第
1
章
集合与逻辑
1.2
常用逻辑用语
1.2.3
反证法
【学习目标】
课程标准
学科素养
1、了解反证法的解题过程与自身特点；2、通过实例归纳总结应用反证法解题的注意事项；
1、数学抽象：理解反证法；2、逻辑推理：会用反证法证明命题；
3、数学运算；
相关的方程、不等式性质的应用
【自主学习】
问题导学：预习教材P19－P20，思考以下问题：
1、反证法的定义；2、反证法的证明步骤；3、反证法的应用；
【知识梳理】
1、反证法的定义
反证法是指“证明某个命题时，首先假设结论β不成立（β为假），然后经过正确的逻辑推理得出已知条件或（已学）定理相矛盾的结论，从而说明“β为假”是不可能发生的，即结论β是正确的；这样的证明方法叫反证法；
【注意】反证法证明数学问题的理解：反证法的理论依据是逻辑规律中的排除律：一个事物或者是A或是，二者必居其一，反证法即证明结论的反面错误；从而结论正确；（2）反证法中的“反设”，这是应用反证法的第一步，也是关键一步；“反设”的结论将是下一步“归谬”的一个已知条件，“反设”是否正确、全面，直接影响下一步的证明，做好“反设”应明确①正确分清题设和结论；②对结论实施正确否定；③对结论否定后，找出其所有情况；（3）反证法可以证明的命题的范围相当广泛.一般常见的如：惟一性问题，无限性问题，肯定性问题，否定性问题，存在性问题，不等式问题，等式问题，函数问题，整除问题，几何问题等；（4）反证法属“间接解题方法”；
2、反证法证题的基本步骤：
（1）假设原命题的结论不成立；（假设）
（2）从这个假设出发，经过正确的推理，推出矛盾；（归缪）
（3）因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.（结论）
【注意】用反证法证明结论是B的命题；其思路是：假定B不成立，则B的反面成立，然后从B的反面成立的假定出发，利用已知事实、公理、定义、定理、法则、公式等作出一系列正确的推理，最后推出矛盾的结果，若同时承认这个结果与题设条件，则与学过的公理、定理或定义矛盾，这矛盾只能来自“B的反面成立”这个假设，因此B必定成立；可见反证法的步骤是：否定结论→推出矛盾→否定假设→肯定结论，其中推出矛盾是证明的关键。
3、反证法证明数学问题的理解
反证法可以证明的命题的范围相当广泛，一般常见的如：惟一性问题，无限性问题，肯定性问题，否定性问题，存在性问题，不等式问题，等式问题，函数问题，整除问题，几何问题等。
【注意】1、数学中的一些基础命题都是数学中我们经常运用的明显事实，它们的判定方法极少，宜用反证法证明，正难则反这是应用反证法的原则，即一个命题的结论如果难于直接证明时，可考虑用反证法；
（2）另外，宜用反证法证明的题型还有：①一些基本命题、基本定理；②易导出与已知矛盾的命题；③“否定性”命题；④唯一性”命题；⑤“必然性”命题；⑥至多”“至少”类的命题；⑦涉及“无限”结论的命题等等。
【自我尝试】
1、判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）反证法可归结为下面的步骤：反设、归谬、存真；( )
（2）假设欲证的命题是“若A，则B”，我们可以通过否定A来达到肯定B的目的；( )
（3）“a>b”的反面是“a
；( )
（4）“x=y”的反面是“x>y或x；( )
（5）“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”
；( )
（6）“三角形的内角中最多有一个直角”的反面是“三角形的内角中没有直角”
；( )
1、答案：（1）√；（2）×；（3）×；应为a≤b；（4）√;（5）×；应为三角形的外心在三角形内或三角形的边上;（6）×；应为三角形的内角中有2个或3个直角；
2、用反证法证明命题“如果a>b，那么>”时，假设的内容是( )
A．＝
B．<
C．＝，且<
D．＝或<
2、答案：D
3、用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是( )
A．三个内角中至少有一个钝角
B．三个内角中至少有两个钝角
C．三个内角都不是钝角
D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角
3、答案：B
解析：“至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”．
4、用反证法证明命题“若a2+b2=0，则a,b全为0(a，b为实数)”，其“假设”为 .?
4、答案:a,b不全为0
解析:“a,b全为0”即“a=0且b=0”,因此它的反面应为“a≠0或b≠0”,即a,b不全为0.
【题型探究】
题型一、用反证法证明否定性命题的适用类型
例1、平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一条直线上的三点A，B，C不能作圆”
；如何证明这个命题？
【解析】假设过在同一条直线上的三点A，B，C可以作一个圆.则该圆与直线有三个交点，这与直线与圆至多有2个交点矛盾；因此，过在同一条直线上的三点A，B，C不能作圆；
【方法归纳】1、结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法；2．用反证法证明数学命题的：（1）反设：假设命题的命题的结论不成立；，即假定原结论的反面为真；（2）归缪：从反设和已知出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果;（3）存真：由矛盾的结果断定反设不真，从而肯定原结论成立。
题型二、用反证法证明“至多”“至少”等问题
例2、若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋，求证：a，b，c中至少有一个大于零；
【证明】假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，
所以a＋b＋c≤0，而a＋b＋c＝＋＋
＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3，
所以a＋b＋c>0，这与a＋b＋c≤0矛盾，故a，b，c中至少有一个大于0；
【方法归纳】用反证法证明“至多”“至少”等问题的两个关注点：（1）反设情况要全面，在使用反证法时，必须在假设中罗列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的；（2）常用题型：对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能”等字样时，常用反证法；
【规律技巧】用反证法证明不等式，常用的否定形式有：“≥”的反面为“＜”；“≤”的反面为“＞”；“＞”的反面为“≤”；“＜”的反面为“≥”；“≠”的反面为“＝”；“＝”的反面为“≠”或“＞”及“＜”。
题型三、用反证法证明唯一性命题
例3、求证：两条相交直线有且只有一个交点；
【证明】因为两直线为相交直线，故至少有一个交点，假设两条直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B的直线就有两条，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．
综上所述，两条相交直线有且只有一个交点；
【方法归纳】1、巧用反证法证明唯一性命题：（1）当证明结论有以“有且只有”“当且仅当”“唯一存在”“只有一个”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，故常用反证法证；（2）用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立；
题型四、利用反证法证明不等式
例4、已知0【证明】 假设x(2－y)>1，y(2－z)>1，z(2－x)>1均成立，则三式相乘得xyz(2－x)(2－y)(2－z)>1.①
因为0同理，0②与①矛盾，故假设不成立，所以x(2－y)，y(2－z)，z(2－x)不都大于1；
【方法归纳】用反证法证明不等式的策略：（1）反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法；（2）用反证法证明不等式，其实质是从否定结论出发，通过逻辑推理，导出与已知条件或公理相矛盾的结论，从而肯定原命题成立。
【素养提升】
1、反证法是间接证明的一种基本方法，一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过逻辑推理得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法；
2、反证法的适用题型：（1）易导出与已知矛盾的命题；（2）一些基本定理；（3）“否定性”命题；
（4）“唯一性”命题；（5）“必然性”命题；（6）“至少”、“至多”命题；
3、反证法的一般步骤是什么？（1）分清命题的条件和结论；（2）做出与命题结论相矛盾的假设；（3）由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；（4）断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真．
【特别提醒】推理必须从假设出发，不用假设进行论证就不是反证法；
4、反证法证题的关键是什么？用反证法证题的关键在于依据假设在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、定理、公理、事实矛盾等，但推导出的矛盾必须是明显的．
5、用反证法证明问题时，常用正面词语的否定形式主要有哪些？见下表：
正面词语
否定
正面词语
否定
等于
不等于
都是
不都是(至少有一个不是)
小于
不小于(大于或等于)
至多有一个
至少有两个
大于
不大于(小于或等于)
至少有一个
一个也没有
易错防范：
已知实数p满足不等式(2p＋1)(p＋2)<0，用反证法证明：关于x的方程x2－2x＋5－p2＝0无实根．
[错解] 假设方程x2－2x＋5－p2＝0有实根，由已知实数p满足不等式(2p＋1)(p＋2)<0，解得－2又关于x的方程x2－2x＋5－p2＝0的根的判别式Δ＝4(p2－4)，
因为－2【错因】反证法证明问题的步骤为假设结论不成立，经过推理得出矛盾，否定假设，肯定结论，而此解法没有用到假设的结论，不是反证法；
【正解】假设方程x2－2x＋5－p2＝0有实根，则该方程的判别式Δ＝4－4(5－p2)≥0，
解之得p≥2或p≤－2，这与已知条件实数p满足不等式(2p＋1)(p＋2)<0矛盾，所以，假设不成立，
故关于x的方程x2－2x＋5－p2＝0无实根；
【即时练习】
A级：“四基”巩固训练
1、应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用( )
①与结论相反的判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．
A．①②
B．①②④
C．①②③
D．②③
1、答案：C；解析：选C.由反证法的推理原理可知，反证法必须把结论的相反判断作为条件应用于推理，同时还可应用原条件以及公理、定理、定义等．
2、已知a，b，c是互不相等的非零实数．若用反证法证明三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根，应假设成( )
A．三个方程都没有两个相异实根
B．一个方程没有两个相异实根
C．至多两个方程没有两个相异实根
D．三个方程不都没有两个相异实根
2、答案：A；解析：选A.命题“三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根”的否定为“三个方程都没有两个相异实根”，故选A.
3、陈述句
“x＝0且y＝0”的否定形式为
．
3、答案：x≠0或y≠0；解析：“p且q”的否定形式为“p或q”．
4、用反证法证明命题“如果a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容应是
4、答案：a,b都不能被5整除．
5、用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误；
②所以一个三角形不能有两个直角；
③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.
上述步骤的正确顺序为________．
5、答案：③①②
B级：“四能”提升训练
6、命题“关于x的方程ax＝b(a≠0)的解是唯一的”的结论的否定是（
）
A．无解
B．两解
C．至少两解
D．无解或至少两解
6、答案：D
；
7、用反证法证明：“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步反设：
7、答案：如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形是等腰三角形。
8、甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知．3人作出如下预测：
甲说：我不是第三名；
乙说：我是第三名；
丙说：我不是第一名．
若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第一名的是__________．
8、【答案】乙
【解析】若甲的预测准确，则甲不是第三名；乙不是第三名；丙是第一名．
很明显前两个预测说明丙是第三名，后一个预测说明丙是第一名，矛盾，则假设不成立；
若乙的预测准确，则：甲是第三名；乙是第三名；丙是第一名．很明显前两个预测矛盾，则假设不成立.
若丙的预测准确，则：甲是第三名；乙不是第三名；丙是第一名，推理得甲是第三名；乙是第二名；丙是第一名；
综上可得，获得第一名的是乙；
9、已知：一个整数的平方能被2整除
求证：这个数是偶数。
9、证明：假设这个整数不是偶数，则由题意可知该数为奇数，设该整数为2n+1，则(2n+1)2=4n2+4n+1，
显然不能被2整除，这与已知条件矛盾，所以假设不成立，所以这个整数是偶数。
10、若a，b，c互不相等，证明：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根。
证明：假设三个方程中都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0.
相加得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0.
所以，a＝b＝c，这与a，b，c互不相等矛盾．
所以，假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根。
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普通高中教科书
数学
必修
第一册（上海教育出版社）第
1
章
集合与逻辑
1.2
常用逻辑用语
1.2.3
反证法
【学习目标】
课程标准
学科素养
1、了解反证法的解题过程与自身特点；2、通过实例归纳总结应用反证法解题的注意事项；
1、数学抽象：理解反证法；2、逻辑推理：会用反证法证明命题；
3、数学运算；
相关的方程、不等式性质的应用
【自主学习】
问题导学：预习教材P19－P20，思考以下问题：
1、反证法的定义；2、反证法的证明步骤；3、反证法的应用；
【知识梳理】
1、反证法的定义
反证法是指“证明某个命题时，首先假设结论β不成立（β为假），然后经过正确的逻辑推理得出已知条件或（已学）定理相矛盾的结论，从而说明“β为假”是不可能发生的，即结论β是正确的；这样的证明方法叫反证法；
2、反证法证题的基本步骤：
（1）假设原命题的结论不成立；（假设）
（2）从这个假设出发，经过正确的推理，推出矛盾；（归缪）
（3）因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.（结论）
3、反证法证明数学问题的理解
反证法可以证明的命题的范围相当广泛，一般常见的如：惟一性问题，无限性问题，肯定性问题，否定性问题，存在性问题，不等式问题，等式问题，函数问题，整除问题，几何问题等。
【自我尝试】
1、判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）反证法可归结为下面的步骤：反设、归谬、存真；( )
（2）假设欲证的命题是“若A，则B”，我们可以通过否定A来达到肯定B的目的；( )
（3）“a>b”的反面是“a；( )
（4）“x=y”的反面是“x>y或x；( )
（5）“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”
；( )
（6）“三角形的内角中最多有一个直角”的反面是“三角形的内角中没有直角”
；( )
2、用反证法证明命题“如果a>b，那么>”时，假设的内容是( )
A．＝
B．<
C．＝，且<
D．＝或<
3、用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是( )
A．三个内角中至少有一个钝角
B．三个内角中至少有两个钝角
C．三个内角都不是钝角
D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角
4、用反证法证明命题“若a2+b2=0，则a,b全为0(a，b为实数)”，其“假设”为 .?
【题型探究】
题型一、用反证法证明否定性命题的适用类型
例1、平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一条直线上的三点A，B，C不能作圆”
；如何证明这个命题？
题型二、用反证法证明“至多”“至少”等问题
例2、若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋，求证：a，b，c中至少有一个大于零；
题型三、用反证法证明唯一性命题
例3、求证：两条相交直线有且只有一个交点；
题型四、利用反证法证明不等式
例4、已知0【素养提升】
1、反证法是间接证明的一种基本方法，一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过逻辑推理得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法；
2、反证法的适用题型：（1）易导出与已知矛盾的命题；（2）一些基本定理；（3）“否定性”命题；
（4）“唯一性”命题；（5）“必然性”命题；（6）“至少”、“至多”命题；
3、反证法的一般步骤是什么？（1）分清命题的条件和结论；（2）做出与命题结论相矛盾的假设；（3）由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；（4）断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真．
【特别提醒】推理必须从假设出发，不用假设进行论证就不是反证法；
4、反证法证题的关键是什么？用反证法证题的关键在于依据假设在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、定理、公理、事实矛盾等，但推导出的矛盾必须是明显的．
5、用反证法证明问题时，常用正面词语的否定形式主要有哪些？见下表：
正面词语
否定
正面词语
否定
等于
不等于
都是
不都是(至少有一个不是)
小于
不小于(大于或等于)
至多有一个
至少有两个
大于
不大于(小于或等于)
至少有一个
一个也没有
易错防范：
已知实数p满足不等式(2p＋1)(p＋2)<0，用反证法证明：关于x的方程x2－2x＋5－p2＝0无实根．
[错解] 假设方程x2－2x＋5－p2＝0有实根，由已知实数p满足不等式(2p＋1)(p＋2)<0，解得－2又关于x的方程x2－2x＋5－p2＝0的根的判别式Δ＝4(p2－4)，
因为－2【即时练习】
A级：“四基”巩固训练
1、应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用( )
①与结论相反的判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．
A．①②
B．①②④
C．①②③
D．②③
2、已知a，b，c是互不相等的非零实数．若用反证法证明三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根，应假设成( )
A．三个方程都没有两个相异实根
B．一个方程没有两个相异实根
C．至多两个方程没有两个相异实根
D．三个方程不都没有两个相异实根
3、陈述句
“x＝0且y＝0”的否定形式为
．
4、用反证法证明命题“如果a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容应是
5、用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误；
②所以一个三角形不能有两个直角；
③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.
上述步骤的正确顺序为________．
B级：“四能”提升训练
6、命题“关于x的方程ax＝b(a≠0)的解是唯一的”的结论的否定是（
）
A．无解
B．两解
C．至少两解
D．无解或至少两解
7、用反证法证明：“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步反设：
8、甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知．3人作出如下预测：
甲说：我不是第三名；
乙说：我是第三名；
丙说：我不是第一名．
若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第一名的是__________．
9、已知：一个整数的平方能被2整除
求证：这个数是偶数。
10、若a，b，c互不相等，证明：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根。
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数学
必修
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