2021-2022学年上学期初中数学人教新版九年级上册 21.2 解一元二次方程 同步经典题精练（word版含解析）

2021-2022学年上学期初中数学人教新版九年级同步经典题精练之解一元二次方程
一、选择题（共6小题）
1．（2019秋?绥德县期末）用公式法解一元二次方程时，化方程为一般式当中的、、依次为　　
A．2，，1
B．2，3，
C．，，
D．，3，1
2．（2019秋?思明区校级期中）用直接开平方解下列一元二次方程，其中无解的方程为　　
A．
B．
C．
D．
3．（2019秋?龙华区期中）方程的解的是　　
A．
B．
C．
D．
4．（2019秋?高州市期中）用公式法解时，先求出、、的值，则、、依次为　　
A．，3，1
B．1，3，1
C．，3，
D．1，，
5．（2019春?瑞安市期末）欧几里得是古希腊数学家，所著的《几何原本》闻名于世．在《几何原本》中，形如的方程的图解法是：如图，以和为直角边作，再在斜边上截取，则图中哪条线段的长是方程的解？答：是　　
A．
B．
C．
D．
6．（2018?旌阳区模拟）用配方法解方程时，应将其变形为　　
A．
B．
C．
D．
二、填空题（共6小题）
7．（2019秋?新华区期中）若关于的一元二次方程有实数解，则的取值范围是　　．
8．（2019秋?金牛区校级期中）若，，是实数，且，则　　．
9．（2019秋?高新区期中）若菱形的两条对角线长分别是方程的两实根，则菱形的面积为　　．
10．（2019秋?巴东县期中）实数，满足，则值为　　．
11．（2019春?余杭区期末）一元二次方程的根是　　
12．（2019?威海）一元二次方程的解是　　．
三、解答题（共6小题）
13．（2019秋?连云港期中）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：不论为何值，该方程总有两个实数根；
（2）若是该方程的根，求代数式的值．
14．（2019秋?福州期中）求证：无论取何值，方程有两个不相等的实数根．
15．（2019秋?滨湖区期末）已知关于的方程，若方程的一个根是，求另一个根及的值．
16．（2019春?招远市期中）（一阅读
求的最小值．
解：
由于的值必定为非负数，所以，即的最小值为2．
（二解决问题
（1）若，求的值；
（2）对于多项式，当，取何值时有最小值．
17．（2019春?拱墅区期末）化简或解方程
（1）；
（2）
18．（2019春?福田区校级期末）阅读下列材料：已知实数，满足，试求的值
解：设，则原方程变为，整理得，，因为，所以．
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能
使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
已知实数，满足，求的值．
2021-2022学年上学期初中数学人教新版九年级同步经典题精练之解一元二次方程
参考答案与试题解析
一、选择题（共6小题）
1．（2019秋?绥德县期末）用公式法解一元二次方程时，化方程为一般式当中的、、依次为　　
A．2，，1
B．2，3，
C．，，
D．，3，1
【考点】：一元二次方程的一般形式；：解一元二次方程公式法
【专题】523：一元二次方程及应用
【分析】先把方程化为一元二次方程的一般形式，再确定、、．
【解答】解：方程化为一般形式为：，
，，．
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式为．其中、分别是二次项和一次项系数，为常数项．
2．（2019秋?思明区校级期中）用直接开平方解下列一元二次方程，其中无解的方程为　　
A．
B．
C．
D．
【考点】：解一元二次方程直接开平方法
【专题】523：一元二次方程及应用；66：运算能力
【分析】根据负数没有平方根即可求出答案．
【解答】解：（A），故选项无解；
（B），即，故选项有解；
（C），故选项有解；
（D），故选项有解；
故选：．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
3．（2019秋?龙华区期中）方程的解的是　　
A．
B．
C．
D．
【考点】：解一元二次方程直接开平方法
【专题】66：运算能力；523：一元二次方程及应用
【分析】利用直接开平方法求解即可．
【解答】解：，
，
故选：．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法．
4．（2019秋?高州市期中）用公式法解时，先求出、、的值，则、、依次为　　
A．，3，1
B．1，3，1
C．，3，
D．1，，
【考点】：解一元二次方程公式法
【专题】11：计算题
【分析】将方程整理为一元二次方程的一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项即可．
【解答】解：将方程整理为一般形式为，
可得二次项系数，一次项系数，常数项为．
故选：．
【点评】此题考查了解一元二次方程公式法，利用此方法解方程时，首先将方程整理为一般形式，找出，及的值，然后计算出根的判别式的值，当时，将，及的值代入求根公式可求出解．
5．（2019春?瑞安市期末）欧几里得是古希腊数学家，所著的《几何原本》闻名于世．在《几何原本》中，形如的方程的图解法是：如图，以和为直角边作，再在斜边上截取，则图中哪条线段的长是方程的解？答：是　　
A．
B．
C．
D．
【考点】：数学常识；：解一元二次方程配方法
【专题】523：一元二次方程及应用
【分析】先利用配方法求出方程的解，再根据勾股定理求出，由可得的长，从而得出答案．
【解答】解：，
，即，
，
则，
在中，，，
，
又，
，
图形中线段的长是方程的一个解，
故选：．
【点评】本题主要考查勾股定理与解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键
6．（2018?旌阳区模拟）用配方法解方程时，应将其变形为　　
A．
B．
C．
D．
【答案】
【考点】解一元二次方程配方法
【专题】配方法
【分析】本题要求用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．
【解答】解：，
，
，
．
故选：．
【点评】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
二、填空题（共6小题）
7．（2019秋?新华区期中）若关于的一元二次方程有实数解，则的取值范围是　且　．
【考点】一元二次方程的定义；根的判别式
【专题】判别式法；运算能力
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围．
【解答】解：关于的一元二次方程有实数根，
△且，
解得：且．
故答案为：且．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式△，找出关于的一元一次不等式组是解题的关键．
8．（2019秋?金牛区校级期中）若，，是实数，且，则　17　．
【考点】：配方法的应用；：非负数的性质：偶次方
【专题】514：二次根式；16：压轴题；42：配方法；66：运算能力
【分析】将等式右边的部分移到左边，然后配方，利用偶次方的非负性，可得，，的值，从而可求得的值．
【解答】解：
，，
，，
，，
，，
故答案为：17．
【点评】本题考查了配方法在二次根式中
应用，熟练掌握配方法并明确偶次方的非负性，是解题的关键．
9．（2019秋?高新区期中）若菱形的两条对角线长分别是方程的两实根，则菱形的面积为　12　．
【考点】：菱形的性质；：解一元二次方程因式分解法
【专题】523：一元二次方程及应用；69：应用意识
【分析】先解出方程的解，根据菱形面积为两对角线乘积的一半，可求出结果．
【解答】解：，
解得或．
所以菱形的面积为：．
故答案为：12．
【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法，菱形的面积公式．菱形的面积有两种计算办法：底边该底边上的高；或两对角线乘积．本题还可以根据一元二次方程根与系数的关系得出两对角线乘积为24，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求解．
10．（2019秋?巴东县期中）实数，满足，则值为　或2　．
【考点】：换元法解一元二次方程
【专题】43：换元法；66：运算能力
【分析】设，则原方程转化为，利用因式分解法解该方程，然后整体代入求值．
【解答】解：设，则原方程转化为，
所以．
所以或．
所以．
所以或．
故答案是：或2．
【点评】考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
11．（2019春?余杭区期末）一元二次方程的根是　，　
【考点】：解一元二次方程直接开平方法
【专题】523：一元二次方程及应用
【分析】先把方程变形为，锐角利用直接开平方法解方程．
【解答】解：，
，
所以，．
故答案为，．
【点评】本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
12．（2019?威海）一元二次方程的解是　，　．
【考点】：解一元二次方程公式法
【专题】523：一元二次方程及应用
【分析】直接利用公式法解方程得出答案．
【解答】解：
，
则，
故，
解得：，．
故答案为：，．
【点评】此题主要考查了公式法解方程，正确掌握公式法是解题关键．
三、解答题（共6小题）
13．（2019秋?连云港期中）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：不论为何值，该方程总有两个实数根；
（2）若是该方程的根，求代数式的值．
【考点】：根的判别式
【专题】67：推理能力；523：一元二次方程及应用
【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案；
（2）将代入原方程可求出，然后整体代入原式即可求出答案；
【解答】解：（1），，
，
不论为何值，，即，
；
不论为何值，该方程总有两个实数根
（2）因为是的根
所以，
即，
所以；
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
14．（2019秋?福州期中）求证：无论取何值，方程有两个不相等的实数根．
【考点】：解一元二次方程直接开平方法
【专题】523：一元二次方程及应用；66：运算能力
【分析】根据直接开方法以及二次根式的性质即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：，
，
无论取何值，该方程有两个不相等的实数根．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
15．（2019秋?滨湖区期末）已知关于的方程，若方程的一个根是，求另一个根及的值．
【考点】：一元二次方程的解；：根与系数的关系
【专题】523：一元二次方程及应用
【分析】把方程的根代入可求得的值，代入方程，再解方程即可求得另一个根．
【解答】解：关于的方程的一个根是，
，解得，
原方程为，解得或，
即方程的另一根为1，的值为．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解及其解法，利用根的定义求得的值是解题的关键．
16．（2019春?招远市期中）（一阅读
求的最小值．
解：
由于的值必定为非负数，所以，即的最小值为2．
（二解决问题
（1）若，求的值；
（2）对于多项式，当，取何值时有最小值．
【考点】：非负数的性质：偶次方；：配方法的应用
【分析】（1）根据完全平方公式把已知条件变形得到，再根据非负数的性质求出、，然后把、的值代入计算即可；
（2）原式利用完全平方公式变形，再利用非负数的性质求出最小值，以及与的值即可．
【解答】解：（1）解：原式可变为
，
且，
，，
；
（2）原式
因为和的值必定为非负数，
所以当，时，有最小值．
【点评】此题考查了因式分解运用公式法，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
17．（2019春?拱墅区期末）化简或解方程
（1）；
（2）
【考点】79：二次根式的混合运算；：解一元二次方程因式分解法
【专题】523：一元二次方程及应用
【分析】（1）原式首先化为最简二次根式，然后根据二根式的运算顺序计算后，最后合并即可得到结果；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）
，
，．
【点评】此题考查了解一元二次方程和二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（2019春?福田区校级期末）阅读下列材料：已知实数，满足，试求的值
解：设，则原方程变为，整理得，，因为，所以．
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能
使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
已知实数，满足，求的值．
【考点】：换元法解一元二次方程
【专题】43：换元法
【分析】设，则原方程转化为，然后解该方程即可．
【解答】解：设，则原方程转化为，
整理，得
，
所以．
，
．
的值是．
【点评】考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
考点卡片
1．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
2．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
3．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
4．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
5．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
6．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
7．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
8．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
9．解一元二次方程-公式法
（1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
10．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
11．换元法解一元二次方程
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
12．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
13．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
14．配方法的应用
1、用配方法解一元二次方程．
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2
配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．
关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
3、配方法的综合应用．
15．菱形的性质
（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
（2）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（3）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）