黑龙江省齐齐哈尔市2020-2021学年高二下学期期末考试数学（文）试题（ Word版，含答案）

齐齐哈尔市2020-2021学年度下学期期末质量监测
高二数学试卷（文科）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则的子集的个数为（
）
A．4
B．8
C．16
D．32
2．函数的零点所在的一个区间是（
）
A．
B．
C．
D．
3．下列函数中既是奇函数，又在定义域内为减函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有重要的地位．特别是当时，被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”．根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
5．下面用“三段论”形式写出的演绎推理：指数函数在上是增函数，因为是指数函数，所以在上是增函数，该结论显然是错误的，其原因是（
）
A．大前提错误
B．小前提错误
C．推理形式错误
D．以上都可能
6．为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如下等高条形图：
根据图中的信息，下列结论中不正确的是（
）
A．样本中多数男生喜欢手机支付
B．样本中的女生数量少于男生数量
C．样本中多数女生喜欢现金支付
D．样本中喜欢现金支付的数量少于喜欢手机支付的数量
7．下列四个命题中真命题的序号是（
）
①“”是“”的充分不必要条件；
②命题：“，”，命题“：，”，
则为真命题；
③命题“，”的否定是“，”；
④“若，则”的逆否命题是真命题；
A．①②
B．①③
C．①④
D．③④
8．函数的部分图像大致为（
）
A．
B．
C．
D．
9．已知，是两个平面，，是两条直线，则下列命题中错误的是（
）
A．如果，，，那么
B．如果，，那么
C．如果，，，那么
D．如果，，，那么
10．下列不等式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
11．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为（
）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
12．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则（
）
A．0
B．1
C．2
D．4
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案写在答题卡相应题的横线上．
13．已知函数，则______．
14．某种产品的广告费支出与销售额（单位：万元）之间的关系如下表：
2
4
5
6
8
30
40
60
50
70
与的线性回归方程为，当广告费支出为5万元时，随机误差的效应（残差）为______万元．
15．已知是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有，若，则______．
16．古代埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其他分数都可写成若干个分子为1的分数的和的形式．例如，可这样理解：假定有2个面包，要平均分给5个人，如果每人分，不够，每人分，余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得．形如的分数的分解：，，，…，按此规律，则______．（）
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．
17．本小题满分12分
已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，且是与的等差中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和为，且，求．
18．本小题满分12分
某种病菌在某地区人群中传播，目前临床医学研究中已有费用昂贵但能准确检测出个体是否带菌的方法．现引进操作易、成本低的新型检测方法：每次只需检测，两项指标，若指标的值大于4且指标的值大于100，则检测结果呈阳性，否则呈阴性．为考查该检测方法的准确度，随机抽取50位带菌者（用“
”表示）和50位不带菌者（用“”表示）各做一次检测，他们检测后的数据，制成如下统计图：
（1）从这100名被检测者中，随机抽取一名不带菌者，求检测结果呈阳性的概率；
（2）完成下列列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为“带菌”与“检测结果呈阳性”有关？
检测结果呈阳性
检测结果呈阴性
合计
不带菌者
带菌者
合计
（参考公式：，其中）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
19．本小题满分12分
已知函数的图像过点．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数有3个零点，求实数的取值范围．
20．本小题满分12分
如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，为上一点，且．
（1）证明：；
（2）求三棱锥的体积．
21．本小题满分12分
已知函数，，．
（1）若，求不等式的解集；
（2）若函数有唯一的零点，求实数的取值范围．
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分
22．本小题满分10分选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若点直角坐标为，曲线与交于、两点，求的值．
23．本小题满分10分选修4—5：不等式选讲
已知函数，，不等式的解集为．
（1）求实数的值；
（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
齐齐哈尔市2020-2021学年度下学期期末质量监测
高二数学试卷（文科）参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
C
D
B
A
C
B
A
A
D
C
D
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）把正确答案写在答题卡相应题的横线上．
13．
14．10
15．2
16．
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤）．
17．（1）解：设数列的公比为，由是与的等差中项，
∴
即=，解得或（舍）
∵，∴，∴．
（2）解：由题意知式，∴
∴
∴
18．（1）设从这100名被检测者中，随机抽取一名不带菌者，检测结果呈阳性为事件，
根据统计图可知在不带菌者中，检测结果呈阳性的有5人，
∴．
（2）可作出列联表如下：
检测结果呈阳性
检测结果呈阴性
合计
不带菌者
5
45
50
带菌者
35
15
50
合计
40
60
100
进一步计算得的观测值
所以，能够在犯错误概率不超过0.001的前提下认为“带菌”与“检测结果呈阳性有关．
19．（1）解：由函数的图像过点，可知，
，解得，
即，所以
令，则或，令，则．
∴函数的单调增区间为和，单调减区间为．
（2）解：由（1）知，函数的极大值为，极小值为．
由数形结合思想可知，要使函数有3个零点．
即有三个交点，则，解得．
故的取值范围为．
20．（1）∵平面，∴．∵，，
由余弦定理得，∴，∴，且，
∴平面，∴．
（2）由可知，设到底面的距离为，则，
．
∴．
21．（1）解：若，则有，函数的定义域为
易知函数在定义域内单调递增，则有，解得
∴不等式得解集为．
（2）函数有唯一的零点，可知方程的解集中恰有一个元素，
即的解集中恰有一个元素，
即当时，方程的解集中恰有一个元素．
若时，即时，解得，此时，满足题意．
若时，方程的根为，．
当时，，此时，满足题意
当时，由时，方程恰有一个元素，
∴或，解得或．
综上所述：实数的取值范围为．
22．（1）解：将的方程化为，两式相减得曲线的方程：，
由得，∵，，
∴曲线的直角坐标方程为．
（2）∵点在直线上，∴设的参数方程为（为参数），
将其代入，得，
由韦达定理得，，，
．
23．（1）因为，所以不等式，即，所以，因为不等式解集为，所以且，解得．
（2）关于的不等式恒成立，等价于恒成立，
等价于恒成立，解得或．