信阳市2022届高三上学期升级考试
数学（理科）试题
（测试时间：120分钟卷面总分：150分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。
2．全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数z满足z·（1＋2i）＝i，则复数z的共轭复数所对应的点位于复平面的
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．已知函数f（x）＝sinx－cosx，则＝
A．cosx－sinx
B．sinx－cosx
C．cosx＋sinx
D．－cosx－sinx
3．用反证法证明命题“自然数a，b，c中至少有一个偶数”，则证明的第一步，其正确的反设为
A．a，b，c都是奇数
B．a，b，c都是偶数
C．a，b，c至少有一个奇数
D．a，b，c至多有一个偶数
4．有一散点图如图所示，在5个（x，y）数据中去掉D（3，
10）后，给出下列说法：
①相关系数r变大；②相关指数R2变大；
③残差平方和变小；④解释变量x与预报变量y的相关性
变强．
其中正确说法的个数为
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5．若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为
A．－162
B．－540
C．162
D．5670
6．函数f（x）＝ln（2x－x2）＋x的单调递减区间为
A．（，＋∞）
B．（0，）
C．（，2）
D．（0，2）
7．与的关系为
A．＜
B．＞
C．＝
D．无法确定
8．在桥梁设计中，桥墩一般设计成圆柱形，因为其各向受力均衡，而且在相同截面下，浇筑用模最省．假设一桥梁施工队在浇筑桥墩时，采用由内向外扩张式浇筑，即保持圆柱高度不变，截面半径逐渐增大，设圆柱半径关于时间变化的函数为R（t）．若圆柱的体积以均匀速度c增长，则圆柱的侧面积的增长速度与圆柱半径
A．成正比，比例系数为c
B．成正比，比例系数为c2
C．成反比，比例系数为c
D．成反比，比例系数为c2
9．2020年初，新型冠状肺炎在欧洲爆发后，我国第一时间内向相关国家捐助医疗物资，并派出由医疗专家组成的医疗小组奔赴相关国家．现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件A＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B＝“小组甲独自去一个国家”，则P（A｜B）＝
A．
B．
C．
D．
10．已知，x∈（0，＋∞）恰有一个极值点1，则t的取值范围是
A．（－∞，]∪{}
B．（－∞，]
C．[0，]∪{}
D．（－∞，]
11．我们知道，在n次独立重复试验（即伯努利试验）中，每次试验中事件A发生的概率为p，则事件A发生的次数X服从二项分布B（n，p），事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件A首次发生时试验进行的次数Y，显然P
（Y＝k）＝p（1－p）k－1，k＝1，2，3，…，我们称Y服从“几何分布”，经计算得E（Y）＝．由此推广，在无限次伯努利试验中，试验进行到事件A和都发生后停止，此时所进行的实验次数记为Z，则P（Z＝k）＝（1－p）k－1p＋pk－1（1－p），k＝2，3，…，那么E（Z）＝
A．
B．
C．
D．
12．已知函数，g（x）＝xe－x，若存在x1∈（0，＋∞），x2∈R，使得f（x1）＝g（x2）＝k（k＜0）成立，则的最大值为
A．e2
B．e
C．
D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．经研究发现：任意一个三次多项式函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a≠0）的图象都只有一个对称中心点（x0，f（x0）），其中x0是＝0的根，是f（x）的导数，是的导数．若函数f（x）＝x3＋ax2＋x＋b图象的对称中心点为（－1，2），则a，b的值依次为__________．
14．2021年1月某校高三年级1600名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩X～N（100，σ2）（试卷满分为150分）．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为__________．
15．我们知道，当a＞b＞c时，可以得到不等式≥，当a＞b＞c＞d时，可以得到不等式≥，由此可以推广：当a1＞a2＞a3＞…＞an时，其中，n≥3，得到的不等式是__________．
16．已知，则曲线y＝f（x）在（0，f（0））处的切线方程为__________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）
已知i为虚数单位，关于x的方程x2－px＋10＝0（p∈R）的两根分别为x1，x2．若x1
＝3＋i，求实数p的值．
18．（本题满分12分）
设f（n）＝（a＋b）n（，n≥2），若f（n）的展开式中，存在某连续3项，其二
项式系数依次成等差数列，则称f（n）具有性质P．
（1）求证：f（7）具有性质P．
（2）若存在n≤2016，使f（n）具有性质P，求n的最大值．
19．（本题满分12分）
某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x（单
位：万元）和收益（单位：万元）的数据如下表：
他们分别用两种模型①y＝bx＋a，②y＝aebx分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如下图所示的残差图及一些统计量的值．
（1）根据残差图，比较模型①②的拟合效果，应该选择哪个模型?请说明理由．
（2）残差绝对值大于2的数据认为是异常数据，需要剔除．
①剔除异常数据后求出（1）中所选模型的回归方程；
②若广告投入量x＝18，求该模型收益的预报值是多少?
20．（本题满分12分）
已知是函数f（x）的导函数，且f（－x）＝f（x），当x≥0时，＞3x．
（1）证明：当x≥0时，函数g（x）＝f（x）－x2是增函数；
（2）解不等式f（x）－f（x－1）＜．
21．（本题满分12分）
某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测
试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，
“不合格”记0分．现随机抽取部分学生的成绩，统计结果及对应的频率分布直方图如
下所示：
（1）若测试的同学中，分数段[20，40）、[40，60）、[60，80）、[80，100]女生的人数分别为2人、8人、16人、4人，完成2×2列联表，并判断：是否有90％以上的把握认为性别与安全意识有关?
（2）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中，共选取10人进行座谈，现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为X，求X的分布列及数学期望E（X）；
（3）某评估机构以指标M（M＝，其中D（X）表示X的方差）来评估该校安全教育活动的成效，若M≥0．7，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案．在（2）的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案?
22．（本题满分12分）
已知，是f（x）的导数．
（1）求f（x）的极值；
（2）令，若y＝g（x）的函数图像与x轴有三个不同的交点，求实数k的取值范围．数学(理科)试题参考答案
选择题
答案
意得
所对应的点
第四象限.故选D
函数f(x)的定义域为
常见导数
数的四
所以当
有一个偶数”的否定为“自然数
注意f
关系数
残差平方和变
所以若
数
解
解
所以函数
以
故选
为f
称
所以圆柱的側面积
增长速度
半径成
比例
故选
所以其正态曲线关于直线
9.由题
分之间的人数约为总人数的
所以成绩
学生人数占总人数的
等式是
值
线
线方程为
代入关
方程x2-px
选
开式中第
差数列,所以
具有性质
数学(理科)试题参考答案第
所以Ⅹ可能的取值为
所
全平方数
所
最大值为
或
分
该选择模型
为模型①的残差点比较均匀
水平的带状区域
模型①的带状区域比模型②
状区域窄,所以模
拟合精度高
①剔除异常数据,即3月份的数据后
听以y关
方程为
分
故预报值为6
全教育
有效的,不需要调整
安全教育方案
变化如下表所
是增函数
分
知g(x)
个不同的解,即
解
分
频率分布直方图可知,得分
x)单调递减
(x)单调递增,又当
学生答卷总数为
∞时
分
联表为
不合格
总计
总
即在犯错误概率不超过
提下,不能认为性
4分数
注:考虑学生只是高二年级,故参考
数学(理科)试题参考答案第2页共
谨的证明过程(即取点证明
当
存在唯
)使
所以当
的函数图象
有三个不同的交点
数学(理科)试题参考答案第3页共
