第2章
整式加减
2.1 代数式
第1课时 用字母表示数
【学习目标】
1.在现实情境中理解用字母表示数的意义.
2.能用字母表示运算律和计算公式.
【学习重点】
会用字母表示数和规律.
【学习难点】
探索一般规律并用字母表示.
一、情景导入
我们不少同学都是唱着儿歌长大的，朗朗上口、童趣横生的儿歌有的至今难以忘怀.其中有一首名叫《数蛤蟆》的儿歌，你想起来了吗？
一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿，一声扑通跳下水；两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条腿，两声扑通跳下水；三只青蛙三张嘴，六只眼睛……a只青蛙a张嘴，2a只眼睛4a条腿，a声扑通跳下水.由此看出a是一个字母，它代表“很多只”的数量，用字母a可以清楚地表示出青蛙、嘴、眼睛、腿和跳水声之间的数量关系.
今天我们就学习用字母表示数.
二、新知探究
典例1：(1)香蕉每千克3元，m千克香蕉总价是__3m__元；
(2)孔明同学买了m支铅笔，每支0.4元，买了n本练习本，每本2元，那么他买铅笔和练习本一共花了__(0.4m＋2n)__元；
(3)鸡兔同笼，鸡a只，兔b只，则共有头__(a＋b)__个，脚__(2a＋4b)__只；
(4)小明今年a岁，小华比小明小2岁，五年后小华的年龄是__(a＋3)__岁.
典例2：为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛.如图所示：
按照上面的规律，摆第n个“金鱼”需用火柴棒的根数为( A )
A.2＋6n
B.8＋6n
C.4＋4n
D.8n
变例1：电影院第一排有m个座位，后面每排比前一排多2个座位，则第n排的座位个数是( D )
A.m＋2n
B.mn＋2
C.m＋(2＋n)
D.m＋2(n－1)
变例2：婷婷从一列火车的第m节车厢数起，一直数到第n节车厢(n>m)，她数过的车厢节数为__n－m＋1__.
典例：用字母表示下列法则、运算律：
(1)有理数的减法法则；(2)分数加法法则；(3)乘法分配律.
解析：回忆法则，把握内涵，用字母表示出来.
解：(1)a－b＝a＋(－b)；
(2)＋＝；＋＝＋(a≠0，d≠0)；
(3)a(b＋c)＝ab＋ac.
点拨与评价：用字母表示运算法则时要注意运算律的含义，并用字母表示某些数的特定取值范围.
类型一：用字母表示代数型的数量关系
典例：用字母表示下列问题中的数量关系：
(1)在运动会中，一班总成绩为m分，二班比一班总成绩的还多5分，则二班的总成绩为________；
(2)某商店压了一批商品，为尽快售出，该商店采取如下销售方案：将原来每件m元，加价50%，再做两次降价处理，第一次降价30%，第二次降价10%，经过两次降价后的价格为________元.
解析：(1)二班的总成绩＝m＋5；(2)根据题意得m(1＋50%)(1－30%)(1－10%)＝0.945m(元).所填答案为(1)m＋5；(2)0.945m.
点拨与评价：解题时，要抓住关键词语，明确它们之间的意义及它们之间的关系，如和、差、积、商、大、小、多、少、倍、分等，注意数量的运算顺序，正确使用运算符号及括号.
类型二：用字母表示几何图形中的数量关系
典例：用字母表示图中阴影部分的面积：
解：(1)S＝a2－π·；(2)S＝ab－4x2.
点拨与评价：将不规则图形的面积转化为规则图形(如长方形、圆、三角形等)的面积的和或差是解决此类面积问题的关键.
三、交流展示
1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果，并将疑难问题展示在黑板上，小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
四、评价与反思
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上，教师点评并板书：
用字母表示数：
字母和数一样，可以参与运算，可以用式子把数量关系简明地表示出来.
2.分层作业：
(1)完成教材P67习题2.1第2、5题.
(2)完成相应训练.
五、教学反思
通过本课时的教学要让学生经历从实际问题中用字母表示数，初步理解用字母表示数的意义及目的，可以先用数，后用字母来表示.让学生循序渐进地学习本部分内容，让学生在现实情境中去理解、感悟、体会字母能够代替数，发展学生的符号感.第3课时 整式
【学习目标】
1.感受单项式概念的建立过程，知道它与代数式的区别和联系.
2.理解单项式、多项式的概念，能指出单项式的系数和次数，多项式的项、次数，知道整式的概念.
【学习重点】
单项式的系数、次数，多项式的项和次数.
【学习难点】
单项式、多项式在具体问题中的识别和应用.
一、情景导入
情境1：(1)正方形边长为a，则周长为__4a__.面积为__a2__；
(2)长为a，宽为a的长方形的面积为__a2__；
(3)半径为r的圆的面积为__πr2__；
(4)长方体的底边是边长为a的正方形，高为h，这样的长方体的体积是__a2h__.
观察所列代数式，你能发现什么问题？
情境2：实物投影，并呈现问题：
(1)长方形的长为x，宽为y，则周长为__2x＋2y__；
(2)一斤苹果m元，一斤西瓜n元，则买3斤苹果和7斤西瓜共用__(3m＋7n)__元；
(3)一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字是c，则这个三位数字是__100a＋10b＋c__.
二、新知探究
阅读教材P63第1、2自然段的内容，回答下列问题：
问题1：什么是单项式？什么是单项式的系数和次数？
问题2：单独的一个数字或字母是单项式吗？
答：由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式.单独一个数或一个字母也是单项式.单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数.
典例：指出下列各单项式的系数和次数：
x2，－，a2b，a，，3.
解：x2的系数是，次数是2；－的系数是－，次数是3；a2b的系数是1，次数是3；a的系数是1，次数是1；的系数是，次数是7；3的系数是3，次数是0.
仿例1：在－a，，，，m3n2，xy－1，0，中，单项式有( B )
A.6个 B.5个 C.4个 D.3个
仿例2：如果－2x2y2n－1是七次单项式，则n的值是( C )
A.1
B.2
C.3
D.4
仿例3：单项式－xy2z3的系数是__－__，次数是__6__，单项式mn的系数是__1__，次数是__2__；单项式－abc的系数是__－1__，次数是__3__.
阅读教材P63第3～6自然段，完成下列问题：
1.观察v＋2.5，v－2.5，3x＋5y＋2z，2m＋4n，这些式子有什么特点？
答：都是几个单项式的和.
归纳：(1)几个单项式的和叫做多项式.在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中，不含字母的项，叫做常数项.
(2)一个多项式含有几项，就叫几项式.多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数.
(3)单项式和多项式统称为整式.
2.自学教材P63～64例5、例6，解决P64练习第1～4题.
典例：写出下列各多项式的项数和次数，并指出是几次几项式：
(1)x2－3x＋5；(2)a＋b＋c－d；(3)－a2＋a2b＋2a2b2.
解：(1)x2－3x＋5的项数为3，次数为2，二次三项式；
(2)a＋b＋c－d的项数为4，次数为1，一次四项式；
(3)－a2＋a2b＋2a2b2的项数为3，次数为4，四次三项式.
点拨与评价：(1)多项式的项一定包括它的符号；(2)多项式的次数是多项式里次数最高的项的次数，而不是各项次数的和；(3)几次项是指多项式中次数是几的项.
三、交流展示
略
四、评价与反思
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上，教师点评并板书：
整式
2.分层作业：
(1)完成教材P67习题2.1第6题.
(2)完成相应训练.
五、教学反思
这节课的教学内容并不难，如果采用讲授的方式，很快90%以上的学生都可以理解、掌握.虽然单纯地从学生接受知识角度，讲授法应该效果更好，但同时学生的自主学习的习惯和能力也不知不觉地被忽略了.第4课时 代数式的值
【学习目标】
1.使学生掌握代数式的值的概念，会求代数式的值.
2.通过求代数式的值，体会代数式是由计算程序反映的一种数量关系.
【学习重点】
当字母取具体数字时，对应的代数式的值的求法及正确的书写格式.
【学习难点】
正确地求出代数式的值.
一、情景导入
1.什么是代数式？
答：用加、减、乘、除、乘方等运算符号把数或字母连接而成的式子.
2.用语言叙述代数式2n＋10的意义？求代数式2n＋10的值，必须给出什么条件？代数式的值是由什么的值确定的？
答：n的2倍与10的和；求2n＋10的值，必须给出n的值；代数式的值由n的值确定.
二、新知探究
阅读教材P65～P66的内容，回答下列问题：
问题：什么是代数式的值？
答：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值.
典例：求下列代数式的值：
(1)当x＝时，求2x2＋x的值；
(2)当a＝2，b＝时，求a2－的值.
解：(1)原式＝2×＋＝；
(2)原式＝22－＝4－×＝4－＝.
仿例1：当x＝－1时，代数式x3－x2－x＋1的值为( A )
A.0 B.1 C.2 D.3
仿例2：当x＝10，y＝9时，代数式x2－y2的值是__19__.
仿例3：若当x＝4时，代数式x2－2x＋a的值为0，则a的值为__－8__；当x＝－，y＝时，代数式x2－xy的值为____,.)
变例1：(1)若x＋y＝3，则2x＋2y＋4＝__10__；
(2)若a2＋a＝2，则2a2＋2a＋2009＝__2013__.
变例2：已知a－2b＝4，则代数式3a－6b－12的值是__0__.
变例3：(安庆中考)已知x2－2x－3＝0，则2x2－4x的值为( B )
A.－6
B.6
C.－2或6
D.－2或30
典例：
如图是圆柱形钢管，其内径是d，外径是D，高是h.
(1)用d、D、h把这个钢管的体积表示出来；
(2)求当d＝0.80米，D＝1.20米，h＝2米时，该圆柱形钢管的体积(π≈3.14).
解：(1)这个钢管的体积可以表示为：πh－πh＝πh；
(2)当d＝0.80米，D＝1.20米，h＝2米时，这个钢管的体积为：πh≈×3.14×2＝1.256(立方米).
仿例：某商店出售一批水果，最初以每箱a元的价格出售m箱，后来每箱降价为b元，又售出m箱，剩下30箱又以每箱再降价5元的价格出售.
(1)用代数式表示这批水果共卖了多少钱.
(2)如果a＝20，b＝18，m＝60，且进这批水果共花去1500元，那么该商店赚了多少钱？
解：(1)[am＋bm＋30(b－5)]元；
(2)当a＝20，b＝18，m＝60时，
原式＝[20×60＋18×60＋30×(18－5)]＝2670，
2670－1500＝1170(元).
答：该商店赚了1170元钱.
变例：某班有学生55人，其中男生有a人，一次数学测验，男生的平均分为85分，女生的平均分为80分.
(1)用代数式表示全班的平均分；
(2)当a＝30时，求全班的平均分.
解：(1)[]分；
(2)当a＝30时，平均分约为83分.
三、交流展示
1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果，并将疑难问题展示在黑板上，小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
四、评价与反思
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上，教师点评并板书：
2.分层作业：
(1)完成教材P67～68习题2.1第7～11题.
(2)完成相应训练.
五、教学反思
教学过程中，应通过活动使学生感知代数式运算在判断和推理上的意义，增强学生学习数学的兴趣，培养学生积极的情感和态度，为进一步学习奠定坚实的基础.第2课时 代数式
【学习目标】
1.在具体情境中让学生观察、分析、归纳得出代数式的概念.理解代数式的意义.
2.能根据代数式和具体问题说出一个代数式表示的数量关系.
【学习重点】
理解代数式的意义，会正确书写代数式.
【学习难点】
用代数式表示数量关系.
一、情景导入
在上一节课中我们一起探讨了《数蛤蟆》中的有趣问题，现在你能够运用所学知识解答上节课留下的问题，但是你知道这些代数式的意义吗？在今天的学习中我们将继续学习有关知识，进一步了解代数式的用法.
二、新知探究
阅读教材P58～P60的内容，回答下列问题：
问题1：什么是代数式？单独一个数或一个字母也是代数式吗？
问题2：一个代数式由什么组成呢？
答：代数式就是用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子.单独一个数或一个字母也是代数式.一个代数式由数、表示数的字母和运算符号组成.
典例：指出下列各式中哪些是代数式，哪些不是代数式.
(1)x＋1；(2)a＝2；(3)π；(4)S＝πr2；(5)；(6)>.
思路提示：等式、不等式都不是代数式.
解：(1)、(3)、(5)都是代数式；(2)、(4)、(6)都不是代数式.
仿例：在x，1，x－2，s＝ab，v＝sh中，代数式的个数有( C )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
典例：用代数式表示：
(1)a的平方与b的2倍的差；
(2)m与n的和的平方跟m与n的积的和；
(3)x的2倍的三分之一与y的一半的差；
(4)比a除b的商的2倍小4的数.
解：(1)a2－2b；(2)(m＋n)2＋mn；(3)x－y；(4)－4.
变例1：某学校食堂有煤m吨，计划每天用煤n吨，实际每天节约a吨，节约后可多用的天数为( D )
A.－
B.－
C.－
D.－
变例2：(合肥中考模拟)某种苹果的售价是每千克x元，用面值是100元的人民币购买了5千克，应找回__(100－5x)__元.
典例：指出下列代数式的意义：
(1)5a－3；(2)3(a＋5)；(3)a＋b2；(4)a2＋b2；(5)(a＋b)2.
思路提示：按照代数式的运算顺序描述代数式的意义.
解：(1)5a－3表示的是a的5倍与3的差；
(2)3(a＋5)表示的是a与5的和的3倍；
(3)a＋b2表示的是a与b的平方的和；
(4)a2＋b2表示的是a的平方与b的平方的和；
(5)(a＋b)2表示的是a与b的和的平方.
三、交流展示
1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果，并将疑难问题展示在黑板上，小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
四、评价与反思
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上，教师点评并板书：
列式的注意事项：
①数与字母、字母和字母相乘省略乘号；
②数与字母相乘时数字写在前面.
2.分层作业：
(1)完成教材P67习题2.1第1、3、4题.
(2)完成相应训练.
五、教学反思
通过本课时的教学要让学生进一步理解代数式的意义和用法，让学生的思维得到扩展，从而进一步培养学生理解、感悟的能力，逐步巩固用代数思维解决、分析问题的能力.
