北师大版数学九年级上册：1.2.1 矩形的概念及性质课件（22张）

(共22张PPT)
第一章
特殊平行四边形
1.2.1
矩形的概念及性质
随堂演练
课堂小结
获取新知
例题讲解
情景导入
情景导入
下面图片中都含有一些特殊的平行四边形．观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
你还能举出其他的例子吗？
学习目标
1.理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系.（重点）
2.会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题.（重点、难点）
3.掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用.
（重点）
矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
有一个角是直角
平行四边形
矩形
即：
∠A=90°
ABCD
ABCD是矩形.
获取新知
矩形是特殊的平行四边形.
平行四边形不一定是矩形.
┐
矩形与四边形、平行四边形的关系
四边形
平行四
边形
两组对边
分别平行
一个角
是直角
四边形
平行四边形
矩
形
矩形
矩形的一般性质
A
B
C
D
O
矩形的对边平行且相等.
矩形的对角相等.
矩形的对角线互相平分.
边：
角：
对角线：
对称性：
想一想
(1)矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质．
你能列举一些这样的性质吗？
矩形是中心对称图形
(2)矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？
是轴对称图形；对称轴：对边中点所在的直线
猜想1：矩形的四个角都是直角．
猜想2：矩形的对角线相等．
(3)你认为矩形还具有哪些
特殊的性质？与同伴交流．
你能证明吗？
猜想1：矩形的四个角都是直角
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∠C=90°
∴∠A=∠C=90°
,∠B+∠C=180
°
∴∠B=180－∠C=90°
∴∠D=∠B=90°
即∠A=∠B=∠C=∠D=90°
几何语言：
∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
已知：四边形ABCD是矩形，∠C=90°
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°
定理1：矩形的四个角都是直角
猜想2：矩形的对角线相等
已知：四边形ABCD是矩形
求证：AC
=
BD
A
B
C
D
证明：在矩形ABCD中
∠ABC
=
∠DCB
=
90°
∵AB
=
DC
，
BC
=
CB
∴△ABC≌△DCB（SAS）
∴AC
=
BD
几何语言：
∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD
定理2：矩形的对角线相等
矩形的性质
矩形的对边平行且相等.
矩形的对角线相等.
矩形的对角线互相平分.
矩形的四个角都是直角.
矩形的对角相等.
角
对角线
边
对称性
矩形是轴对称图形，也是中心对称图形.
总结归纳
例1
如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5，求这个矩形对角线的长。
例题讲解
解：∵四边形ABCD是矩形
∴AC＝BD(矩形的对角线相等)
OA＝OC＝
AC，OB＝OD＝
BD(矩形的对角线互相平分)
∴OA＝OD
∵∠AOD＝120°
∴∠ODA＝∠OAD＝
(180°－120°)＝30°
又∵∠DAB＝90°(矩形的四个角都是直角)
∴BD＝2AB＝2×2.5＝5
你还有其他解法吗？
例2
如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，求AE的长.
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，∴OA=OB，
∵BE：ED=1：3，∴BE：OB=1：2，
∵AE⊥BD，∴AB=OA，
∴OA=AB=OB，即△OAB是等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∴∠ADE=90°-∠ABD=30°，
∴AE=
AD=3.
如图：矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，那么BO是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？它与AC有什么大小关系呢？由此你能得到怎样的结论呢？
议一议
猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
请同学们通过小组合作，完成该猜想的证明。
获取新知
证明:延长BO至D，使OD=BO,
连结AD、DC
∵AO=OC,
BO=OD
∴四边形ABCD是平行四边形
∵∠ABC=90°
∴
ABCD是矩形
∴AC=BD
∴BO=
BD=
AC
定理3：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
几何语言：
∵△ABC为直角三角形
BO为AC的中线
∴BO=
AC
直角三角形斜边上的中线上的性质常见类型
总结归纳
例3
如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长.
解：∵AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点，
∴DE＝AE＝
AB＝
×10＝5，
DF＝AF＝
AC＝
×8＝4，
∴四边形AEDF的周长＝AE＋DE＋DF＋AF
＝5＋5＋4＋4＝18；
例题讲解
1
已知：矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC.求证：CE＝EF。
证明：∵
四边形ABCD是矩形,
∴
∠B=90°且AD//BC
∴
∠1=∠2
∵DF⊥AE
∴∠AFD=90°
∴∠B=∠AFD.
在△ABE和△DFA中
∠1=∠2
∠B=∠AFD
AD
=AE
∴△ABE≌△DFA（AAS）
∴AF=BE
∴EF=EC
矩形的问题常可以转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决.
1.下列说法错误的是（
）
A.
矩形的对角线互相平分
B.
矩形的对角线相等
C.
有一个角是直角的四边形是矩形
D.
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
C
随堂演练
2.填空：
（1）矩形的定义中有两个条件：一是__________
，二是_________
.
（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为_______、______
、
______
、
_____
。
有一个角是直角
平行四边形
60°
60°
120°
120°
（3）已知矩形的一条对角线长为10
cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为____
cm，_____
cm，
___
cm，____
cm.
5
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3.
如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GF⊥DE.
解：连接EG，DG.
∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°.
∵点G是BC的中点，
∴EG＝
BC，DG＝
BC.
∴EG＝DG.
又∵点F是DE的中点，
∴GF⊥DE.
4.四个学生正在做投圈游戏,他们分别站在一个矩形的四个顶点处，目标物放在对角线的交点处,这样的队形对每个人公平吗?为什么？
O
A
B
C
D
[答案]公平，因为OA=OC=OB=OD
矩形的相关概念及性质
具有平行四边行的一切性质
1.四个内角都是直角，
2.两条对角线互相平分且相等
3.是轴对称图形，有两条对称轴
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
概念
一般性质
特有性质
课堂小结