北师大版数学九年级上册：1.1.1 菱形的定义及性质 同步练习（Word版 含答案）

1.1.1
菱形的定义及性质
一、选择题
1.菱形是轴对称图形,对称轴有
(　　)
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
2.如图K-1-1所示,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,则下列说法错误的是
(　　)
图K-1-1
A.AB∥DC
B.AC=BD
C.AC⊥BD
D.OA=OC
3.菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图K-1-2所示,点C的坐标是(6,0),点A的纵坐标是1,则点B的坐标是
(　　)
图K-1-2
A.(3,1)
B.(3,-1)
C.(1,-3)
D.(1,3)
4.如图K-1-3,已知某菱形花坛ABCD的周长是24
m,∠BAD=120°,则花坛对角线AC的长是(　　)
图K-1-3
A.6
m
B.6
m
C.3
m
D.3
m
5.[2020·陇南]
如图K-1-4所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的,根据实际需要可以调节A,E间的距离.若A,E间的距离调节到60
cm,菱形的边长AB=20
cm,则∠DAB的度数是
(　　)
图K-1-4
A.90°
B.100°
C.120°
D.150°
6.[2020·乐山]
如图K-1-5,在菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=120°,O是对角线BD的中点,过点O作OE⊥CD于点E,连接OA,则四边形AOED的周长为
(　　)
图K-1-5
A.9+2
B.9+
C.7+2
D.8
二、填空题
7.已知菱形ABCD的边长为5
cm,则其周长为　　　　cm.?
8.如图K-1-6所示,在菱形ABCD中,AC,BD相交于点O,若OA=AD,则菱形四个内角的度数依次为　　　　　　　　　.?
图K-1-6
9.如图K-1-7,已知菱形纸片ABCD,∠A=60°,P为AB的中点,折叠菱形纸片ABCD,使点C落在DP所在的直线上的点C'处,得到经过点D的折痕DE,则∠DEC=　　　　°.?
图K-1-7
10.如图K-1-8,已知菱形ABCD的两条对角线AC,BD的长分别是3和4,M,N分别是边BC,CD的中点,P是对角线BD上的一点,则PM+PN的最小值是　　　　.?
图K-1-8
11.已知菱形的一个内角为60°,一条对角线的长为4,则另一条对角线的长为　　　　.?
三、解答题
12.如图K-1-9,在△ABC中,AB=AC,点D,F分别在AB,AC上,点E在BC上,四边形ADEF是菱形.求证:BE=CE.
图K-1-9
13.如图K-1-10,在菱形ABCD中,AC,BD相交于点O,E为AB的中点,DE⊥AB,垂足为E.
(1)求∠ABC的度数;
(2)如果AC=4,求DE的长.
图K-1-10
14.如图K-1-11,已知菱形ABCD的对角线相交于点O,延长AB至点E,使BE=AB,连接CE.
(1)求证:BD=EC;
(2)若∠E=50°,求∠BAO的大小.
图K-1-11
15.已知:如图K-1-12,在菱形ABCD中,F是BC上任意一点,连接AF交对角线BD于点E,连接EC.
(1)求证:AE=EC;
(2)当∠ABC=60°,∠CEF=60°时,点F在线段BC上的什么位置?说明理由.
图K-1-12
16.
如图K-1-13,四边形ABCD是菱形,∠B=60°,∠EAF的两边与BC,DC分别交于点E,F,且∠EAF=60°.
(1)如图①,当E是线段BC的中点时,线段AE,EF,AF之间存在什么数量关系(直接写出结论)?
(2)如图②,当E是线段BC上任意一点时(点E不与点B,C重合),(1)中线段AE,EF,AF之间的数量关系还成立吗?请说明理由.
图K-1-13
参考答案
1.B
2.B
3.B　[解析]
如图,连接AB交OC于点D.
∵四边形OACB是菱形,∴AB⊥OC,AD=BD=1,OD=CD=OC=3,
∴点B的坐标是(3,-1).
故选B.
4.B　[解析]
易知△ABC为等边三角形,所以AC=AB=24÷4=6(m).
5.C
6.B
7.20
8.60°,120°,60°,120°　[解析]
因为四边形ABCD是菱形,
所以AC⊥BD,
所以∠AOD=90°.
又OA=AD,易得∠ADO=30°,
所以∠ADC=60°,
所以∠ABC=∠ADC=60°,∠BAD=∠BCD=120°.
9.75　[解析]
连接BD.∵四边形ABCD为菱形,∠A=60°,
∴△ABD为等边三角形,∠ADC=120°,∠C=60°.
∵P为AB的中点,
∴DP为∠ADB的平分线,即∠ADP=∠BDP=30°,∴∠PDC=90°,
∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°.
在△DEC中,∠DEC=180°-(∠CDE+∠C)=75°.
故答案为75.
10.　
[解析]
作点M关于BD的对称点Q,连接NQ,交BD于点P,此时PM+PN的值最小,如图所示.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,∠ABP=∠MBP,
即点Q在AB上.
∵MQ⊥BD,
∴AC∥MQ.
∵M为BC的中点,
∴Q为AB的中点.
∵N为CD的中点,四边形ABCD是菱形,
∴BQ∥CN,BQ=CN,
∴四边形BQNC是平行四边形,
∴NQ=BC.
∵四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD的长分别是3和4,
易得菱形ABCD的边长为,
∴NQ=,
∴此时PM+PN=PQ+PN=NQ=.
故答案为.
11.12或4
12.证明:∵四边形ADEF是菱形,
∴DE=FE,∠ADE=∠AFE,
∴∠BDE=∠CFE.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
在△DBE和△FCE中,
∵∠B=∠C,∠BDE=∠CFE,DE=FE,
∴△DBE≌△FCE(AAS),
∴BE=CE.
13.解:(1)∵E为AB的中点,DE⊥AB,
∴AD=BD.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,∴AD=BD=AB,
∴△ABD为等边三角形,
则∠DAB=60°.
∵在菱形ABCD中,AD∥BC,
∴∠ABC=180°-∠DAB=180°-60°=120°,
即∠ABC=120°.
(2)∵四边形ABCD是菱形,
∴BD⊥AC,AO=AC=×4=2.
由题意,得DE和AO都是等边三角形ABD的高,∴DE=AO=2.
14.解:(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=CD,AB∥CD.
∵延长AB至点E,使BE=AB,
∴BE=CD,BE∥CD,
∴四边形BECD是平行四边形,
∴BD=EC.
(2)∵四边形BECD是平行四边形,
∴BD∥EC,
∴∠ABO=∠E=50°.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,即∠AOB=90°,
∴∠BAO=180°-∠AOB-∠ABO=40°.
15.解:(1)证明:连接AC.
∵AC,BD是菱形ABCD的对角线,
∴BD垂直平分AC.
∵点E在对角线BD上,∴AE=EC.
(2)点F在线段BC的中点处.
理由:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=CB.
又∵∠ABC=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=60°.
∵AE=EC,∴∠EAC=∠ACE.
∵∠CEF=60°,
∴∠EAC=30°,
∴AF是△ABC的角平分线.
又∵△ABC是等边三角形,
∴BF=CF,
即点F在线段BC的中点处.
16.解:(1)AE=EF=AF.
(2)成立.
理由:如图,连接AC.
∵四边形ABCD是菱形,∠B=60°,
∴AB=BC=CD=AD,∠D=60°,
∴△ABC和△ADC都是等边三角形,
∴AB=AC,∠ACF=∠BAC=∠B=60°.
∵∠EAF=60°,
∴∠BAE+∠EAC=∠EAC+∠CAF,
∴∠BAE=∠CAF.
在△ABE和△ACF中,
∵∠BAE=∠CAF,AB=AC,∠B=∠ACF,
∴△ABE≌△ACF,
∴AE=AF.
又∵∠EAF=60°,
∴△AEF是等边三角形,
∴AE=EF=AF.