3.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质同步练习（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
第三章
二次函数
4
二次函数y=ax?+bx+c的图象与性质
知识能力全练
知识点一
二次函数y＝ax2＋k（a≠0）的图象与性质
1.二次函数y＝2x2-3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是（
）
A.抛物线开口向下
B.抛物线经过点（2，3）
C.抛物线的对称轴是直线x＝1
D.抛物线与x轴有两个交点
2.已知抛物线y＝-x2＋2，当1≤x≤5时，y的最大值是（
）
A.2
B.
C.
D.
3.已知点（-9，y1），（4，y2），（-2，y3）都在抛物线y＝ax2＋m（a＞0）上，则（
）
A.y1＜y2＜y3
B.y1＜y3＜y2
C.y3＜y2＜y1
D.y2＜y1＜y3
4.请写出一个二次函数表达式，使其图象的对称轴为y轴:________________.
5.如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是_____________.
6.将二次函数y＝x2-1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是_______________.
7.（1）分别指出函数y＝-x2，y＝-x2＋2和y＝-x2-2.的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）试问抛物线y＝-x2＋2，y＝-x2-2和y＝-x2有什么关系？
8.已知二次函数y＝2x2＋m.
（1）若点（-2，y1）与（3，y2）在此二次函数的图象上，则y1_______y2（填“＞”“＝”或“＜”）
（2）如图所示，此二次函数的图象经过点（0，-4），正方形ABCD的顶点C，D在x轴上，A，B恰好在二次函数的图象上，求图中阴影部分的面积.
知识点二
二次函数y＝a（x-h）2（a≠0）的图象与性质
9.对于函数y＝-2（x-m）2的图象，下列说法不正确的是（
）
A.开口向下
B.对称轴是直线x＝m
C.最高点的坐标为（m，0）
D.与y轴不相交
10.将抛物线y＝3x2向右平移3个单位，所得到的抛物线是（
）
A.y＝3x2＋3
B.y＝3（x-3）2
C.y＝3x2-3
D.y＝3（x＋3）2
11.若抛物线y＝2（x-1）2经过（m，n）和（m＋3，n）两点，则n的值为（
）
A.
B.
C.1
D.
12.二次函数y＝-2x2的图象向左平移________个单位长度后，经过点（-5，-8）.
13.当-3≤x≤-2时，二次函数y＝-4（x＋h）2有最大值-1，则h的值为___________.
14.已知抛物线y＝-（x＋1）2.
（1）写出抛物线的对称轴；
（2）完成下表:
x
…
-7
-3
1
3
…
y
…
-9
-1
…
（3）在下图的坐标系中描点画出该抛物线.
知识点三
二次函数y＝a（x-h）2＋k（a≠0）的图象与性质
15.二次函数y＝（x-1）2＋3图象的顶点坐标是（
）
A.（1，3）
B.（1，-3）
C.（-1，3）
D.（-1，-3）
16.如图所示，二次函数y＝a（x＋1）2＋k的图象与x轴交于A（-3，0），B两点，下列说法错误的是（
）
A.a＜0
B.图象的对称轴为直线x＝-1
C.点B的坐标为（1，0）
D.当x＜0时，y随x的增大而增大
17.已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝-（x＋1）2＋2上，则下列结论正确的是（
）
A.y2＞y1＞y2
B.2＞y2＞y1
C.y1＞y2＞2
D.y2＞y1＞2
18.二次函数y＝x2的图象平移后经过点（2，0），则下列平移方法正确的是（
）
A.向左平移2个单位，向下平移2个单位
B.向左平移1个单位，向上平移2个单位
C.向右平移1个单位，向下平移1个单位
D.向右平移2个单位，向上平移1个单位
19.在平面直角坐标系xOy中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是（
）
A.y1
B.y2
C.y3
D.y4
20.函数y＝a（x-h）2＋k（a，h，k是实数，a≠0）的图象经过点（-1，2），（-5，m），其中m＞2，若h＝-4，则a________0（填“＞”或“＜”）.
21.填表
函数表达式
顶点坐标
开口方向
对称轴
22.已知A（1，0），B（O，-1），C（-1，2），D（2，-1），E（4，2）五个点，抛物线y＝a（x-1）2＋k（a＞0）经过其中的三个点.
（1）求证:点C，E不能同时在抛物线上；
（2）点A在抛物线y＝a（x-1）2＋k（a＞0）上吗？为什么？
知识点四
二次函数y＝ax2＋bx＋c图象与性质
23.关于二次函数y＝2x2＋4x-1，下列说法正确的是（
）
A.图象与y轴的交点坐标为（0，1）
B.图象的对称轴在y轴的右侧
C.当x＜0时，y的值随x值的增大而减小
D.y的最小值为-3
24.已知（-3，y1），（-2，y2），（1，y3）是抛物线y＝-3x2-12x＋m上的点，则（
）
A.y3＜y2＜y1
B.y3＜y1＜y2
C.y2＜y3＜y1
D.y1＜y3＜y2
25.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，x与y的部分对应值如下表:
x
…
-5
-4
-3
-2
-1
0
…
y
…
4
0
-2
-2
0
4
…
下列说法正确的是（
）
A.函数图象的开口向下
B.当x＞-3时，y随x的增大而增大
C.二次函数的最小值是-2
D.函数图象的对称轴是直线x＝-
26.已知抛物线y＝-x2＋bx＋4经过（-2，n）和（4，n）两点，则n的值为（
）
A.-2
B.-4
C.2
D.4
27.已知二次函数y＝x2-4x＋2，关于该函数在-1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（
）
A.有最大值-1，有最小值-2
B.有最大值0，有最小值-1
C.有最大值7，有最小值-1
D.有最大值7，有最小值-2
28.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论错误的是（
）
A.abc＜0
B.a＋c＜b
C.b2＋8a＞4ac
D.2a＋b＞0
29.二次函数y＝ax2＋bx＋c，若ab＜0，a-b2＞0，点A（x1，y1），B（x2，y2）在该二次函数的图象上，其中x1＜x2，x1＋x2＝0，则（
）
A.y1＝-y2
B.y1＞y2
C.y1＜y2
D.y1、y2的大小无法确定
30.抛物线y＝x2＋4x＋5向右平移3个单位，再向下平移4个单位所得抛物线的解析式为_____________.
31.在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为，由此可知该生此次实心球训练的成绩为_________米.
32.周末，小明陪爸爸去打高尔夫球，小明看到爸爸打出的球的飞行路线的形状如图所示，如果不考虑空气阻力，小球的飞行路线是一条抛物线.小明测得小球的飞行高度h（单位:m）与飞行时间t（单位:s）的几组值后，发现h与t满足的函数关系式是.
（1）小球飞行时间是多少时达到最大高度？最大高度是多少？
（2）小球飞行时间t在什么范围时，飞行高度不低于15
m？
巩固提高全练
33.若抛物线y＝ax2＋c（a≠0）过点P（-2，3），则该抛物线必过下列点（
）
A.（0，3）
B.（-2，-3）
C.（3，-2）
D.（2，3
34.把一条抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线，原抛物线的表达式为（
）
A.
B.
C.
D.
35.下图是抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点为B（4，0）.下列结论:①abc＞0；②2a＋b＝0；③方程ax2＋bx＋c＝3有两个不相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（-2，0）；⑤a＋b≥q（aq＋b）（q为任意实数），其中正确的是（
）
A.①②③
B.①③④
C.②④⑤
D.③④⑤
36.已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示:
x
…
-1
0
1
2
3
…
y
…
0
3
4
3
0
…
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）如图所示，在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（3）结合图象，直接写出当y＜0时，x的取值范围.
37.将抛物线y＝x2-6x＋5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（
）
A.y＝（x-4）2-6
B.y＝（x-1）2-3
C.y＝（x-2）2-2
D.y＝（x-4）2-2
38.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表：
x
-1
0
2
3
4
y
5
0
-4
-3
0
下列结论:①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x＝2；③当0＜x＜4时，y＞0；④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；⑤若A（x1，2），B（x2，3）是抛物线上两点，则x1＜x2，其中正确结论的个数是（
）
A.2
B.3
C.4
D.5
39.在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2＋bx＋b（a≠0）与一次函数y＝ax＋b的图象可能是（
）
40.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位:m）与小球运动时间t（单位:s）之间的函数关系如图所示.下列结论:
①小球在空中经过的路程是40m；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；
③小球抛出3秒时的速度为0m/s；
④小球的高度h＝30
m时，t＝1.5
s.
其中正确的是（
）
A.①④
B.①②
C.②③④
D.②③
41.如图所示，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于A，B两点，其对称轴与x轴交于点C，其中A，C两点的横坐标分别为-1和1，下列说法错误的是（
）
A.abc＜0
B.4a＋c＝0
C.16a＋4b＋c＜0
D.当x＞2时，y随x的增大而减小
42.如图所示，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C.若点B（4，0），则下列结论中，正确的个数是（
）
①abe＞0；②4a＋b＞0；③M（x1，y1）与N（x2，y2）是抛物线上两点，若0＜x1＜x2，则y1＞y2；④若抛物线的对称轴是直线x＝3，m为任意实数，则a（m-3）（m＋3）≤b（3-m）；
⑤若AB≥3，则46＋3c＞0.
A.5
B.4
C.3
D.2
43.下列关于二次函数y＝-（x-m）2＋m2＋1（m为常数）的结论:①该函数的图象与函数y＝-x2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点（0，1）；③当x＞0时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y＝x2＋1的图象上.其中所有正确结论的序号是_____________.
44.如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋4x-3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D.点B的坐标是（1，0）.
（1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围；
（2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式.
45.已知二次函数y＝-（x-h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为-1，则h的值为（
）
A.3或6
B.1或6
C.1或3
D.4或6
46.若一次函数y＝-3x-3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B的坐标为（3，0），二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A，B，C三点，如图①.
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图①，过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（y轴左侧），若BC恰好平分∠DBE，求直线BE的表达式；
（3）如图②，若点P在抛物线上（点P在y轴右侧），连接AP交BC于点F，连接BP，S△BFP＝mS△BAF.
①当m＝时，求点P的坐标；
②求m的最大值.
参考答案
1.D
2.C
3.C
4.y＝x2（答案不唯一）
5.y＝x2＋3
6.y＝x2＋2
7.解析
（1）函数y＝-x2，y＝-x2＋2和y＝-x2-2的图象的开口方向都向下，对称轴均为y轴，顶点坐标分别为（0，0），（0，2），（0，-2）.
（2）把抛物线y＝-x2向上平移2个单位可得抛物线y＝-x2＋2；把抛物线y＝-x2向下平移2个单位可得抛物线y＝-x2-2.
8.解析
（1）点（-2，y1）与（3，y2）距离对称轴较远的是点（3，y2），二次函数y＝2x2＋m的图象开口向上，∴y1＜y2.
（2）∵二次函数y＝2x2＋m的图象经过点（0，4），∴m＝-4.
∵四边形ABCD为正方形，抛物线和正方形都是轴对图形，且它们的对称轴都为y轴，
∴OD＝OC，S阴影＝S矩形BCOE.
设点B坐标为（n，2n）（n＞0），∵点B在二次函数y＝2x2-4的图象上，
∴2＝2n2-4.解得n1＝2，n2＝1（舍去）∴点B的坐标为（2，4）.
∴S阴影＝S矩形BCOE＝2×4＝8.
9.D
10.B
11.A
12.3或7
13.或
14.解析
（1）抛物线的对称轴为直线x＝-1.
（2）表格填写如下：
x
…
-7
-5
-3
-1
1
3
5
…
y
…
-9
-4
-1
0
-1
-4
-9
…
（3）如图所示.
15.A
16.D
17.A
18.C
19.A
20.＜
21解析
填表如下：
函数表达式
顶点坐标
开口方向
对称轴
（0，0）
向下
y轴
（0，3）
向下
y轴
（1，0）
向上
直线x＝1
（-2，5）
向下
直线x＝-2
22.解析
（1）证明:抛物线y＝a（x-1）2＋k的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，k）.
若点C（-1，2），E（4，2）同时在抛物线y＝a（x-1）2＋k上，则抛物线的对称轴为直线，这与抛物线y＝a（x-1）2＋k的对称轴为直线x＝1矛盾.
∴点C，E不能同时在抛物线上.
（2）不在.
理由:若点A（1，0）在抛物线上，则A为顶点.
∵a＞0，∴A为最低点.
又∵抛物线过A，B，C，D，E中的三个点，
∴只能过A，C，E三个点，又点C，E不能同时在抛物线上，
∴点A不在抛物线上.
23.D
24.B
25.D
26.B
27.D
28.D
29.B
30.
31.
10
32.解析
（1）h＝20t-5t2＝-5（t-2）2＋20.
∵-5＜0，∴当t＝2时，h有最大值，为20.
∴小球飞行时间是2s时达到最大高度，最大高度是20
m.
（2）令h＝15，则20t-5t2＝15.解得t1＝1，t2＝3.
∴1≤t≤3时，飞行高度不低于15
m.
33.D
34.B
35.C
36.解析
（1）由题意得二次函数图象的顶点标为（1，4），设二次函数的解析式为y＝a（x-1）2＋4，把点（0，3）代入y＝a（x-1）2＋4，得3＝a（0-1）2＋4.解得a＝-1.故二次函数的表达式为y＝-（x-1）2＋4，即y＝-x2＋2x＋3.
（2）如图所示:
（3）当y＜0时，x的取值范围为x＜-1或x＞3.
37.D
38.B
39.C
40.D
41.B
42.B
43.①②④
44.解析
（1）把B（1，0）代人y＝ax2＋4x-3，得0＝a＋4-3.解得a＝-1.
∴y＝-x2＋4x-3＝-（x-2）2＋1.∴A的坐标为（2，1）.
∵对称轴为直线x＝2，B，C关于对称轴对称，∴C的坐标为（3，0）.
∴当y＞0时，1＜x＜3.
（2）∵D的坐标为（0，-3），
∴抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位后，点D恰好落在点A的位置上.
∴平移后抛物线的表达式为y＝-（x-4）2＋5.
45.B
46.解析
（1）一次函数y＝-3x-3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，则点A，C的坐标分别为（-1，0），（0，-3）.
将点A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）代入y＝ax2＋bx＋c，
得，解得.故二次函数的表达式为y＝x2-2x-3.
（2）如图，设直线BE交y轴于点M，
∵抛物线的对称轴为直线，CD∥x轴交抛物线于点D，
∴点D的坐标为（2，-3）.
由点B，C的坐标知，∠OBC＝45°，∴∠MCB＝∠DCB＝45°.
∵BC恰好平分∠DBE，∴∠MBC＝∠DBC.
又∵BC＝BC，∴△BCD≌△BCM.
∴CM＝CD＝2.∴OM＝3-2＝1，故点M的坐标为（0，-1）.
设直线BE的表达式为y＝kx＋b（k≠0）将点B3，0），点M（0，-1）
代入得.解得.故直线BE的表达式为y＝x-1.
（3）如图，过点P作PN∥x轴交BC于点N.
∴△PFN∽△AFB.∴.
∵S△BFP＝S△BAF，∴.解得m＝PN.
①当m＝时，PN＝2.设点P的坐标为（t，t2-2t-3），
由点B，C的坐标知，直线BC的表达式为y＝x-3.当x＝t-2时，y＝t-5，
∴点N的坐标为（t-2，t-5）,∴t-5＝t2-2t-3.解得t＝1或t＝2，
故点P的坐标为（1，-4）或（2，-3）.
②设点P坐标为（t，t2-2t-3），则点N坐标为（t2-2t，t2-2t-3）,
∴.
∵＜0，∴m的最大值为.
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)