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专题04
函数的基本性质
一、单选题
1．（湖南省岳阳市岳阳县2021届高三下学期高考适应性考试）设函数在内有定义，下列函数必为奇函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（陕西省名校2021届高三下学期5月检测）已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，若，则下列不等式错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（安徽省皖江名校2021届高三5月最后一卷）偶函数满足，且在时，，则（
）
A．
B．1
C．
D．
4．（湖北省襄阳四中2021届高三下学期5月高考适应性考试）设奇函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(1)=0，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
5．（新疆维吾尔自治区克拉玛依市2020届高三三模）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．如函数的图象大致为（
）
A．
B．
C．
D．
6．（东北三省三校（哈师大附中）2021届高三四模）设为定义在R上的奇函数，当时，(为常数)，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
7．（四川省成都市石室中学2021届高三三模模拟考试）已知函数的图像关于对称，满足，且在上递减，若，，，则，，的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
8．（陕西省2021届高三下学期教学质量检测测评（六））已知函数，给出下列四个命题：
①在定义域内是减函数；
②是非奇非偶函数；
③的图象关于直线对称；
④是偶函数且有唯一一个零点.
其中真命题有（
）
A．①③
B．②③
C．③④
D．①④
9．（内蒙古赤峰二中2021届高三三模）若直角坐标平面内A、B两点满足①点A、B都在函数的图像上；②点A、B关于原点对称，则点是函数的一个“姊妹点对”.点对与可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数，则的“姊妹点对”有（
）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
10．（山东省济南市实验中学2021届高三二模）中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽著作的基础上，把刘徽常用的方法概括为“出入相补原理”：一个图形不论是平面的还是立体的，都可以切割成有限多块，这有限多块经过移动再组合成另一个图形，则后一图形的面积或体积保持不变利用这个原理，解决下面问题：已知函数满足，且当时的解析式为，则函数在的图象与直线围成封闭图形的面积是（
）
A．
B．
C．
D．
11．（四川省宜宾市2021届高三三模）已知是定义在上的奇函数，满足，下列说法：
①的图象关于对称；
②的图象关于对称；
③在内至少有5个零点；
④若在上单调递增，则它在上也是单调递增.
其中正确的是（
）
A．①④
B．②③
C．②③④
D．①③④
12．（北京市清华附中2021届高三考前热身数学试题）若函数的图象上任意一点的坐标满足条件，则称函数具有性质P．下列函数中具有性质P的是（
）
A．
B．
C．
D．
13．（河南省驻马店市正阳县高级中学2020-2021学年高三预测数学试题）给出定义：若(其中)，则叫做离实数最近的整数，记作.在此基础上给出关于函数的下述五个结论：
①；
②的值域为；
③是奇函数：
④在区间上单调递减；
⑤对定义域内每一个，都有.
其中正确的结论是（
）
A．①②④
B．②③⑤
C．①③
D．①⑤
二、多选题
14．（辽宁省铁岭市2021届二模数学试题）设函数则（
）
A．是偶函数
B．值域为
C．存在，使得
D．与具有相同的单调区间
15．（吉林省松原市前郭县、长岭县、乾安县2021届高三5月联考）已知函数是奇函数，是偶函数，并且当，，则下列选项正确的是（
）
A．在上为减函数
B．在上
C．在上为增函数
D．关于对称
16．（重庆市名校联盟2021届高三三模）是定义在上周期为4的函数，且，则下列说法中正确的是（
）
A．的值域为
B．当时，
C．图象的对称轴为直线
D．方程恰有5个实数解
17．（福建省莆田市2021届高三高中毕业班3月第二次教学质量检测）若连续函数在其定义区间上的任意个点，恒有，则称在上满足性质．设函数在区间上满足性质，且过点，的图象与线段围成封闭图形的面积记为，则（
）
A．
B．可以为
C．
D．
三、填空题
18．（山东省菏泽市2021届高三二模）写出一个同时满足下列两个条件的非常数函数_________
①当时，；②为偶函数
19．（内蒙古赤峰二中2021届高三三模）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德?黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：，若函数是定义在R上的奇函数，且对任意x都有，当时，，则_________.
20．（重庆市黔江新华中学校2021届高三下学期3月月考）已知是定义在上的偶函数且，是奇函数，则________．_____________．
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专题04
函数的基本性质
一、单选题
1．（湖南省岳阳市岳阳县2021届高三下学期高考适应性考试）设函数在内有定义，下列函数必为奇函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对A，中，与不一定相等，故不一定为奇函数，故A错误；
对B，中，，所以函数为奇函数，故B正确；
对C，中，与不一定相等，故不一定为奇函数，故C错误；
对D，为偶函数，故D错误.
故选B.
2．（陕西省名校2021届高三下学期5月检测）已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，若，则下列不等式错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据题意可得函数在上为增函数，
由可得，
对A，由在上为增函数，且，
所以，故A正确；
对B，由，，故B正确；
对C，由函数在上为增函数，所以，故C正确；
对D，由函数在上为增函数，所以，故D错误.
故选D.
3．（安徽省皖江名校2021届高三5月最后一卷）偶函数满足，且在时，，则（
）
A．
B．1
C．
D．
【答案】A
【解析】因为函数是偶函数，，
所以=
f(x)
所以函数的周期为1，
所以.
故选A.
4．（湖北省襄阳四中2021届高三下学期5月高考适应性考试）设奇函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(1)=0，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为为奇函数，则，所以，等价于，即与异号，即或，又在上单调递增，且，所以在上单调递增，且
若，则或
若，则或
若，所以或，解得；
若，所以或，解得；
综上，原不等式的解集为.
故选D.
5．（新疆维吾尔自治区克拉玛依市2020届高三三模）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．如函数的图象大致为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设，则，
所以是奇函数，图象关于原点对称，排除BC.
又因为时，，故可排除D.
故选A.
6．（东北三省三校（哈师大附中）2021届高三四模）设为定义在R上的奇函数，当时，(为常数)，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】为定义在上的奇函数，
因为当时，，
所以，
故，在，上单调递增，根据奇函数的性质可知在上单调递增，
因为，所以，
由不等式可得，，解可得，，
故解集为
故选．
7．（四川省成都市石室中学2021届高三三模模拟考试）已知函数的图像关于对称，满足，且在上递减，若，，，则，，的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由函数关于对称，可得函数关于对称，即，
又由函数满足，可得，即，
所以函数是以2为周期的周期函数，
则，，，
又由，且，
因为在上递减，可得函数在上递增函数，
所以，即.
故选A.
8．（陕西省2021届高三下学期教学质量检测测评（六））已知函数，给出下列四个命题：
①在定义域内是减函数；
②是非奇非偶函数；
③的图象关于直线对称；
④是偶函数且有唯一一个零点.
其中真命题有（
）
A．①③
B．②③
C．③④
D．①④
【答案】D
【解析】函数可看成函数与函数的复合函数，
①函数在上是增函数，函数在上是减函数，故在定义域内是减函数，真命题；
②，且，故是奇函数，假命题；
③，，若，则，假命题；
④是奇函数，则是偶函数，且当时，在上是增函数，故，函数有唯一一个零点0，真命题.
故选D.
9．（内蒙古赤峰二中2021届高三三模）若直角坐标平面内A、B两点满足①点A、B都在函数的图像上；②点A、B关于原点对称，则点是函数的一个“姊妹点对”.点对与可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数，则的“姊妹点对”有（
）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【答案】C
【解析】根据题意可知，“姊妹点对”满足两点：都在函数图像上，且关于坐标原点对称.
可作出函数的图像关于原点对称的图像，看它与函数交点个数即可.如图所示：
当x=1时，，
观察图象可得：它们有2个交点.故选C.
10．（山东省济南市实验中学2021届高三二模）中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽著作的基础上，把刘徽常用的方法概括为“出入相补原理”：一个图形不论是平面的还是立体的，都可以切割成有限多块，这有限多块经过移动再组合成另一个图形，则后一图形的面积或体积保持不变利用这个原理，解决下面问题：已知函数满足，且当时的解析式为，则函数在的图象与直线围成封闭图形的面积是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意知：关于对称，而，且，，
∴在，、及的图象如下，
∴将所围成的图形在x轴下半部分阴影区域分成两部分相补到x轴上半部分阴影区域，可得到图示：由x轴、y轴、、所围成的矩形的面积，
∴函数在的图象与直线围成封闭图形的面积为.
故选C
11．（四川省宜宾市2021届高三三模）已知是定义在上的奇函数，满足，下列说法：
①的图象关于对称；
②的图象关于对称；
③在内至少有5个零点；
④若在上单调递增，则它在上也是单调递增.
其中正确的是（
）
A．①④
B．②③
C．②③④
D．①③④
【答案】D
【解析】由于是定义在上的奇函数，满足，
所以，整理得，，
所以：
故对于①，函数的图象关于对称，故①正确，②错误.
对于③，函数，，，
由于，
令，所以，
整理得，，故③正确；
对于④，，
所以函数在上单调递增，则它在上单调递增，故④正确；
故选D.
12．（北京市清华附中2021届高三考前热身数学试题）若函数的图象上任意一点的坐标满足条件，则称函数具有性质P．下列函数中具有性质P的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意可得表示的区域为下图阴影部分，
因为具有性质P，则的图象必须完全分布在阴影区域1和2内，
对于A：，过点（0,1）在区域3内，不符合题意；
对于B：，过点（2,4），在区域3内，不符合题意；
对于C：，过点（1，e-1），在区域3内，不符合题意；
对于D：，，图象分布在阴影区域1和2内，满足题意，
故选D.
13．（河南省驻马店市正阳县高级中学2020-2021学年高三预测数学试题）给出定义：若(其中)，则叫做离实数最近的整数，记作.在此基础上给出关于函数的下述五个结论：
①；
②的值域为；
③是奇函数：
④在区间上单调递减；
⑤对定义域内每一个，都有.
其中正确的结论是（
）
A．①②④
B．②③⑤
C．①③
D．①⑤
【答案】D
【解析】对于①：，则.故①正确：
对于②由，，可得.故或，故函数的值域为.故②错误；
对于③当时，，；当时，，.不满足奇函数的定义，故函数不是奇函数，故错误；
对于④令，，则，，.则，不满足减函数的定义，故④错误；
对于⑤对于定义城内每一个，，故⑤正确，综上，正确的有①⑤.
故选D.
二、多选题
14．（辽宁省铁岭市2021届二模数学试题）设函数则（
）
A．是偶函数
B．值域为
C．存在，使得
D．与具有相同的单调区间
【答案】BC
【解析】因为.所以，不是偶函数，故选项A错误.
当时，，当时，，所以值域为，故B正确；
因为，，选项C正确.
因为具有单调性的区间与具有单调性的区间不同，是数轴上关于原点对称的，选项D错误(由表达式也可以看出).
故选BC.
15．（吉林省松原市前郭县、长岭县、乾安县2021届高三5月联考）已知函数是奇函数，是偶函数，并且当，，则下列选项正确的是（
）
A．在上为减函数
B．在上
C．在上为增函数
D．关于对称
【答案】BD
【解析】因为是奇函数，是偶函数，
所以函数的图象关于中心对称，且关于轴对称，则的周期为，
当时，，则函数在上递减，
根据对称性可得在单调递增，
再结合周期性可得在上为增函数，故A错误；
在小于0，根据对称性可得在小于0，故B正确；
的图象关于轴对称，所以，，
所以不可能在上为增函数，故C错误；
的图象关于轴对称，又是奇函数，所以的图象关于轴对称，
因为的周期为，所以关于对称，故D正确.
故选BD.
16．（重庆市名校联盟2021届高三三模）是定义在上周期为4的函数，且，则下列说法中正确的是（
）
A．的值域为
B．当时，
C．图象的对称轴为直线
D．方程恰有5个实数解
【答案】ABD
【解析】根据周期性，画出的部分图象如下图所示，由图可知，选项A，D正确，C不正确；
根据周期为，当时，，故B正确.
故选ABD.
17．（福建省莆田市2021届高三高中毕业班3月第二次教学质量检测）若连续函数在其定义区间上的任意个点，恒有，则称在上满足性质．设函数在区间上满足性质，且过点，的图象与线段围成封闭图形的面积记为，则（
）
A．
B．可以为
C．
D．
【答案】AC
【解析】根据函数在区间，上满足性质，且过点，，，，，，
如图所示：
所以：，故A正确，
由于函数的图像比线段要低，第一条边比线段要低，就是凹形，
所以的图象与线段围成的封闭图形面积要大于梯形的面积，
即，故C正确；
由，得：，，所以，与题意相违背，
故B错误；
由于函数的图象比线段低，是凹的，所以不一定小于2，故D错误．
故选AC．
三、填空题
18．（山东省菏泽市2021届高三二模）写出一个同时满足下列两个条件的非常数函数_________
①当时，；②为偶函数
【答案】（，）（答案不唯一）
【解析】若满足①对任意的有成立，
则对应的函数为指数函数的形式；
若满足②为偶函数，只需要将加绝对值即可，
所以满足①②两个条件的函数可以是：（，）.
故答案为：（，）（答案不唯一）
19．（内蒙古赤峰二中2021届高三三模）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德?黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：，若函数是定义在R上的奇函数，且对任意x都有，当时，，则_________.
【答案】
【解析】∵是定义在R上的奇函数，且对任意x都有，
∴，
∴，即的周期为2，
∵当时，，
故.
故答案为：.
20．（重庆市黔江新华中学校2021届高三下学期3月月考）已知是定义在上的偶函数且，是奇函数，则________．_____________．
【答案】0
-1
【解析】因为是定义在上的偶函数，所以，
是定义在上的奇函数，所以，，
所以，
则，所以，所以函数是以4为周期的周期函数．
因为是定义在上的奇函数，所以，
由，取，得：，
又，所以，
所以
所以，
所以
所以
．故答案为：；．
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