1.3 正方形的性质与判定同步练习卷2021-2022学年 北师大版九年级数学上册（Word版 含答案）

1.3
正方形的性质与判定
一、选择题
1．若正方形的对角线长为2cm，则这个正方形的面积为（　　）
A．4
cm2
B．2
cm2
C．cm2
D．2cm2
2．如图，已知点E为正方形ABCD对角线BD上一点，且BE＝BC，则∠DCE的度数为（　　）
A．30°
B．22.5°
C．15°
D．45°
3．面积为8的正方形的边长是（　　）
A．
B．2
C．2
D．4
4．已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是（　　）
A．15°
B．75°或15°
C．30°或60°
D．15°或60°
5．下列说法中错误的是（　　）
A．矩形的四个角相等
B．菱形的四条边相等
C．菱形的对角线相等
D．正方形的对角线互相平分且垂直
6．对角线互相垂直且相等的四边形是（　　）
A．正方形
B．矩形
C．菱形
D．无法确定形状
7．在正方形ABCD中，点E是BC边的中点，若DE＝5，则四边形ABED的面积为（　　）
A．10
B．15
C．20
D．25
8．正方形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A．四个角都是直角
B．两组对边分别相等
C．内角和为360°
D．对角线平分对角
9．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（，1），则点C的坐标为（　　）
A．（﹣，1）
B．（﹣1，﹣）
C．（﹣1，）
D．（1，﹣）
10．如图，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S1、S2，那么S1、S2的大小关系是（　　）
A．S1＞S2
B．S1＝S2
C．S1＜S2
D．S1、S2的大小关系不确定
二．解答题
11．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE．交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，连接DE交AC于点F．
（1）∠DAN＝　
　．
（2）求证：四边形ADCE是一个矩形．
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？请给出证明．
13．如图，在正方形ABCD中，点E在AB上，F是AD延长线上一点，且DF＝BE，点G在AD上，且∠ECG＝45°．
（1）观察图形，结合已知条件试找出图中的全等三角形，并说明你是如何推理出来的．
（2）GE、BE、DG的关系怎样，为什么？
14．如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．
（1）求证：HF＝AP；
（2）若正方形ABCD的边长为12，AP＝4，求线段AF的长．
15．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE，过点A作AE的垂线交DE于P，若AE＝AP＝1，PB＝；
（1）求证：△ABE≌△ADP；
（2）求证；BE⊥DE；
（3）求正方形ABCD的面积．
参考答案与试题解析
一、
1．若正方形的对角线长为2cm，则这个正方形的面积为（　　）
A．4
cm2
B．2
cm2
C．cm2
D．2cm2
【分析】根据正方形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
【解答】解：∵正方形的对角线长为2cm，
∴这个正方形的面积＝×22＝2cm2．
故选：B．
2．如图，已知点E为正方形ABCD对角线BD上一点，且BE＝BC，则∠DCE的度数为（　　）
A．30°
B．22.5°
C．15°
D．45°
【分析】由正方形的性质得到BC＝CD，∠DBC＝∠BDC＝45°，根据BE＝BC，根据三角形的内角和定理求出∠BEC＝∠BCE＝67.5°，根据∠DCE＝∠BCD﹣∠BCE即可求出答案．
【解答】解：∵正方形ABCD，
∴BC＝CD，∠DBC＝∠BDC＝45°，
∵BE＝BC，
∴∠BEC＝∠BCE＝67.5°，
∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCE＝90°﹣67.5°＝22.5°，
故选：B．
3．面积为8的正方形的边长是（　　）
A．
B．2
C．2
D．4
【分析】首先设正方形的边长为x，由正方形的面积为8，即可方程：x2＝8，继而求得答案．
【解答】解：设正方形的边长为x，
∵正方形的面积为8，
∴x2＝8，
解得：x＝2．
故选：C．
4．已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是（　　）
A．15°
B．75°或15°
C．30°或60°
D．15°或60°
【分析】由图1和图2根据正方形的性质和等边三角形的性质就可以求出△ADE是等腰三角形，再由等边三角形的性质就可以求出结论．
【解答】解：如图1，当△CDE在正方形外部时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADC＝90°，
∵△CDE是等边三角形，
∴CD＝DE，∠CDE＝60°
∴AD＝DE，∠ADE＝150°，
∴∠DAE＝∠DEA．
∵∠DEA+∠DAE+∠ADE＝180°，
∴∠AED＝15°．
如图2，当△CED在正方形内部时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADC＝90°，
∵△CDE是等边三角形，
∴CD＝DE，∠CDE＝60°
∴AD＝DE，∠ADE＝30°，
∴∠DAE＝∠DEA．，
∵∠DEA+∠DAE+∠ADE＝180°，
∴∠AED＝75°．
故选：B．
5．下列说法中错误的是（　　）
A．矩形的四个角相等
B．菱形的四条边相等
C．菱形的对角线相等
D．正方形的对角线互相平分且垂直
【分析】根据矩形四个角相等的性质，菱形的四条边相等的性质，矩形和正方形的对角线相等的性质，正方形的对角线互相平分且垂直的性质，可以解决本题．
【解答】解：
A、矩形的邻边均垂直，所以四个角均为90°，故四个角相等，故该选项正确；
B、菱形的四条边均相等，故该选项正确；
C、菱形的对角线互相垂直，矩形和正方形的对角线相等，故该选项错误；
D、正方形既是菱形也是矩形，所以正方形的对角线互相平分且垂直，故该选项正确；
故选：C．
6．对角线互相垂直且相等的四边形是（　　）
A．正方形
B．矩形
C．菱形
D．无法确定形状
【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定可求．注意：这三种四边形的对角线都互相平分，这个条件不能缺．
【解答】解：对角线互相垂直且相等平行四边形是正方形；对角线相等的平行四边形是矩形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；所以无法确定其形状．
故选：D．
7．在正方形ABCD中，点E是BC边的中点，若DE＝5，则四边形ABED的面积为（　　）
A．10
B．15
C．20
D．25
【分析】由题意先画出简单的图形，可得四边形ABED为直角梯形，再求解正方形的边长，进而可得出四边形的面积．
【解答】解：如图
在Rt△CDE中，∵DE＝5，CD＝2CE，∴CE＝，CD＝2，
∴四边形ABED的面积为S＝（）×2＝15
故选：B．
8．正方形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A．四个角都是直角
B．两组对边分别相等
C．内角和为360°
D．对角线平分对角
【分析】根据正方形对角线相互垂直平分相等和菱形对角线相互垂直平分的性质对各个选项进行分析就不难得到答案．
【解答】解：A正确，因为正方形的四个角都是直角而菱形不是；
B错误，因为正方形和菱形的两组对边都相等；
C错误，因为正方形和菱形的内角和均为360°；
D错误，因为正方形和菱形的对角线均平分对角．
故选：A．
9．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（，1），则点C的坐标为（　　）
A．（﹣，1）
B．（﹣1，﹣）
C．（﹣1，）
D．（1，﹣）
【分析】作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，证明△OCF≌△AOE，得出对应边相等OF＝AE＝1，CF＝OE＝，即可求出结果．
【解答】解：作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，如图所示：
则∠CFO＝∠OEA＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∵四边形OABC是正方形，
∴OC＝OA，∠AOC＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠3＝∠2，
在△OCF和△AOE中，，
∴△OCF≌△AOE（AAS），
∴OF＝AE＝1，CF＝OE＝，
∴点C的坐标为（﹣1，）；
故选：C．
10．如图，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S1、S2，那么S1、S2的大小关系是（　　）
A．S1＞S2
B．S1＝S2
C．S1＜S2
D．S1、S2的大小关系不确定
【分析】设大正方形的边长为x，根据等腰直角三角形的性质知AC、BC的长，进而可求得S2的边长，由面积的求法可得答案．
【解答】解：如图，设大正方形的边长为x，
根据等腰直角三角形的性质知，
AC＝BC，BC＝CE＝CD，
∴AC＝2CD，CD＝，
∴S2的边长为x，
S2的面积为x2，
S1的边长为，
S1的面积为x2，
∴S1＞S2，
故选：A．
11．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE．交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
①求证：矩形DEFG是正方形；
②探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）作出辅助线，得到EN＝EM，然后判断∠DEN＝∠FEM，得到△DEN≌△FEM，则有DE＝EF即可；
（2）同（1）的方法证出△ADE≌△CDG得到CG＝AE，得出CE+CG＝CE+AE＝AC＝4即可．
【解答】①证明：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：
∵正方形ABCD
∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°
且NE＝NC，
∴四边形EMCN为正方形
∵四边形DEFG是矩形，
∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°
∴∠DEN＝∠MEF，
又∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED＝EF，
∴矩形DEFG为正方形，
②解：CE+CG的值为定值，理由如下：
∵矩形DEFG为正方形，
∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°
∵四边形ABCD是正方形，
∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG
∴AC＝AE+CE＝AB＝×2＝4，
∴CE+CG＝4
是定值．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，连接DE交AC于点F．
（1）∠DAN＝　90°　．
（2）求证：四边形ADCE是一个矩形．
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？请给出证明．
【分析】（1）利用角平分线的定义和邻补角的定义即可得出∠DAN的度数；
（2）利用有三个内角是直角的四边形是矩形的判断方法即可；
（3）利用邻边相等的矩形是正方形解答即可．
【解答】（1）解：如图1，∵AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，
∴∠CAD＝BAC．
∵AN是△ABC外角的平分线，
∴∠CAE＝CAM，
∵∠BAC与∠CAM是邻补角，
∴∠BAC+∠CAM＝180°，
∴∠DAN＝∠CAD+∠CAE＝（∠BAC+∠CAM）＝90°，
故答案为：90°
（2）∵AD⊥BC，CE⊥AN，∠DAN＝90°，
∴∠ADC＝∠CEA＝∠DAN＝90°，
∴四边形ADCE为矩形．
（3）如图2，当△ABC是等腰直角三角形时，四边形ADCE是一个正方形．
∵∠BAC＝90°，且AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD＝BAC＝45°，
∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝∠CAD＝45°，
∴AD＝AC．
∵四边形ADCE为矩形，
∴四边形ADCE为正方形．
13．如图，在正方形ABCD中，点E在AB上，F是AD延长线上一点，且DF＝BE，点G在AD上，且∠ECG＝45°．
（1）观察图形，结合已知条件试找出图中的全等三角形，并说明你是如何推理出来的．
（2）GE、BE、DG的关系怎样，为什么？
【分析】（1）先利用“ASA”证明△BCE≌△DCG，则CE＝CF，∠BCE＝∠DCF，再证明∠GCF＝∠ECG＝45°，然后根据“SAS”证明△ECG≌△FCG；
（2）利用△ECG≌△FCG得到EG＝GF，所以GE＝GD+DF＝BE+DG．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴CB＝CD，∠B＝∠ADC＝∠BCD＝90°，
在△BCE和△DCG中
，
∴△BCE≌△DCG（SAS）；
∴CE＝CF，∠BCE＝∠DCF，
∵∠BCE+∠ECD＝90°，
∴∠ECD+∠DCF＝90°，即∠ECF＝90°，
∵∠ECG＝45°，
∴∠GCF＝∠ECG＝45°，
在△ECG和△FCG中
，
∴△ECG≌△FCG（SAS）；
（2）∵△ECG≌△FCG，
∴EG＝GF，
∴GE＝GD+DF，
而DF＝BE，
∴GE＝BE+DG．
14．如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．
（1）求证：HF＝AP；
（2）若正方形ABCD的边长为12，AP＝4，求线段AF的长．
【分析】（1）由正方形的性质和已知条件可分别证明∠FEH＝∠PBA，AB＝HE，进而可证明△ABP≌△HEF，由全等三角形的性质即可得到HF＝AP；
（2）连接，设AF＝x，则PF＝BF＝12﹣x，在△APF中利用勾股定理可得：42+x2＝（12﹣x）2，解方程求出x的值即可．
【解答】解：（1）∵EF⊥BP，EH⊥AB，
∴∠FEH+∠EMQ＝90°＝∠PBA+∠BMH，
又∵∠QME＝∠BMH，
∴∠FEH＝∠PBA，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝AD，
∵EH⊥AB，
∴∠EHA＝90°＝∠A＝∠D，
∴四边形ADEH是矩形，
∴AD＝EH，
又∵AB＝AD，
∴AB＝EH，
在△ABP与△HEF中
，
∴△ABP≌△HEF（ASA），
∴AP＝FH；
（2）连接PF，
∵EF垂直平分BP，
∴PF＝BF，
设AF＝x，则PF＝BF＝12﹣x，
∴在△APF中，42+x2＝（12﹣x）2，
∴x＝，
∴AF＝．
15．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE，过点A作AE的垂线交DE于P，若AE＝AP＝1，PB＝；
（1）求证：△ABE≌△ADP；
（2）求证；BE⊥DE；
（3）求正方形ABCD的面积．
【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，得到AB＝AD，∠BAD＝90°，由于AE⊥AP，得到∠EAP＝90°，于是得到∠EAB＝∠PAD，即可证得△ABE≌△ADP；
（2）由△ABE≌△ADP，得到∠APD＝∠AEB，由于∠AEB＝∠AEP+∠BEP，∠APD＝∠AEP+∠PAE，于是得到结论；
（3）如图，过点B作BF⊥AF，交AE延长线于点F．根据△AEP为等腰直角三角形，得到∠AEP＝45°，由于∠DEB＝90°，得到∠FEB＝45°，于是得到△EFB为等腰角三角形，于是得到PE＝＝，由勾股定理得到BE＝＝，EF＝BF＝BE＝，求出AB2＝AF2+BF2＝（1+）2+（）2＝4+，即可得到结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵AE⊥AP，
∴∠EAP＝90°，
∴∠EAB＝∠PAD，
在△ABE和△ADP中，
，
∴△ABE≌△ADP；
（2）证明：∵△ABE≌△ADP，
∴∠APD＝∠AEB，
又∵∠AEB＝∠AEP+∠BEP，∠APD＝∠AEP+∠PAE，
∴∠BEP＝∠PAE＝90°，
∴BE⊥DE；
（3）解：如图，过点B作BF⊥AF，交AE延长线于点F．
∵△AEP为等腰直角三角形，
∴∠AEP＝45°，又∠DEB＝90°，
∴∠FEB＝45°，又∠EFB＝90°，
∴△EFB为等腰直角三角形，
∴PE＝＝，
∵PB＝，
∴BE＝＝，
∴EF＝BF＝BE＝，
∴AF＝AE+EF＝1+，
∴AB2＝AF2+BF2＝（1+）2+（）2＝4+，
∴正方形ABCD的面积＝AB2＝4+．