第
1
章
集合与逻辑
1.1
集合初步
1.1.3
集合之间的关系
【学习目标】
课程标准
学科素养
1、理解子集、真子集、空集的概念；（重点）2、能用符号和文氏（Venn）图表示集合间的关系；（难点）3、掌握列举有限集的所有子集的方法。
1、数学抽象：理解集合相等、子集、真子集概念的理解；2、逻辑推理：集合的子集、补集的辨析与应用；3、数学运算：会计算集合的子集、真子集的个数；4、直观想象：利用文氏（Venn）图表示集合相等以及集合间的关系；5、数字建模：通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义。
【自主学习】
问题导学
预习教材P6－P8，思考以下问题：
1、集合与集合之间的关系有哪几种？如何用符号表示这些关系？2、集合的子集是什么？真子集又是什么？如何用符号表示？3、有限集（含元素的个数为n∈N）的所有子集的个数、真子集的个数、非空真子集的个数等于什么？有没有规律
【知识梳理】
1、子集
（1）概念：对于两个集合A与B，如果集合A的每个元素
集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集（subset）；
（2）记作：A
B（或B
A）；
（3）读法：A
B（或“B
A”
）；
（4）文氏图表示：
2、真子集
（1）概念：对于两个集合A与B，如果A?B，并且B中至少有一个元素不属于A（即B不是A的子集），那么集合A称为集合B的真子集；
（2）记作：AB（或BA）；
（3）读法：A真包含于B（或“B真包含A”
）；
（4）文氏图表示：
【注意】1、在真子集的定义中，AB首先要满足A?B，其次至少有一个x∈B，但x?A；2、对常用的数集，有如下的包含关系：NZQR；3、对于集合的包含关系，有结论（1）A?A；（2）对于集合A，B，C，①如果A?B，B?C，则A?C；②如果AB，BC，则AC；（3）理解：?A（A是非空集合）；4、【以前与有些书上用得记号：AB或BA】
3、文氏图（维恩）维恩图
如果用平面上一条封闭曲线的
来表示集合，这种示意图通常称为文氏图（维恩）维恩图；
【注意】表示集合的维恩图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形，也可以是其他封闭曲线；
4、有限集的子集个数
求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集；
集合的子集、真子集个数的规律为：含n(n∈N
)个元素的集合有2n个子集，有(2n－1)个真子集，有(2n－2)个非空真子集．写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉；
5、由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法
（1）注意点：①不能忽视集合为?的情形；②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论；
（2）常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答.
【自我尝试】
1、判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）“∈”“?”的意义是一样的；( )
（2）空集是任何集合的真子集；( )
（3）若集合A是集合B的真子集，则集合B中必定存在元素不在集合A中；( )
（4）若a∈A，集合A是集合B的子集，则必定有a∈B；( )
（5）若A＝B，则必有A?B；( )
2、已知集合M＝{1}，N＝{1，2，3}，能够准确表示集合M与N之间关系的是( )
A．MC．N?M
D．MN
3、已知集合A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}，C＝{x|x是等腰直角三角形}，D＝{x|x是等边三角形}，则( )
A．A?B
B．C?B
C．D?C
D．A?D
4、已知集合A＝{0，1}，B＝{－1，0，a＋3}，且A?B，则a＝________．
【题型探究】
题型一、集合间关系的判断
例1、
指出下列各对集合之间的关系：
（1）A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；
（2）A＝(－1，4)，B＝(－∞，5)；
（3）A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
（4）M＝{x|x＝2n－1，n∈N
}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N
}
题型二、集合相等
例2、已知A={1，x，2x}，B={1，y，y2}，若A?B，且A?B，求实数x和y的值.。
题型三、子集、真子集的个数问题
例3、已知集合M满足{1,2}?M?{1,2,3,4,5}，写出集合M所有的可能情况。
题型四、由集合间的包含关系求参数
例4、已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若BA，求实数m的取值范围.
探究变式
1、若本例条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－22、若本例条件“B?A”改为“A?B”，其他条件不变，求m的取值范围；
【素养提升】
1、对子集概念的两点说明
（1）“A?B”的含义：若x∈A，则能推出x∈B；
（2）不能把“A?B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B；
2、子集与真子集的区别
（1）从定义上：集合A是集合B的子集包括A是B的真子集和相等两种情况，真子集是子集的特殊形式；
（2）从性质上：空集是任何集合的子集，但不是任何集合的真子集；空集是任何非空集合的真子集；
（3）从符号上：A?B指AB或A＝B，A＝A，A?A，?A都是正确的，AA，A是不正确的；
3、关于空集的两点说明
（1）空集首先是集合，只不过空集中不含任何元素；注意和{}是有区别的，是不含任何元素的集合，而{}集合中含有一个元素；
（2）规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；因此遇到诸如A?B或AB的问题时，务必优先考虑A＝是否满足题意；
注意；在有些资料中，集合A是集合B的真子集也被记作AB.；
4、相关的结论
（1）任何一个集合都是它本身的子集,即A?A；（2）传递性：如果A?B,且B?C,那么A?C；
（3）如果A?B,则AB或A＝B；并且总是规定??A.（空集是任何集合的子集）
（4）空集是任何非空集合的真子集；
5、易混符号
①“”与“”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系：
如：?R，{1}{1，2，3}
②?与0,{0},{?}的区别
?与0
?与{0}
?与{?}
相同点
都表示无的意义
都是集合
都是集合
不同点
?是集合0是实数
?不含任何元素;{0}含一个元素0
?不含任何元素;{?}含一个元素,该元素是?
关系
0??
?{0}
?{?}或?∈{?}
6、方法归纳：数形结合、分类讨论；
7、常见误区：忽略对集合是否为空集的讨论，忽视是否能够取到端点；
易错防范：
已知集合A＝{x|x2－1＝0}，B＝{x|ax＝1}，若BA，求实数a的取值集合。
【即时练习】
A级：“四基”巩固训练
1、已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间的最适合的关系是( )
A．A?B B．A?B
C．AB
D．AB
2、满足{a}?M{a，b，c，d}的集合M共有( )
A．6个
B．7个
C．8个
D．15个
3、设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，则实数x的值为________，y的值为________．
4、设集合A＝{1，3，a}，B＝{1，1－2a}，且B?A，则a的值为
5、已知集合M＝，N＝，则集合M
、N
间关系是
B级：“四能”提升训练
6、已知集合A＝{x|x2－9＝0}，则下列式子表示正确的有( )
①3∈A；②{－3}∈A；③?A；④{3，－3}?A.
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
7、已知{x|x2＋x＋a＝0}，则实数a的取值范围是
8、设区间A＝(－1，3]，B＝(a，＋∞)，若AB，则a的取值范围是
9、已知集合A＝{x|x<－2或x>3}，B＝{x|4x＋m<0}，当A?B时，求实数m的取值范围．
10、已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．
（1）若B?A，求实数m的取值范围；
（2）当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；
（3）当x∈R时，不存在元素x使x∈A且x∈B同时成立，求实数m的取值范围．
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普通高中教科书
数学
必修
第一册（上海教育出版社）第
1
章
集合与逻辑
1.1
集合初步
1.1.3
集合之间的关系
【学习目标】
课程标准
学科素养
1、理解子集、真子集、空集的概念；（重点）2、能用符号和文氏（Venn）图表示集合间的关系；（难点）3、掌握列举有限集的所有子集的方法。
1、数学抽象：理解集合相等、子集、真子集概念的理解；2、逻辑推理：集合的子集、补集的辨析与应用；3、数学运算：会计算集合的子集、真子集的个数；4、直观想象：利用文氏（Venn）图表示集合相等以及集合间的关系；5、数字建模：通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义。
【自主学习】
问题导学
预习教材P6－P8，思考以下问题：
1、集合与集合之间的关系有哪几种？如何用符号表示这些关系？2、集合的子集是什么？真子集又是什么？如何用符号表示？3、有限集（含元素的个数为n∈N）的所有子集的个数、真子集的个数、非空真子集的个数等于什么？有没有规律
【知识梳理】
1、子集
（1）概念：对于两个集合A与B，如果集合A的每个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集（subset）；
（2）记作：A?B（或B?A）；
（3）读法：A包含于B（或“B包含A”
）；
（4）文氏图表示：
【注意】1、“集合A是集合B的子集”可以表述为：若x∈A，则x∈B；2、性质：A?A；规定：??A
；3、集合的相等与子集的关系：（1）一般地，如果集合A和集合B的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记作A＝B，读作“A等于B”；（2）由集合相等以及子集的定义可知：如果A?B且B?A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A?B且B?A；（3）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素的排列顺序无关。
2、真子集
（1）概念：对于两个集合A与B，如果A?B，并且B中至少有一个元素不属于A（即B不是A的子集），那么集合A称为集合B的真子集；
（2）记作：AB（或BA）；
（3）读法：A真包含于B（或“B真包含A”
）；
（4）文氏图表示：
【注意】1、在真子集的定义中，AB首先要满足A?B，其次至少有一个x∈B，但x?A；2、对常用的数集，有如下的包含关系：NZQR；3、对于集合的包含关系，有结论（1）A?A；（2）对于集合A，B，C，①如果A?B，B?C，则A?C；②如果AB，BC，则AC；（3）理解：?A（A是非空集合）；4、【以前与有些书上用得记号：AB或BA】
3、文氏图（维恩）维恩图
如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，这种示意图通常称为文氏图（维恩）维恩图；
【注意】表示集合的维恩图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形，也可以是其他封闭曲线；
4、有限集的子集个数
求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集；
集合的子集、真子集个数的规律为：含n(n∈N
)个元素的集合有2n个子集，有(2n－1)个真子集，有(2n－2)个非空真子集．写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉；
5、由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法
（1）注意点：①不能忽视集合为?的情形；②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论；
（2）常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答.
【自我尝试】
1、判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）“∈”“?”的意义是一样的；( )
（2）空集是任何集合的真子集；( )
（3）若集合A是集合B的真子集，则集合B中必定存在元素不在集合A中；( )
（4）若a∈A，集合A是集合B的子集，则必定有a∈B；( )
（5）若A＝B，则必有A?B；( )
1、答案：（1）×；（2）×；（3）√；（4）√；（5）√。
2、已知集合M＝{1}，N＝{1，2，3}，能够准确表示集合M与N之间关系的是( )
A．MC．N?M
D．MN
2、答案：D
3、已知集合A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}，C＝{x|x是等腰直角三角形}，D＝{x|x是等边三角形}，则( )
A．A?B
B．C?B
C．D?C
D．A?D
3、答案：B；解析：因为等腰直角三角形必为等腰三角形，所以C?B。
4、已知集合A＝{0，1}，B＝{－1，0，a＋3}，且A?B，则a＝________．
4、答案：－2；解析：因为A?B，所以a＋3＝1，即a＝－2。
【题型探究】
题型一、集合间关系的判断
例1、（1）下列各式中，正确的个数是( )
①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}?{2,1,0}；③??{0,1,2}；④?{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}．
A．1
B．2
C．3
D．4
【提示】先利用相关知识化简已知集合；
【答案】 C；
【解析】对于①，是集合与集合的关系，应为{0}?{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以?{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序实数对(0,1)为元素的单点集，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③④是正确的；
（2）指出下列各组集合之间的关系：
①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
②M＝{x|x＝2n－1，n∈N
}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N
}．
【解析】①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．
②方法一 两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N
，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM.
方法二 由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以NM.
【方法归纳】判断集合间关系的方法：（1）用定义判断：①任意x∈A时，x∈B，则A?B；②当A?B时，存在x∈B，且x?A，则AB.；③若既有A?B，又有B?A，则A＝B；（2）数形结合判断：对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍；
例1、
指出下列各对集合之间的关系：
（1）A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；
（2）A＝(－1，4)，B＝(－∞，5)；
（3）A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
（4）M＝{x|x＝2n－1，n∈N
}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N
}
【提示】先利用相关知识化简已知集合；
【解析】（1）集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系；
（2）用数轴表示区间A，B，如图所示，由图可知AB；
（3）等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB；
（4）两个集合都表示奇数组成的集合，但由于n∈N
，因此集合M含有元素“－1”，而集合N不含元素“－1”，故NM。
【方法归纳】判断集合关系的方法：（1）观察法：一一列举观察；（2）元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系；（3）数形结合法：利用数轴或文氏图；
题型二、集合相等
例2、已知A={1，x，2x}，B={1，y，y2}，若A?B，且A?B，求实数x和y的值.。
【提示】理解集合相等的定义与等价条件；
【答案】x=2，y=2或；
【解析】由A?B，且A?B知，A=B.
由集合相等的概念可得或解方程组得或或
当x=0，y=0时，A={1，0，0},B={1，0，0}不符合集合中元素的互异性，舍去；
所以x=2，y=2或；
【方法归纳】根据集合相等求参数，首先分析一个集合中元素与另一集合中哪个元素相等，分几种情况进行讨论，然后通过列方程(组)求解；当集合中的未知元素不止一个时，情况会更复杂，需要多次讨论求出参数后要根据集合中元素的互异性进行检验，排除不合要求的解.
题型三、子集、真子集的个数问题
例3、已知集合M满足{1,2}?M?{1,2,3,4,5}，写出集合M所有的可能情况。
【提示】注意借鉴“联立”等式与不等式进行类比；
【解析】由题意可以确定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：
含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；
含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；
含有5个元素：{1,2,3,4,5}．
故满足条件的集合M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．
【方法归纳】公式法求有限集合的子集个数：（1）含n个元素的集合有2n个子集；（2）含n个元素的集合有(2n－1)个真子集；（3）含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集；（4）含n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集。
题型四、由集合间的包含关系求参数
例4、已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若BA，求实数m的取值范围.
【提示】先利用相关知识化简已知集合；
【解析】（1）当B≠?时，如图所示．
所以，或解这两个不等式组，得2≤m≤3.
（2）当B＝?时，由m＋1>2m－1，得m<2，
综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}；
探究变式
1、若本例条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2【解析】（1）当B＝?时，由m＋1>2m－1，得m<2.
（2）当B≠?时，如图所示，
所以，解得即2≤m<3，
综上可得，m的取值范围是{m|m<3}；
2、若本例条件“B?A”改为“A?B”，其他条件不变，求m的取值范围；
【解析】当A?B时，如图所示，此时B≠?，
所以，即所以，m不存在．
即不存在实数m使A?B；
【方法归纳】（1）利用数轴处理不等式表示的集合间的关系问题时，可化抽象为直观，要注意端点值的取舍，“含”用实心点表示，“不含”用空心点表示；（2）涉及到“A?B”或“AB且B≠?”的问题，一定要分A＝?和A≠?两种情况讨论，不要忽视空集的情况。
【素养提升】
1、对子集概念的两点说明
（1）“A?B”的含义：若x∈A，则能推出x∈B；
（2）不能把“A?B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B；
2、子集与真子集的区别
（1）从定义上：集合A是集合B的子集包括A是B的真子集和相等两种情况，真子集是子集的特殊形式；
（2）从性质上：空集是任何集合的子集，但不是任何集合的真子集；空集是任何非空集合的真子集；
（3）从符号上：A?B指AB或A＝B，A＝A，A?A，?A都是正确的，AA，A是不正确的；
3、关于空集的两点说明
（1）空集首先是集合，只不过空集中不含任何元素；注意和{}是有区别的，是不含任何元素的集合，而{}集合中含有一个元素；
（2）规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；因此遇到诸如A?B或AB的问题时，务必优先考虑A＝是否满足题意；
注意；在有些资料中，集合A是集合B的真子集也被记作AB.；
4、相关的结论
（1）任何一个集合都是它本身的子集,即A?A；（2）传递性：如果A?B,且B?C,那么A?C；
（3）如果A?B,则AB或A＝B；并且总是规定??A.（空集是任何集合的子集）
（4）空集是任何非空集合的真子集；
5、易混符号
①“”与“”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系：
如：?R，{1}{1，2，3}
②?与0,{0},{?}的区别
?与0
?与{0}
?与{?}
相同点
都表示无的意义
都是集合
都是集合
不同点
?是集合0是实数
?不含任何元素;{0}含一个元素0
?不含任何元素;{?}含一个元素,该元素是?
关系
0??
?{0}
?{?}或?∈{?}
6、方法归纳：数形结合、分类讨论；
7、常见误区：忽略对集合是否为空集的讨论，忽视是否能够取到端点；
易错防范：
已知集合A＝{x|x2－1＝0}，B＝{x|ax＝1}，若BA，求实数a的取值集合。
【解析】因为A＝{－1，1}，BA，
所以当B＝时，a＝0；
当B≠时，由x＝∈A，得＝－1或＝1，即a＝－1或a＝1.
故a的取值集合为{－1，0，1}；
【错因与防范】
（1）错因：一是忽视B＝，这一情况；二是未用集合表示a的取值．
（2）求解集合与集合之间的关系问题时，要明确空集是否是所讨论的集合的子集，否则容易出错；
【即时练习】
A级：“四基”巩固训练
1、已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间的最适合的关系是( )
A．A?B B．A?B
C．AB
D．AB
1、答案：D；解析：集合A是能被3整除的整数组成的集合，集合B是能被6整除的整数组成的集合，所以BA；
2、满足{a}?M{a，b，c，d}的集合M共有( )
A．6个
B．7个
C．8个
D．15个
2、答案：B；解析：依题意a∈M，且M{a，b，c，d}，因此M中必含有元素a，且可含有元素b，c，d中的0个、1个或2个，即M的个数等于集合{b，c，d}的真子集的个数，有23－1＝7(个)；
3、设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，则实数x的值为________，y的值为________．
3、答案：1；0；解析：因为集合A＝B，则x＝0或y＝0.
①当x＝0时，x2＝0，则B＝{0，0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去；
②当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1，由①知x＝0应舍去，故x＝1；
综上可知，x＝1，y＝0。
4、设集合A＝{1，3，a}，B＝{1，1－2a}，且B?A，则a的值为
4、答案：－1或；解析：由题意得1－2a＝3或1－2a＝a，解得a＝－1或a＝.
当a＝－1时，A＝{1，3，－1}，B＝{1，3}，符合条件．
当a＝时，A＝，B＝，符合条件．
所以a的值为－1或.
5、已知集合M＝，N＝，则集合M
、N
间关系是
5、答案：MN；解析：选C.因为＋＝(2k＋1)，＋＝(k＋2)，当k∈Z时，2k＋1是奇数，k＋2是整数，又奇数都是整数，且整数不都是奇数，所以MN。
B级：“四能”提升训练
6、已知集合A＝{x|x2－9＝0}，则下列式子表示正确的有( )
①3∈A；②{－3}∈A；③?A；④{3，－3}?A.
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
6、答案：B；解析：根据题意，集合A＝{x|x2－9＝0}＝{－3，3}，依次分析4个式子：
对于①3∈A，3是集合A的元素，正确；
②{－3}∈A，{－3}是集合，有{－3}?A，错误；
③??A，空集是任何集合的子集，正确；
④{3，－3}?A，任何集合都是其本身的子集，正确．共有3个正确．
7、已知{x|x2＋x＋a＝0}，则实数a的取值范围是
7、答案：；解析：因为?{x|x2＋x＋a＝0}，所以方程x2＋x＋a＝0有实数根，即Δ＝1－4a≥0，a≤。
8、设区间A＝(－1，3]，B＝(a，＋∞)，若AB，则a的取值范围是
8、答案：；解析：区间A，B在数轴上表示如图，由AB可求得a≤－1，注意端点能否取到是正确求解的关键．
9、已知集合A＝{x|x<－2或x>3}，B＝{x|4x＋m<0}，当A?B时，求实数m的取值范围．
9、解析：集合A在数轴上表示如图，
要使A?B，则集合B中的元素必须都是A中的元素，
即B中元素必须都位于阴影部分内．
那么由4x＋m<0，即x<－知，－≤－2，即m≥8，
故实数m的取值范围是m≥8；
10、已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．
（1）若B?A，求实数m的取值范围；
（2）当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；
（3）当x∈R时，不存在元素x使x∈A且x∈B同时成立，求实数m的取值范围．
10、解析：（1）当m＋1＞2m－1，即m＜2时，B＝?满足题意；当m＋1≤2m－1，
即m≥2时，要使B?A成立，则有m＋1≥－2且2m－1≤5，可得－3≤m≤3，即2≤m≤3，
综上可知，当m≤3时，B?A；
（2）当x∈Z时，A＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}，共8个元素，故A的非空真子集的个数为28－2＝254(个)．
（3）因为x∈R，A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且不存在元素x使x∈A且x∈B同时成立，
所以A，B没有公共元素．
当m＋1＞2m－1，即m＜2时，B＝?满足题意；
当m＋1≤2m－1，即m≥2时，要使A，B没有公共元素，
则有或解得m＞4；
综上所述，当m＜2或m＞4时，不存在元素x使x∈A且x∈
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普通高中教科书
数学
必修
第一册（上海教育出版社）
