江苏省南京市2022届高三上学期零模考前复习卷（8月）数试题 (Word版含答案)

南京市2022届高三年级零模考前复习卷
数学
2021．08
第Ⅰ卷（选择题
共60分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分）
1．已知复数，设复数，则的虚部是（
）
A．
B．1
C．
D．
2．已知，为非零实数，则“”是“”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．既不充分也不必要条件
D．充要条件
3．在中，，，，则（
）
A．
B．1
C．2
D．3
4．棱长为的正方体中，点，，分别为棱，，的中点，则过，，三点的平面截正方体所得截面面积为（
）
A．
B．
C．
D．
5．若为锐角，，则（
）
A．
B．
C．
D．
6．将正整数12分解成两个正整数的乘积有，，三种，其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称为12的最佳分解．当是正整数的最佳分解时，我们定义函数，例如，则（
）
A．
B．
C．
D．
7．过点作倾斜角为150°的直线与抛物线：交于两点，，若，则的值为（
）
A．4
B．
C．
D．
8．已知，，且，则下列结论一定正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每题5分，共20分．每题全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．已知函数，（，）图象的一条对称轴为，，且在内单调递减，则以下说法正确的是（
）
A．是其中一个对称中心
B．
C．在单增
D．
10．在中，角，，所对的边分别为，，，且，将分别绕边，，所在的直线旋转一周，形成的几何体的体积分别记为，，，侧面积分别记为，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
11．设集合，，，，，中至少有两个元素，且，满足：
①对于任意，，若，都有
②对于任意，，若，则；
下列情况中可能出现的有（
）
A．有4个元素，有7个元素
B．有4个元素，有6个元素
C．有3个元素，有5个元素
D．有3个元素，有4个元素
12．甲、乙两人进行围棋比赛，共比赛局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为．如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛记甲赢得比赛的概率为，则（
）
A．
B．
C．
D．的最大值为
第Ⅱ卷（非选择题
共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13．已知，，则________．
14．根据下面的数据：
1
2
3
4
32
48
72
88
求得关于的回归直线方程为，则这组数据相对于所求的回归直线方程的4个残差的方差为________．（注：残差是指实际观察值与估计值之间的差）
15．斜率为的直线与椭圆：相交于，两点，线段的中点坐标为，则椭圆的离心率等于________．
16．“韩信点兵”问题在我国古代数学史上有不少有趣的名称，如“物不知数”鬼谷算”“隔墙算”“大衍求一术”等，其中《孙子算经》中“物不知数”问题的解法直至1852年传由传教士传入至欧洲，后验证符合由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．原文如下：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”这是一个已知某数被3除余2，被5除余3，被7除余2，求此数的问题．满足条件的数中最小的正整数是________；1至2021这2021个数中满足条件的数的个数是________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（本题满分10分）
内角，，的对边分别为，，，，．
（1）证明：；
（2）若AC+CB=8，求△ABC的周长．
18．（本题满分12分）
设等差数列的前项和为，已知，且．
（1）求和；
（2）是否存在等差数列，使得对成立？并证明你的结论．
19．（本题满分12分）
为保护学生视力，让学生在学校专心学习，防止沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定．某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，现对我校80名学生调查得到统计数据如下表，记为事件：“学习成绩优秀且不使用手机”；为事件：“学习成绩不优秀且不使用手机”，且已知事件的频率是事件的频率的2倍．
不使用手机
使用手机
合计
学习成绩优秀人数
12
学习成绩不优秀人数
26
合计
（1）运用独立性检验思想，判断是否有99.5%的把握为中学生使用手机对学习成绩有影响？
（2）采用分层抽样的方法从这80名学生中抽出6名学生，并安排其中3人做书面发言，记做书面发言的成绩优秀的学生数为，求的分布列和数学期望．
参考数据：，其中．
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
20．（本题满分12分）
如图，四棱柱中，面面，面面，点、、分别是棱、、的中点．
（1）证明：面．
（2）若四边形是边长为2的正方形，且，面面直线，求直线与所成角的余弦值．
21．（本题满分12分）
已知双曲线：（，）过点，且该双曲线的虚轴端点与两顶点，的张角为120°．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点的直线与双曲线左支相交于点，，直线，与轴相交于，两点，求的取值范围.
22．（本题满分12分）
已知函数在处的切线方程为，
（1）求的值；
（2）若方程有两个不同实根、，证明：
南京市2022届高三年级零模考前复习卷答案
数学
2021.08
一、单项选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
A
D
C
C
B
A
A
B
二、多项选择题
9
10
11
12
AD
ABC
ACD
BC
三、填空题
13．4
14．3.2
15．
16．23，20
四、解答题
17．（1）由，可得，
所以，所以为锐角，，
所以，
由正弦定理可得．
（2）由（1）知，
所以，
设，，，则，解得，
所以的周长为．
18．解：（1）设数列的公差为，则，
解得，，∴，，∴；
（2）设，由可得，
由，可得，
故存在等差数列满足条件，其中，，
下面用数学归纳法证明：当时，对成立，
①当时，由上面过程可知，等式成立，
②假设时等式成立，即，
则当时，
，
，
即当时等式成立，
由①②可知，（其中）对成立．
19．（1）由己知得解得
补全表中所缺数据如下：
不使用手机
使用手机
合计
学习成绩优秀人数
28
12
40
学习成绩不优秀人数
14
26
40
合计
42
38
80
根据题意计算观测值为，
所以有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响．
（2）根据题意由分层抽样方法可知，抽取成绩优秀的学生3名，成绩不优秀的学生3名．
从而的所有可能取值为0，1，2，3，
且，，
，，
所以的分布列为
0
1
2
3
的数学期望为．
20．（1）如图所示，在底面中，过点分别作，
因为平面平面面，，且平面，
由面面垂直的性质定理，可得平面，
又由平面，所以，
同理可证：，
又因为，且，平面，所以平面．
（2）因为四边形是边长为2的正方形，且，
可得四棱柱为棱长为2的正方体，
延长交于点，连接，即为平面平面，
则直线与所成角即为直线与所成的角，
取的中点，连接，可得，
则异面直线与所成的角即为与所成的角，设为，其中，
在直角中，可得，
在中，可得，
即直线与所成角的余弦值为
21．（1）由已知∴∴
（2）设直线方程为，，，
直线的方程为，可得
直线的方程为，可得
联立，消去，整理得．
可得
又，所以的范围是．
22．（1）∵，∴，∴；
（2）由（1）得，又，，且
在上单调递增
所以有唯一实根，
时，，递减，时，，递增，
故两根分别在与内，无妨设，
设，，则，
时，，递减，时，，递增，
∴有最小值，即恒成立，，
∴，又因为函数在处的切线方程为，
所以恒成立，
∴，于是．