5.2.1 三角函数的概念-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第一册导学案（Word含答案）

第五章
三角函数
§5.2.1
三角函数的概念
导学目标：
(1)
借助单位圆理解任意角的三角函数定义．
(2)
掌握三角函数在各象限的符号．
（预习教材P177~
P182，回答下列问题）
复习：在直角三角形中，我们如何表示角
的正弦、余弦和正切值．
我们能求上述角的三角函数值，若角经过推广后，我们还能求它的三角函数值吗？
【知识点一】任意角的三角函数的定义
如右图，设锐角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限．在的终边上任取一点，它与原点的距离．过点作轴的垂线，垂足为，则线段的长度为，线段的长度为．则
思考1：对于确定的，这三个比值是否会随点在的终边上的位置的改变而改变呢？
思考2：我们可以使线段的长为多少，能简化上述计算？
任意角三角函数的定义：
如图，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点,那么
（1）把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作，即；
（2）把点的纵坐标叫做的余弦函数，记作，即；
（3）把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即；
由此可得：正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数．其中正弦函数、余弦函数中自变量，正切函数中自变量．
根据函数表示的一般形式，我们通常把上述三个函数记为：
自我检测1-1：求下列各角的三角函数值．
（1）；
（2）；
（3）
我们知道，点在的终边上的位置的改变，不会影响角的三角函数值的大小，因此我们可以将求角的三角函数值的方法推广如下：
设是一个任意角，它的终边上一点（异于原点）,点到原点的距离，那么：
自我检测1-2：求终边落在直线上角的三个三角函数值．
【知识点二】三角函数值在各象限的符号
由三角函数的定义可知，、和的正负如下：
Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦
说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值．
自我检测2：
确定下列三角函数值的符号：
（1）；
（2）；
（3）．
【知识点三】终边相同的角的同一三角函数值相等（诱导公式一）
(1)
语言表示：终边相同的角的同一三角函数的值相等．
(2)
自我检测3：求，的正弦值、余弦值、正切值．
题型一　三角函数的定义及应用
【例1-1】求的正弦、余弦和正切值．
【例1-2】已知角的终边为射线，求角的正弦、余弦和正切值．
题型二　三角函数在各象限的符号
【例2-1】判断下列各式的符号：
(1)
；
(2)
．
【例2-2】若，且，则角是(　　)
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
题型三　终边相同的角的同一三角函数值相等
【例3-1】求下列各三角函数的值：
（1）；
（2）；
（3）；
【例3-2】求值：
1．已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则的值为(　　)
A．
B．
C．
D．
2．的值(　　)
A．大于0
B．小于0
C．等于0
D．不确定
3．若，则角是(　　)
A．第一或第二象限角
B．第二或第三象限角
C．第三或第四象限角
D．第二或第四象限角
4．角的终边在直线上，求的值
．
5．求下列各式的值：
(1)
；
(2)
．
§5.2.1
三角函数的概念答案
导学目标：
(1)
借助单位圆理解任意角的三角函数定义．
(2)
掌握三角函数在各象限的符号．
（预习教材P177~
P182，回答下列问题）
复习：在直角三角形中，我们如何表示角
的正弦、余弦和正切值．
我们能求上述角的三角函数值，若角经过推广后，我们还能求它的三角函数值吗？
【知识点一】任意角的三角函数的定义
如右图，设锐角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限．在的终边上任取一点，它与原点的距离．过点作轴的垂线，垂足为，则线段的长度为，线段的长度为．则
思考1：对于确定的，这三个比值是否会随点在的终边上的位置的改变而改变呢？
思考2：我们可以使线段的长为多少，能简化上述计算？
任意角三角函数的定义：
如图，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点,那么
（1）把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作，即；
（2）把点的纵坐标叫做的余弦函数，记作，即；
（3）把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即；
由此可得：正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数．其中正弦函数、余弦函数中自变量，正切函数中自变量．
根据函数表示的一般形式，我们通常把上述三个函数记为：
自我检测1-1：求下列各角的三角函数值．
（1）；
（2）；
（3）
我们知道，点在的终边上的位置的改变，不会影响角的三角函数值的大小，因此我们可以将求角的三角函数值的方法推广如下：
设是一个任意角，它的终边上一点（异于原点）,点到原点的距离，那么：
自我检测1-2：求终边落在直线上角的三个三角函数值．
【知识点二】三角函数值在各象限的符号
由三角函数的定义可知，、和的正负如下：
Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦
说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值．
自我检测2：
确定下列三角函数值的符号：
（1）；
（2）；
（3）．
【知识点三】终边相同的角的同一三角函数值相等
(1)
语言表示：终边相同的角的同一三角函数的值相等．
(2)
自我检测3：求，的正弦值、余弦值、正切值．
题型一　三角函数的定义及应用
【例1-1】求的正弦、余弦和正切值．
【答案】易知的终边与单位圆的交点坐标为.
所以，，，．
【例1-2】已知角的终边为射线，求角的正弦、余弦和正切值．
【答案】由得x2＋x2＝1，即25x2＝16，即x＝或x＝－．
∵x≥0，∴x＝，从而y＝－．
∴角α的终边与单位圆的交点坐标为(，－)．
∴sin
α＝y＝－，cos
α＝x＝，tan
α＝＝－．
题型二　三角函数在各象限的符号
【例2-1】判断下列各式的符号：
(1)
；
(2)
．
【答案】（1）；（2）．
【例2-2】若，且，则角α是(　　)
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【答案】　C
题型三　终边相同的角的同一三角函数值相等
【例3-1】求下列各三角函数的值：
（1）；
（2）；
（3）；
【答案】（1）；
（2）；
（3）
【例3-2】求值：
【答案】
1．已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则的值为(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】
A　
2．的值(　　)
A．大于0
B．小于0
C．等于0
D．不确定
【答案】
B　
3．若，则角θ是(　　)
A．第一或第二象限角
B．第二或第三象限角
C．第三或第四象限角
D．第二或第四象限角
【答案】
D
4．角的终边在直线上，求的值
．
【答案】－或．
5．求下列各式的值：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
；
(2)
正弦函数
余弦函数
正切函数
，；
式子表示eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(sinα＋k·2π＝sin
α，,cosα＋k·2π＝cos
α，,tanα＋k·2π＝tan
α，))其中k∈Z．
正弦函数
余弦函数
正切函数
，；
式子表示eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(sinα＋k·2π＝sin
α，,cosα＋k·2π＝cos
α，,tanα＋k·2π＝tan
α，))其中k∈Z．
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