(共27张PPT)
12.3.1
两数和乘以这两数的差
数学华师版
八年级上
新知导入
复习导入
回顾：多项式的乘法法则
多项式与多项式相乘,
先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,
再把所得的积相加.
=
ab
1
2
3
4
+am
+nb
+mn
1
2
3
4
(a+n)(b+m)
思考：两项乘两项的结果
一定是四项吗？
算一算：计算下列各题:
(a+2)(a-2)=_____________
(3-x)(3+x)=_____________
(a+b)(a-b
)=_____________
(4)
(2m+n)(2m-n)=__________
议一议：比较等号两边的代数式,它们在系数和字母方面各有什么特点?你发现了什么规律？
aa
(a+b)(a-b)
-bb
+ba
新知讲解
=
-ab
用多项式乘法法则计算:
(a+b)(a-b).
=
a2-b2
做一做
新知讲解
两数和与这两数差的乘法公式
（平方差公式）
（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ2－ｂ2
两数和与这两数差的积等于这两数的平方差．
这两个特殊的多项式相乘，得到的结果特别简洁：
新知讲解
试一试
观察图12.
3.1，用等式表示下图中图形面积的运算:
=
_
b
a
b
a
___________
=
__________
-
_____
(a+b)(a-b)
a2
b2
图12.
3.1
b
新知讲解
例1
计算:
(1)
(a+3)(a-3)
;
(2)(2a+3b)(2a-3b)
;
(3)
(1+2c)(1-2c);
(4)
(-2x-y)(2x-y).
新知讲解
解:
(1)(a
+3)(a
-3)
=a2-32
=
a2
-9.
(2)
(2a
+
3b)(2a-3b)
=(2a)2-(3b)2
=4a2-9b2
新知讲解
(3)
(1+2c)(1-2c)
=
12-(2c)2
=1-4c2.
(4)
(-2x
-y)(2x
-y)
=(-y-2x)(
-y
+2x)
=(-y)2-
(2x)
2
=
y
2
-4x
2
你还有其他
解法吗?
新知讲解
(4)
(-2x
-y)(2x
-y)
=-(2x+y)(2x-y
)
=-
[(2x)
2-
y2]
=
-(4x
2-y
2
)
=
y
2
-4x
2
新知讲解
变式
计算：
(1)(3x+2y)(2y-3x)；
(2)(-2m-3n)(2m-3n)；
(3)(a2+b2)(a2-b2)；
新知讲解
解：(1)(3x+2y)(2y-3x)
=(2y+3x)(2y-3x)，
=4y2-9x2；
(2)(-2m-3n)(2m-3n)
=(-3n-2m)(-3n+2m)，
=9n2-4m2；
(3)(a2+b2)(a2-b2)
=a4-b4
新知讲解
例2
计算
:
1998x2002.
解
1998x2002
=(2000-2)x(2000+2)
=
20002-22
=
4000000-4
=3999996.
写成两数和乘以这两数差的形式，可使计算简便!
新知讲解
例3
街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，南北向增加2
米，东西向减少2米。改造后得到一块长方形的草坪.求这块长方形草坪的面积.
解
(a+2)(a-2)=a2-4.
答:改造后的长方形草坪的面积是(a2-4)平方米.
新知讲解
变式
如图，是一张正方形的纸片，如果把它沿着各边都剪去3cm宽的一条，那么所得小正方形的面积比原正方形的面积减少84cm2，求原正方形的边长。
新知讲解
解：设原正方形的边长为a，
根据题意得：a2-(a-6)2=84，
即6(2a-6)=84，
解得：a=10，
则原正方形的边长为10．
平方差公式
（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ2－ｂ2
条件：(1)二项式×二项式
(2)两个二项式中，有一项完全相同，另一项互为相反数的项。
结论:
(1)
两项的平方差;
(2)
(完全相同项)2
-(互为相反项)2
新知讲解
1.判断并改错：
(1)
(a+3)(a-3)=a?-3
(
)
改正：
(2)(5y+2)(5y-2)=5y?-4
(
)
改正：
(3)
(1-
4xy)(-1-
4xy)=1-16x?y?
(
)
改正：
(4)(-ab+3c)(-3c-ab)=a?b?-9c?
(
)
改正：
课堂练习
1.判断并改错：
(1)
(a+3)(a-3)=a?-3
(
×
)
改正：
(2)(5y+2)(5y-2)=5y?-4
(
)
改正：
(3)
(1-
4xy)(-1-
4xy)=1-16x?y?
(
)
改正：
(4)(-ab+3c)(-3c-ab)=a?b?-9c?
(
)
改正：
×
×
(a+3)(a-3)=a?-9
(5y+2)(5y-2)=25y?-4
原式=(-
4xy+1)(-
4xy-1)=16x?y?-1
√
(
)
(y+x)(-x+y)
(
)
(-y-x)(x-y)
(
)
(x-y)(-x+y)
(
)
(x+y)(-x-y)
2.下列各式哪些可用平方差公式计算,可用的算出它的结果。
=y?
-x?
=y?
-x?
不可以
可以
可以
不可以
=(y+x)(
y-x)
=(-y-x)(-y+x)
(
)
(y+x)(-x+y)
(
)
(-y-x)(x-y)
(
)
(x-y)(-x+y)
(
)
(x+y)(-x-y)
两个二项式相乘其中一项相同,另一项互为相反数,结果是相同项的平方减去相反数项的平方。
下列各式哪些可用平方差公式计算,可用的算出它的结果。
3.计算：(1)(－3a＋2b)(－3a－2b)；
(2)(2a－3b)·(－2a－3b)．
解：(1)原式＝(－3a)2－(2b)2
＝9a2－4b2.
(2)原式＝(－3b＋2a)(－3b－2a)
＝(－3b)2－(2a)2
＝9b2－4a2.
【点悟】运用平方差公式时要注意化为两数
和与这两数差的积的形式．
4.利用平方差公式计算：
(1)5.9×6.1；
(2)1005×995.
解：(1)5.9×6.1＝(6－0.1)(6＋0.1)＝62－(0.1)2＝35.99.
(2)1
005×995＝(1
000＋5)(1
000－5)＝1
0002－52＝999
975.
（3）(2＋1)(22＋1)(24＋1)（28+1）+1
解：原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)（28+1）+1
＝(22－1)(22＋1)(24＋1)（28+1）+1
＝(24－1)(24＋1)（28+1）+1＝（28+1）（28－1）+1=216－1+1=216.
课堂总结
1.这节课你有什么样的收获？
2.还有哪些疑问？
平方差公式
公式：(a＋b)(a－b)＝_________．
文字表述：两数和与这两数差的积等于这两数的__________．
适用条件：左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，右边是相同项与系数符号相反项的平方差．
注意：公式中的a，b可以表示数，也可以表示单项式、多项式，甚至更复杂的代数式．
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php中小学教育资源及组卷应用平台
12.3.1两数和乘以这两数的差导学案
课题
12.3.1两数和乘以这两数的差
单元
第12章
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
1、掌握两数和乘以这两数的差的结构特征;
.
2、正确理解两数和乘以这两数的差的公式意义.
重点
难点
重点:掌握两数和乘以这两数的差的结构特征;
.
难点:正确理解两数和乘以这两数的差的公式意义.
导学
环节
导学过程
自
主
学
习
复习导入
回顾：多项式的乘法法则
多项式与多项式相乘,
先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,
再把所得的积相加.
即(a+n)(b+m)=ab+am+nb+nm。
思考：两项乘两项的结果
一定是四项吗？
算一算：计算下列各题:
(a+2)(a-2)=_____________
(3-x)(3+x)=_____________
(a+b)(a-b
)=_____________
(4)
(2m+n)(2m-n)=__________
议一议：比较等号两边的代数式,它们在系数和字母方面各有什么特点?你发现了什么规律？
合
作
探
究
探究一：
用多项式乘法法则计算:
(a+b)(a-b).
这两个特殊的多项式相乘，得到的结果特别简洁：
两数和与这两数的差的乘法公式
（平方差公式）
（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ2－ｂ2
两数和与这两数的差的积等于这两数的平方差．
观察图12.
3.1，用等式表示下图中图形面积的运算:
探究二：
例1
计算:
(1)
(a+3)(a-3)
;
(2)
(2a+3b)(2a-3b)
;
(3)
(1+2c)(1-2c);
(4)
(-2x-y)(2x-y).
例2
计算
:
1998×2002.
探究三：
例3
街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，南北向增加2
米，东西向减少2米。改造后得到一块长方形的草坪.求这块长方形草坪的面积.
平方差公式：
（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ2－ｂ2
条件：
二项式×二项式
(2)两个二项式中，有一项完全相同，另一项互为相反数的项。
结论:
(1)
两项的平方差;
(2)
(完全相同项)2
-(互为相反项)2
当
堂
检
测
课堂练习：
1.判断并改错：
(1)(a+3)(a-3)=a?-3
(
)
改正：
(5y+2)(5y-2)
=5y?-4
(
)
改正：
(1-
4xy)(-1-
4xy)
=1-16x?y?
(
)
改正：
(-ab+3c)(-3c-ab)
=a?b?-9c?
(
)
改正：
答案（1）(a+3)(a-3)=a?-9
(5y+2)(5y-2)=25y?-4
原式=(-
4xy+1)(-
4xy-1)=16x?y?-1
对。
2.下列各式哪些可用平方差公式计算,可用的算出它的结果。
(
)
(y+x)(-x+y)
(
)
(-y-x)(x-y)
(
)
(x-y)(-x+y)
(
)
(x+y)(-x-y)
可以
可以
不可以
不可以
两个二项式相乘其中一项相同,另一项互为相反数,结果是相同项的平方减去相反数项的平方。
3.计算：(1)(－3a＋2b)(－3a－2b)；
(2)(2a－3b)(－2a－3b)．
解：(1)原式＝(－3a)2－(2b)2
＝9a2－4b2.
(2)原式＝(－3b＋2a)(－3b－2a)
＝(－3b)2－(2a)2
＝9b2－4a2.
【点悟】运用平方差公式时要注意化为两数和与这两数差的积的形式．
4.利用平方差公式计算：
(1)5.9×6.1；
(2)1005×995.
解：(1)5.9×6.1＝(6－0.1)(6＋0.1)＝62－(0.1)2＝35.99.
(2)1
005×995＝(1
000＋5)(1
000－5)＝1
0002－52＝999
975.
（3）(2＋1)(22＋1)(24＋1)（28+1）+1
解：原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)（28+1）+1
＝(22－1)(22＋1)(24＋1)（28+1）+1
＝(24－1)(24＋1)（28+1）+1＝（28+1）（28－1）+1=216－1+1=216.
课
堂
小
结
平方差公式怎样表示？
参考答案
合作探究：
探究一：
（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ2－ｂ2
探究二：
例1
解：(1)(a
+3)(a
-3)
=a2-32
=
a2
-9.
(2)
(2a
+
3b)(2a-3b)
=(2a)2-(3b)2
=4a2-9b2
(3)
(1+2c)(1-2c)
=
12-(2c)2
=1-4c2.
(4)
(-2x
-y)(2x
-y)
=(-y-2x)(
-y
+2x)
=(-y)2-
(2x)
2
=
y
2
-4x
2
例2
解：1998x2002
=(2000-2)x(2000+2)
=
20002-22
=
4000000-4
=3999996.
探究三：
例3
解：
(a+2)(a-2)=a2-4.
答:改造后的长方形草坪的面积是(a2-4)平方米.
课堂小结：
（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ2－ｂ2
两数和与这两数差的积等于这两数的平方差．
条件：
(1)二项式×二项式
(2)两个二项式中，有一项完全相同，另一项互为相反数的项。
结论:
(1)
两项的平方差;
(2)
(完全相同项)2
-(互为相反项)2
21世纪教育网
www。21cnjy。com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
12.3.1
两数和乘以这两数的差
教案
课题
12.3.1
两数和乘以这两数的差
单元
第14单元
学科
数学
年级
八年级（上）
学习目标
1、掌握两数和乘以这两数的差的结构特征;
.2、正确理解两数和乘以这两数的差的公式意义.
重点难点
重点:掌握两数和乘以这两数的差的结构特征;
.难点:正确理解两数和乘以这两数的差的公式意义.
教学过程
教学环节
教师活动
设计意图
讲授新课
复习导入回顾：多项式的乘法法则
多项式与多项式相乘,
先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,
再把所得的积相加.即(a+n)(b+m)=ab+am+nb+nm。思考：两项乘两项的结果
一定是四项吗？算一算：计算下列各题:
(a+2)(a-2)=_____________
(3-x)(3+x)=_____________
(a+b)(a-b
)=_____________(4)
(2m+n)(2m-n)=__________议一议：比较等号两边的代数式,它们在系数和字母方面各有什么特点?你发现了什么规律？用多项式乘法法则计算:
(a+b)(a-b).这两个特殊的多项式相乘，得到的结果特别简洁：两数和与这两数差的乘法公式
（平方差公式）（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ2－ｂ2两数和与这两数差的积等于这两数的平方差．观察图12.
3.1，用等式表示下图中图形面积的运算:例1计算:(1)
(a+3)(a-3)
;(2)(2a+3b)(2a-3b)
;(3)
(1+2c)(1-2c);
(4)
(-2x-y)(2x-y).
解:(1)(a
+3)(a
-3)
=a2-32
=
a2
-9.(2)
(2a
+
3b)(2a-3b)=(2a)2-(3b)2=4a2-9b2(3)
(1+2c)(1-2c)=
12-(2c)2=1-4c2.(4)
(-2x
-y)(2x
-y)=(-y-2x)(
-y
+2x)=(-y)2-
(2x)
2=
y
2
-4x
2你还有其他解法吗?(4)
(-2x
-y)(2x
-y)=-(2x+y)(2x-y
)=-
[(2x)
2-
y2]
=
-(4x
2-y
2
)
=
y
2
-4x
2变式
计算：(1)(3x+2y)(2y-3x)；(2)(-2m-3n)(2m-3n)；(3)(a2+b2)(a2-b2)；解：(1)(3x+2y)(2y-3x)
=(2y+3x)(2y-3x)，
=4y2-9x2；
(2)(-2m-3n)(2m-3n)
=(-3n-2m)(-3n+2m)，
=9n2-4m2；
(3)(a2+b2)(a2-b2)
=a4-b4例2
计算
:
1998×2002.解
1998x2002=(2000-2)×(2000+2)=
20002-22=
4000000-4=3999996.写成两数和乘以这两数差的形式，可使计算简便!例3
街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，南北向增加2
米，东西向减少2米。改造后得到一块长方形的草坪.求这块长方形草坪的面积.解
(a+2)(a-2)=a2-4.答:改造后的长方形草坪的面积是(a2-4)平方米.
变式
如图，是一张正方形的纸片，如果把它沿着各边都剪去3cm宽的一条，那么所得小正方形的面积比原正方形的面积减少84cm2，求原正方形的边长。解：设原正方形的边长为a，根据题意得：a2-(a-6)2=84，即6(2a-6)=84，解得：a=10，则原正方形的边长为10．平方差公式（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ2－ｂ2条件：(1)二项式×二项式
(2)两个二项式中，有一项完全相同，另一项互为相反数的项。结论:
(1)
两项的平方差;(完全相同项)2
-(互为相反项)21.判断并改错：(1)(a+3)(a-3)=a?-3
(
)
改正：(5y+2)(5y-2)=5y?-4
(
)
改正：(1-
4xy)(-1-
4xy)=1-16x?y?
(
)
改正：(-ab+3c)(-3c-ab)=a?b?-9c?
(
)改正：答案（1）(a+3)(a-3)=a?-9(5y+2)(5y-2)=25y?-4原式=(-
4xy+1)(-
4xy-1)=16x?y?-1对。2.下列各式哪些可用平方差公式计算,可用的算出它的结果。(
)
(y+x)(-x+y)(
)
(-y-x)(x-y)(
)
(x-y)(-x+y)(
)
(x+y)(-x-y)可以可以不可以不可以两个二项式相乘其中一项相同,另一项互为相反数,结果是相同项的平方减去相反数项的平方。3.计算：(1)(－3a＋2b)(－3a－2b)；
(2)(2a－3b)(－2a－3b)．解：(1)原式＝(－3a)2－(2b)2
＝9a2－4b2.
(2)原式＝(－3b＋2a)(－3b－2a)
＝(－3b)2－(2a)2
＝9b2－4a2.【点悟】运用平方差公式时要注意化为两数和与这两数差的积的形式．4.利用平方差公式计算：(1)5.9×6.1；(2)1005×995.解：(1)5.9×6.1＝(6－0.1)(6＋0.1)＝62－(0.1)2＝35.99.(2)1
005×995＝(1
000＋5)(1
000－5)＝1
0002－52＝999
975.（3）(2＋1)(22＋1)(24＋1)（28+1）+1解：原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)（28+1）+1
＝(22－1)(22＋1)(24＋1)（28+1）+1
＝(24－1)(24＋1)（28+1）+1＝（28+1）（28－1）+1=216－1+1=216.
EMBED
Equation.3
\
MERGEFORMAT
课堂小结
平方差公式公式：(a＋b)(a－b)＝_________．文字表述：两数和与这两数差的积等于这两数的__
________．适用条件：左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，右边是相同项与系数符号相反项的平方差．注意：公式中的a，b可以表示数，也可以表示单项式、多项式，甚至更复杂的代数式．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com/"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
