第
1
章
集合与逻辑
1.1
集合初步
1.1.1
集合的意义
数学语言和自然语言的重要区别在于数学语言更加精确，不容易产生歧义；集合是现代数学语言的重要组成部分，使用集合的语言，可以准确、简洁地表示所要研究的对象，更好地描述所研究的对象之间的关系。
【学习目标】
课程标准
学科素养
1、通过实例了解集合的意义；
2、理解集合中元素的三个特性；
3、理解元素与集合的关系，并能用符号表示.4、记住常用数集及其记法；
5、在具体情境中，了解全集与空集的含义；
1、数学抽象：集合概念的理解；2、逻辑推理：集合的互异性的辨析与应用；3、数学运算：集合相等时的参数计算；4、直观想象：集合的图形表示；
【自主学习】
问题导学：预习教材P2－P4的内容，思考以下问题：
1、集合和元素的概念是什么？2、如何用字母表示集合和元素？3、元素和集合之间有哪两种关系？
4、常见的数集有哪些？分别用什么符号来表示？5、按元素个数的多少，集合可分为哪几类？
【知识梳理】
1、集合的意义
（1）定义：概括地说，把一些
的全体叫做集合（set），简称集；
（2）记法：集合通常用大写字母
来表示；
（3）常用数集及表示符号：数学上，常常需要用到数的集合；数的集合简称
；
数集
自然数集
整数集
有理数集
实数集
名称
正整数集
记法
符号
2、元素
（1）定义：集合所含的
叫做该集合的元素（element），简称元；
（2）记法：通常用小写字母
来表示；
（3）特性：
、
、
。
3、元素与集合的关系
关系
定义
记法
读法
属
于
a是集合A的元素
不属于
a不是集合A的元素
5、集合相等
如果两个集合所含的元素完全
(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，则称这两个集合相等；记作A=B；
6、集合的分类
有限集
含有
元素的集合
无限集
含有
元素的集合
空集
不含有任何元素的集合，记作；
【自我尝试】
1、判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）浦外高一（1）的优秀学生可以组成集合；( )
（2）分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个集合是相等的；( )
（3）由1,－1,1组成的集合中有3个元素；( )
2、用“∈”或“?”填空：
N；－3
Z；
Q；0
N；
R.
3、方程x2－1＝0的解与方程x＋1＝0的解组成的集合中共有________个元素；
4、当{a，0，－1}＝{4，b，0}时，a＝________，b＝________；
【题型探究】
题型一、集合的概念
例1、下列说法中，正确的有________．(填序号)
①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个；
②集合M中有3个元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形；
③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合．
题型二、元素与集合的关系
例2、用符号“∈”或“?”填空：
①设集合B是小于的所有实数的集合，则2________B；1＋________B；
②设集合C是满足方程x＝n2＋1(其中n为正整数)的实数x的集合，则3________C；5________C；
③设集合D是满足方程y＝x2的有序实数对(x，y)组成的集合，则－1________D；(－1,1)________D.
题型三、
集合中的元素的性质及应用
例3、已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．
拓展变式
1、（变问法）若将“－3∈A”换成“a∈A”，求实数a的值；
2、（变条件）把例2的条件改为“已知集合A中含有两个元素a和a2，且1∈A”求实数a的值。
题型四、
两个集合相等
例4、已知集合，，且，则的值为________.
题型五、集合的分类
例5、判断下列集合是有限集还是无限集，并说明理由：
（1）6的正倍数的全体组成的集合；
（2）600的正约数的全体组成的集合；
（3）20世纪在上海出生的所有人组成的集合；
（4）一条长度为１的线段上的所有点组成的集合。
【说明：“约数”：如果一个整数能被两个整数整除，那么这两个数就是这个数的约数；约数是有限的,一般用最大公约数，所有数都有约数1；正约数表示正的约数；正因数，或称为正约数，指的是一个整数中大于0的因数。如：12的正因数有1，2，3，4，6，12。因数必须是整数，所以任何整数的最小正因数都是1。】
【素养提升】
1、集合概念中的“研究对象”的理解
集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是点，也可以是一些人或一些物；
2、集合中元素的三个特性
集合元素具有三个特征：确定性、互异性、无序性；确定性用来判断符合什么条件的研究对象可组成集合；互异性是相同元素只写一次，在解决集合的关系或运算时，要注意验证互异性；无序性，即只要元素完全相同的两个集合是相等集合，与元素的顺序无关；集合中的元素的确定性和互异性，一是可以作为解题的依据;二可以检验所求结果是否正确；
3、对符号“∈”与“?”的理解
（1）符号“∈”“?”刻画的是元素与集合之间的关系；对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a?A”这两种结果；（2）∈和?具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的；
易错防范：
下列各组中M，P表示同一集合的序号是________．
①M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}；
②M＝{(3，1)}，P＝{(1，3)}；
③M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{x|x＝t2－1，t∈R}；
④M＝{y|y＝x－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x－1，x∈R}．
【即时练习】
A级：“四基”巩固训练
1、下列各组对象能构成集合的是( )
A．平面直角坐标系内x轴上方的y轴附近的点
B．大于－5且小于5的有理数
C．新华书店中有意义的小说
D．π(π＝3.141…)的近似值的全体
2、给出下列关系：(1)∈R；(2)∈Q；(3)－3?Z；(4)－?N，其中正确的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
3、已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m＝________．
4、若集合{1，a，b}与{－1，－b，1}是同一个集合，则a与b分别为________．
5、已知集合{x|x2－2x＋a＝0}＝?，则实数a的取值范围是________．
B级：“四能”提升训练
6、集合A的元素y满足y＝x2＋1，集合B的元素(x，y)满足y＝x2＋1(A，B中x∈R，y∈R)；则下列选项中元素与集合的关系都正确的是( )
A．2∈A，且2∈B
B．(1，2)∈A，且(1，2)∈B
C．2∈A，且(3，10)∈B
D．(3，10)∈A，且2∈B
7、设是有理数，集合，在下列集合中；
（1）；（2）；（3）；（4）；与相同的集合有（
）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
8、若集合A中含有三个元素a－3，2a－1，a2－4，且－3∈A，则实数a的值为________．
9、当x∈A时，若x－1?A且x＋1?A，则称x为A的一个“孤立元素”，所有孤立元素组成的集合称为“孤星集”，则集合A＝{0,1,2,3,5}中“孤立元素”组成的“孤星集”为
.
10、已知由实数组成的集合，，又满足:若，则．
（1）设中含有3个元素，且求A；
（2）能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由；
（3）
中含元素个数一定是个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由．
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数学
必修
第一册（上海教育出版社）第
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章
集合与逻辑
1.1
集合初步
1.1.1
集合的意义
数学语言和自然语言的重要区别在于数学语言更加精确，不容易产生歧义；集合是现代数学语言的重要组成部分，使用集合的语言，可以准确、简洁地表示所要研究的对象，更好地描述所研究的对象之间的关系。
【学习目标】
课程标准
学科素养
1、通过实例了解集合的意义；（难点）2、理解集合中元素的三个特性；（重点、易考点）3、理解元素与集合的关系，并能用符号表示.4、记住常用数集及其记法；（重点、易混点）5、在具体情境中，了解全集与空集的含义；（易考点）
1、数学抽象：集合概念的理解；2、逻辑推理：集合的互异性的辨析与应用；3、数学运算：集合相等时的参数计算；4、直观想象：集合的图形表示；
【自主学习】
问题导学：预习教材P2－P4的内容，思考以下问题：
1、集合和元素的概念是什么？2、如何用字母表示集合和元素？3、元素和集合之间有哪两种关系？
4、常见的数集有哪些？分别用什么符号来表示？5、按元素个数的多少，集合可分为哪几类？
【知识梳理】
1、集合的意义
（1）定义：概括地说，把一些确定的对象的全体叫做集合（set），简称集；
（2）记法：集合通常用大写字母A、B、C、…来表示；
（3）常用数集及表示符号：数学上，常常需要用到数的集合；数的集合简称数集；
数集
自然数集
整数集
有理数集
实数集
名称
正整数集
记法
N
Z
Q
R
符号
N＋或N
注意：集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是数、点，也可以是一些人或一些物；
2、元素
（1）定义：集合所含的各个对象叫做该集合的元素（element），简称元；
（2）记法：通常用小写字母a、b、c、…来表示；
（3）特性：确定性、互异性、无序性。
注意：一个给定集合中的各个元素是互不相同的，即一个元素在同一个集合中是不能重复出现的；
3、元素与集合的关系
关系
定义
记法
读法
属
于
a是集合A的元素
a∈A
a属于A
不属于
a不是集合A的元素
a?A
a不属于A
5、集合相等
如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，则称这两个集合相等；记作A=B；
6、集合的分类
有限集
含有有限个元素的集合
无限集
含有无限个元素的集合
空集
不含有任何元素的集合，记作；
【自我尝试】
1、判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）浦外高一（1）的优秀学生可以组成集合；( )
（2）分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个集合是相等的；( )
（3）由1,－1,1组成的集合中有3个元素；( )
1、（1）×；（2）√；（3）×
【解析】（1）因为“优秀”没有明确的标准，其不满足集合中元素的确定性；
（2）根据集合相等的定义知，两个集合相等；
（3）因为集合中的元素要满足互异性；所以由1，－1，1，组成的集合有2个元素－1，1；
2、用“∈”或“?”填空：
N；－3
Z；
Q；0
N；
R.
2、
?；∈；?；∈；∈；
【解析】因为不是自然数，所以?N；－3是整数，所以－3∈Z；因为不是有理数，所以?Q；0是自然数，所以0?N
；因为是实数，所以∈R；
3、方程x2－1＝0的解与方程x＋1＝0的解组成的集合中共有________个元素；
3、答案：2；
4、当{a，0，－1}＝{4，b，0}时，a＝________，b＝________；
4、答案：4；－1；
【题型探究】
题型一、集合的概念
例1、下列说法中，正确的有________．(填序号)
①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个；
②集合M中有3个元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形；
③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合．
【提示】注意理解集合与元素的概念；
【答案】②
【解析】 ①不正确.
book的字母o有重复，共有3个不同字母，元素个数是3；
②正确.
集合M中有3个元素a，b，c，所以a，b，c都不相等，它们构成的三角形三边不相等，故不可能是等腰三角形；
③不正确.
小于10的自然数不管按哪种顺序排列，里面的元素都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数，集合是相同的，和元素的排列顺序无关；
【方法归纳】判断一组对象组成集合的依据：判断一组对象能否构成一个集合，其关键是看该组对象是否满足确定性；如果该组对象满足确定性，就可能组成集合；否则，就不能组成集合。集合的元素有三个性质：（1）确定性：负责判断这组元素是否能构成集合；（2）互异性：负责判断构成集合的元素的个数；（3）无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关；
题型二、元素与集合的关系
例2、用符号“∈”或“?”填空：
①设集合B是小于的所有实数的集合，则2________B；1＋________B；
②设集合C是满足方程x＝n2＋1(其中n为正整数)的实数x的集合，则3________C；5________C；
③设集合D是满足方程y＝x2的有序实数对(x，y)组成的集合，则－1________D；(－1,1)________D.
【提示】判断一个元素是否属于某个集合，关键是看这个元素是否具有这个集合中元素的特征；
【答案】①? ∈ ②? ∈ ③? ∈
【解析】①因为2＝>，所以2?B；因为(1＋)2＝3＋2<3＋2×4＝11，
所以1＋<，∴1＋∈B；
②因为n是正整数，所以n2＋1≠3，所以3?C；当n＝2时，n2＋1＝5，∴5∈C.
③因为集合D中的元素是有序实数对(x，y)，且－1是数，所以－1?D；又(－1)2＝1，所以(－1,1)∈D；
【方法归纳】判断元素和集合关系的通常有两种方法：（1）直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可.
此时应首先明确集合是由哪些元素构成的；（2）推理法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件；
题型三、
集合中的元素的性质及应用
例3、已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．
【提示】注意求解集合的过程中，首先需要根据集合的确定性确定元素；
【解析】因为－3∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a－1，
若－3＝a－3，则a＝0，
此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意；
若－3＝2a－1，则a＝－1，
此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意；
综上所述，a＝0或a＝－1.
拓展变式
1、（变问法）若将“－3∈A”换成“a∈A”，求实数a的值；
【解析】∵a∈A，∴a＝a－3或a＝2a－1，
解得a＝1，此时集合A中有两个元素－2,1，符合题意．
故所求a的值为1；
2、（变条件）把例2的条件改为“已知集合A中含有两个元素a和a2，且1∈A”求实数a的值。
【解析】若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.
当a＝1时，a＝a2，集合A中有一个元素，∴a≠1.
当a＝－1时，集合A中含有两个元素1，－1，符合互异性．
所以，a＝－1；
【方法归纳】求解集合的过程中，首先需要根据集合的确定性确定元素，之后再根据集合的互异性将重复的元素剔除，最后将符合条件的全体元素的取值；其中，由集合中元素的特性求解字母取值（范围）的步骤：1、求解：根据集合中元素的确定性，解出字母的所有取值；2、检验：根据集合中元素的互异性，对以上解出的值进行检验；作答：写出所有符合题意的字母的取值。
题型四、
两个集合相等
例4、已知集合，，且，则的值为________.
【提示】理解集合相等的定义；
【答案】；
【分析】本题根据题意先得到限制条件，再根据限制条件求的值即可.
【详解】解：因为，，，所以，解得，
故答案为：0；
【方法归纳】对于含参数的据集合相等问题，一般根据集合相等的定义，建立等式或不等式解之；注意检验集合元素的互异性。
题型五、集合的分类
例5、判断下列集合是有限集还是无限集，并说明理由：
（1）6的正倍数的全体组成的集合；
（2）600的正约数的全体组成的集合；
（3）20世纪在上海出生的所有人组成的集合；
（4）一条长度为１的线段上的所有点组成的集合。
【解析】：（1）6的正倍数可表示为6n，其中n是正整数；因为正整数有无限个，所以６的正倍数组成的集合是无限集；
（2）600的正约数一定是小于或等于600的正数，其个数不超过600；所以600的正约数组成的集合是有限集；
【说明：“约数”：如果一个整数能被两个整数整除，那么这两个数就是这个数的约数；约数是有限的,一般用最大公约数，所有数都有约数1；正约数表示正的约数；正因数，或称为正约数，指的是一个整数中大于0的因数。如：12的正因数有1，2，3，4，6，12。因数必须是整数，所以任何整数的最小正因数都是1。】
（3）虽然20世纪出生在上海的人比较多，但总数还是有限的；所以20世纪在上海出生的人组成的集合是有限集；
（4）在长度为１的线段AB上，存在与A的距离为的点，这里可以是任意正整数，因为正整数有无限个，所以一条长度为１的线段上的所有点组成的集合是无限集。
【方法归纳】在明确了集合中元素满足的确定性后，注意利用相关的代数与几何性质进行化简、表示；对于无限集，更应注意
用好“数轴”与“直角坐标系”。
【素养提升】
1、集合概念中的“研究对象”的理解
集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是点，也可以是一些人或一些物；
2、集合中元素的三个特性
集合元素具有三个特征：确定性、互异性、无序性；确定性用来判断符合什么条件的研究对象可组成集合；互异性是相同元素只写一次，在解决集合的关系或运算时，要注意验证互异性；无序性，即只要元素完全相同的两个集合是相等集合，与元素的顺序无关；集合中的元素的确定性和互异性，一是可以作为解题的依据;二可以检验所求结果是否正确；
3、对符号“∈”与“?”的理解
（1）符号“∈”“?”刻画的是元素与集合之间的关系；对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a?A”这两种结果；（2）∈和?具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的；
易错防范：
下列各组中M，P表示同一集合的序号是________．
①M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}；
②M＝{(3，1)}，P＝{(1，3)}；
③M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{x|x＝t2－1，t∈R}；
④M＝{y|y＝x－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x－1，x∈R}．
【答案】③
【解析】①中，M是由3，－1两个元素构成的集合，而集合P是由点(3，－1)构成的集合；②中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；④中，M是一次函数y＝x－1，x∈R的所有因变量组成的集合，而集合P是一次函数y＝x－1，x∈R图象上所有点组成的集合；
【错因分析】（1）本题易误选①或②，其原因是未理解清楚集合中元素代表什么，只注意形式基本相同，从而导致错误；（2）解答此类问题，要明确集合中的代表元素是数，还是有序实数对(点)，还是集合，或是其他形式；
【即时练习】
A级：“四基”巩固训练
1、下列各组对象能构成集合的是( )
A．平面直角坐标系内x轴上方的y轴附近的点
B．大于－5且小于5的有理数
C．新华书店中有意义的小说
D．π(π＝3.141…)的近似值的全体
1、答案：B；解析：
A、C、D中的对象不具有确定性，故不能构成集合；而B具有确定的标准，即“大于－5且小于5的有理数”；故能构成集合。
2、给出下列关系：(1)∈R；(2)∈Q；(3)－3?Z；(4)－?N，其中正确的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
2、答案：B；解析：是实数，(1)正确；是无理数，(2)错误；－3是整数，(3)错误；－是无理数，(4)正确．故选B.
3、已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m＝________．
3、答案：3；解析：由题意知m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m＝2或m＝0或m＝3，
经验证，当m＝0或m＝2时，不满足集合中元素的互异性，当m＝3时，满足题意，故m＝3.
4、若集合{1，a，b}与{－1，－b，1}是同一个集合，则a与b分别为________．
4、答案：－1，0；解析：由题意得或解得或
当a＝1，b＝－1时，集合中有重复元素应舍去．故a＝－1，b＝0.
5、已知集合{x|x2－2x＋a＝0}＝?，则实数a的取值范围是________．
5、答案：a>1；解析：Δ＝4－4a<0得a>1.
B级：“四能”提升训练
6、集合A的元素y满足y＝x2＋1，集合B的元素(x，y)满足y＝x2＋1(A，B中x∈R，y∈R)；则下列选项中元素与集合的关系都正确的是( )
A．2∈A，且2∈B
B．(1，2)∈A，且(1，2)∈B
C．2∈A，且(3，10)∈B
D．(3，10)∈A，且2∈B
6、答案：选C；解析：集合A中的元素为y，是数集，又y＝x2＋1≥1，故2∈A，集合B中的元素为点(x，y)，且满足y＝x2＋1，经验证，(3，10)∈B，故选C.
7、设是有理数，集合，在下列集合中；
（1）；（2）；（3）；（4）；与相同的集合有（
）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
7、答案：B；分析：将分别代入（1）、（2）、（3）中，化简并判断与是否一一对应，再举反例判断（4）；
解析：对于（1），由，得，一一对应，则
对于（2），由，得，一一对应，则
对于（3），由，得，一一对应，则
对于（4），，但方程无解，则与不相同
故选：B
8、若集合A中含有三个元素a－3，2a－1，a2－4，且－3∈A，则实数a的值为________．
8、答案：0或1；
10【解析】①若a－3＝－3，则a＝0，此时A中元素为－3，－1，－4，满足题意．
②若2a－1＝－3，则a＝－1，此时A中元素为－4，－3，－3，不满足元素的互异性．
③若a2－4＝－3，则a＝±1.当a＝1时，A中元素为－2,1,－3，满足题意；当a＝－1时，由②知不合题意．
综上可知：a＝0或a＝1.
9、当x∈A时，若x－1?A且x＋1?A，则称x为A的一个“孤立元素”，所有孤立元素组成的集合称为“孤星集”，则集合A＝{0,1,2,3,5}中“孤立元素”组成的“孤星集”为
.
9、答案：{5}；【思路分析】准确理解题中给出的新定义，并将其翻译成自然语言是解答此类题的关键．
解析：由“孤立元素”的定义知，对任意x∈A，要成为A的孤立元素，必须是集合A中既没有x－1，也没有x＋1，因此只需逐一考查A中的元素即可.0有1相伴，1,2则是前后的元素都有，3有2相伴，只有5是“孤立的”，从而集合A＝{0,1,2,3,5}中“孤立元素”组成的“孤星集”为{5}，故填{5}．
10、已知由实数组成的集合，，又满足:若，则．
（1）设中含有3个元素，且求A；
（2）能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由；
（3）
中含元素个数一定是个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由．
10、解析：（1）因为若，则，，
所以，，，所以.
（2）假设集合是仅含一个元素的单元素集合，
则，即：，
由于，故该方程无解，
所以不能是仅含一个元素的单元素集.
（3）因为，，则，则，
所以，故该集合有三个元素，下证，，互不相等即可.
假设，则，该方程无解，故，不相等，
假设，则，该方程无解，故，不相等，
假设，则，该方程无解，故，不相等.
所以集合中含元素个数一定是个.
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数学
必修
第一册（上海教育出版社）
