勾股定理的应用
【知识点考查题】
一、容易题
1．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8
m处，发现此时绳子末端距离地面2
m，则旗杆的高度为(滑轮上方的部分忽略不计)(
)
12
m
B.
13
m
C.
16
m
D.
17
m
2．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树稍飞到另一棵树的树稍，问小鸟至少要飞行（
）
A.
6米
B.
8米
C.
10米
D.
14米
二、中等题
3．一写字楼发生火灾，消防车立即赶到距大楼9米的点A处，升起云梯到发生火灾的窗口点C处．已知云梯BC长15米，云梯底部B距地面A为2.2米．问发生火灾的窗口距地面有多少米？
4．中国古代对勾股定理有深刻的认识．
(1)三国时代吴国数学家赵爽第一次对勾股定理加以证明：用四个全等的图1所示的直角三角形拼成一个图2所示的大正方形，中间空白部分是一个小正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a，b，求(a＋b)2的值；
(2)清朝的康熙皇帝对勾股定理也很有研究，他著有《积求勾股法》：用现代的数学语言描述就是：若直角三角形的三边长分别为3，4，5的整数倍，设其面积为S，则求其边长的方法为：第一步＝m；第二步：
＝k；第三步：分别用3，4，5乘k，得三边长．当面积S等于150时，请用“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长．
5．卡菲尔德（Garfeild，1881年任美国第二十届总统）利用下图证明了勾股定理（1876年4月1日，发表在《新英格兰教育日志》上），现在请你尝试他的证明过程证明勾股定理.（四边形ABDE为直角梯形，∠B和∠D为直角）
【技能技巧考查题】
一、中等题
6．由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴侵袭.近日A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正西方向240km的B处（如图），以每小时12km的速度向北偏东60°方向移动.距沙尘暴中心150km的范围为受影响区域.
（1）A城是否受到这次沙尘暴的影响?为什么?
（2）若A城受这次沙尘暴的影响，那么A城遭受沙尘暴的影响时间有多长?
7．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°D为AB边上一点.
求证：（1）△ACE△BCD；
（2）AD2+DB2=DE2
二、较难题
8．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米?若楼梯宽2米，地毯每平方米30元，那么这块地毯需花多少元?
9．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树高。
10．如图所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积和为_________
【知识点考查题】
一、容易题
1．如图，一根长5米的竹竿AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为4米，如果竹竿的顶端A沿墙下滑1米，竹竿底端B外移的距离BD（
）
A.
等于1米
B.
大于1米
C.
小于1米
D.
以上都不对
2．如图，将一根长为22cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是
（
?
?）．
A.
9cm≤h≤10cm
B.
10cm≤h≤11cm
C.
12cm≤h≤13cm
D.
8cm≤h≤9cm
3．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm、BC=8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（
）
A．4cm
B．5cm
C．6cm
D．10cm
二、中等题
4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=CD=8，过点B作EB⊥AB，交CD于点E．若DE=6，则AD的长为（
）
A．6
B．8
C．9
D．10
5．如图所示，一圆柱高8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（
）
A．20cm
B．10cm
C．14cm
D．无法确定
6．如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
7．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若cm，cm，则S△ABC为（
）．
A.24cm2
B.36cm2
C.48cm2
D.60cm2
8．在高5m，长13m的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，地毯的长度至少需要
m．
【技能技巧考查题】
一、中等题
9．暑假中，小明和同学们到某海岛去探宝旅游，按照如图所示的路线探宝.
他们登陆后先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走6km处往东一拐，仅走1km就找到了宝藏，则登陆点到埋宝藏点的直线距离为
km．
10．如图，一旗杆被大风刮断，旗杆的顶部着地点到旗杆底部的距离为4m，折断点离旗杆底部的高度为3m，则旗杆的高度为______m.
11．如图，将长AB=5cm，宽AD=3cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，折痕为EF，则AE长为
cm．
12．如图，长方体中，AB=12m，BC=2m，BB=3m，一只蚂蚁从点A出发，以4cm/秒的速度沿长方体表面爬行到点C′，至少需要
分钟。
13．如图是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②′，…，依此类推，若正方形①的边长为64cm，则正方形⑦的边长为
cm。
二、较难题
14．如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为
．
15．如图，△ABC是边长6的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上均速移动，它们的速度分别为Vp=2cm/s，
VQ=1cm/s，当点P到达点B时，
P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t=___
s时，△PBQ为直角三角形.
16．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力。如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点
C为一海港，且点
C与直线
AB上两点A,B的距离分别为300km和400km，又
AB=500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域。
（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？
17．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE．
（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；
（2）求证：BG2﹣GE2=EA2．
18．如图，一个高16m，底面周长8m的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为了减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少多长？
19．如图，已知直角△ABC的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，求图中阴影部分的面积．
20．在印度数学家拜·什迦罗的著作中，记载了一个有趣的“荷花问题”平平湖水清可鉴，水上一尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位五尺远；能算诸君请解题，湖水深浅知几何？请你用学过的数学知识回答这个问题。
答案第1页，总3页勾股定理的应用
【知识点考查题】
一、容易题
1．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8
m处，发现此时绳子末端距离地面2
m，则旗杆的高度为(滑轮上方的部分忽略不计)(
)
12
m
B.
13
m
C.
16
m
D.
17
m
【答案】D
【考点】勾股定理的应用
【考查能力】运算求解能力
2．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树稍飞到另一棵树的树稍，问小鸟至少要飞行（
）
A.
6米
B.
8米
C.
10米
D.
14米
【答案】C
【考点】勾股定理的应用
【考查能力】运算求解能力
二、中等题
3．一写字楼发生火灾，消防车立即赶到距大楼9米的点A处，升起云梯到发生火灾的窗口点C处．已知云梯BC长15米，云梯底部B距地面A为2.2米．问发生火灾的窗口距地面有多少米？
【答案】发生火灾的窗口距地面有14.2米．
【考点】勾股定理的应用
【考查能力】运算求解能力
4．中国古代对勾股定理有深刻的认识．
(1)三国时代吴国数学家赵爽第一次对勾股定理加以证明：用四个全等的图1所示的直角三角形拼成一个图2所示的大正方形，中间空白部分是一个小正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a，b，求(a＋b)2的值；
(2)清朝的康熙皇帝对勾股定理也很有研究，他著有《积求勾股法》：用现代的数学语言描述就是：若直角三角形的三边长分别为3，4，5的整数倍，设其面积为S，则求其边长的方法为：第一步＝m；第二步：
＝k；第三步：分别用3，4，5乘k，得三边长．当面积S等于150时，请用“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长．
【答案】（1）25；（2）这个直角三角形的三边长为15，20，25.
【考点】勾股定理的应用
【考查能力】运算求解能力
5．卡菲尔德（Garfeild，1881年任美国第二十届总统）利用下图证明了勾股定理（1876年4月1日，发表在《新英格兰教育日志》上），现在请你尝试他的证明过程证明勾股定理.（四边形ABDE为直角梯形，∠B和∠D为直角）
【答案】证明：由题可知梯形面积为?
此梯形的面积还可以看成是三个直角三角形的面积和，即?：
因此?
即
【考点】勾股定理的应用
【考查能力】运算求解能力
【技能技巧考查题】
一、中等题
6．由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴侵袭.近日A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正西方向240km的B处（如图），以每小时12km的速度向北偏东60°方向移动.距沙尘暴中心150km的范围为受影响区域.
（1）A城是否受到这次沙尘暴的影响?为什么?
（2）若A城受这次沙尘暴的影响，那么A城遭受沙尘暴的影响时间有多长?
【答案】（1）A城将受这次沙尘暴的影响；（2）A城将受到这次沙尘暴的影响，影响的时间为15时.
【考点】勾股定理的应用
【考查能力】运算求解能力
7．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°D为AB边上一点.
求证：（1）△ACE△BCD；
（2）AD2+DB2=DE2
【答案】（1）∵∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACD+∠BCD=∠ACD+∠ACE，
即∠BCD=∠ACE，
∵BC=AC，DC=EC，
∴△ACE≌△BCD；
（2）∵△ACB是等腰直角三角形，
∴∠B=∠BAC=45°，
∵△ACE≌△BCD，
∴∠B=∠CAE=45°
∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°，
∴AD2+AE2=DE2，
由（1）知AE=DB，
∴AD2+DB2=DE2．
【考点】勾股定理的应用
【考查能力】运算求解能力
二、较难题
8．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米?若楼梯宽2米，地毯每平方米30元，那么这块地毯需花多少元?
【答案】7米，420元．
【考点】勾股定理的应用
【考查能力】运算求解能力
9．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树高。
【答案】高为15米
【考点】勾股定理的应用
【考查能力】运算求解能力
10．如图所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积和为_________
【答案】49cm2
【考点】勾股定理的应用
【考查能力】运算求解能力
【知识点考查题】
一、容易题
1．如图，一根长5米的竹竿AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为4米，如果竹竿的顶端A沿墙下滑1米，竹竿底端B外移的距离BD（
）
A.
等于1米
B.
大于1米
C.
小于1米
D.
以上都不对
2．如图，将一根长为22cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是
（
?
?）．
A.
9cm≤h≤10cm
B.
10cm≤h≤11cm
C.
12cm≤h≤13cm
D.
8cm≤h≤9cm
3．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm、BC=8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（
）
A．4cm
B．5cm
C．6cm
D．10cm
二、中等题
4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=CD=8，过点B作EB⊥AB，交CD于点E．若DE=6，则AD的长为（
）
A．6
B．8
C．9
D．10
5．如图所示，一圆柱高8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（
）
A．20cm
B．10cm
C．14cm
D．无法确定
6．如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
7．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若cm，cm，则S△ABC为（
）．
A.24cm2
B.36cm2
C.48cm2
D.60cm2
8．在高5m，长13m的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，地毯的长度至少需要
m．
【技能技巧考查题】
一、中等题
9．暑假中，小明和同学们到某海岛去探宝旅游，按照如图所示的路线探宝.
他们登陆后先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走6km处往东一拐，仅走1km就找到了宝藏，则登陆点到埋宝藏点的直线距离为
km．
10．如图，一旗杆被大风刮断，旗杆的顶部着地点到旗杆底部的距离为4m，折断点离旗杆底部的高度为3m，则旗杆的高度为______m.
11．如图，将长AB=5cm，宽AD=3cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，折痕为EF，则AE长为
cm．
12．如图，长方体中，AB=12m，BC=2m，BB=3m，一只蚂蚁从点A出发，以4cm/秒的速度沿长方体表面爬行到点C′，至少需要
分钟。
13．如图是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②′，…，依此类推，若正方形①的边长为64cm，则正方形⑦的边长为
cm。
二、较难题
14．如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为
．
15．如图，△ABC是边长6的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上均速移动，它们的速度分别为Vp=2cm/s，
VQ=1cm/s，当点P到达点B时，
P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t=___
s时，△PBQ为直角三角形.
16．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力。如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点
C为一海港，且点
C与直线
AB上两点A,B的距离分别为300km和400km，又
AB=500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域。
（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？
17．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE．
（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；
（2）求证：BG2﹣GE2=EA2．
18．如图，一个高16m，底面周长8m的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为了减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少多长？
19．如图，已知直角△ABC的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，求图中阴影部分的面积．
20．在印度数学家拜·什迦罗的著作中，记载了一个有趣的“荷花问题”平平湖水清可鉴，水上一尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位五尺远；能算诸君请解题，湖水深浅知几何？请你用学过的数学知识回答这个问题。
参考答案
1．A
2．A
3．B
4．D
5．B
6．C
7．A
8．17
9．10
10．8
11．3.4
12．3.25
13．8
14．20
cm
15．t=或
16．（1）海港C受台风影响.理由见解析.(2)
7小时.
17．(1)、BH=AC
(2)、
(2)、连接CG，
由(1)知，DB=CD，
∵F为BC的中点，
∴DF垂直平分BC，
∴BG=CG，
∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC，
∴EC=EA，
在Rt△CGE中，由勾股定理得：CG2﹣GE2=CE2，
∵CE=AE，BG=CG，
∴BG2﹣GE2=EA2．
18．20（米）
19．24
20．12尺
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
答案第2页，总2页
答案第2页，总3页
