4.1.2数列的递推公式 课件(共24张PPT)+教案

文档属性

名称 4.1.2数列的递推公式 课件(共24张PPT)+教案
格式 zip
文件大小 3.9MB
资源类型 试卷
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2021-08-25 14:27:31

文档简介

中小学教育资源及组卷应用平台
4.1.2数列的递推公式教学设计
课题
4.1.2数列的递推公式
单元
第一单元
学科
数学
年级
高二
教材分析
本节课是2019版高中数学(人教版)选择性必修第二册,第四章《数列》里的内容,这一节课主要学习数列的递推公式。主要知识点有数列的递推公式、通项公式与递推公式的区别和联系、数列前n项和的定义及前n项和公式等。
教学
目标与
核心素养
1数学抽象:
递推公式的概念、数列前n项和的概念;
2逻辑推理:
用递推公式解决有关问题、前n项和与通项的关系;
3数学运算:
用递推公式求数列的项及通项、前n项和公式

4数学建模:
递推公式的概念.
重点
数列的递推公式、前n项和与通项的关系.
难点
用递推公式解决有关问题、用数列的前n项和与通项的关系求通项公式.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
复习:
1数列的概念是?
一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.
2数列的表示主要有?
①通项公式法
②列表法
③图象法
④一般表示法
3数列的通项公式是?
如果数列{}的第n项
与它的序号n
之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
问题:
1什么叫数列的递推公式?
2由数列的递推公式能否求出数列的项?
复习导入
复习上一节所学的内容,为本节课的继续学习奠定基础
提出本节课的主要内容,让学生带着问题听课
讲授新课
例3
如果数列{}的通项公式为
,那么120是不是这个数列的项?如果是,是第几项?
分析:要判断120是不是数列{}中的项,就是要回答是否存在正整数n,使得.也就是判断上述关于n的方程是否有正整数解.
解:令

解这个关于n的方程,

n=-12(舍去),或n=10
.
所以,120是数列{}中的项,是第10项.
新知探究
例4
图4.1-3中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.
在图形4个大三角形中,着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项,写出这个数列的一个通项公式.
解:在图4.1-3(1)(2)(3)(4)中,着色三角形的个数依次为
1,3,9,27,
即所求数列的前4项都是3的指数幂,指数为序号减1.
因此,这个数列的一个通项公式是
.
换个角度观察图4.1-3中的4个图形.可以发现,,且每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂为3个着色小三角形和1个无色小三角形.
于是从第2个图形开始,每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍.
这样,例4中的数列的前4项满足
,,,
.
由此猜测这个数列满足公式

这样,如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
知道了首项和递推公式,就能求出数列的每一项了.
数列的递推公式
1概念:如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式
2概念解析:
(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样,并不是所有的数列都有递推公式.
(2)递推公式也是给出数列的一种重要方法,递推公式和通项公式一样都是关于项数n的恒等式,用符合要求的正整数依次去替换n,就可以求出数列的各项.
(3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项,直至求出数列的任何一项和所需的项.
(4)用递推公式给出数列,不易了解数列的全貌,计算也不方便,所以,经常用它推导出数列的通项公式或得到一个特殊数列,比如具有周期性质的数列.(若存在一个正整数t,使得
,则数列)为周期数列,其周期为t)
通项公式与递推公式的区别和联系
区别联系通项公式1直接反映了与n之间的关系,即是n的函数,

2知道任意一个具体的n值的,就可以求出该项的值
1都可以一个确定数列
2也都可以求出数列的任意一项
递推公式1间接反映了与n之间的关系,它是数列任意两项(或多项)相邻项之间的关系式,不能由n直接得出;
2
可根据第1项(或前几项)的值,通过一次(或多次)赋值,逐项求出数列的项,直至求出所需的
例5
已知数列{}的首项为,递推公式为,
写出这个数列的前5项.
解:由题意可知




.
数列前n项和的定义、前n项和公式
1
把数列{}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{}的前n项和,
记作
,

.
2
如果数列{}的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.
数列的通项与前n项和
显然

而,
于是我们有
注:(1)已知数列{}的前n项和,求
,一般用公式
,但必须注意它成立的条件是
(2)由

时,若当n=1,
的值不等于的值,则数列的通项公式应采用分段表示,即:
思考
已知数列{}的前n项和公式为
,你能求出{}的通项公式吗?
解答:
因为

并且当n=1时,
依然成立.
所以{}的通项公式是.
课堂练习
1填空
(1)数列中,
,,

(2)数列中,
,且
,

(3)数列中,


答案:
(1)-17
(2)2
(3)2020
2(由递推公式求数列的项)
(多选题)已知数列满足

,则下列各数是的项的有()
A.-2
B.
C.
D.
3
答案:BD
分析:根据递推关系找出规律,可得数列是周期为3的周期数列,从而得出结论.
解:因为数列满足

,
所以
,
所以,数列是周期为3的数列,且前3项为

,3
故选:BD
3
如图,在三个正方形块中,着色正方形的个数依次构成一个数列的前三项,则这个数列的一个递推公式为(

B.
C.
D.
答案:D
解:由图可知:



可得
故选:
D
4(由递推公式求通项公式)
(1)累加法求通项公式
已知数列满足
,
求数列的通项公式
.
解:∵
……
以上各式累加得,
又∵n=1时,,符合上式,
(2)
累乘法求通项公式
设数列中,
,求数列的通项公式
.
解:∵
,

,
又∵n=1时,
符合上式,

拓展
(1)
累加法:当
时,
常用
,
求通项公式.
(2)累乘法:当
时,
常用
求通项公式.
5
已知数列{}的前n项和
,

分析:利用
来求解.
解:
由已知得:

通过例题,进一步深化学生对数列概念的理解和运用。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养
通过具体问题的思考、分析,引导学生认识数列中的递推公式。发展学生数学抽象、数学建模的核心素养
通过数列的通项与前n项和的认识,帮助学生理解数列求和的概念
课堂小结
1数列的递推公式
2通项公式与递推公式的区别和联系
3数列前n项和的定义及前n项和公式
4数列的通项与前n项和
板书
1数列的递推公式
2通项公式与递推公式的区别和联系
3数列前n项和的定义及前n项和公式
4数列的通项与前n项和
5课堂练习
教学反思
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2

(共
2
页)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共24张PPT)
4.1.2数列的递推公式
人教A版(2019)
选择性必修第二册
新知导入
复习旧知
1
数列的概念是

2
数列的表示有

3
数列的通项公式是?
提示:
1
一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.
2
①通项公式法
②列表法
③图象法
④一般表示法
3
如果数列{}的第n项
与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
新知导入
问题:
1
什么叫数列的递推公式?
2
由数列的递推公式能否求出数列的项?
新知讲解
例3
如果数列{}的通项公式为
,
那么120是不是这个数列的项?如果是,是第几项?
分析:
要判断120是不是数列{}中的项,就是要回答是否存在正整数n,使得.
也就是判断上述关于n的方程是否有正整数解.
解:


解这个关于n的方程,

n=-12(舍去),或
n=10
.
所以,120是数列{}中的项,是第10项.
合作探究
例4
图4.1-3中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.
在图形4个大三角形中,着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项,写出这个数列的一个通项公式.
解法1:
在图4.1-3(1)(2)(3)(4)中,着色三角形的个数依次为
1,3,9,27,
即所求数列的前4项都是3的指数幂,指数为序号减1.
因此,这个数列的一个通项公式是
合作探究
例4
图4.1-3中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.
在图形4个大三角形中,着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项,写出这个数列的一个通项公式.
解法2:
换个角度观察图4.1-3中的4个图形,
从第2个图形开始,每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍
这样,题中数列的前4项满足,
,,,
.
由此猜测这个数列满足公式
新知讲解
数列的递推公式
概念:
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式
(若存在一个正整数t,使得
,则数列)为周期数列,其周期为t)
概念解析:
(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样,并不是所有的数列都有递推公式;
(2)递推公式也是给出数列的一种重要方法,递推公式和通项公式一样都是关于项数n的恒等式,
用符合要求的正整数依次去替换n,就可以求出数列的各项;
(3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项,直至求出数列的任何一项和所需的项;
(4)用递推公式给出数列,不易了解数列的全貌,计算也不方便,所以,
经常用它推导出数列的通项公式或得到一个特殊数列,比如具有周期性质的数列.
合作探究
通项公式与递推公式的区别和联系
?
区别
联系
通项公式
1直接反映了与n之间的关系,即是n的函数,

2
知道任意一个具体的n值的,就可以求出该项的值
?
1都可以一个确定数列
?
2也都可以求出数列的任意一项
?
递推公式
1间接反映了与n之间的关系,它是数列任意两项(或多项)相邻项之间的关系式,不能由n直接得出;
2
可根据第1项(或前几项)的值,通过一次(或多次)赋值,逐项求出数列的项,直至求出所需的
合作探究
例5
已知数列{}的首项为,递推公式为,
写出这个数列的前5项.
解:
由题意可知
新知讲解
数列前n项和的定义、前n项和公式
1
把数列{}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{}的前n项和,
记作
,

.
2
如果数列{}的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.
新知讲解
数列的通项与前n项和
显然


,
于是我们有
注:(1)已知数列{}的前n项和,求
,一般用公式

但必须注意它成立的条件是
(2)由

时,
若当n=1,
的值不等于的值,则数列的通项公式应采用分段表示,即:
合作探究
思考
已知数列{}的前n项和公式为
,你能求出{}的通项公式吗?
解答:
因为

并且当n=1时,
依然成立.
所以{}的通项公式是.
课堂练习
1
填空
(1)数列
中,
,则
(2)数列
中,
,则
(3)数列
中,
n=0,则
答案:
(1)-17
(2)2
(3)2020
课堂练习
2(由递推公式求数列的项)
(多选题)已知数列满足

,
则下列各数是的项的有(

A.-2
B.
C.
D.
3
分析:
根据递推关系找出规律,可得数列是周期为3的周期数列,从而得出结论.
解:
因为数列满足

,
所以
,
,
所以,数列是周期为3的数列,
且前3项为

,3
故选:BD
BD
课堂练习
3
如图,在三个正方形块中,着色正方形的个数依次构成一个数列的前三项,则这个数列的一个递推公式为(

B.
C.
D.
解:
由图可知:



可得
故选:
D
D
课堂练习
4(由递推公式求通项公式)
(1)累加法求通项公式
已知数列{an}满足
a1=-1,an+1=an+,n∈N
,求数列的通项公式an.
解:

an+1-an=

a2-a1=
……
an-an-1=
以上各式累加得,
又∵
n=1时,,符合上式,
课堂练习
4(由递推公式求通项公式)
(2)
累乘法求通项公式
设数列{an}中,
,求数列的通项公式
.
解:

,

,
又∵
n=1时,
符合上式,

合作探究
拓展
(1)
累加法:当
时,
常用
,
求通项公式
.
(2)累乘法:当
时,
常用
,
求通项公式.
课堂练习
5
已知数列{}的前n项和
,

分析:
利用
来求解.
解:
由已知得:

课堂总结
1
数列的递推公式
2
通项公式与递推公式的区别和联系
3
数列前n项和的定义及前n项和公式
4
数列的通项与前n项和
板书设计
1
数列的递推公式
2
通项公式与递推公式的区别和联系
3
数列前n项和的定义及前n项和公式
4
数列的通项与前n项和
5
课堂练习
作业布置
课本8页习题4.1
4,5,
6
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