第
1
章
集合与逻辑
1.2
常用逻辑用语
1.2.2
充分条件与必要条件
逻辑是研究思维规律的学科，而
“充分条件与必要条件”是数学中常用的逻辑用语，逻辑用语在数学中具有重要的作用。学习数学需要全面准确地理解概念，正确地进行表述、判断和推理，这些都离不开对逻辑知识的掌握和运用。学习逻辑用语，可以结合逻辑用语的使用对我们已经学习过的必修部分的数学知识加以巩固和提升，同时能够体现出逻辑用语的工具价值，也可以更好地应用于今后的学习。
【学习目标】
课程标准
学科素养
1、理解充分条件、必要条件与充要条件的概念；2、正确判断α是β的充分条件、必要条件与充要条件；3、会证明充要条件；
1、数学抽象：理解充分条件、必要条件与判定定理、性质及其数学概念之间的关系；2、逻辑推理：经历充分条件、必要条件概念的形成过程，体验有具体到一般的思维方法；
3、数学运算：会判断α是β的什么条件；4、直观想象：通过实例体会对理解抽象概念的作用；5、数学建模:
通过对充分条件和必要条件与集合的关系的教学，建立概念间的多元联系，培养同学们多角度审视问题的习惯；
【自主学习】
问题导学：预习教材P17－P19，思考以下问题：
1、充分条件、必要条件与充要条件的概念；2、充分条件、必要条件与充要条件的判断；3、充要条件的证明；
【知识梳理】
1、充分条件、必要条件的概念
对于两个陈述句α是β，如果α?β，则称α是β的充分条件（sufficient
condition），或称β是α的必要条件（necessary
condition）；
【注意】（1）充分条件与必要条件的理解
命题真假
“若α则β”是真命题
“若α则β”是假命题
推出关系
α?β
α
β
条件关系
α是β的充分条件β是α的必要条件
α不是β的充分条件β不是α的必要条件
（2）p?q的含义：
①“若p，则q”形式的命题为真命题；②由条件p可以得到结论q；③p是q的充分条件或q的充分条件是p；q是p的必要条件或p的必要条件是q；④只要有条件p，就一定有结论q，即p对于q是充分的，q对于p的成立是必要的；⑤为得到结论q，具备条件p就可以推出；
显然，p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即p?q，只是说法不同而已；
2、充要条件的概念
对于两个陈述句α是β，如果既有α?β，又有β?α，我们就称α是β的充分必要条件，简称充要条件；记作：α?β；读作“α与β等价”或“α成立当且仅当β成立”；
【注意】1、对充要条件的理解：（1）推出关系：α?β，且β?α，记作α?β；（2）简称：α是β的充分必要条件，简称充要条件；（3）意义：α?β，则α是β的充要条件或β是α的充要条件，即α与β互为充要条件；
3、定义法判断充分条件、必要条件
（1）确定谁是条件，谁是结论；
（2）尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；
（3）尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件。
4、充要条件的证明策略
（1）要证明一个条件α是否是β的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若α，则β”为真且“若β，则α”为真；
（2）在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明α与β的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论；
5、充分条件、必要条件、充要条件与集合的交汇
（1）记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要条件，则AB，
若p是q的必要不充分条件，则BA；
（2）记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若M?N，则p是q的充分条件，
若N?M，则p是q的必要条件，
若M＝N，则p是q的充要条件；
【自我尝试】
1、判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）q是p的必要条件时，p是q的充分条件；( )
（2）若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题；( )
（3）q不是p的必要条件时，“pq”成立；( )
（4）若p是q的必要条件，则q是p的充分条件；( )
（5）内错角相等?两直线平行；( )
（6）“x＝0”是“x2＝2x”的必要条件；( )
（7）“△ABC∽△A′B′C′”是“△ABC≌△A′B′C′”的必要条件；( )
（8）“x＝3”是“x2＝9”的充分条件；( )
2、做一做（请把正确的答案写在横线上）
（1）若p是q的充分条件，q是r的充分条件，则p是r的________条件；
（2）设集合M＝{x|x≥2}，P＝{x|x>1}，则“x∈M∪P”是“x∈M∩P”的________条件；
（3）“ab＞0”是“a＞0，b＞0”的________条件；
（4）
“x2－3x＋2＝0”的充要条件是_______________________________；
（5）“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)
；
（6）若△ABC∽△DEF，“相似比为3∶2”是“对应高的比为3∶2”的________条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)
；
3、已知A?B，则“x∈A”是“x∈B”的________条件．
4、p：|x|＝|y|，q：x＝y，则p是q的________条件．
【题型探究】
题型一、充分条件的判断
例1、（1）下列命题中，p是q的充分条件的是________．
①p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0；
②p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等；
③p：m<－2，q：方程x2－x－m＝0无实根．
（2）“a>2且b>2”是“a＋b>4，ab>4”的________条件．
题型二、必要条件的判断
例2、在以下各题中，分析p与q的关系：
（1）p：x>2且y>3，q：x＋y>5；（2）p：一个四边形的四个角都相等，q：四边形是正方形．
题型三、充分条件与必要条件的应用
例3、已知p：实数x满足3a
延伸探究
1．将本例中条件p改为“实数x满足a0”，若p是q的必要条件，求实数a的取值范围．
2、将例题中的条件“q：实数x满足－2≤x≤3”改为“q：实数x满足－3≤x≤0”其他条件不变，求实数a的取值范围．
题型四、充分、必要、充要条件的判断
例4、指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件)．
(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；
(2)p：x>1，q：x2>1；
(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；(4)p：|ab|＝ab，q：ab>0.
题型五、充要条件的证明
例5、求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
延伸探究
求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
延伸探究
1、若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围；
2、本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
【素养提升】
1、充分条件与必要条件的两点说明
（1）从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件
①若p?q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件；
②若p?q，则p是q的充要条件；
③若p?q，且q
p，则称p是q的充分不必要条件；
④若p
q，且q?p，则称p是q的必要不充分条件；
⑤若p
q，且q
p，则称p是q的既不充分也不必要条件；
（2）从集合的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则
①若A?B，则p是q的充分条件；
②若B?A，则p是q的必要条件；
③若A＝B，则p是q的充要条件；
④若A?B且BA，即AB，则p是q的充分不必要条件；
⑤若B?A且AB，即BA，则p是q的必要不充分条件；
⑥若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要条件。
记法
A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}
关系
AB
BA
A＝B
A
B且BA
图示
结论
p是q的充分不必要条件
p是q的必要不充分条件
p，q互为充要条件
p是q的既不充分也不必要条件
2、“?”的传递性
若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p?q，q?s，则有p?s，即p是s的充要条件．
易错防范：
试证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
【注意】误区警示：证明p是q的充要条件要注意充分性与必要性的证明方向，必要性证明的是必要条件，充分性证明的是充分条件。
A级：“四基”巩固训练
1、“a和b都是奇数”是“a+b是偶数”的
( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既是充分条件也是必要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
2、已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0，且ab>0”的________条件．
3、用“充分”或“必要”填空：
（1）“x≠3”是“|x|≠3”的
条件.?
（2）“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的________ 条件.?
4、若集合A={1，m2}，B={2，4}，则“m=2”是“A∩B={4}”的________条件.(填“充分”或“必要”)?
5、求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1的充要条件是a－b＋c＝0.
B级：“四能”提升训练
6、若非空集合A，B，C满足A∪B=C，且B不是A的子集，则
( )
A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件
B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件
C．“x∈C”是“x∈A”的充分条件也是“x∈A”的必要条件
D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件
7、设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么
( )
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙既是甲的充分条件，也是甲的必要条件
D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
8、给出下列四个条件：①a>0，b>0；②a<0，b<0；③a=3，b=-2；④a>0，b<0且|a|>|b|，其中________是a+b>0的充分条件
(填序号)。
9、设n∈N，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________．
10、已知a，b是实数，求证：a4－b4－2b2＝1成立的充要条件是a2－b2＝1.
证明 充分性：若a2－b2＝1成立，
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普通高中教科书
数学
必修
第一册（上海教育出版社）第
1
章
集合与逻辑
1.2
常用逻辑用语
1.2.2
充分条件与必要条件
逻辑是研究思维规律的学科，而
“充分条件与必要条件”是数学中常用的逻辑用语，逻辑用语在数学中具有重要的作用。学习数学需要全面准确地理解概念，正确地进行表述、判断和推理，这些都离不开对逻辑知识的掌握和运用。学习逻辑用语，可以结合逻辑用语的使用对我们已经学习过的必修部分的数学知识加以巩固和提升，同时能够体现出逻辑用语的工具价值，也可以更好地应用于今后的学习。
【学习目标】
课程标准
学科素养
1、理解充分条件、必要条件与充要条件的概念；2、正确判断α是β的充分条件、必要条件与充要条件；3、会证明充要条件；
1、数学抽象：理解充分条件、必要条件与判定定理、性质及其数学概念之间的关系；2、逻辑推理：经历充分条件、必要条件概念的形成过程，体验有具体到一般的思维方法；
3、数学运算：会判断α是β的什么条件；4、直观想象：通过实例体会对理解抽象概念的作用；5、数学建模:
通过对充分条件和必要条件与集合的关系的教学，建立概念间的多元联系，培养同学们多角度审视问题的习惯；
【自主学习】
问题导学：预习教材P17－P19，思考以下问题：
1、充分条件、必要条件与充要条件的概念；2、充分条件、必要条件与充要条件的判断；3、充要条件的证明；
【知识梳理】
1、充分条件、必要条件的概念
对于两个陈述句α是β，如果α?β，则称α是β的充分条件（sufficient
condition），或称β是α的必要条件（necessary
condition）；
【注意】（1）充分条件与必要条件的理解
命题真假
“若α则β”是真命题
“若α则β”是假命题
推出关系
α?β
α
β
条件关系
α是β的充分条件β是α的必要条件
α不是β的充分条件β不是α的必要条件
（2）p?q的含义：
①“若p，则q”形式的命题为真命题；②由条件p可以得到结论q；③p是q的充分条件或q的充分条件是p；q是p的必要条件或p的必要条件是q；④只要有条件p，就一定有结论q，即p对于q是充分的，q对于p的成立是必要的；⑤为得到结论q，具备条件p就可以推出；
显然，p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即p?q，只是说法不同而已；
2、充要条件的概念
对于两个陈述句α是β，如果既有α?β，又有β?α，我们就称α是β的充分必要条件，简称充要条件；记作：α?β；读作“α与β等价”或“α成立当且仅当β成立”；
【注意】1、对充要条件的理解：（1）推出关系：α?β，且β?α，记作α?β；（2）简称：α是β的充分必要条件，简称充要条件；（3）意义：α?β，则α是β的充要条件或β是α的充要条件，即α与β互为充要条件；
3、定义法判断充分条件、必要条件
（1）确定谁是条件，谁是结论；
（2）尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；
（3）尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件。
4、充要条件的证明策略
（1）要证明一个条件α是否是β的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若α，则β”为真且“若β，则α”为真；
（2）在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明α与β的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论；
5、充分条件、必要条件、充要条件与集合的交汇
（1）记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要条件，则AB，
若p是q的必要不充分条件，则BA；
（2）记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若M?N，则p是q的充分条件，
若N?M，则p是q的必要条件，
若M＝N，则p是q的充要条件；
【自我尝试】
1、判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）q是p的必要条件时，p是q的充分条件；( )
（2）若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题；( )
（3）q不是p的必要条件时，“pq”成立；( )
（4）若p是q的必要条件，则q是p的充分条件；( )
（5）内错角相等?两直线平行；( )
（6）“x＝0”是“x2＝2x”的必要条件；( )
（7）“△ABC∽△A′B′C′”是“△ABC≌△A′B′C′”的必要条件；( )
（8）“x＝3”是“x2＝9”的充分条件；( )
1、答案：（1）√；（2）√；（3）√；（4）√；（5）√；（6）×；（7）√；（8）√；
2、做一做（请把正确的答案写在横线上）
（1）若p是q的充分条件，q是r的充分条件，则p是r的________条件；
（2）设集合M＝{x|x≥2}，P＝{x|x>1}，则“x∈M∪P”是“x∈M∩P”的________条件；
（3）“ab＞0”是“a＞0，b＞0”的________条件；
（4）
“x2－3x＋2＝0”的充要条件是_______________________________；
（5）“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)
；
（6）若△ABC∽△DEF，“相似比为3∶2”是“对应高的比为3∶2”的________条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)
；
2、答案：（1）充分；（2）必要；（3）必要；（4）x＝1或x＝2；（5）充要；（6）充要。
3、已知A?B，则“x∈A”是“x∈B”的________条件．
3、答案：充分
4、p：|x|＝|y|，q：x＝y，则p是q的________条件．
4、答案：必要；
解析 ∵x＝y?|x|＝|y|，即q?p，∴p是q的必要条件．
【题型探究】
题型一、充分条件的判断
例1、（1）下列命题中，p是q的充分条件的是________．
①p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0；
②p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等；
③p：m<－2，q：方程x2－x－m＝0无实根．
【答案】 ③
【解析】
①因为(x－2)(x－3)＝0，所以x＝2或x＝3，不能推出x－2＝0，所以p不是q的充分条件；
②因为两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等，所以p不是q的充分条件；
③因为m<－2，∴12＋4m<0，所以方程x2－x－m＝0无实根，所以p是q的充分条件；
（2）“a>2且b>2”是“a＋b>4，ab>4”的________条件．
【答案】充分；
【解析】由a>2且b>2?a＋b>4，ab>4，所以是充分条件．
【方法归纳】充分条件的判断方法：（1）判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p?q问题；（2）除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A?B，则p是q的充分条件。
题型二、必要条件的判断
例2、在以下各题中，分析p与q的关系：
（1）p：x>2且y>3，q：x＋y>5；（2）p：一个四边形的四个角都相等，q：四边形是正方形．
【解析】（1）由于p?q，故p是q的充分条件，q是p的必要条件；
（2）由于q?p，故q是p的充分条件，p是q的必要条件；
【方法归纳】（1）判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p?q为真，则p是q的充分条件，若q?p为真，则p是q的必要条件；（2）也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A?B，则甲是乙的必要条件。
题型三、充分条件与必要条件的应用
例3、已知p：实数x满足3a【解析】p：3a因为p?q，所以A?B，所以?－≤a<0，所以a的取值范围是－≤a<0；
延伸探究
1．将本例中条件p改为“实数x满足a0”，若p是q的必要条件，求实数a的取值范围．
【解析】p：a因为q?p，所以B?A，所以?a∈?.
2、将例题中的条件“q：实数x满足－2≤x≤3”改为“q：实数x满足－3≤x≤0”其他条件不变，求实数a的取值范围．
【解析】p：3a因为p是q的充分条件，所以p?q，所以A?B，
所以?－1≤a<0，所以a的取值范围是－1≤a<0；
【方法归纳】充分条件与必要条件的应用技巧：（1）应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题；（2）求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解。
题型四、充分、必要、充要条件的判断
例4、指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件)．
(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；
(2)p：x>1，q：x2>1；
(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；(4)p：|ab|＝ab，q：ab>0.
【解析】 (1)因为p?q，q不能推出p，所以p是q的充分不必要条件；
(2)
因为p?q，q不能推出p，所以p是q的充分不必要条件；
(3)
因为p不能推出q，q?p，所以p是q的必要不充分条件；
(4)
因为ab＝0时，|ab|＝ab，所以“|ab|＝ab”不能推出“ab>0”，即p不能推出q.
而当ab>0时，有|ab|＝ab，即q?p，所以p是q的必要不充分条件；
【方法归纳】判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法：(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假；(2)集合法：即利用集合的包含关系判断；(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1?p2?…?pn，可得p1?pn；充要条件也有传递性；
题型五、充要条件的证明
例5、求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
【证明】 充分性：因为a＋b＋c＝0，所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0，
得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0，所以方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.
必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.
所以a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0，
故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
延伸探究
求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
【证明】必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根，
所以Δ＝b2－4ac>0，x1·x2＝<0，所以ac<0.
充分性：由ac<0可得b2－4ac>0及x1·x2＝<0，
所以方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实根，且两根异号，
即方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根．
【方法归纳】充要条件证明的两个思路：(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p?q是证明充分性，推证q?p是证明必要性；(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件．
题型六、充要条件的应用
例6、已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围。
【解析】p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，
因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件，
即{x|1－m≤x≤1＋m}?{x|－2≤x≤10}，故有或
解得m≤3，又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0延伸探究
1、若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围；
【解析】p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，因为p是q的充分不必要条件，
设p代表的集合为A，q代表的集合为B，所以A?B，所以或
解不等式组得m>9或m≥9，所以m≥9，即实数m的取值范围是m≥9.
2、本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
【解析】因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
若p是q的充要条件，则m不存在，故不存在实数m，使得p是q的充要条件．
【方法归纳】应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤：（1）根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系；（2）根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解。
【素养提升】
1、充分条件与必要条件的两点说明
（1）从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件
①若p?q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件；
②若p?q，则p是q的充要条件；
③若p?q，且q
p，则称p是q的充分不必要条件；
④若p
q，且q?p，则称p是q的必要不充分条件；
⑤若p
q，且q
p，则称p是q的既不充分也不必要条件；
（2）从集合的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则
①若A?B，则p是q的充分条件；
②若B?A，则p是q的必要条件；
③若A＝B，则p是q的充要条件；
④若A?B且BA，即AB，则p是q的充分不必要条件；
⑤若B?A且AB，即BA，则p是q的必要不充分条件；
⑥若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要条件。
记法
A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}
关系
AB
BA
A＝B
A
B且BA
图示
结论
p是q的充分不必要条件
p是q的必要不充分条件
p，q互为充要条件
p是q的既不充分也不必要条件
2、“?”的传递性
若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p?q，q?s，则有p?s，即p是s的充要条件．
易错防范：
试证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
【解析】①必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b2－4ac＞0，x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)，所以ac＜0；
②充分性：由ac＜0可推得Δ＝b2－4ac＞0及x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0；
【注意】误区警示：证明p是q的充要条件要注意充分性与必要性的证明方向，必要性证明的是必要条件，充分性证明的是充分条件。
A级：“四基”巩固训练
1、“a和b都是奇数”是“a+b是偶数”的
( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既是充分条件也是必要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
1、答案：A；【解析】选A.两个奇数的和是偶数，但和为偶数的两个数有可能是两个偶数，不一定是两个奇数，所以“a和b都是奇数”?“a+b是偶数”，“a+b是偶数”“a和b都是奇数”.所以“a和b都是奇数”是“a+b是偶数”的充分条件.
2、已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0，且ab>0”的________条件．
2、答案 充要
解析 因为a>0，b>0，所以a＋b>0，ab>0，
充分性成立；因为ab>0，所以a与b同号，又a＋b>0，所以a>0且b>0，必要性成立．故“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的充要条件．
3、用“充分”或“必要”填空：
（1）“x≠3”是“|x|≠3”的
条件.?
（2）“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的________ 条件.?
3、答案：（1）必要；（2）充分；【解析】(1)当|x|≠3时，x≠±3，所以“x≠3”“|x|≠3”，“|x|≠3”?“x≠3”，所以“x≠3”是“|x|≠3”的必要条件；(2)因为个位数字是5或0的自然数都能被5整除，所以“个位数字是5的自然数”?“这个自然数能被5整除”“这个自然数能被5整除”“这个自然数的个位数字是5”，所以“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的充分条件。
4、若集合A={1，m2}，B={2，4}，则“m=2”是“A∩B={4}”的________条件.(填“充分”或“必要”)?
4、答案：充分；【解析】当A∩B={4}时，m2=4，所以m=±2，所以“m=2”是“A∩B={4}”的充分条件.
5、求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1的充要条件是a－b＋c＝0.
5、证明：充分性：因为a－b＋c＝0，即a·(－1)2＋b·(－1)＋c＝0，所以－1是ax2＋bx＋c＝0的一个根．
必要性：因为ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1，
所以a·(－1)2＋b·(－1)＋c＝0，即a－b＋c＝0.
综上可得ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1的充要条件是a－b＋c＝0.
B级：“四能”提升训练
6、若非空集合A，B，C满足A∪B=C，且B不是A的子集，则
( )
A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件
B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件
C．“x∈C”是“x∈A”的充分条件也是“x∈A”的必要条件
D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件
6、答案：B；【解析】选B.x∈A必有x∈C，但反之不一定成立，所以“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件.
7、设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么
( )
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙既是甲的充分条件，也是甲的必要条件
D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
7、答案：A；【解析】选A.因为甲是乙的必要条件，所以乙?甲，又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙?乙，但乙丙，如图综上，有丙?甲，但甲丙，
即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件.
8、给出下列四个条件：①a>0，b>0；②a<0，b<0；③a=3，b=-2；④a>0，b<0且|a|>|b|，其中________是a+b>0的充分条件
(填序号)。
8、答案：①③④
【解析】问题是“谁”是“a+b>0”的充分条件；对应即为“谁”?a+b>0.
①a>0，b>0?a+b>0；②a<0，b<0a+b>0；
③a=3，b=-2?a+b>0；④a>0，b<0且|a|>|b|?a+b>0.
9、设n∈N，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________．
9、答案：0，3或4
解析：由题意得x＝＝2±，因为x是整数，即2±为整数，所以为整数，且n≤4，又因为n∈N
，取n＝0，1，2，3，4，验证可知n＝
0，3，4符合题意；反之n＝3，4时都可推出一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根．
10、已知a，b是实数，求证：a4－b4－2b2＝1成立的充要条件是a2－b2＝1.
证明 充分性：若a2－b2＝1成立，
则a4－b4－2b2＝(a2＋b2)(a2－b2)－2b2＝a2＋b2－2b2＝a2－b2＝1，
所以a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1的充分条件．
必要性：若a4－b4－2b2＝1成立，
则a4－(b2＋1)2＝0，
即(a2＋b2＋1)(a2－b2－1)＝0.
因为a，b为实数，所以a2＋b2＋1≠0，
所以a2－b2－1＝0，即a2－b2＝1.
综上可知，a4－b4－2b2＝1成立的充要条件是a2－b2＝1.
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普通高中教科书
数学
必修
第一册（上海教育出版社）