数学人教A版（2019）必修第一册 教案 5.6函数y=Asin(ωx+φ)

函数y＝Asin（ωx＋φ）
【教学目标】
【核心素养】
1．理解参数A，ω，φ对函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象的影响；能够将y＝sinx的图象进行变换得到y＝Asin（ωx＋φ），x∈R的图象．（难点）
2．能根据y＝Asin（ωx＋φ）的部分图象，确定其解析式．（重点）
3．求函数解析式时φ值的确定．（易错点）
1．通过函数图象的变换，培养直观想象素养．
2．借助函数的图象求解析式，提升数学运算素养．
【教学过程】
一、新知初探
1．φ对y＝sin（x＋φ），x∈R的图象的影响
2．ω（ω＞0）对y＝sin（ωx＋φ）的图象的影响
3．A（A＞0）对y＝Asin（ωx＋φ）的图象的影响
二、初试身手
1．把函数y＝sinx的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式为（
）
A．y＝sinx－
B．y＝sinx＋
C．y＝sin
D．y＝sin
答案：D
解析：根据图象变换的方法，y＝sinx的图象向左平移个单位长度后得到y＝sin的图象．
2．为了得到函数y＝4sin，x∈R的图象，只需将函数y＝4sin，x∈R的图象上的所有点（
）
A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变
答案：A
解析：函数y＝4sin的图象上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝4sin的图象．]
3．函数y＝Asin（ωx＋φ）＋1（A＞0，ω＞0）的最大值为5，则A＝________．
答案：4
解析：由已知得A＋1＝5，故A＝4．
三、合作探究
三角函数图象之间的变换
类型1
例1：（1）将函数y＝cos的图象向左平移个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的解析式为________．
（2）将y＝sinx的图象怎样变换可得到函数y＝2sin2x＋＋1的图象？
思路点拨：（1）依据左加右减；上加下减的规则写出解析式．
（2）法一：y＝sinx→纵坐标伸缩→横坐标伸缩和平移→向上平移．
法二：左右平移→横坐标伸缩→纵坐标伸缩→上下平移．
答案：（1）y＝－cos2x－3
y＝cos的图象向左平移个单位长度，
得y＝cos＝cos（2x＋π）＝－cos2x，
再向下平移3个单位长度得y＝－cos2x－3的图象．]
（2）解：法一：（先伸缩法）①把y＝sinx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sinx的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得y＝2sin2x的图象；③将所得图象沿x轴向左平移个单位，得y＝2sin2的图象；
④将所得图象沿y轴向上平移1个单位，
得y＝2sin＋1的图象．
法二：（先平移法）①将y＝sinx的图象沿x轴向左平移个单位，得y＝sin的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得y＝sin的图象；③把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来2倍，得到y＝2sin的图象；④将所得图象沿y轴向上平移1个单位，得y＝2sin＋1的图象．
规律方法
由y＝sinx的图象，通过变换可得到函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的图象，其变化途径有两条：
（1）y＝sinxy＝sin（x＋φ）y＝sin（ωx＋φ）y＝Asin（ωx＋φ）．
（2）y＝sinxy＝sinωxy＝sin＝sin（ωx＋φ）y＝Asin（ωx＋φ）．
提醒：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：（1）是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．（2）是先周期变换后相位变换，平移个单位，这是很易出错的地方，应特别注意．
跟踪训练
1．（1）要得到y＝cos的图象，只要将y＝sin2x的图象（
）
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
（2）把函数y＝f（x）的图象上各点向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的倍，所得图象的解析式是y＝2sin，则f（x）的解析式是（
）
A．f（x）＝3cosx
B．f（x）＝3sinx
C．f（x）＝3cosx＋3
D．f（x）＝sin3x
答案：（1）A（2）A
解析：（1）因为y＝cos
＝sin＝sin
＝sin2，
所以将y＝sin2x的图象向左平移个单位，
得到y＝cos的图象．
（2）y＝2siny＝3sin
y＝3sin
y＝3sin
＝3sin
＝3cosx．
已知函数图象求解析式
类型2
例2：（1）已知函数f（x）＝Acos（ωx＋φ）＋B的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（
）
A．y＝2cos＋4
B．y＝2cos＋4
C．y＝4cos＋2
D．y＝4cos＋2
（2）函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）中A＞0，ω＞0，|φ|＜，且图象如图所示，求其解析式．
思路点拨：由最大（小）值求A和B，由周期求ω，由特殊点坐标解方程求φ．
答案：（1）A
由函数f（x）的最大值和最小值得
A＋B＝6，－A＋B＝2，所以A＝2，B＝4，
函数f（x）的周期为×4＝4π，又ω＞0，
所以ω＝，又因为点在函数f（x）的图象上
所以6＝2cos＋4，所以cos＝1，
所以＋φ＝2kπ，k∈Z，所以φ＝2kπ－，k∈Z，又|φ|＜
所以φ＝－，所以f（x）＝2cos＋4．
（2）解：法一：（五点作图原理法）由图象知，振幅A＝3，T＝－＝π，所以ω＝2，又由点，根据五点作图原理（可判为“五点法”中的第一点）－×2＋φ＝0得φ＝，
所以f（x）＝3sin．
法二：（方程法）由图象知，振幅A＝3，T＝－＝π，所以ω＝2，
又图象过点，
所以f＝3sin＝0，
所以sin＝0，－＋φ＝kπ（k∈Z），又因为|φ|＜，所以k＝0，φ＝，所以f（x）＝3sin．
法三：（变换法）由图象知，振幅A＝3，T＝－＝π，所以ω＝2，且f（x）＝Asin（ωx＋φ）是由y＝3sin2x向左平移个单位而得到的，解析式为f（x）＝3sin＝3sin．
规律方法
确定函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式的关键是φ的确定，常用方法有：
?1．代入法：把图象上的一个已知点代入?此时A，ω已知（或代入图象与x轴的交点求解）此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上?．
?2．五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口．“五点”的ωx＋φ的值具体如下：“第一点”?即图象上升时与x轴的交点?为ωx＋φ＝0；“第二点”?即图象的“峰点”?为ωx＋φ＝；“第三点”?即图象下降时与x轴的交点?为ωx＋φ＝π；“第四点”?即图象的“谷点”?为ωx＋φ＝；“第五点”为ωx＋φ＝2π．
跟踪训练
2．已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ），x∈R的图象与x轴的交点中，相邻两个交点的距离为，且图象上一个最低点为M，求f（x）的解析式．
解：由最低点M，得A＝2．
在x轴上两相邻交点之间的距离为，故＝，即T＝π，ω＝＝＝2．
由点M在图象上得
2sin＝－2，即sin＝－1，故＋φ＝2kπ－（k∈Z），
∴φ＝2kπ－（k∈Z）．又φ∈，
∴φ＝．故f（x）＝2sin．
三角函数图象与性质的综合应用
类型3
探究问题
1．如何求函数y＝Asin（ωx＋φ）与y＝Acos（ωx＋φ）的对称轴方程？
提示：与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y＝Asin（ω＋φ）和y＝Acos（ωx＋φ）的图象的对称轴通过函数图象的最值点且垂直于x轴．
函数y＝Asin（ωx＋φ）对称轴方程的求法：令sin（ωx＋φ）＝±1，得ωx＋φ＝kπ＋（k∈Z），则x＝（k∈Z），所以函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象的对称轴方程为x＝（k∈Z）；
函数y＝Acos（ωx＋φ）对称轴方程的求法：令cos（ωx＋φ）＝±1，得ωx＋φ＝kπ（k∈Z），则x＝（k∈Z），所以函数y＝Acos（ωx＋φ）的图象的对称轴方程为x＝（k∈Z）．
2．如何求函数y＝Asin（ωx＋φ）与y＝Acos（ωx＋φ）的对称中心？
提示：与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y＝Asin（ωx＋φ）和y＝Acos（ωx＋φ）图象的对称中心即函数图象与x轴的交点．
函数y＝Asin（ωx＋φ）对称中心的求法：令sin（ωx＋φ）＝0，得ωx＋φ＝kπ（k∈Z），则x＝（k∈Z），所以函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象关于点（k∈Z）成中心对称；
函数y＝Acos（ωx＋φ）对称中心的求法：令cos（ωx＋φ）＝0，得ωx＋φ＝kπ＋（k∈Z），则x＝（k∈Z），所以函数y＝Acos（ωx＋φ）的图象关于点（k∈Z）成中心对称．
例3：（1）已知函数f（x）＝sin（ω＞0），若f＝f，且f（x）在区间上有最小值，无最大值，则ω＝（
）
A．
B．
C．
D．
（2）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0,0≤φ＜π）是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．
思路点拨：（1）先由题目条件分析函数f（x）图象的对称性，何时取到最小值，再列方程求ω的值．
（2）先由奇偶性求φ，再由图象的对称性和单调性求ω．
答案：（1）B
因为f＝f，所以直线x＝＝是函数f（x）图象的一条对称轴，
又因为f（x）在区间上有最小值，无最大值，
所以当x＝时，f（x）取得最小值．
所以ω＋＝2kπ－，k∈Z，解得ω＝8k－，（k∈Z）
又因为T＝≥－＝，所以ω≤12，又因为ω＞0，
所以k＝1，即ω＝8－＝．]
（2）解：由f（x）是偶函数，得f（－x）＝f（x），即函数f（x）的图象关于y轴对称，
∴f（x）在x＝0时取得最值，即sinφ＝1或－1．
依题设0≤φ＜π，∴解得φ＝．
由f（x）的图象关于点M对称，可知
sin＝0，即ω＋＝kπ，解得ω＝－，k∈Z．
又f（x）在上是单调函数，
所以T≥π，即≥π．
∴ω≤2，又ω＞0，
∴k＝1时，ω＝；k＝2时，ω＝2．
故φ＝，ω＝2或．
母题探究
1．将本例（2）中“偶”改为“奇”，“其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数”改为“在区间上为增函数”，试求ω的最大值．
解：因为f（x）是奇函数，所以f（0）＝sinφ＝0，又0≤φ＜π，所以φ＝0．
因为f（x）＝sinωx在上是增函数．
所以?，
于是，解得0＜ω≤，
所以ω的最大值为．
2．本例（2）中增加条件“ω＞1”，求函数y＝f2（x）＋sin2x，x∈的最大值．
解：由条件知f（x）＝sin＝cos2x，
由x∈得2x∈，
sin2x∈
y＝f2（x）＋sin2x＝cos22x＋sin2x＝1－sin22x＋sin2x＝－（sin2x－）2＋
所以当sin2x＝时ymax＝．
规律方法
1．正弦余弦型函数奇偶性的判断方法
正弦型函数y＝Asin（ωx＋φ）和余弦型函数y＝Acos（ωx＋φ）不一定具备奇偶性．对于函数y＝Asin（ωx＋φ），当φ＝kπ（k∈Z）时为奇函数，当φ＝kπ±（k∈Z）时为偶函数；对于函数y＝Acos（ωx＋φ），当φ＝kπ（k∈Z）时为偶函数，当φ＝kπ±（k∈Z）时为奇函数．
2．与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧
（1）结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
（2）确定函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asinz的单调区间而求出函数的单调区间．若ω＜0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间．
四、课堂小结
1．准确理解“图象变换法”
（1）由y＝sinx到y＝sin（x＋φ）的图象变换称为相位变换，由y＝sinx到y＝sinωx图象的变换称为周期变换；由y＝sinx到y＝Asinx图象的变换称为振幅变换．
（2）由y＝sinx的图象，通过变换可得到函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象，其变换途径有两条，注意两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：①是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．②是先周期变换后相位变换，平移个单位，这是很易出错的地方，应特别注意．
（3）类似地y＝Acos（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的图象也可以由y＝cosx的图象变换得到．
2．由y＝Asin（ωx＋φ）的图象性质或部分图象确定解析式的关键在于确定参数A，ω，φ．其基本方法是在观察图象的基础上，利用待定系数法求解．
五、当堂达标
1．思考辨析
（1）y＝sin3x的图象向左平移个单位所得图象的解析式是y＝sin．（
）
（2）y＝sinx的图象上所有点的横坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y＝sin2x．（
）
（3）y＝sinx的图象上所有点的纵坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y＝sinx．（
）
[提示：（1）错误．y＝sin3x的图象向左平移个单位得y＝sin＝sin．
（2）错误．y＝sin2x应改为y＝sinx．
（3）错误．y＝sinx应改为y＝2sinx．
答案：（1）×（2）×（3）×
2．函数y＝cosx图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cosωx，则ω的值为________．
答案：
解析：函数y＝cosxy＝cosx．所以ω＝．
3．由y＝3sinx的图象变换到y＝3sin的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移________个单位，后者需向左平移________个单位．
答案：；
解析：y＝3sinxy＝3sin
y＝3sin，
y＝3sinxy＝3sin
y＝3sin＝3sin.]
4．已知函数f(x)＝3sin＋3(x∈R)，用图象变换法画出它在一个周期内的闭区间上的图象．
解：
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