函数零点近似值的步骤
（1）确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f（a）f（b）＜0．
（2）求区间（a，b）的中点c．
（3）计算f（c），并进一步确定零点所在的区间：
①若f（c）＝0（此时x0＝c），则c就是函数的零点；
②若f（a）f（c）＜0（此时x0∈（a，c）），则令b＝c；
③若f（c）f（b）＜0（此时x0∈（c，b）），则令a＝c．
（4）判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤（2）～（4）．
二、初试身手
1．用二分法求函数f（x）＝x3＋5的零点可以取的初始区间是（
）
A．[－2，1]
B．[－1，0]
C．[0，1]
D．[1，2]
答案：A
解析：∵f（－2）＝－3<0，f（1）＝6>0，f（－2）·f（1）<0，故可取[－2，1]作为初始区间，用二分法逐次计算．
2．用二分法求函数f（x）在（a，b）内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是（
）
A．|a－b|<0.1
B．|a－b|<0.001
C．|a－b|>0.001
D．|a－b|＝0.001
答案：B
解析：据二分法的步骤知当区间长度|b－a|小于精确度ε时，便可结束计算．
3．已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则不能利用二分法求解的零点是________．
答案：x3
解析：因为x3左右两侧的函数值同号，故其不能用二分法求解．
4．用二分法研究函数f（x）＝x3＋3x－1的零点时，第一次经过计算得f（0）＜0，f（0．5）＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
答案：（0，0．5）
解析：f（0．25）　[∵f（0）<0，f（0．5）>0，∴x0∈（0，0．5），故第二次应计算f（0．25）．]
三、合作探究
二分法的概念
类型1
例1：已知函数f（x）的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为（
）
A．4，4
B．3，4
C．5，4
D．4，3
答案：D
解析：图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3，故选D．
规律方法
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合．
跟踪训练
1．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（
）
A
B
C
D
答案：B
解析：二分法的理论依据是零点存在定理，必须满足零点两侧函数值异号才能求解．而选项B图中零点两侧函数值同号，即曲线经过零点时不变号，称这样的零点为不变号零点．另外，选项A，C，D零点两侧函数值异号，称这样的零点为变号零点．
用二分法求函数零点的近似值
类型2
探究问题
1．用二分法求方程的近似解，如何决定步骤的结束？
提示：当零点所在区间的两个端点值之差的绝对值小于精确度时，二分法步骤结束．
2．用二分法求方程的近似解时，精确度不同对零点有影响吗？
提示：精确度决定步骤的始终，故精确度不同，零点可能会不同．
例2：求函数f（x）＝x3－3x2－9x＋1的一个负零点（精确度0.01）．
思路点拨：
解：确定一个包含负数零点的区间（m，n），且f（m）·f（n）<0．因为f（－1）>0，f（－2）<0，所以可以取区间（－2，－1）作为计算的初始区间，当然选取在较大的区间也可以．用二分法逐步计算，列表如下：
端点（中点）
端点或中点的函数值
取值区间
f（－1）>0，f（－2）<0
（－2，－1）
x0＝＝－1.5
f（x0）＝4.375>0
（－2，－1.5）
x1＝＝－1.75
f（x1）≈2.203>0
（－2，－1.75）
x2＝＝－1.875
f（x2）≈0.736>0
（－2，－1.875）
x3＝＝－1.9375
f（x3）≈－0.0974<0
（－1.9375，－1.875）
x4＝＝－1.90625
f（x4）≈0.3280>0
（－1.9375，－1.90625）
x5＝＝－1.921875
f（x5）≈0.1174>0
（－1.9375，－1.921875）
x6＝＝－1.9296875
f（x6）≈0.0105>0
（－1.9375，－1.929
6875）
由于|－1．929
687
5＋1．937
5|＝0．007
812
5<0．01，所以函数的一个负零点近似值可取为－1．929
687
5．
母题探究
1．（变条件）求本例函数f（x）在区间[－2，－1]上精确度为0.1的一个零点近似值．
解：因为f（－1）>0，f（－2）<0，且函数f（x）＝x3－3x2－9x＋1的图象是连续的曲线，根据函数零点的存在性定理可知，它在区间[－2，－1]内有零点，用二分法逐步计算，列表如下：
端点（中点）
端点或中点的函数值
取值区间
f（－1）>0，f（－2）<0
（－2，－1）
x0＝＝－1.5
f（x0）＝4.375>0
（－2，－1.5）
x1＝＝－1.75
f（x1）≈2.203>0
（－2，－1.75）
x2＝＝－1.875
f（x2）≈0.736>0
（－2，－1.875）
x3＝＝－1.9375
f（x3）≈－0.0974<0
（－1.9375，－1.875）
由于|－1.875＋1.9375|＝0.0625<0.1，所以函数在区间[－2，－1]内的一个近似零点可取为－1.9375．
2．若将本例函数改为“f（x）＝x3＋2x2－3x－6”，如何求该函数的正数零点？（精确度0．1）
解：确定一个包含正数零点的区间（m，n），
且f（m）·f（n）<0．
因为f（0）＝－6<0，f（1）＝－6<0，f（2）＝4>0，
所以可以取区间（1，2）作为计算的初始区间，
用二分法逐步计算，列表如下：
端点（中点）
端点或中点的函数值
取值区间
f（1）＝－6<0，f（2）＝4>0
（1，2）
x1＝＝1.5
f（1.5）＝－2.625<0
（1.5，2）
x2＝＝1.75
f（1.75）≈0.2344>0
（1.5，1.75）
x3＝＝1.625
f（1.625）≈－1.3027<0
（1.625，1.75）
x4＝＝1.687
5
f（1.6875）≈－0.5618<0
（1.6875，1.75）
由于|1.75－1.6875|＝0.0625<0.1，所以函数的正数
零点的近似值可取为1.6875．
规律方法
利用二分法求方程近似解的过程图示
四、课堂小结
1．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
2．并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：
（1）在区间[a，b]上连续不断；
（2）f（a）·f（b）<0，
上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值．
五、当堂达标
1．思考辨析
（1）二分法所求出的方程的解都是近似解．（
）
（2）函数f（x）＝|x|可以用二分法求零点．（
）
（3）用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．（
）
答案：（1）×（2）×（3）×
2．关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是（
）
A．“二分法”求方程的近似解一定可将y＝f（x）在[a，b]内的所有零点得到
B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y＝f（x）在[a，b]内的零点
C．应用“二分法”求方程的近似解，y＝f（x）在[a，b]内有可能无零点
D．“二分法”求方程的近似解可能得到f（x）＝0在[a，b]内的精确解
答案：D
解析：二分法求零点，则一定有且能求出，故B，C不正确；零点左侧与右侧的函数值符号相同的零点不能用二分法得到，故A不正确，故选D．
3．用二分法求函数y＝f（x）在区间[2，4]上零点的近似值，经验证有f（2）·f（4）<0．取区间的中点x1＝＝3，计算得f（2）·f（x1）<0，则此时零点x0∈________（填区间）．
答案：（2，3）
解析：因为f（2）·f（3）<0，所以零点在区间（2，3）内．
4．用二分法求方程ln（2x＋6）＋2＝3x的根的近似值时，令f（x）＝ln（2x＋6）＋2－3x，并用计算器得到下表：
x
1.00
1.25
1.375
1.50
f（x）
1.0794
0.1918
－0.3604
－0.9989
由表中的数据，求方程ln（2x＋6）＋2＝3x的一个近似解（精确度为0.1）．
解：因为f（1.25）·f（1.375）<0，故根据二分法的思想，知函数f（x）的零点在区间（1.25，1.375）内，但区间（1.25，1.375）的长度为0.125>0．1，因此需要取（1.25，1.375）的中点1.3125，两个区间（1.25，1.3125）和（1.3125，1.375）中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.0625<0．1，因此1.3125是一个近似解．
【第3课时】
函数模型的应用
【教学目标】
【核心素养】
1．会利用已知函数模型解决实际问题．（重点）
2．能建立函数模型解决实际问题．（重点、难点）
3．了解拟合函数模型并解决实际问题．（重点）
通过本节内容的学习，使学生认识函数模型的作用，提高学生数学建模、数据分析的素养．
【教学过程】
一、新知初探
1．常用函数模型
常用函数模型
（1）一次函数模型
y＝kx＋b（k，b为常数，k≠0）
（2）二次函数模型
y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）
（3）指数函数模型
y＝bax＋c（a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1）
（4）对数函数模型
y＝mlogax＋n（m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1）
（5）幂函数模型
y＝axn＋b（a，b为常数，a≠0）
（6）分段函数模型
y＝
2．建立函数模型解决问题的基本过程
思考：解决函数应用问题的基本步骤是什么？
提示：利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：
（一）审题；（二）建模；（三）求模；（四）还原．
这些步骤用框图表示如图：
二、初试身手
1．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是（
）
x
4
5
6
7
8
9
10
y
15
17
19
21
23
25
27
A．一次函数模型
B．二次函数模型
C．指数函数模型
D．对数函数模型
答案：A
解析：自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．故选A．
2．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y（只）与引入时间x（年）的关系为y＝alog2（x＋1），若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到（
）
A．300只
B．400只
C．600只
D．700只
答案：A
解析：将x＝1，y＝100代入y＝alog2（x＋1）得，100＝alog2（1＋1），解得a＝100．所以x＝7时，y＝100log2（7＋1）＝300．
3．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是（
）
A．y＝0.3x＋800（0≤x≤2000）
B．y＝0.3x＋1
600（0≤x≤2000）
C．y＝－0.3x＋800（0≤x≤2000）
D．y＝－0.3x＋1600（0≤x≤2000）
答案：D
解析：由题意知，变速车存车数为（2000－x）辆次，则总收入y＝0.5x＋（2000－x）×0.8＝－0.3x＋1600（0≤x≤2000）．
4．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的利润y与营运年数x（x∈N）为二次函数关系（如图），则客车有营运利润的时间不超过________年．
答案：7
解析：设二次函数y＝a（x－6）2＋11，又过点（4，7），
所以a＝－1，即y＝－（x－6）2＋11．
解y≥0，得6－≤x≤6＋，所以有营运利润的时间为2．又6<2<7，所以有营运利润的时间不超过7年．]
三、合作探究
利用已知函数模型解决实际问题
类型1
例1：物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝（T0－Ta）×，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期，现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃需要20min，那么降温到32℃时，需要多长时间？
解：先设定半衰期h，由题意知
40－24＝（88－24）×，
即＝，
解之，得h＝10，故原式可化简为
T－24＝（88－24）×，
当T＝32时，代入上式，得
32－24＝（88－24）×，
即＝＝＝3，∴t＝30．
因此，需要30min，可降温到32℃．
规律方法
已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值．
跟踪训练
1．某种商品在近30天内每件的销售价格P（元）和时间t（天）的函数关系为：
P＝（t∈N
）
设该商品的日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系为Q＝40－t（0），求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天？
解：设日销售金额为y（元），则y＝PQ，
所以y＝（t∈N
）
①当0时，y＝－（t－10）2＋900，
所以当t＝10时，ymax＝900（元）．
②当25≤t≤30且t∈N
时，y＝（t－70）2－900，
所以当t＝25时，ymax＝1125（元）．
结合①②得ymax＝1125（元）．
因此，这种商品日销售额的最大值为1
125元，且在第25天时日销售金额达到最大．
自建确定性函数模型解决实际问题
类型2
例2：牧场中羊群的最大畜养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y只和实际畜养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k（k>0）．
（1）写出y关于x的函数解析式，并指出这个函数的定义域；
（2）求羊群年增长量的最大值．
思路点拨：―→―→
解：（1）根据题意，由于最大畜养量为m只，实际畜养量为x只，则畜养率为，故空闲率为1－，由此可得y＝kx（0（2）对原二次函数配方，得y＝－（x2－mx）
＝－2＋，即当x＝时，y取得最大值．
母题探究
1．（变条件）若将本例“与空闲率的乘积成正比”改为“与空闲率的乘积成反比”又如何表示出y关于x的函数解析式？
解：根据题意，由于最大畜养量为m只，实际畜养量为x只，则畜养率为，故空闲率为1－，因为羊群的年增长量y只和实际畜养量x只与空闲率的乘积成反比，由此可得y＝（02．（变结论）若本例条件不变，求当羊群的年增长量达到最大值时，k的取值范围．
解：由题意知为给羊群留有一定的生长空间，
则有实际畜养量与年增长量的和小于最大畜养量，即0因为当x＝时，ymax＝，所以0<＋0，所以0规律方法
自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”．
求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务．
设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量．
列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等．
限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等．
拟合数据构建函数模型解决实际问题
类型3
探究问题
1．实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系吗？
提示：不一定．
2．对于收集的一组样本数据：（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），…，（xn，yn）我们常对其如何操作，以发现其所隐含的规律？
提示：常先画上述数据的散点图，再借助其变化趋势，结合我们已学习的函数模型，对数据作出合理的分析，从中找出所隐含的规律．
例3：某企业常年生产一种出口产品，自2015年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2015年为第1年，前4年年产量f（x）（万件）如下表所示：
x
1
2
3
4
f（x）
4.00
5.58
7.00
8.44
（1）画出2015～2018年该企业年产量的散点图；
（2）建立一个能基本反映（误差小于0.1）这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；
（3）2019年（即x＝5）因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2019年的年产量为多少？
思路点拨：→
解：（1）画出散点图，如图所示．
（2）由散点图知，可选用一次函数模型．
设f（x）＝ax＋b（a≠0）．由已知得解得
∴f（x）＝1.5x＋2.5．
检验：f（2）＝5.5，且|5.58－5.5|＝0.08<0.1，
f（4）＝8.5，且|8.44－8.5|＝0.06<0.1．
∴一次函数模型f（x）＝1.5x＋2.5能基本反映年产量的变化．
（3）根据所建的函数模型，预计2019年的年产量为f（5）＝1.5×5＋2.5＝10万件，又年产量减少30%，即10×70%＝7万件，即2019年的年产量为7万件．
规律方法
函数拟合与预测的一般步骤：
1．根据原始数据、表格，绘出散点图．
2．通过考察散点图，画出拟合直线或拟合曲线．
3．求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
4．利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．
跟踪训练
2．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表：
身高/cm
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
体重/kg
6.13
7.90
9.90
12.15
15.02
17.50
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
（1）根据表中提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式；
（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？
解：（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图．
根据点的分布特征，可考虑以y＝a·bx作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型．
取其中的两组数据（70，7.90），（160，47.25），代入y＝a·bx得：
用计算器算得a≈2，b≈1.02．
这样，我们就得到一个函数模型：y＝2×1.02x．
将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系．
（2）将x＝175代入y＝2×1.02x得y＝2×1.02175，由计算器算得y≈63.98．由于78÷63.98≈1.22>1.2，所以，这个男生偏胖．
四、课堂小结
1．函数的应用，实质上是函数思想方法的应用，其处理问题的一般方法是根据题意，先构建函数，把所给问题转化为对函数的图象和性质的研究，从而间接求出所需要的结论．
2．解函数应用问题的步骤（四步八字）
（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
（3）求模：求解数学模型，得出数学结论；
（4）还原：将数学问题还原为实际问题．
五、当堂达标
1．思考辨析
（1）银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来表述．（
）
（2）在函数建模中，散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型．（
）
（3）当不同的范围下，对应关系不同时，可以选择分段函数模型．（
）
答案：（1）√（2）√（3）√
2．根据日常生活A、B、C、D四个实际问题，现各收集到的五组数据在平面直角坐标系中画出的散点图（如图所示），能够构建对数函数模型解决实际问题且拟合度较高的是（
）
A
B
C
D
答案：B
3．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是（
）
A．y＝0.9576
B．y＝（0.9576）100x
C．y＝x
D．y＝1－0.0424
答案：A
解析：由题意可知y＝（95.76%），即y＝0.957
6．]
4．已知A，B两地相距150km，某人开汽车以60km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50km/h的速度返回A地．
（1）把汽车离开A地的距离s表示为时间t的函数（从A地出发时开始），并画出函数的图象；
（2）把车速v（km/h）表示为时间t（h）的函数，并画出函数的图象．
解：（1）①汽车由A地到B地行驶t
h所走的距离s＝60t（0≤t≤2.5）．
②汽车在B地停留1小时，则汽车到A地的距离s＝150（2.5＜t≤3.5）．
③由B地返回A地，则汽车到A地的距离s＝150－50（t－3.5）＝325－50t（3.5＜t≤6.5）．
综上，s＝
它的图象如图（1）所示．
（1）
（2）
（2）速度v（km/h）与时间t（h）的函数关系式是v＝它的图象如图（2）所示．
22
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