第
1
章
集合与逻辑
1.2
常用逻辑用语
1.2.1
命题
【学习目标】
课程标准
学科素养
1、理解命题的概念；2、会判断命题的真假；3、能把命题改写成“若α，则β”的形式；4、用子集关系理解真命题（难点）；
1、数学抽象：命题、定理、定义概念的理解；2、逻辑推理：命题真假的判断；3、数学运算：和平面几何、方程、集合、简单不等式有关的计算；
【自主学习】
问题导学：预习教材P15－P17，思考以下问题：
1、命题的概念；2、命题的分类3、命题的表示方法；4、判断命题真假的方法。
【知识梳理】
1、命题的概念：
把用语言、符号或式子表达，且可以判断其
的语句叫做命题（proposition）；
2、命题的分类：
其含义判断为真的命题叫做真命题：判断为假的命题叫做假命题；
【注意】真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可；
命题真假
“若p则q”为真
“若p则q”为假
表示方法
p?q
pq
读法
p
q
p
q
3、命题的表示方法：
命题通常写成“若α，则β”的形式；其中陈述句α称为命题的条件，β称为命题的结论；
用集合的语言描述：满足α满足β；
【注意】命题的表示形式，在其他参考书上也有表示为：
“若p，则q”，其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论；
4、子集与推出关系：
如果命题“若α，则β”是真命题，那么我们就称α推出β，记作αβ（或βα）。
5、【拓展】四种命题及其等价关系
（1）一般地，如果命题成立可以推出命题也成立，那么就说由可以推出。记作：；读作：“推出”；换言之：表示以为条件、为结论的命题是真命题。
如果，，并且；那么；读作：“与等价”
又推出关系满足传递性：，那么；
（2）复习初中学过的命题与逆命题的知识
定义：如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，这两个命题叫互逆命题。其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题；
一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定叫做互否命题；
一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定叫做互为逆否命题；
（3）若为原命题条件，为原命题结论；
则：
原命题：若
则
逆命题：若
则
否命题：若
则
逆否命题：若
则
在命题的四种形式中原命题和逆否命题互为逆否命题，同真同假，否命题和逆命题互为逆否题同真同假；
【自我尝试】
1、下列命题是真命题的有
.
（1）2+2是有理数；（2）1+1>2；（3）奇数的平方仍是奇数；（4）两个集合的交集还是一个集合
2、下列语句：①3>2；②作射线AB；③sin
30°＝；④x2－1＝0有一个根是－1；⑤x<1.
其中是命题的是( )
A．①②③
B．①③④
C．③
D．②⑤
3、已知命题：弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的弧，若把上述命题改为“若p，则q”的形式，
则p是_____________________________________________________，
q是________________________________________________________________________．
4、将下列命题改写成“若α，则β”的形式，并判断“αβ”是否成立；
①两个周长相等的三角形面积相等；
②已知x，y为正整数，当y=x+1时，y=3，x=2；
【题型探究】
题型一、命题的概念
例1、判断下列语句是不是命题，并说明理由．
(1)是有理数；(2)
；(3)梯形是不是平面图形呢？(4)若，则；
(5)一个数的算术平方根一定是负数；(6)若a与b是无理数，则ab是无理数．
题型二、命题的结构形式
例2、将下列命题改写成“若α，则β”的形式，并判断命题的真假．
（1）6是12和18的公约数；
（2）当a>－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；
（3）平行四边形的对角线互相平分；
（4）已知x，y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4或x＝2；
题型三、命题的真假判断
例3、 给定下列命题：
①若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；②若a>b，则a＋c>b＋c；③矩形的对角线互相垂直．④命题“若a，b是无理数，则a＋b是无理数”是真命题；
其中真命题共有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
题型四、命题的结构及真假判断
例4、把下列命题改写成“若α，则β”的形式，并判断命题的真假．
（1）奇数不能被2整除；
（2）当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1；
（3）已知x、y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；
题型五、四种命题
例5、（1）写出命题“两个有理数的和是有理数”的逆命题、否命题、逆否命题；
（2）判断上述四个命题的真假，并说明理由。
【素养提升】
1、对于一个句子，有时我们可能无法判断它的真假，但这个句子本身确实有真假，如“太阳系外有外星人”，对于这个句子所描述的情形，目前人们尚无法确定其真假，但从事物的本质而论，句子本身是可分辨真假的，这类语句也称为命题。语句是不是命题，关键在于能不能判断其真假，也就是判断其是否成立。
2、四种命题及其相互关系
若原命题是“若则”，则逆命题为“若则”；否命题为“若不成立
则不成立”
；逆否命题为“若不成立
则不成立”
.
【提醒】（1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假.但原命题与逆命题、否命题都不等价；（2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”；（3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，
而命题的否定仅对命题的结论否定；对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“”判断其真假，这也是反证法的理论依据之一。
易错防范：
若“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根”是真命题，则a的取值范围是_________
A级：“四基”巩固训练
1、下列命题中假命题的个数为( )
①多边形的外角和与边数有关；②如果，那么或；
③二次方程a2x2＋2x－1＝0有两个不相等的实根；④若，则.
A．1
B．2
C．3
D．4
2、命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是( )
A．这个四边形的对角线互相平分
B．这个四边形的对角线互相垂直
C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直
D．这个四边形是平行四边形
3、下列命题为真命题的序号为
是( )
①．若＝，则x＝y
．若x2＝1，则x＝1
③．若x＝y，则＝
④．若x4、已知不等式x＋3≥0的解集是A，若a∈A是假命题，则a的取值范围是
5、若“方程ax2－3x＋2＝0有两个不相等的实数根”是真命题，则a的取值范围是
．
B级：“四能”提升训练
6、下列四个命题中，正确的命题是（
）
A．空集没有子集
B．空集是任何集合的一个真子集
C．空集的元素个数为0
D．任何一个集合至少有两个不同子集
7、将“两个奇数的和是偶数”改写成“若，则”的形式为
8、若和或都是假命题，则的范围是
9、设表示不大于的最大整数，则对任意实数，给出以下四个命题：
①；
②；③；④.
则假命题是______(填上所有假命题的序号).
10、将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．
（1）正n边形(n≥3)的n个内角全相等；
（2）负数的立方是负数；
（3）已知x，y为正整数，当y＝x－5时，y＝－3，x＝2.
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普通高中教科书
数学
必修
第一册（上海教育出版社）第
1
章
集合与逻辑
1.2
常用逻辑用语
1.2.1
命题
【学习目标】
课程标准
学科素养
1、理解命题的概念；2、会判断命题的真假；3、能把命题改写成“若α，则β”的形式；4、用子集关系理解真命题（难点）；
1、数学抽象：命题、定理、定义概念的理解；2、逻辑推理：命题真假的判断；3、数学运算：和平面几何、方程、集合、简单不等式有关的计算；
【自主学习】
问题导学：预习教材P15－P17，思考以下问题：
1、命题的概念；2、命题的分类3、命题的表示方法；4、判断命题真假的方法。
【知识梳理】
1、命题的概念：
把用语言、符号或式子表达，且可以判断其真假的语句叫做命题（proposition）；
【注意】在数学中，我们将可以判断真假的陈述句叫作命题；特别提醒：（1）判断一个语句是否为命题的两个要素：（2）是陈述句，表达形式可以是符号、表达式或语言；
2、命题的分类：
其含义判断为真的命题叫做真命题：判断为假的命题叫做假命题；
【注意】真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可；
命题真假
“若p则q”为真
“若p则q”为假
表示方法
p?q
pq
读法
p推出q
p不能推出q
3、命题的表示方法：
命题通常写成“若α，则β”的形式；其中陈述句α称为命题的条件，β称为命题的结论；
用集合的语言描述：满足α满足β；
【注意】命题的表示形式，在其他参考书上也有表示为：
“若p，则q”，其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论；
4、子集与推出关系：
如果命题“若α，则β”是真命题，那么我们就称α推出β，记作αβ（或βα）。
5、【拓展】四种命题及其等价关系
（1）一般地，如果命题成立可以推出命题也成立，那么就说由可以推出。记作：；读作：“推出”；换言之：表示以为条件、为结论的命题是真命题。
如果，，并且；那么；读作：“与等价”
又推出关系满足传递性：，那么；
（2）复习初中学过的命题与逆命题的知识
定义：如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，这两个命题叫互逆命题。其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题；
一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定叫做互否命题；
一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定叫做互为逆否命题；
（3）若为原命题条件，为原命题结论；
则：
原命题：若
则
逆命题：若
则
否命题：若
则
逆否命题：若
则
在命题的四种形式中原命题和逆否命题互为逆否命题，同真同假，否命题和逆命题互为逆否题同真同假；
【自我尝试】
1、下列命题是真命题的有
.
（1）2+2是有理数；（2）1+1>2；（3）奇数的平方仍是奇数；（4）两个集合的交集还是一个集合
【答案】（3）（4）
【解析】（1）2+2是无理数，故是假命题；（2）1+1=2，所以（2）不正确,是假命题；（3）举例可以验证奇数的平方仍然是奇数；（4）集合的运算结果仍然集合，所以（4）是真命题.故（3）（4）均为真命题.
2、下列语句：①3>2；②作射线AB；③sin
30°＝；④x2－1＝0有一个根是－1；⑤x<1.
其中是命题的是( )
A．①②③
B．①③④
C．③
D．②⑤
2、答案：B；
解析：②是祈使句，故不是命题，⑤无法判断真假，故不是命题；
3、已知命题：弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的弧，若把上述命题改为“若p，则q”的形式，
则p是_____________________________________________________，
q是________________________________________________________________________．
3、答案：一条直线是弦的垂直平分线 这条直线经过圆心且平分弦所对的弧
解析：已知中的命题改为“若p，则q”的形式为“若一条直线是弦的垂直平分线，则这条直线经过圆心且平分弦所对的弧”，
p：一条直线是弦的垂直平分线；q：这条直线经过圆心且平分弦所对的弧.
4、将下列命题改写成“若α，则β”的形式，并判断“αβ”是否成立；
①两个周长相等的三角形面积相等；
②已知x，y为正整数，当y=x+1时，y=3，x=2；
【答案】(1)αβ不成立；（2）αβ不成立.
【解析】①若两个三角形的周长相等，则这两个三角形的面积相等，这是一个假命题，所以αβ不成立；
②若x,y为正整数且y=x+1，则“y=3,x=2.这是一个假命题，所以αβ不成立.
【题型探究】
题型一、命题的概念
例1、判断下列语句是不是命题，并说明理由．
(1)是有理数；(2)
；(3)梯形是不是平面图形呢？(4)若，则；
(5)一个数的算术平方根一定是负数；(6)若a与b是无理数，则ab是无理数．
【提示】注意理解命题的概念与构成；
【解析】(1)“是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．
(2)因为无法判断“”的真假，所以它不是命题．
(3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．
(4)“若，则”是陈述句，并且它是真的，所以它是命题．
(5)“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．
(6)“若a与b是无理数，则ab是无理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．
【方法归纳】判断一个语句是不是命题的三个关键点：（1）一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题；（2）语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题；（3）对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题；否则就不是命题。
题型二、命题的结构形式
例2、将下列命题改写成“若α，则β”的形式，并判断命题的真假．
（1）6是12和18的公约数；
（2）当a>－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；
（3）平行四边形的对角线互相平分；
（4）已知x，y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4或x＝2；
【提示】注意理解命题的“前提”；
【解析】（1）若一个数是6，则它是12和18的公约数，是真命题；
（2）若a>－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根，是假命题；
（3）若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分，是真命题；
（4）已知x，y是非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2，是假命题；
【方法归纳】把一个命题改写成“若α，则β”的形式，首先要确定命题的条件和结论，若条件和结论比较隐晦，则要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结论需多个条件，还要注意有的命题改写形式不唯一。
题型三、命题的真假判断
例3、 给定下列命题：
①若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；②若a>b，则a＋c>b＋c；③矩形的对角线互相垂直．④命题“若a，b是无理数，则a＋b是无理数”是真命题；
其中真命题共有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【解析】答案：B；
解析 ①由xy＝0得到x＝0或y＝0，所以|x|＋|y|＝0不一定成立，是假命题；②当a>b时，有a＋c>b＋c成立，正确，所以是真命题；③矩形的对角线不一定互相垂直，不正确，是假命题；
【提醒】一个命题要么为真命题，要么为假命题，且必居其一．欲判断一个命题为真命题，需进行论证，而要判断一个命题为假命题，只需举出一个反例即可．
题型四、命题的结构及真假判断
例4、把下列命题改写成“若α，则β”的形式，并判断命题的真假．
（1）奇数不能被2整除；
（2）当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1；
（3）已知x、y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；
【解析】（1）若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题；
（2）若(a－1)2＋(b－1)2＝0，则a＝b＝1，是真命题；
（3）已知x、y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3且x＝2，是假命题；
【方法归纳】（1）将命题改写为“若p，则q”形式的方法及原则；（2）命题改写中的注意点：若命题不是以“若p，则q”这种形式给出时，首先要确定这个命题的条件p和结论q，进而再写成“若p，则q”的形式。
题型五、四种命题
例5、（1）写出命题“两个有理数的和是有理数”的逆命题、否命题、逆否命题；
（2）判断上述四个命题的真假，并说明理由．
【提示】（1）要写出一个命题的其他三种形式，首先要将原命题改写成“如果……，那么……”的形式，再根据逆命题、否命题、逆否命题的定义，写出其他三种形式的命题；（2）先判断出原命题和逆命题的真假，真命题进行证明，假命题可举出反例，然后利用互为逆否的两个命题同真假，去判断否命题和逆否命题的真假；
【答案】（（2）原命题是真命题，逆命题是假命题，否命题是假命题，逆否命题是真命题
【解析】（1）原命题可改写成：如果两个数都是有理数，那么这两个数的和是有理数．
逆命题：如果两个数的和是有理数，那么这两个数都是有理数；
否命题：如果两个数不都是有理数，那么这两个数的和不是有理数；
逆否命题：如果两个数的和不是有理数，那么这两个数不都是有理数．
（2）原命题是真命题，证明如下：
设，都是有理数，则令，（，，，，且），
．
因为，，，且，所以，是有理数．
由于逆否命题与原命题是等价命题，所以逆否命题也是真命题．
逆命题是假命题，其反例如下：
设，，则是有理数，但，都不是有理数；
由于逆命题与否命题是等价命题，所以否命题也是假命题；
【方法归纳】在判断命题的真假时，可利用互为逆否的两个命题真假性相同来判断。
【素养提升】
1、对于一个句子，有时我们可能无法判断它的真假，但这个句子本身确实有真假，如“太阳系外有外星人”，对于这个句子所描述的情形，目前人们尚无法确定其真假，但从事物的本质而论，句子本身是可分辨真假的，这类语句也称为命题。语句是不是命题，关键在于能不能判断其真假，也就是判断其是否成立。
2、四种命题及其相互关系
若原命题是“若则”，则逆命题为“若则”；否命题为“若不成立
则不成立”
；逆否命题为“若不成立
则不成立”
.
【提醒】（1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假.但原命题与逆命题、否命题都不等价；（2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”；（3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，
而命题的否定仅对命题的结论否定；对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“”判断其真假，这也是反证法的理论依据之一。
易错防范：
若“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根”是真命题，则a的取值范围是_________
【解析】因为一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一正根和一负根．，
所以即?a＜0；【答案】；
【错因与防范】（1）本题极易忽视Δ>0这一条件；（2）正确区分各种条件的关系是解答此类问题的关键。
【即时练习】
A级：“四基”巩固训练
1、下列命题中假命题的个数为( )
①多边形的外角和与边数有关；②如果，那么或；
③二次方程a2x2＋2x－1＝0有两个不相等的实根；④若，则.
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】因为Δ＝4＋4a2>0，故③正确，而①②④都错误，均可举出反例．
2、命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是( )
A．这个四边形的对角线互相平分
B．这个四边形的对角线互相垂直
C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直
D．这个四边形是平行四边形
2、答案：C；解析：选C.把命题改写成“若p，则q”的形式后可知C正确．故选C.
3、下列命题为真命题的序号为
是( )
①．若＝，则x＝y
．若x2＝1，则x＝1
③．若x＝y，则＝
④．若x3、答案：①
解析:
①正确；②中，由x2＝1，得x＝±1，所以②是假命题；③中，当x＝y<0时，结论不成立，所以③是假命题；④中，当x＝－1，y＝1时，结论不成立，所以④是假命题;
4、已知不等式x＋3≥0的解集是A，若a∈A是假命题，则a的取值范围是
4、答案：；解析：因为x＋3≥0，∴A＝{x|x≥－3}，又因为a∈A是假命题，即a?A，
所以a<－3，则；
5、若“方程ax2－3x＋2＝0有两个不相等的实数根”是真命题，则a的取值范围是
．
5、答案：；
解析 由题意知解得a<且a≠0.
B级：“四能”提升训练
6、下列四个命题中，正确的命题是（
）
A．空集没有子集
B．空集是任何集合的一个真子集
C．空集的元素个数为0
D．任何一个集合至少有两个不同子集
6、【答案】C
【解析】空集的子集是它本身，故A错误；
空集是任何非空集合的一个真子集，故B错误；
空集的元素个数为0
，故C正确；
空集只有一个子集，是它本身，故D错误.故选：C.
7、将“两个奇数的和是偶数”改写成“若，则”的形式为
7、【答案】若两个数是奇数，则它们的和是偶数．
【解析】命题“两个奇数的和是偶数”的条件为“两个奇数”，结论是“这两个数的和是偶数”，因此，原命题改写为“若，则”的形式为“若两个数是奇数，则它们的和是偶数”.
故答案为：若两个数是奇数，则它们的和是偶数.
8、若和或都是假命题，则的范围是
8、【答案】
【解析】若为假命题，则有或
若或是假命题，则
所以的范围是
即的范围是，胡答案为：
9、设表示不大于的最大整数，则对任意实数，给出以下四个命题：
①；
②；③；④.
则假命题是______(填上所有假命题的序号).
9、【答案】①②③
【解析】对于①，由，可得，故①为假命题；
对于②，由，可得，故②为假命题；
对于③，由，可得，故③为假命题；
对于④，当时，，，
此时满足；
当时，，，
此时满足；故④为真命题；
故答案为：①②③.
10、将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．
（1）正n边形(n≥3)的n个内角全相等；
（2）负数的立方是负数；
（3）已知x，y为正整数，当y＝x－5时，y＝－3，x＝2.
10、【解析】(1)若一个多边形是正n边形，则这个正n边形的n个内角全相等，是真命题．
(2)若一个数是负数，则这个数的立方是负数，是真命题．
(3)已知x，y为正整数，若y＝x－5，则y＝－3，x＝2，是假命题．
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数学
必修
第一册（上海教育出版社）
