七年级数学6.2.2 方差
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文档简介
6.2.2 方差
教学目标
【知识与技能】
了解方差的概念，能求出一组数据的方差
【过程与方法】
经历表示数据离散程度的探索过程，体会方差在实际问题中的意义。
【情感态度与价值观】
通过合作交流，发扬团队精神，体会方差对决策的应用价值。
重点、难点：
重点：方差概念及计算
难点：方差概念的理解及具体问题中方差的实际意义
教学过程
一创设情境，导入新课
复习：
有两个女生小合唱队，各由5名队员组成，他们的身高为（单位：cm）
甲队：160，162，159，160，159；乙队：180，160，150，150，160
（1）求甲、乙两队的平均身高，（2）求甲、乙两队身高的极差。
答案：（1）甲乙两队的平均身高分别为：160cm,160cm,(2)甲乙两队身高的极差分别为：3cm,30cm.
从甲乙两队身高的平均数和极差，你获得了什么信息？
从平均数看，两队的平均身高一样，从极差的大小看，甲队身高波动小，乙队身高波动大。
导语：一组数据的平均数反映了这组数据的集中趋势，极差反映了这组数据的波动大小，但用极差来反映一组数据的波动大小仅仅只能反映这组数据的跨度，如还有一个组5名队员的身高（单位:cm）为：180，150，150，150，150,这一组数据的跨度也是30cm,与乙组对比，那组的波动更大呢？显然用极差就不能反映它们的波动大小了。用什么量来表示它们的波动大小呢？这节课我们学习-----6.2.2 方差
二 合作交流，探究新知
1 、方差的概念
（1）灵感来源于折线统计图
给定数据组：3，3，4，6，8，9，9，请你求出其平均数，并画出折线统计图。
【解】平均数为（3+3+4+6+8+9+9）÷7=6
从折线统计图可以看出这组数据偏离平均数的程度，于是有人设想用每一个数与平均数的差的和反映一组数据的波动大小。
这组数据中每个数与平均数6的偏差是：3-6=-3，3-6=-3，4-6=-2，6-6=0，8-6=2，9-6=3，9-6=3，将各个数与平均数的差相加能否得到总偏差呢？
（-3）+（-3）+（-2）+0++2+3+3=0，相加的结果为0，不能反映总偏差，这是为什么呢？
因为每个数与平均数的差有正有负，正负可以抵消，因此不能反映总偏差。
（2）怎样反映总的偏差大小呢？你有注意吗？
可以考虑取绝对值相加
如上面问题中：这样避免了正负抵消的情况，这个主意好吗？如果好就顶一下。
（3）这个方法还是有问题，因为如果两组数据的个数不同，用这个方法求出的偏差之和用来比较两组数据的偏差就不准确了，怎么办呢？你有主意解决这个问题吗？
取每个数据与平均数的差的绝对值的平均数。这样与数据的个数就没有关系了.
（4）但是计算时绝对值参与计算是不方便的，特别是当绝对值符号里面是字母时更不方便。有人想到一个数的绝对值是非负数，它的平方也是非负数，而且绝对值大的它的平方也大，于是就用每个数与平均数的差的平方的平均数来反映一组数据的波动大小。
如上面数据波动大小可以用：来表示。
归纳：一组数据中的各数与其平均数的差的平方的平均值叫这组数据的方差。
2、求方差的计算：
计算方差的步骤如下表：
数据编号 1 2 3 4 5 6 7
数据 3 3 4 6 8 9 9
平均数 （3+3+4+6+8+9+9）÷7=6
偏差 -3 -3 -2 0 2 3 3
偏差的平方 9 9 4 0 4 9 9
偏差的平方和 9+9+4+0+4+9+9=44
方差 44÷7=
试试看：
1、用公式表示为：若一组数据x1、x2、x3、…xn的平均数为x，则这组数据的方差s2=________.
2、在方差计算公式：中，10,15分别表示：
A 数据的个数和方差， B 平均数和数据的个数，
C 数据的个数和平均数， D 数据的方差和平均数。
三、应用迁移，巩固提高
1 、方差的含义
【例1】 计算上面实例中甲乙两个女声合唱队各队队员身高的方差，并说明计算结果的实际意义。
解：每个队队员的平均身高160cm,因此，
甲队队员身高的方差是：
乙队队员身高的方差是：
计算结果表明：乙队队员身高的方差比甲队队员身高的方差大得多，即乙队队员身高与她们的平均身高的偏差大，而甲队队员身高与她们的平均身高的偏差小，说明甲队队员的身高比较整齐，而乙队队员的身高高的高，矮的矮。
思考：1、方差反映的是一组数据哪个方面的特征？
方差反映的是一组数据与其平均数的偏离程度， 方差越小， 数据越集中； 方差越大， 数据越分散．
2、 一组数据的方差为0，这组数据有什么特点
一组数据的方差为0，这组数据中的各个数是相等的。
【变式练习】
1、（2011新疆建设兵团）在社会实践活动中，某同学对甲、乙、丙、丁四个城市一至五月份的白菜价格进行调查．四个城市5个月白菜的平均值均为3.50元，方差分别为S甲2＝18.3，S乙2＝17.4，S丙2＝20.1，S丁2＝12.5．一至五月份白菜价格最稳定的城市是（ ）
A、甲 B、乙 C、丙 D、丁
【分析】：据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据方差分别为S甲2＝18.3，S乙2＝17.4，S丙2＝20.1，S丁2＝12.5．可找到最稳定的．
【解】因为丁城市的方差最小，所以丁最稳定．故选D．
【点评】：本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
2 、极差、方差的比较
【例2 】、5名篮球队员的身高为（单位：cm）: 193, 182, 187, 174, 189
试求出这组数据的极差、方差，并比较其具体含义。
【解】：极差：193-174=19（cm）
平均身高：（193+182+187+174+189）÷5=185(cm)
方差：
极差是最高队员和最矮队员的身高之差，它只与数据的最大值和最少值有关，而与其他数据无关，所以没有充分利用数据提供的信息；但极差容易计算，用起来特别方便，直接放映一组数据的跨度，方差是每个数据与平均数的差的的平方的平均值，它涉及到数据组中的每一个数，反映了数据组与其平均数的偏离程度。
三课堂练习，巩固提高
一次数学比赛考试，甲乙两班分别派出了5名选手参赛，成绩如下（单位：分）
甲班 70 95 75 95 90
乙班 80 85 90 85 85
哪个班的选手成绩平衡的？
【解】甲乙平均成绩是：（70+95+75+95+90）÷5=85
乙平均成绩是：（80+85+90+85+85）=85
S甲2=[(70-85)2+(95-85)2+(75-85)2+(95-85)2+(90-85)2] ÷5=110(分2)
S乙2=[(80-85)2+(85-85)2+(90-85)2+(85-85)2+(85-85)2] ÷5=10(分2)
∵S甲2> S乙2, ∴乙班选手的成绩平衡些。
四、反思小结，拓展提高
1 这节课你有什么收获？
方差的概念：方差是一组数据中的每一个数与平均数的差的平方的平均数。
方差反映的是一组数据与其平均数的偏离程度， 方差越小， 数据越集中； 方差越大， 数据越分散。
作业 P 165 A 1,3 B 2,3
教学目标
【知识与技能】
了解方差的概念，能求出一组数据的方差
【过程与方法】
经历表示数据离散程度的探索过程，体会方差在实际问题中的意义。
【情感态度与价值观】
通过合作交流，发扬团队精神，体会方差对决策的应用价值。
重点、难点：
重点：方差概念及计算
难点：方差概念的理解及具体问题中方差的实际意义
教学过程
一创设情境，导入新课
复习：
有两个女生小合唱队，各由5名队员组成，他们的身高为（单位：cm）
甲队：160，162，159，160，159；乙队：180，160，150，150，160
（1）求甲、乙两队的平均身高，（2）求甲、乙两队身高的极差。
答案：（1）甲乙两队的平均身高分别为：160cm,160cm,(2)甲乙两队身高的极差分别为：3cm,30cm.
从甲乙两队身高的平均数和极差，你获得了什么信息？
从平均数看，两队的平均身高一样，从极差的大小看，甲队身高波动小，乙队身高波动大。
导语：一组数据的平均数反映了这组数据的集中趋势，极差反映了这组数据的波动大小，但用极差来反映一组数据的波动大小仅仅只能反映这组数据的跨度，如还有一个组5名队员的身高（单位:cm）为：180，150，150，150，150,这一组数据的跨度也是30cm,与乙组对比，那组的波动更大呢？显然用极差就不能反映它们的波动大小了。用什么量来表示它们的波动大小呢？这节课我们学习-----6.2.2 方差
二 合作交流，探究新知
1 、方差的概念
（1）灵感来源于折线统计图
给定数据组：3，3，4，6，8，9，9，请你求出其平均数，并画出折线统计图。
【解】平均数为（3+3+4+6+8+9+9）÷7=6
从折线统计图可以看出这组数据偏离平均数的程度，于是有人设想用每一个数与平均数的差的和反映一组数据的波动大小。
这组数据中每个数与平均数6的偏差是：3-6=-3，3-6=-3，4-6=-2，6-6=0，8-6=2，9-6=3，9-6=3，将各个数与平均数的差相加能否得到总偏差呢？
（-3）+（-3）+（-2）+0++2+3+3=0，相加的结果为0，不能反映总偏差，这是为什么呢？
因为每个数与平均数的差有正有负，正负可以抵消，因此不能反映总偏差。
（2）怎样反映总的偏差大小呢？你有注意吗？
可以考虑取绝对值相加
如上面问题中：这样避免了正负抵消的情况，这个主意好吗？如果好就顶一下。
（3）这个方法还是有问题，因为如果两组数据的个数不同，用这个方法求出的偏差之和用来比较两组数据的偏差就不准确了，怎么办呢？你有主意解决这个问题吗？
取每个数据与平均数的差的绝对值的平均数。这样与数据的个数就没有关系了.
（4）但是计算时绝对值参与计算是不方便的，特别是当绝对值符号里面是字母时更不方便。有人想到一个数的绝对值是非负数，它的平方也是非负数，而且绝对值大的它的平方也大，于是就用每个数与平均数的差的平方的平均数来反映一组数据的波动大小。
如上面数据波动大小可以用：来表示。
归纳：一组数据中的各数与其平均数的差的平方的平均值叫这组数据的方差。
2、求方差的计算：
计算方差的步骤如下表：
数据编号 1 2 3 4 5 6 7
数据 3 3 4 6 8 9 9
平均数 （3+3+4+6+8+9+9）÷7=6
偏差 -3 -3 -2 0 2 3 3
偏差的平方 9 9 4 0 4 9 9
偏差的平方和 9+9+4+0+4+9+9=44
方差 44÷7=
试试看：
1、用公式表示为：若一组数据x1、x2、x3、…xn的平均数为x，则这组数据的方差s2=________.
2、在方差计算公式：中，10,15分别表示：
A 数据的个数和方差， B 平均数和数据的个数，
C 数据的个数和平均数， D 数据的方差和平均数。
三、应用迁移，巩固提高
1 、方差的含义
【例1】 计算上面实例中甲乙两个女声合唱队各队队员身高的方差，并说明计算结果的实际意义。
解：每个队队员的平均身高160cm,因此，
甲队队员身高的方差是：
乙队队员身高的方差是：
计算结果表明：乙队队员身高的方差比甲队队员身高的方差大得多，即乙队队员身高与她们的平均身高的偏差大，而甲队队员身高与她们的平均身高的偏差小，说明甲队队员的身高比较整齐，而乙队队员的身高高的高，矮的矮。
思考：1、方差反映的是一组数据哪个方面的特征？
方差反映的是一组数据与其平均数的偏离程度， 方差越小， 数据越集中； 方差越大， 数据越分散．
2、 一组数据的方差为0，这组数据有什么特点
一组数据的方差为0，这组数据中的各个数是相等的。
【变式练习】
1、（2011新疆建设兵团）在社会实践活动中，某同学对甲、乙、丙、丁四个城市一至五月份的白菜价格进行调查．四个城市5个月白菜的平均值均为3.50元，方差分别为S甲2＝18.3，S乙2＝17.4，S丙2＝20.1，S丁2＝12.5．一至五月份白菜价格最稳定的城市是（ ）
A、甲 B、乙 C、丙 D、丁
【分析】：据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据方差分别为S甲2＝18.3，S乙2＝17.4，S丙2＝20.1，S丁2＝12.5．可找到最稳定的．
【解】因为丁城市的方差最小，所以丁最稳定．故选D．
【点评】：本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
2 、极差、方差的比较
【例2 】、5名篮球队员的身高为（单位：cm）: 193, 182, 187, 174, 189
试求出这组数据的极差、方差，并比较其具体含义。
【解】：极差：193-174=19（cm）
平均身高：（193+182+187+174+189）÷5=185(cm)
方差：
极差是最高队员和最矮队员的身高之差，它只与数据的最大值和最少值有关，而与其他数据无关，所以没有充分利用数据提供的信息；但极差容易计算，用起来特别方便，直接放映一组数据的跨度，方差是每个数据与平均数的差的的平方的平均值，它涉及到数据组中的每一个数，反映了数据组与其平均数的偏离程度。
三课堂练习，巩固提高
一次数学比赛考试，甲乙两班分别派出了5名选手参赛，成绩如下（单位：分）
甲班 70 95 75 95 90
乙班 80 85 90 85 85
哪个班的选手成绩平衡的？
【解】甲乙平均成绩是：（70+95+75+95+90）÷5=85
乙平均成绩是：（80+85+90+85+85）=85
S甲2=[(70-85)2+(95-85)2+(75-85)2+(95-85)2+(90-85)2] ÷5=110(分2)
S乙2=[(80-85)2+(85-85)2+(90-85)2+(85-85)2+(85-85)2] ÷5=10(分2)
∵S甲2> S乙2, ∴乙班选手的成绩平衡些。
四、反思小结，拓展提高
1 这节课你有什么收获？
方差的概念：方差是一组数据中的每一个数与平均数的差的平方的平均数。
方差反映的是一组数据与其平均数的偏离程度， 方差越小， 数据越集中； 方差越大， 数据越分散。
作业 P 165 A 1,3 B 2,3