(共26张PPT)
4.1.1数列的概念与简单表示
人教A版（2019）
选择性必修第二册
新知导入
东晋诗人陶渊明劝学的故事，广为人知。他曾有名言如下：“勤学如春起之苗，不见其增，日有所长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏。”
如果每天用精密仪器对“春起之苗”进行测量，则每天的苗的高度，都按日期排列，可以组成一个数列。
问题：什么是数列？
新知导入
1.
王芳从1岁到17岁，每年生日那天测量身高.
将这些身高数据（单位：cm）依次排成一列数：
75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168.
①
记王芳第
i
岁时的身高为
（2）
中的
i
反映了身高按岁数从1到17的顺序排列时的确定位置，即
是排在第1位的数，……
是排在第17位的数，它们之间不能交换位置.
所以，①
是具有确定顺序的一列数.
问：
（1）
，
，…
，
（2）
之间的顺序能否交换？
答:
(1)
，
，…
，
新知导入
2.
在两河流域发掘的一块泥版（编号K90，约产生于公元前7世纪）上，有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数：
5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240.
②
注：把满月分成240份，则从初一到十五每天月亮的可见部分可用一个代表份数的数来表示
记第
i
天月亮可见部分的数为
那么，，…，
中的
i
反映了月亮可见部分的数按日期从1到15的顺序排列时的确定位置，
即是排在第1位的数，是排在第2位的数……它们之间不能交换位置
所以，②也是具有确定顺序的一列数
新知导入
3.的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数：
③
③
也是具有确定顺序的一列数
思考:
你能仿照上面的叙述，说说
③
吗？
归纳：
上述3例子的共同特征是什么？
新知讲解
数列的概念
（1）按照确定的顺序排列的一列数称为数列
（2）
数列中的每一个数叫做这个数列的项
（3）各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），常用符号表示，
第2项，用表示……
第n项，用
表示.
（4）数列的一般形式是
，，…，,…,
简记为
{}.
合作探究
思考：
数列与集合，，…，有什么区别？
提示：
数列
集合
各项必须是数
集合中的元素可以是数字，也可以是其他形式
数列中的数是有顺序的。如1，2，3与2，3，1表示不同的数列
集合中的元素具有无序性，
如{1，2，3}={2，3，1}
同一个数在一个数列中可以重复出现，如1，1，1，…
集合中的元素具有互异性，
如1，1，1，…组成的集合只能写为{1}
新知讲解
数列与函数
由于数列{}中的每一项
和它的序号n有下面的对应关系：
数列{}是从正整数集（或它的有限子集{1，2，…，n
}）到实数集R的函数
其自变量是序号
n，对应的函数值是数列的第n项
，记为
另一方面，对于函数
y=f(x)
,
如果
f(n)
()
有意义，
那么
构成了一个数列
{
f(n)
}
新知讲解
与其他函数一样，数列也可以用表格和图象来表示
数列的表示
数列①可以表示为表
4.1-1
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
75
87
96
103
110
116
120
128
138
145
153
158
160
162
163
165
168
它的图象如图4.1-1所示
问题：
通过前面的学习，你能用几种方法表示数列？
答案：
①
一般表示法
②
通项公式法(或称为解析表示法)
③
列表法
④
图象法
（是一群孤立的点）
⑤递推公式法（下一节学习）
，，…，
,
…
例如：
2，4，6，8，…
简记为
{2n}
例如：数列
3，6，9，12，…
用通项公式法表示为：
例如
：数列-1，1，-1，1，-1，1，…
合作探究
合作探究
数列的分类
分类标准
名称
含义
按项的个数
有穷数列
项数有限的数列
无穷数列
项数无限的数列
按项的变化趋势
递增数列
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列
各项相等的数列
摆动数列
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
合作探究
数列的通项公式
如果数列{}的第
n
项
与它的序号
n
之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式
注：
(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N
或它的有限子集{1,2,3，…，n
}
为定义域的函数解析式．
(2)同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．
?
(3)数列的通项公式不唯一
例如：-1，1，-1，1，…
可以写成
，
例1
根据下列数列{}的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象
（1）
（2）
合作探究
解：
（1）当通项公式中的n=1,2,3,4,5时，
数列{}的前5项依次为1，3，6，10，15.
图象如图4.1-2（1）所示.
（2）当通项公式中的n=1,2,3,4,5时，数列{}的前5项依次为1，0，-1，0，1
图象如图4.1-2（2）所示.
例2
根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式：
（1）1，，，，…
；
（2）2，0，2，0，…
.
合作探究
解：
（1）这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为
（2）这个数列的前4项的奇数项是2，偶数项是0，所以它的一个通项公式为
注：或常常用来表示正负相间的变化规律.
课堂练习
1概念辨析
（1）数列
与
相同吗？
（2）数列与函数
有什么关系？
提示：
（1）数列与是不相同的.
表示数列：
而表示数列中的第n项.
（2）当或
的有限子集时，
就是数列的通项公式，
否则，
与
完全不同
的图象是线，
的图象是
上的点
课堂练习
2
以数列2，4，6，8，10，…为例，你能用几种方法表示这个数列？
答案：
①
通项公式法：
②
列表法
n
1
2
3
…
k
…
2
4
6
…
2k
…
③
图象法
课堂练习
3
根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式
①
②
－3，7，-15，31，…
③
2，
6，
2，6，…
④
⑤
解：
①
均是分式且分子均为1，分母均是两因数的积，第一个因数是项数加上1，第二个因数比第一个因数大2，
∴
②
正负相间，且负号在奇数项，故可用来表示符号，
各项的绝对值恰是2的整数次幂减1，
∴
．
课堂练习
3
根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式
③
2，
6，
2，6，…
④
⑤
解：
③
为摆动数列，
一般求两数的平均数，
而2＝4－2,
6＝4＋2，中间符号用来表示．
或
④
由题意得数列的通项公式为
⑤
数列即
据此可得数列的通项公式为
.
课堂练习
4
已知数列的每一项是它的序号的算术平方根加上序号的2倍．
(1)求这个数列的第4项与第25项；
(2)253和153是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？
解：
(1)由题设条件，知
∴
.
(2)假设253是这个数列中的项，
则，解得
n＝121.
∴
253是这个数列的第121项．
假设153是这个数列中的项，
则，
解得
这与
n
是正整数矛盾，
∴
153不是这个数列中的项．
课堂练习
5
已知是R上的奇函数，
则数列的通项公式为（
）
A．
B.
C.
D.
C
课堂练习
解：
在R上为奇函数，
故
代入得：
∴
函数
关于点
对称，
令
则
得到
∵
倒序相加可得
即
答案：C
课堂总结
1
数列的概念
一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.
2数列的表示
①通项公式法
②列表法
③图象法
④
一般表示法
3数列的通项公式
如果数列{}的第
n
项
与它的序号
n
之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
板书设计
1
数列的概念
2
数列与集合、数列与函数
3
数列的表示
4
数列的分类
5
数列的通项公式
6
例题巩固
7
课堂练习
作业布置
课本8页习题4.1
1，2，
3
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php中小学教育资源及组卷应用平台
4.1.1数列的概念与简单表示教学设计
课题
4.1.1数列的概念与简单表示
单元
第一单元
学科
数学
年级
高二
教材分析
本节课是2019版高中数学(人教版)选择性必修第二册，第四章《数列》里的内容,这一节课主要学习数列的概念与简单表示。主要涉及数列的概念、表示方法、分类、通项公式、数列和函数之间的关系等。
数列是刻画“离散”过程的重要数学模型，在日常生活中有着重要的应用。学习数列对深化函数的学习有着积极地意义，数列是以后学习极限的基础，因此，数列在高中数学中占有重要位置。数列的概念是学习数列的起点与基础，因而建立数列的概念是本章教学的重点，更是本节课教学的重点。
数列的概念、通项公式在学习过程中起着承上启下的作用。一方面，在数列的概念的归纳提炼及具体问题的解析过程中常会用到函数思想。通过学习本章能进一步加深对函数的认识、深化对函数思想方法的运用；另一方面，它们是本章的后续内容——等差数列，等比数列的基础；同时，通过这部分内容的学习，可以使学生强化运算能力、提升分析归纳能力。
教学
目标与
核心素养
1数学抽象：数列的概念与简单表示、数列的分类
2逻辑推理：求数列的通项公式
3数学运算：运用数列通项公式求特定项
4数学建模：数列的概念
5直观想象：数列与函数的关系
6数据分析：学习数列的概念与简单表示、数列的分类及数列与函数的关系，同时类比已学过的函数模型及其特征，提高学生数学判断的能力，以及参与数学活动的能力
重点
数列的概念及通项公式
难点
数列的函数特征
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
东晋诗人陶渊明劝学的故事，广为人知。他曾有名言如下：“勤学如春起之苗,不见其增,日有所长;辍学如磨刀之石,不见其损,日有所亏。”
如果每天用精密仪器对“春起之苗”进行测量，则每天的苗的高都按日期排列，可以组成一个数列。
问题：什么是数列？
情景引入
通过古诗等具体的情景，激发学生兴趣，
引导学生运用数学思维，发现问题、分析问题，发展学生数学抽象、数学运算、数学建模等核心素养。
讲授新课
在现实生活和数学学习中，我们经常需要根据问题的意义，通过对一些数据按特定顺序排列的方法来刻画研究对象。例如：
1.
王芳从1岁到17岁，每年生日那天测量身高.
将这些身高数据（单位：cm）依次排成一列数：
75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168.
①
记王芳第i岁时的身高为
，那么
，
，…
，
.
我们发现，
中的i
反映了身高按岁数从1到17的顺序排列时的确定位置，即
是排在第1位的数，
是排在第2位的数……
是排在第17位的数，它们之间不能交换位置.
所以，①
是具有确定顺序的一列数.
2.
在两河流域发掘的一块泥版（编号K90，约产生于公元前7世纪）上，有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数：
5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240.
②
记第i天月亮可见部分的数为
，那么，，…，.
这里，
中的i
反映了月亮可见部分的数按日期从1到15的顺序排列时的确定位置，即是排在第1位的数，是排在第2位的数……是排在第15位的数，它们之间不能交换位置.
所以，②也是具有确定顺序的一列数.
3.
的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数：
③
思考
你能仿照上面的叙述，说明③也是具有确定顺序的一列数吗？
归纳
上述例子的共同特征是什么？
数列的概念
一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.
数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用表示.其中第1项也叫做首项.
①是按照年龄从小到大的顺序排列的，
②是按每月的日期从小到大的顺序排列的，
③是按幂指数从小到大的顺序排列的，它们都是从第1项开始的.
数列的一般形式是
，，…，,…,
简记为
{}.
思考：
数列与集合，，…，有什么区别？
提示：
数列集合各项必须是数集合中的元素可以是数字，也可以是其他形式数列中的数是有顺序的。如1，2，3与2，3，1表示不同的数列集合中的元素具有无序性，如{1，2，3}={2，3，1}同一个数在一个数列中可以重复出现，如1，1，1，…集合中的元素具有互异性，如1，1，1，…组成的集合只能写为{1}
数列与函数
由于数列{}中的每一项
和它的序号n有下面的对应关系：
序号
1
2
3
…
n
…
项
…
…
所以数列{}是从正整数集（或它的有限子集{1，2，…，n
}）到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项
，记为
.
也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值
就是数列{}.
另一方面，对于函数
y=f(x)
,
如果
f(n)
()
有意义，那么
构成了一个数列{
f(n)}.
与其他函数一样，数列也可以用表格和图象来表示.例如，数列①可以表示为表4.1-1
它的图象如图4.1-1所示.
数列的表示：
通过前面的学习，你能用几种方法表示数列？
答案：①一般表示法
，，…，,…
例如：
2，4，6，8，…
简记为
{2n}
②通项公式法（或称为解析表示法）
例如：数列
3，6，9，12，…
用通项公式法表示为：
③列表法
（略）
④图象法
(是一群孤立的点)
例如
：数列-1，1，-1，1，-1，1，…
⑤
递推公式法（下一节学习）
与函数类似，我们可以定义数列的单调性.
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列.
特别地，各项都相等的数列叫做常数列.
数列的分类：
分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列常数列各项相等的数列摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
数列的通项公式：
如果数列{}的第n项
与它的序号n
之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
注：
(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数解析式．
(2)同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．
(3)数列的通项公式不唯一
例如：-1，1，-1，1，…
可以写成
和
例如数列③的通项公式为
.
显然，通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项.
例题巩固：
例1
根据下列数列{}的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象.
（2）
,
解：（1）当通项公式中的n=1,2,3,4,5时，数列{}的前5项依次为1，3，6，10，15.
图象如图4.1-2（1）所示.
（2）当通项公式中的n=1,2,3,4,5时，数列{}的前5项依次为
1，0，-1，0，1
图象如图4.1-2（2）所示.
例2
根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式：
（1）1，，，，…
；
（2）2，0，2，0，…
.
解：（1）这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为
（2）这个数列的前4项的奇数项是2，偶数项是0，所以它的一个通项公式为
,
注：或常常用来表示正负相间的变化规律.
课堂练习：
1概念辨析
（1）数列与相同吗？
（2）数列与函数
有什么关系？
提示：
（1）数列与是不相同的.
表示数列：
而表示数列中的第n项.
（2）当或
的有限子集时，
就是数列的通项公式，否则，
与
完全不同.
的图象是线，而的图象是
上的点
2
以数列2，4，6，8，10，…为例，你能用几种方法表示这个数列？
答案：
①通项公式法：
②列表法
n123…k…246…2k…
③图象法
3
根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式
①
，，，，…；
②
－3，7，-15，31，…；
③
2，6，2，6，…
④
⑤
解：
①均是分式且分子均为1，分母均是两因数的积，第一个因数是项数加上1，第二个因数比第一个因数大2，
∴
②正负相间，且负号在奇数项，故可用来表示符号，各项的绝对值恰是2的整数次幂减1，
∴
．
③为摆动数列，一般求两数的平均数＝4，而2＝4－2,
6＝4＋2，中间符号用来表示．
或
④
由题意得数列的通项公式为
⑤
数列即
据此可得数列的通项公式为
.
4
已知数列的每一项是它的序号的算术平方根加上序号的2倍．
(1)求这个数列的第4项与第25项；
(2)253和153是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？
解：
(1)由题设条件，知.
∴
.
(2)假设253是这个数列中的项，
则253＝＋2n，解得n＝121.
∴253是这个数列的第121项．
假设153是这个数列中的项，
则153＝＋2n，
解得n＝72，这与n是正整数矛盾，
∴153不是这个数列中的项．
5
已知是R上的奇函数，
则数列的通项公式为（
）
A．
B.
C.
D.
答案：C
解：在R上为奇函数
故
代入得：
∴函数
关于点对称，
令
，则，得到
∵
倒序相加可得
即
由特殊到一般
地研究
注：把满月分成240份，则从初一到十五每天月亮的可见部分可用一个代表份数的数来表示。
以前我们学过的函数的自变量是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数
从表4.1-1和图4.1-1中，你能发现数列①中的项随序号的变化呈现出的特点吗？
通过具体例子的分析，帮助学生观察、分析、归纳、总结出数列的概念。
发展学生数学抽象、数学建模的核心素养
通过数列概念的解读，并与集合、函数概念作比较，深化对数列概念的理解。发展学生数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养
例题巩固
课堂小结
1数列的概念
一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.
2数列的表示
①通项公式法
②列表法
③图象法
④一般表示法
3数列的通项公式
如果数列{}的第n项
与它的序号n
之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
板书
1数列的概念
2数列与集合、数列与函数
3数列的表示
4数列的分类
5数列的通项公式
6例题巩固
7
课堂练习
教学反思
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精品试卷·第
2
页
（共
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页）
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