九年级数学教学案
九年级数学备课组
总 课时 第 课时
课题：6.2二次函数的图象与性质(5) 课型：新授 时间：2012.02.12
学习目标
1、经历把函数y=ax2的图象沿x轴、y轴平移后得到y=a(x+m)2+k的图象的探究过程，进一步了解上述图象变换的实质是：图像的形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化。
2、能通过平移函数y=ax2的图象画出函数y=a(x+m)2或y=a(x+m)2+k的图象。
3、经历探索二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质的过程,进一步体会配方法的重要作用.
4、能通过配方确定二次函数y=ax2+bx+c的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴。
知识导学：
一、情景导学：
上节课，我们从观察、分析“图形上点的坐标的数量变化”与“图形的位置变化”的关系着手，用运动变化的眼光观察并发现了二次函数y=ax2+k、y=a(x+m)2的图象与二次函数y=ax2图象的平移关系，从而判断二次函数y=ax2+k、y=a(x+m)2的图象也是抛物线。
二次函数y=a(x+m)2+k的图象也是抛物线吗？它与二次函数y=ax2的图象有什么关系？二次函数y=ax2+bx+c的图象是抛物线吗？它有什么性质？
二、思考探索：
1、二次函数y=(x+1)2+2的图象是抛物线吗？
观察下图,把函数y=x2的图象沿x轴向 平移 个单位长度,可得y=(x+1)2的图象;再把函数y=(x+1)2的图象沿y轴方向向 平移 个单位长度就可以得到函数y=(x+1)2+2的图象.你能解释函数y=(x+1)2与y=(x+1)2+2之间的数量关系吗
由此可见,函数y=(x+1)2+2的图象是抛物线.
请你说说函数y=(x+1)2+2具有的性质:
2、练习一：
（1）函数y=-2(x-2)2、y=-2(x-2)2+3的图象与函数y=-2x2的图象 都相同，只是 发生了改变，把函数y=-2x2的图象沿 轴向 平移 个单位长度，即可得到函数y=-2(x-2)2的图象；再将所得图象沿 轴向 平移 个单位长度，即可得到函数y=-2(x-2)2+3的图象.
（2）函数y=a(x+m)2+k的图象是由函数y=的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，则a= ;m ;k= .
3、函数y=x2+2x+3的图象是抛物线吗？如果是，请你指出它是由哪个函数的图象怎样平移得到的？并说说它具有的性质。
4、练习二：
（1）说说怎样平移函数y=-2x2的图象才能得到函数y=-2x2+4x+1的图象？
（2）把下列函数化成顶点式，并写出它们的顶点坐标及最大值或最小值。
①y=x2-2x-3 ②y=-2x2-5x+7 ③y=3x2+2x ④y=
5、你能画出函数y=-x2-4x-6的图像吗？它有最大值还是有最小值？并求出它的最大值或最小值。
点拨：要画出二次函数y=-x2-4x-6的图象，可以先确定这个图象的顶点和对称轴的位置。你能确定这个图象的顶点和对称轴的位置吗？怎样确定？
根据图象的对称性，列表、描点连线如下：
x …… -4 -3 -2 -1 0 ……
y …… ……
请你求出它的最大值或最小值：
6、练习三：
画出函数y=的图象，并求出它的最大值或最小值。
7、你能判断二次函数y=ax2+bx+c的图象是抛物线吗？并总结它的性质。
y=ax2+bx+c(a≠0) a>0 a<0
开口方向
顶点坐标
对称轴
增减性
最值
8、练习四：
（1）根据y=ax2+bx+c=a(x++求下列函数的顶点坐标、对称轴、最大值或最小值：①y=x2-2x+4 ②y=x(8-x) ③y=100-5t2 ④y=(t-2)(2t+1)
(2)已知二次函数y=x2-5x+6,①当x为何值时,y随x的增大而增大 ②当x为何值时,y随x的增大而减小
(3)已知函数y=ax2+bx+c的图象与函数y=的图象的形状、大小、开口方向都相同，且顶点坐标是（-2，4），求a、b、c的值.
（4）已知函数y=.①确定该函数的图象的顶点在第几象限;
②如果该函数的图象经过原点,求它的顶点坐标.
（5）已知二次函数y=x2-(m-2)x+m+3.根据下列条件求m的值：
①图象经过原点；②图像的对称轴是y轴；③图像的顶点在x轴上。
（6）已知二次函数y=(x+m)2+k的图象如图。
①根据图中提供的信息求二次函数的关系式；
②求图象与x轴的交点坐标；③观察图象解答：当x为何值时，y>0 y=0 y<0
PAGE
46.2 二次函数的图像与性质(2)
学习目标：
1、经历探索二次函数y=ax2性质的过程，进一步体验数形结合的思想方法.
2、能说出二次函数y=ax2的图像的开口方向、顶点坐标、对称轴及函数的增减性等性质。
学习重点：能说出二次函数y=ax2的图像的开口方向、顶点坐标、对称轴及增减性等性质。
学习难点：能说出二次函数y=ax2的图像的开口方向、顶点坐标、对称轴及增减性等性质。
课程导学：
一、观察与思考:
观察上节课所画的二次函数y=、y=与y=-、y=-的图像有哪些共同点和不同点？
⑴二次函数y=ax2中，当a>0时：抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 。
（增减性）当x<0时，y随x的增大而 ，当x>0时，y随x的增大而 。
（最值）抛物线的顶点是最低点，因此当x 时，y的值最 ，y的最 值是 .
⑵请你总结出二次函数y=ax2中，当a>0时的特征：
⑶你知道二次函数y=与y=-的图像之间有什么关系吗？y=与y=-呢？
⑷比较二次函数y=、y=、y=-、y=-的开口大小，你有什么发现？
二、练一练：
1、分别说出下列函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标：
开口方向 对称轴 顶点坐标
y=-3x2
y=
y=5x2
y=
2、填空：
（1）当x>0时，函数y=-7x2的值随着自变量x的增大而 ；当x 时，函数有最 值是 。
（2）当x<0时，函数y=的值随着自变量x的增大而 ；当x 时，函数有最 值是 。
三、典型例题：
例1．已知二次函数y=ax2的图像经过点P(2，3)，你能确定a的值吗？你能确定它的开口方向吗？
例2.已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大．
求k的值；⑵求顶点坐标和对称轴．
例3．已知正方形周长为Ccm，面积为S cm2．
（1）求S和C之间的函数关系式，并画出图象；
（2）根据图象，求出S=1 cm2时，正方形的周长；
（3）根据图象，求出C取何值时，S≥4 cm2．
友情提醒： 此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C的取值应在取值范围内．
（四）课堂练习：
1、函数y=(k+1)x2(k+1≠0)的图像的顶点坐标是 ，对称轴是 。当k 时，图像的开口向上，这是函数有最 值；当k 时，图像的开口向下，这是函数有最 值.
2、二次函数y=ax2的图像如图，该函数的关系式是 .如果另一个函数的图像与该函数关于x轴对称，那么这个函数的关系式是 .
3、已知A（1，y1）、B（-2，y2）、C（-，y3）在函数y=的图像上，则y1、y2、y3的大小关系是 .
4、对于函数y=x2，由其图像可知，下列判断中，正确的是（ ）
A、若m、n互为相反数，则x=m与x=n对应的函数值相等；
B、对于同一自变量x，有两个函数值与之对应；
C、对于任意一个实数y，有两个x值与之对应；
D、对于任何实数x，都有y>0.
5、在同一坐标系中，函数y=x2，y=，y=3x2的图像如图。其中图像①的函数关系式是 ，图像②的函数关系式是 ，图像③的函数关系式是 .你能根据观察图像所得到的结论，说明二次函数y=ax2的系数a对图像形状的影响吗？
作业：
1、根据图（1）、（2）的函数图像填空：
（1）二次函数y=-7x2的图像不可能是 ，二次函数y=的图像不可能是 ；
（2）有最大值的函数图像是 ，它的最大值是 ；
（3）如果二次函数y=(m-1)x2的图像是图（1），那么m的气质范围是 .
2、根据函数关系式y=填空：
（1）图像开口向 ，，顶点坐标 ，对称轴 ；
（2）当x≥0时，y随x的增大而 ；当x= 时，y的最 值是 .
3、已知二次函数y=ax2的图像经过点P(2，-3)，你能判断图像的开口方向吗？你能确定a的值吗？过点Q（-2，3）呢？
4、已知二次函数y=ax2的图像经过点A（、B（3,m）.
(1)求a与m的值；
（2）写出该图像上点B的对称点的坐标；
（3）当x取何值时，y随x的增大而减小？
（4）当x取何值时，y有最大值（或最小值）？
5、已知y=（m+1）是关于x的二次函数.
（1）求满足条件的m的值；
(2)当m为何值时，该函数的图像中除顶点外，其余的点都在x轴的下方？
（3）当m为何值时，在该函数图像对称轴的右侧，y随x的增大而增大？
6、已知二次函数y=ax2的图像与一次函数的图像相交于点M（x1，4）、N（x2，1），且x1、x2是方程x2-2x-8=0的两个实数根，求上述两个函数的关系式.第四中学九年级数学导学案
九年级数学教学案
九年级数学备课组
总 5 课时 第 5 课时
课题：6.2二次函数的图象和性质(4) 课型：新授 时间：2012.02.11
学习目标:
1、经历探索二次函数y=a(x+m)2(a≠0)的图象作法和性质的过程.
2、能够理解函数y=a(x+m)2与y=ax2的图象的关系，知道a、m对二次函数的图象的影响.
3、能正确说出函数y=a(x+m)2的图象的性质.
学习重点：能够对比函数y=ax2与y=a(x+m)2的图象的关系，说出函数y=a(x+m)2图象性质.
学习难点：能够对比函数y=ax2与y=a(x+m)2的图象的关系，说出函数y=a(x+m)2图象性质.
课程导学：
一、知识回顾：
请填写下表：
函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 y的最值 增减性
在对称轴左侧 在对称轴右侧
y=ax2 a＞0
a＜0
y=ax2+c a＞0
a＜0
二、操作与思考
1. 函数y=(x+3)2的图象与y=x2的图象有什么关系？
列表：
x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
y=(x+3)2 … …
(2)在直角坐标系中，描点并画出函数y=(x+3)2的图象；
（3）函数y=(x+3)2的图象与y=x2的图象的形状相同吗
（4）从表格中的数值看，函数y=(x+3)2的函数值与函数y=x2的函数值相等时,它们所对应的自变量的值有什么关系
（5）从点的位置看，函数y=(x+3)2的图象与函数y=x2的图象的位置有什么关系？它是轴对称图形吗 它的对称轴和顶点坐标分别是什么
结论:函数y=(x+3)2的图象可以由函数y=x2的图像沿x轴向 平移 个单位长度得到,所以它是 ,这条抛物线的对称轴是 ,顶点坐标是 ,当x 时,y随x的增大而增大,当x 时,y随x的增大而减小.
(6)在直角坐标系中作出函数y=(x-3)2的图象，利用上面的方法观察函数y=(x-3)2与函数y=x2的图像的关系，与同学交流你的看法.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 …
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
y=(x-3)2 … …
(7)观察下图,思考并回答下列问题:
①抛物线y=-3(x-1)2可以看作是抛物线y=-3x2沿x轴 平移了 个单位;抛物线y=-3(x+1)2可以看作是抛物线y=-3x2沿x轴 平移了 个单位.
②图象向左平移还是向右平移,移多少个单位长度,有什么规律吗
③抛物线y=-3(x-1)2的顶点是 ;对称轴是 ;
抛物线y=-3(x+1)2的顶点是 ;对称轴是 .
④抛物线y=-3(x-1)2在对称轴(x=1)的左侧,即当x 时, y随着x的增大而 ;在对称轴(x=1)右侧,即当x 时, y随着x的增大而 .当x= 时,函数y有最 值是 ;
抛物线y=-3(x+1)2在对称轴(x=-1)的左侧,即当x< 时, y随着x的增大而 ;在对称轴(x=-1)右侧,即当x 时, y随着x的增大而 .当x= 时,函数y有最 值是 .
2、观察上面的函数图象，你能总结函数y=a(x+m)2的性质吗？
填写下列表格：
y=a(x+m)2 (a≠0) a>0 a<0
开口方向
顶点坐标
对称轴
增减性
最值
开口大小 越大,开口越小. 越小,开口越大.
抛物线y=a(x+m)2 (a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过左右平移得到.
3、练习一：
（1）二次函数y=2（x+5）2的图像是 ，开口 ，对称轴是 ，当x= 时，y有最 值，是 .
（2）二次函数y=-3（x-4）2的图像是由抛物线y= -3x2向 平移 个单位得到的；开口 ，对称轴是 ，当x= 时，y有最 值，是 .
（3）将二次函数y=2x2的图像向右平移3个单位后得到函数 的图像，其对称轴是 ，顶点是 ，当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小.
⑷将二次函数y= -3（x-2）2的图像向左平移3个单位后得到函数 的图像，其顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x= 时，y有最 值，是 .
（5）将函数y=3（x－4）2的图象沿x轴对折后得到的函数解析式是 ；将函数y=3（x－4）2的图象沿y轴对折后得到的函数解析式是 ；
（6）把抛物线y=a（x-4）2向左平移6个单位后得到抛物线y=- 3（x-h）2的图象，则 a= ，h= .若抛物线y= a（x-4）2的顶点A，且与y轴交于点B，抛物线y= - 3（x-h）2的顶点是M，则SΔMAB= .
（7）将抛物线y=2x2－3先向上平移3单位，就得到函数 的图象，在向 平移 个单位得到函数y= 2（x-3）2的图象.
（8）函数y=3（x+6）2的图象是由函数 的图象向左平移5个单位得到的，其图象开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，当x 时，y随x的增大而增大，当x= 时，y有最 值是 .
4、练习二：
（1）已知二次函数y=a(x-h)2,当x=2时有最大值，且此函数的图象经过点（1，-3），求此函数的解析式，并指出当x为何值时，y随x的增大而增大？
（2）已知一条抛物线的开口方向和形状大小与y=3x2都相同，顶点在抛物线y=(x+2)2的顶点上，①求这条抛物线的解析式；②若将①中的抛物线向右平移4个单位得到的抛物线的解析式是什么？③将②中的抛物线的顶点不变，将抛物线的开口反向所得的抛物线解析式是什么？
（3）如图，一抛物线拱桥，拱顶O离水面高4米，水面宽AB=10米，现有一竹排运送一只货箱欲从桥下通过，已知货箱长10米，宽6米，高2.5米（竹排与水面持平），问货箱能否顺利通过该桥？
PAGE
1第四中学九年级数学导学案
九年级数学教学案
九年级数学备课组
总 2 课时 第 2 课时
课题：二次函数的图像和性质(1) 课型：新授 时间：2012.02.8
学习目标：
1、经历探索二次函数y=x2图像作法的过程，进一步感受应用图像发现函数性质的经验。
2、能利用描点法作出函数y=ax2(a≠0)的图像，能根据图像初步了解二次函数y=ax2的性质。
学习重点: 能利用描点法作出函数y=ax2(a≠0)的图像，初步了解二次函数y=ax2的性质。
学习难点：能利用描点法作出函数y=ax2(a≠0)的图像，初步了解二次函数y=ax2的性质。
课程导学：
一、情景导学：
1、回忆研究一次函数和反比例函数的过程，想一想：研究函数的通常步骤是什么？
2、回忆一次函数和反比例函数的图像及作图方法，思考：二次函数的图像是直线吗？是双曲线吗？你打算怎样画出二次函数的图像？
二、操作与思考：
1、用描点法画出二次函数y=x2的图像，并观察图像的特征。
⑴列表：函数y=x2的自变量x的取值范围是 ，根据函数y=x2的特征，我们选取自变量x的值，请计算对应的函数值y，并填入下表：
x …… -3 -2 -1 0 1 2 3 ……
y=x2 …… ……
⑵描点：以表中的每个x值为点的横坐标、对应的y值为点的纵坐标，在右图的直角坐标系中描出相应的点。（按x的值从小到大，从左到右描点）
⑶连线：用平滑的曲线顺次连接所描出的点，
即得二次函数y=x2的图像。（能用直线连接吗？）
2、思考：二次函数y=x2的图像有什么特征？（可从以下几方面考虑）
(1)你能描述图象的形状吗
(2) 图象是轴对称图形吗 如果是，它的对称轴是什么 请你找出几对对称点，并与同伴进行交流．
(3) 图象与x轴有交点吗 如果有，交点坐标是什么
(4) 当x<0时，随着x值的增大，y的值如何变化 当x>0时呢
(5) 当x取什么值时，y的值最小 最小值是什么 你是如何知道的
3、在直角坐标系中画出二次函数y=-x2的图像。
4、二次函数y=-x2的图像有什么特征？
5、二次函数y=x2与y=-x2的图像有什么共同特征？
6、归纳：
实际上，二次函数y=x2与y=-x2的图像都是 ，都有一条对称轴是 ，对称轴与抛物线的交点叫做 。
7、巩固练习：
①在直角坐标系中分别画出下列函数的图像：
（1）y= (2)y=
②在直角坐标系中分别画出下列函数的图像：
（1）y= - (2)y= -
三、课堂练习：
1、二次函数y=x2的图像开口 ，对称轴是 ，顶点是 。x取任何实数，对应的y值总是 数。
2、点A（2，-4）在函数y=-x2的图像上，点A在该图像上的对称点的坐标是 。
3、二次函数y=与 y=-的图像关于 对称。
4、若点A（1，a）B（b，9）在函数y=x2的图像上，则a= ,b= .
5、观察函数y=x2的图像，利用图像解答下列问题：
⑴在y轴左侧的图像上任取两点A（x1,y1）、B(x2,y2),且使0>x1>x2,试比较y1与y2的大小；
⑵在y轴右侧的图像上任取两点C（x3,y3）、B(x4,y4),且使x3>x4>0,试比较y3与y4的大小.
6、利用函数y=-x2的图像回答下列问题：
（1）当x=时，y的值是多少？
（2）当y=-8时，x的值是多少？
（3）当x<0时，随着x值的增大，y值如何变化？
当x>0时，随着x值的增大，y值如何变化？
（4）当x取何值时，y值最大？最大值是多少？
7、已知y=m是x的二次函数。
（1）当m取何值时，该二次函数的图像开口向上？
（2）在（1）的条件下，
①当x取何值时，y>0
②当x取何值时，在y2>y1时，总有x2>x1
③当x取何值时，在y2>y1时，总有x28、已知点A（3，a）在二次函数y=x2的图像上。
(1）求a的值；
（2）点B（3，-a）在二次函数y=x2的图像上吗？
思考:
已知二次函数y=-x2.
(1)当-2(2)当-4PAGE
1第四中学九年级数学导学案
九年级数学教学案
九年级数学备课组
总 4 课时 第 4 课时
课题：6.2二次函数的图象和性质(3) 课型：新授 时间：2012.02.10
学习目标:
1、经历探索二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象作法和性质的过程.
2、能够理解函数y=ax2+c与y=ax2的图象的关系，知道a、c对二次函数的图象的影响.
3、能正确说出函数y=ax2+c的图象的性质.
学习重点：能正确说出函数y=ax2+c的图象的性质.
学习难点：能对比函数y=ax2的图象性质正确说出函数y=ax2+c的图象的性质.
课程导学：
一、温故知新:
y=ax2(a≠0) a>0 a<0
图象
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
最值
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由 来确定的,一般说来, 越大,抛物线的开口就 .
二、新知导学:
1、操作与思考：
函数y=x2+1的图象与y=x2的图象有什么关系？
列表：
x …… -3 -2 -1 0 1 2 3 ……
y=x2 …… 9 4 1 0 1 4 9 …….
y=x2+1 …… ……
(2)在直角坐标系中，描点并画出函数y=x2+1的图象；
（3）函数y=x2+1的图象与y=x2的图象的形状相同吗
（4）从表格中的数值看，相同自变量的值所对应的两个函数值有何关系？
（5）从点的位置看，函数y=x2+1的图象与函数y=x2的图象的位置有什么关系？
(6)在直角坐标系中作出函数y=x2-2的图象，利用上面的方法观察函数y=x2-2与函数y=x2的图像的关系，与同学交流你的看法.
x …… -3 -2 -1 0 1 2 3 ……
y=x2 …… 9 4 1 0 1 4 9 …….
y=x2-2 …… ……
（7）观察右图，思考：函数y=-x2+3的图象可由y=-x2的图象 平移 单位长度得到.函数y=-x2-2的图象可由y=-x2的图象 平移 单位长度得到.
（8）图象向上移还是向下移,移多少个单位长度,有什么规律吗
函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+c (a≠0)的图象形状 ，只是位置不同；当c>0时，函数y=ax2+c的图象可由y=ax2的图象向 平移 个单位得到，当c〈0时，函数y=ax2+c的图象可由y=ax2的图象向 平移 个单位得到。
2、导练一：
(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象向 平移 个单位得到；y=4x2-11的图象可由 y=4x2的图象向 平移 个单位得到。
(2)将函数y=-3x2+4的图象向 平移 个单位可得y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向 平移 个单位得到可由 y=2x2的图象。将y=x2-7的图象向 平移 个单位可得到 y=x2+2的图象。
（3）将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的抛物线的函数式是 。
将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的抛物线的函数式是 。
3、观察上面的函数图象，你能总结函数y=ax2+c的性质吗？
填写下列表格：
y=ax2+c (a≠0) a>0 a<0
开口方向
顶点坐标
对称轴
增减性
最值
抛物线y=ax2 +c (a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上下平移得到.
4、导练二：
（4）抛物线y=-3x2+5的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ，
当x= 时，取得最 值，这个值等于 。
（5）抛物线y=7x2-3的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ，
当x= 时，取得最 值，这个值等于 。
（6.）二次函数y=ax2+c (a≠0)的图象经过点A（1，-1），B（2，5），则函数y=ax2+c的表达式为 。若点C(-2,m),D（n ,7）也在函数的图象上，则点C的坐标为 点D的坐标为 .
5、导练三：
(1)已知二次函数y=3x2+4,点A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3), D(x4,y4)在其图象上,且x2< x4<0, 0|x1|, |x3|>|x4|, ( )
A.y1>y2>y3>y4 B.y2>y1>y3>y4 C.y3>y2>y4>y1 D.y4>y2>y3>y1
（2）已知二次函数y=ax2+c ，当x取x1,x2(x1≠x2, x1,x2分别是A,B两点的横坐标)时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为 （ ）
A. ａ+ｃ B. ａ-ｃ C. –ｃ D. c
(3) 函数y=ax2-a与y=在同一直角坐标系中的图象可能是 （ ）
(4) 一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入蓝筐内，已知蓝筐的中心离地面的距离为3.05m。
1、球在空中运行的最大高度是多少米？
2、如果运动员跳投时，球出手离地面的高度 为2.25m ，则他离篮筐中心的水平距离AB是多少？
PAGE
4
