2021-2022学年九年级数学上册21.2.4 一元二次方程根与系数的关系同步练习卷(word解析版)

21.2.4
一元二次方程根与系数的关系
一、选择题（本题共计9小题，每题3分，共计27分，）
1．已知m，n是一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两个实数根，则（m﹣2）（n﹣2）为（　　）
A．﹣1
B．﹣3
C．﹣5
D．﹣7
2．已知x＝a是方程x2﹣3x﹣5＝0的根，则代数式4﹣2a2+6a的值为（　　）
A．6
B．9
C．14
D．﹣6
3．一元二次方程x2﹣3x+2＝0
的两根分别是x1、x2，则x1+x2的值是（　　）
A．3
B．2
C．﹣3
D．﹣2
4．方程x2﹣2x﹣1＝0的两个解为x1和x2，则x1+x2的值为（　　）
A．2
B．﹣2
C．1
D．﹣1
5．已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则x12+x22的值为（　　）
A．5
B．10
C．11
D．13
6．下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是（　　）
A．x2+2x﹣4＝0
B．x2﹣4x+4＝0
C．x2+4x+10＝0
D．x2+4x﹣5＝0
7．已知α，β是方程x2+2x﹣7＝0的两个实数根，则α2+3β2+4β的值（　　）
A．28
B．30
C．32
D．34
8．已知一元二次方程2x2﹣x+c＝0有两个不相等的实数根，且其中一根为﹣1，则另一根为（　　）
A．﹣1
B．1
C．
D．
9．若m，n是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个根，则m+n﹣mn的值是（　　）
A．﹣3
B．3
C．﹣1
D．1
二、填空题（本题共计9小题，每题3分，共计27分，）
10．若方程x2﹣3x﹣3＝0两根为x1、x2，则x1?x2＝　
　．
11．一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两根为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2＝　
　．
12．方程2x2+3x﹣1＝0的两个根为x1、x2，则+的值等于　
　．
13．已知实数m、n满足m2﹣4m﹣1＝0，n2﹣4n﹣1＝0，则+＝　
　．
14．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个根是1和﹣2，则mn的值是　
　．
15．已知x1，x2是方程3x2﹣4x+1＝0的两根，则x12+x22＝　
　．
16．已知m、n是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两个根，那么m+n＝　
　．
17．已知x1、x2是一元二次方程x2+x﹣5＝0的两个根，则x12+x22﹣x1x2＝　
　．
18．设一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别是x1，x2，则x1+x2（x22﹣3x2）＝　
　．
三、解答题（本题共计6小题，共计66分，）
19．（11分）已知实数a，b是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，求+的值．
20．（11分）已知x1、x2是一元二次方程x2+6x+3＝0的两个实数根，求下列代数式的值：
（1）x1+x2﹣x1?x2
（2）．
21．（11分）已知一元二次方程：x2﹣3x﹣1＝0的两个根分别是x1、x2，求x12x2+x1x22的值．
22．（11分）设x1，x2是方程2x2+4x﹣3＝0的两个实数根，不解方程，求下列代数式的值．
（1）（x1﹣2）（x2﹣2）
（2）x+x．
23．（11分）设x1，x2是关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0的两个实数根．请问：是否存在实数k，使得x1x2＞x1+x2成立？试说明理由．
24．（11分）先阅读下列的解答过程，然后再解答：
阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根分别是x1、x2．那么x1+x2＝﹣，x1x2＝．
例如：已知方程2x2+3x﹣5＝0的两根分别为x1、x2
则：x1+x2＝﹣＝﹣，x1、x2＝＝＝﹣
请同学阅读后完成以下问题：
（1）已知方程3x2﹣4x﹣6＝0的两根分别为x1、x2，求x1+x2和x1x2的值．
（2）已知方程3x2﹣4x﹣6＝0的两根分别为x1、x2，求+的值．
（3）若一元二次方程2x2+mx﹣3＝0的一根大于1，另一根小于1，求m的取值范围．
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共计9小题，每题3分，共计27分，）
1．已知m，n是一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两个实数根，则（m﹣2）（n﹣2）为（　　）
A．﹣1
B．﹣3
C．﹣5
D．﹣7
【分析】利用根与系数的关系求得m+n＝4，mn＝﹣3，然后将其代入展开后的所求代数式中并求值即可．
【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两个实数根，
∴m+n＝4，mn＝﹣3，
∴（m﹣2）（n﹣2）＝mn﹣2（m+n）+4＝﹣3﹣8+4＝﹣7．
故选：D．
2．已知x＝a是方程x2﹣3x﹣5＝0的根，则代数式4﹣2a2+6a的值为（　　）
A．6
B．9
C．14
D．﹣6
【分析】利用一元二次方程解的定义得到a2﹣3a＝5，再把4﹣2a2+6a变形为4﹣2（a2﹣3a），然后利用整体代入的方法计算即可．
【解答】解：把x＝a代入方程x2﹣3x﹣5＝0得a2﹣3a﹣5＝0，则a2﹣3a＝5，
所以4﹣2a2+6a＝4﹣2（a2﹣3a）＝4﹣2×5＝﹣6．
故选：D．
3．一元二次方程x2﹣3x+2＝0
的两根分别是x1、x2，则x1+x2的值是（　　）
A．3
B．2
C．﹣3
D．﹣2
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求则可．设x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2＝，x1x2＝．
【解答】解：这里a＝1，b＝﹣3，
则x1+x2＝﹣＝3，
故选：A．
4．方程x2﹣2x﹣1＝0的两个解为x1和x2，则x1+x2的值为（　　）
A．2
B．﹣2
C．1
D．﹣1
【分析】根据根与系数的关系直接回答问题．
【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣1＝0的两个解为x1和x2，
∴x1+x2＝﹣（﹣2）＝2．
故选：A．
5．已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则x12+x22的值为（　　）
A．5
B．10
C．11
D．13
【分析】利用根与系数的关系得到x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，再利用完全平方公式得到x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，
所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×（﹣2）＝13．
故选：D．
6．下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是（　　）
A．x2+2x﹣4＝0
B．x2﹣4x+4＝0
C．x2+4x+10＝0
D．x2+4x﹣5＝0
【分析】找出四个选项中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，计算出b2﹣4ac的值，当b2﹣4ac大于等于0时，设方程的两个根为x1，x2，利用根与系数的关系x1+x2＝﹣求出各项中方程的两个之和，即可得到正确的选项．
【解答】解：A、x2+2x﹣4＝0，
∵a＝1，b＝2，c＝﹣4，
∴b2﹣4ac＝4+16＝20＞0，
设方程的两个根为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣＝﹣2，本选项不合题意；
B、x2﹣4x+4＝0，
∵a＝1，b＝﹣4，c＝4，
∴b2﹣4ac＝16﹣16＝0，
设方程的两个根为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣＝4，本选项不合题意；
C、x2+4x+10＝0，
∵a＝1，b＝4，c＝10，
∴b2﹣4ac＝16﹣40＝﹣24＜0，
即原方程无解，本选项不合题意；
D、x2+4x﹣5＝0，
∵a＝1，b＝4，c＝﹣5，
∴b2﹣4ac＝16+20＝36＞0，
设方程的两个根为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣＝﹣4，本选项符合题意，
故选：D．
7．已知α，β是方程x2+2x﹣7＝0的两个实数根，则α2+3β2+4β的值（　　）
A．28
B．30
C．32
D．34
【分析】根据α，β是方程x2+2x﹣7＝0的两个实数根，求出α+β，αβ的值，所以α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ；由于α2+3β2+4β＝α2+β2+2β2+4β，所以利用一元二次方程的定义和整体代入思想解题即可．
【解答】解：∵α，β是方程x2+2x﹣7＝0的两个实数根，
∴α+β＝﹣2，αβ＝﹣7，β2+2β﹣7＝0．
∴β2+2β＝7．
∴α2+3β2+4β
＝α2+β2+2β2+4β
＝（α+β）2﹣2αβ+2（β2+2β）
＝（﹣2）2﹣2×（﹣7）+2×7
＝32．
故选：C．
8．已知一元二次方程2x2﹣x+c＝0有两个不相等的实数根，且其中一根为﹣1，则另一根为（　　）
A．﹣1
B．1
C．
D．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求得方程的另一根．
【解答】解：设一元二次方程2x2﹣x+c＝0的另一根为x2，则
﹣1+x2＝．
解得x2＝．
故选：D．
9．若m，n是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个根，则m+n﹣mn的值是（　　）
A．﹣3
B．3
C．﹣1
D．1
【分析】由韦达定理得出m+n和mn的值，再代入计算可得．
【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个根，
∴m+n＝﹣1，mn＝﹣2，
则m+n﹣mn＝﹣1﹣（﹣2）＝1，
故选：D．
二、填空题（本题共计9小题，每题3分，共计27分，）
10．若方程x2﹣3x﹣3＝0两根为x1、x2，则x1?x2＝　﹣3　．
【分析】根据根与系数的关系可得出x1?x2＝＝﹣3，此题得解．
【解答】解：∵方程x2﹣3x﹣3＝0两根为x1、x2，
∴x1?x2＝＝﹣3．
故答案为：﹣3．
11．一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两根为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2＝　1　．
【分析】利用根与系数的关系得到x1+x2＝3，x1x2＝2，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得：x1+x2＝3，x1x2＝2，
所以x1+x2﹣x1x2＝3﹣2＝1．
故答案为：1．
12．方程2x2+3x﹣1＝0的两个根为x1、x2，则+的值等于　3　．
【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，再通分得到+＝，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，
所以+＝＝＝3．
故答案为3．
13．已知实数m、n满足m2﹣4m﹣1＝0，n2﹣4n﹣1＝0，则+＝　2或﹣18　．
【分析】分类讨论：当m＝n时，易得原式＝2；当m≠n时，则可把m、n看作方程x2﹣4x﹣1＝0的两根，根据根与系数的关系得到m+n＝4，mn＝﹣1，再把原式变形得到＝，然后利用整体代入的方法计算即可．
【解答】解：当m＝n时，原式＝1+1＝2；
当m≠n时，m、n可看作方程x2﹣4x﹣1＝0的两根，
则m+n＝4，mn＝﹣1，
所以原式＝＝＝＝﹣18．
故答案为2或﹣18．
14．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个根是1和﹣2，则mn的值是　﹣2　．
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：由根与系数的关系可知：1+（﹣2）＝﹣m，1×（﹣2）＝n，
∴m＝1，n＝﹣2
∴mn＝﹣2
故答案为：﹣2
15．已知x1，x2是方程3x2﹣4x+1＝0的两根，则x12+x22＝　　．
【分析】由根与系数的关系求得x1+x2＝，x1?x2＝，然后将其代入变形后的所求代数式进行求值（x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1?x2）
【解答】解：∵x1，x2是方程3x2﹣4x+1＝0的两根，
∴x1+x2＝，x1?x2＝，
∴x12+x22
＝（x1+x2）2﹣2x1?x2
＝（）2﹣2×
＝．
故答案是：．
16．已知m、n是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两个根，那么m+n＝　﹣1　．
【分析】由m与n为已知方程的解，利用根与系数的关系求出m+n即可．
【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两个根，
∴m+n＝﹣1，
故答案为：﹣1，
17．已知x1、x2是一元二次方程x2+x﹣5＝0的两个根，则x12+x22﹣x1x2＝　16　．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣5，再利用完全平方公式变形得到x12﹣x1x2+x22＝（x1+x2）2﹣3x1x2，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣5，
所以x12+x22﹣x1x2＝（x1+x2）2﹣3x1x2＝（﹣1）2﹣3×（﹣5）＝16．
故答案为16．
18．设一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别是x1，x2，则x1+x2（x22﹣3x2）＝　3　．
【分析】由题意可知x22﹣3x2＝1，代入原式得到x1+x2，根据根与系数关系即可解决问题．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别是x1，x2，
∴x12﹣3x1﹣1＝0，x22﹣3x2﹣1＝0，x1+x2＝3，
∴x22﹣3x2＝1，
∴x1+x2（x22﹣3x2）＝x1+x2＝3，
故答案为3．
三、解答题（本题共计6小题，共计66分，）
19．（11分）已知实数a，b是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，求+的值．
【分析】根据根与系数的关系得到a+b＝1，ab＝﹣1，再利用完全平方公式变形得到+＝＝，然后利用整体代入的方法进行计算．
【解答】解：∵实数a，b是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，
∴a+b＝1，ab＝﹣1，
∴+＝＝＝﹣3．
20．（11分）已知x1、x2是一元二次方程x2+6x+3＝0的两个实数根，求下列代数式的值：
（1）x1+x2﹣x1?x2
（2）．
【分析】根据x1，x2是一元二次方程x2+6x+3＝0的两个实数根，求出x1+x2、x1x2的值．
（1）将x1+x2、x1x2的值代入计算即可；
（2）根据分式的加法法则及完全平方公式，把要求的式子进行变形，整理得出含有两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+6x+3＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣6，x1x2＝3．
（1）x1+x2﹣x1?x2＝﹣6﹣3＝﹣9；
（2）＝＝＝＝10．
21．（11分）已知一元二次方程：x2﹣3x﹣1＝0的两个根分别是x1、x2，求x12x2+x1x22的值．
【分析】根据x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝，计算即可．
【解答】解：∵一元二次方程：x2﹣3x﹣1＝0的两个根分别是x1、x2，
∴x1+x2＝3，x1?x2＝﹣1，
∴x12x2+x1x22＝x1x2（x1+x2）＝﹣3．
22．（11分）设x1，x2是方程2x2+4x﹣3＝0的两个实数根，不解方程，求下列代数式的值．
（1）（x1﹣2）（x2﹣2）
（2）x+x．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣．
（1）把代数式变形得到原式＝x1x2﹣2（x1+x2）+4，然后利用整体代入的方法计算；
（2）利用完全平方公式把原式变形为（x1+x2）2﹣2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣
（1）原式＝x1x2﹣2（x1+x2）+4＝﹣﹣2×（﹣2）+4＝；
（2）原式＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（﹣2）2﹣2×（﹣）＝7．
23．（11分）设x1，x2是关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0的两个实数根．请问：是否存在实数k，使得x1x2＞x1+x2成立？试说明理由．
【分析】方程有两实数根下必须满足Δ＝b2﹣4ac≥0．又由两根之积大于两根之和，根据根与系数的关系，即可得到关于k的不等式，解得k即可．
【解答】解：∵方程有实数根，
∴b2﹣4ac≥0，
∴（﹣4）2﹣4（k+1）≥0，即k≤3．
∵x＝，
∴，
，
若x1?x2＞x1+x2，即k+1＞4，
∴k＞3．
而k≤3，因此，不存在实数k，使得x1?x2＞x1+x2成立．
24．（11分）先阅读下列的解答过程，然后再解答：
阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根分别是x1、x2．那么x1+x2＝﹣，x1x2＝．
例如：已知方程2x2+3x﹣5＝0的两根分别为x1、x2
则：x1+x2＝﹣＝﹣，x1、x2＝＝＝﹣
请同学阅读后完成以下问题：
（1）已知方程3x2﹣4x﹣6＝0的两根分别为x1、x2，求x1+x2和x1x2的值．
（2）已知方程3x2﹣4x﹣6＝0的两根分别为x1、x2，求+的值．
（3）若一元二次方程2x2+mx﹣3＝0的一根大于1，另一根小于1，求m的取值范围．
【分析】（1）分别利用一元二次方程根与系数的关系求解即可．
（2）先把所求的代数式变形为含有x1+x2和x1x2的形式，然后利用根与系数的关系进行解答．
（3）依据题意可得Δ＞0及把x＝1代入方程求解即可．
【解答】解：（1）x1+x2＝﹣（）＝，x1x2＝＝﹣2；
（2）+＝＝＝﹣；
（3）由题意得：，解得m＜1．