北师大版数学九年级上册：1.3.2正方形的判定课件（17张）

(共17张PPT)
第一章
特殊平行四边形
1.3.2
正方形的判定
随堂演练
课堂小结
获取新知
例题讲解
知识回顾
回忆：在之前的学习中我们是如何判断菱形和矩形的？
平行四边形
菱形
四条边相等
矩形
三个角是直角
定义
四个判定定理
对角线垂直
定义
对角线相等
四边形
定义
知识回顾
怎样判定一个四边形是正方形呢？
学习目标
1．探索并证明正方形的判定，并了解平行四边形、矩形、
菱形之间的联系和区别；(重点、难点)
2．会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算
.(难点)
活动1
准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.
获取新知
正方形
猜想
满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
正方形
一组邻边相等
对角线互相垂直
请选择其中一个进行证明！
定理：对角线互相垂直的矩形是正方形.
A
B
C
D
O
已知：如图,在矩形ABCD中,AC
,
DB是它的两条对角线,
AC⊥DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形
∴
AO=CO=BO=DO
，∠ADC=90°
∵AC⊥DB
∴
AD=AB=BC=CD
∴四边形ABCD是正方形
菱形
正方形
一个角是直角
对角线相等
活动2
把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.
正方形
猜想
满足怎样条件的菱形是正方形？
请选择其中一个进行证明！
已知：如图,在菱形ABCD中,AC
,
DB是它的两条对角线,
AC=DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
定理：对角线相等的菱形是正方形.
A
B
C
D
O
证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=CD=AD
∵AC=DB
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°
∴四边形ABCD是正方形
总结归纳
正方形判定的几条途径：
正方形
+
先判定菱形
矩形条件(二选一)
一个直角，
对角线相等
正方形
+
先判定矩形
菱形条件(二选一)
一组邻边相等，
对角线垂直
定理1：有一个角是直角的菱形是正方形。
定理2：对角线相等的菱形是正方形。
定理3：有一组邻边相等的矩形是正方形。
定理4：对角线互相垂直的矩形是正方形。
(1)如果以四边形各边的中点为顶点可以组成一个什么图形？如果是平行四边形呢？如果是菱形或矩形呢？如果是正方形呢？
(2)以四边形各边中点为顶点所组成的新四边形的形状与哪些线段有关系？有怎样的关系呢？
思考
A
B
C
D
任意四边形
平行四边形
特殊四边形的中点四边形：
平行四边形的中点四边形是
平行四边形
矩形的中点四边形是菱形
菱形的中点四边形是矩形
正方形的中点四边形是正方形
中点四边形的形状与原四边形对角线的数量关系和位置关系有关
例题讲解
例1
如图,在矩形ABCD
中,
BE
平分∠ABC
,
CE
平分∠DCB
,
BF∥CE
,
CF∥BE.
求证：四边形BECF
是正方形.
F
A
B
E
C
D
证明:
∵
BF∥CE,CF∥BE
45°
45°
在△EBC中
∵
∠EBC
=
45°,∠ECB
=
45°
∴∠BEC
=
90°
∴菱形BECF是正方形
∴四边形BECF是平行四边形
∵四边形ABCD是矩形
∴
∠ABC
=
90°,
∠DCB
=
90°
∵BE平分∠ABC,
CE平分∠
DCB
∴∠EBC
=
45°,
∠ECB
=
45°
∴
∠
EBC
=∠
ECB
∴
EB=EC
∴□
BECF是菱形
随堂演练
1.下列命题正确的是（
）
A.四个角都相等的四边形是正方形
B.四条边都相等的四边形是正方形
C.对角线相等的平行四边形是正方形
D.对角线互相垂直的矩形是正方形
D
2.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　）
A．当AB=BC
时，四边形ABCD
是菱形
B．当AC⊥BD
时，四边形ABCD
是菱形
C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD
是矩形
D．当AC=BD
时，四边形ABCD
是正方形
D
3.如图，四边形ABCD
中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，请添加一个条件____________________，可得出该四边形是正方形．
AB=BC(答案不唯一)
4.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD
四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD
是正方形，其中错误的是_________________（只填写序号）．
②③或①④
A
B
C
D
O
6.
如图，在平行四边形ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，
交BC的延长线于点E.
(1)求证：△AOD≌△EOC；
解：
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD//BC.
∵O是CD的中点,
∴∠ADC＝∠DCE，∠DAO＝∠CEO.
∴OD＝OC.
在△AOD和△EOC中
∠D＝∠OCE
∠DAO＝∠CEO
DO＝CO
∴△AOD≌△EOC
6.
如图，在平行四边形ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E.
(2)连接AC，DE，当∠B＝∠AEB＝________°时，四边形ACED是正方形？请说明理由．
解：当∠B＝∠AEB＝45°时，四边形ACED是正方形．
理由如下：
∵△AOD≌△EOC，
又∵OD＝OC,
∴OA＝OE.
∴四边形ACED是平行四边形.
∵∠B＝∠AEB＝45°,
∴AB＝AE，∠BAE＝90°.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB//CD，AB＝CD.
∴∠COE＝∠BAE＝90°.
∴平行四边形ACED是菱形.
又∵AB＝AE，AB＝CD,
∴AE＝CD.
∴菱形ACED是正方形.
7.
在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗?为什么?
N
M
F
E
D
A
B
C
证明：∵ABCD是正方形,AE=BF=CM=DN
∴AN=BE=CF=DM
在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，AE=BF=CM=DN
∠A=∠B=∠C=∠D,AN=BE=CF=DM
∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM
∴EN=FE=MF=NM,∠ANE=∠BEF
∴四边形EFMN是菱形
∠NEF=180°-（∠AEN+∠BEF）=180°-（∠AEN+∠ANE)=90°
∴四边形EFMN是正方形
5种识别方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
四边形
平行四边形
矩形
菱形
正方形
课堂小结