2021-2022学年上学期初中数学人教新版九年级上册 22.1 二次函数的图象和性质同步经典题精练（word版含解析）

2021-2022学年上学期初中数学人教新版九年级同步经典题精练之二次函数的图象和性质
一、选择题（共12小题）
1．（2021?日喀则市一模）下列函数中是二次函数的为　　
A．
B．
C．
D．
2．（2020?闽侯县模拟）二次函数与一次函数，它们在同一直角坐标系中的图象大致是　　
A．
B．
C．
D．
3．（2019秋?芜湖期中）已知一次函数的图象经过一、二、四象限，则二次函数的顶点在第　　象限．
A．一
B．二
C．三
D．四
4．（2019秋?绿园区期末）抛物线的顶点坐标是　　
A．
B．
C．
D．
5．（2019秋?济南期末）已知，二次函数满足以下三个条件：①，②，③，则它的图象可能是　　
A．
B．
C．
D．
6．（2019?淮安区模拟）把抛物线向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得抛物线是　　
A．
B．
C．
D．
7．（2019?滨湖区模拟）将抛物线平移得到抛物线，则这个平移过程正确的是　　
A．向左平移3个单位
B．向右平移3个单位
C．向上平移3个单位
D．向下平移3个单位
8．（2018秋?西陵区期末）二次函数的图象可能是　　
A．
B．
C．
D．
9．（2018秋?惠山区期末）若点，，都在抛物线上，则下列结论正确的是　　
A．
B．
C．
D．
10．（2018?平房区二模）二次函数与轴交点坐标为　　
A．
B．
C．
D．
二、填空题（共4小题）
11．（2019秋?西城区校级期中）请写出一个开口向上且与轴交点坐标为的抛物线的表达式：　　．
12．（2019?漯河一模）若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是　　．
13．（2018秋?鸡西期末）抛物线的对称轴是　　．
14．（2018秋?大兴区期末）已知抛物线经过，，对于任意，点均不在抛物线上．若，则的取值范围是　　．
三、解答题（共6小题）
15．（2020?利辛县模拟）已知抛物线．
（1）请用配方法求出顶点的坐标；
（2）如果该抛物线沿轴向左平移个单位后经过原点，求的值．
16．（2019秋?河北期中）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）．如果、分别从、同时出发，那么经过多少秒，四边形的面积最小．
17．（2019?杭州模拟）已知二次函数．
（1）求出二次函数图象的对称轴；
（2）若该二次函数的图象经过点，且整数，满足，求二次函数的表达式；
（3）对于该二次函数图象上的两点，，，，设，当时，均有，请结合图象，直接写出的取值范围．
18．（2019?海淀区一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和．
（1）求的值及、满足的关系式；
（2）若抛物线在、两点间从左到右上升，求的取值范围；
（3）结合函数图象判断，抛物线能否同时经过点、？若能，写出一个符合要求的抛物线的表达式和的值，若不能，请说明理由．
19．（2018秋?西城区期末）小明利用函数与不等式的关系，对形如
为正整数）的不等式的解法进行了探究．
（1）下面是小明的探究过程，请补充完整：
①对于不等式，观察函数的图象可以得到如表格：
的范围
的符号
由表格可知不等式的解集为．
②对于不等式，观察函数的图象可以得到如表表格：
的范围
的符号
由表格可知不等式的解集为　　．
③对于不等式，请根据已描出的点画出函数的图象；
观察函数的图象补全下面的表格：
的范围
的符号
　　
　　
由表格可知不等式的解集为　　．
小明将上述探究过程总结如下：对于解形如为正整数）的不等式，先将，，按从大到小的顺序排列，再划分的范围，然后通过列表格的办法，可以发现表格中的符号呈现一定的规律，利用这个规律可以求这样的不等式的解集．
（2）请你参考小明的方法，解决下列问题：
①不等式的解集为　　．
②不等式的解集为　　．
20．（2018秋?丰台区期末）函数是二次函数．
（1）如果该二次函数的图象与轴的交点为，那么　　；
（2）在给定的坐标系中画出（1）中二次函数的图象．
2021-2022学年上学期初中数学人教新版九年级同步经典题精练之二次函数的图象和性质
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题）
1．（2021?日喀则市一模）下列函数中是二次函数的为　　
A．
B．
C．
D．
【考点】：二次函数的定义
【分析】根据二次函数的定义，可得答案．
【解答】解：、是一次函数，故错误；
、是二次函数，故正确；
、不含二次项，故错误；
、是三次函数，故错误；
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的定义，形如是二次函数，要先化简再判断．
2．（2020?闽侯县模拟）二次函数与一次函数，它们在同一直角坐标系中的图象大致是　　
A．
B．
C．
D．
【答案】
【考点】正比例函数的图象；二次函数的图象
【分析】根据二次函数的开口方向，与轴的交点；一次函数经过的象限，与轴的交点可得相关图象．
【解答】解：一次函数和二次函数都经过轴上的，
两个函数图象交于轴上的同一点，排除、；
当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除；
当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，正确；
故选：．
【点评】考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．
3．（2019秋?芜湖期中）已知一次函数的图象经过一、二、四象限，则二次函数的顶点在第　　象限．
A．一
B．二
C．三
D．四
【答案】
【考点】一次函数的性质；二次函数的性质
【专题】二次函数图象及其性质
【分析】利用一次函数的性质得到，，则判断△得到抛物线与轴有两个交点，然后确定抛物线的对称轴的位置，从而得到抛物线顶点所在的象限．
【解答】解：一次函数的图象经过一、二、四象限，
，，
△，
抛物线与轴有两个交点，
、异号，
抛物线的对称轴在轴右侧，
二次函数的顶点在第一象限．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的性质：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左；当与异号时，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于．
4．（2019秋?绿园区期末）抛物线的顶点坐标是　　
A．
B．
C．
D．
【答案】
【考点】二次函数的性质
【专题】二次函数图象及其性质；符号意识
【分析】根据，顶点坐标是可得答案．
【解答】解：抛物线的顶点坐标是，
故选：．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线．
5．（2019秋?济南期末）已知，二次函数满足以下三个条件：①，②，③，则它的图象可能是　　
A．
B．
C．
D．
【答案】
【考点】：二次函数图象与系数的关系
【专题】535：二次函数图象及其性质；67：推理能力
【分析】由抛物线满足：①，②，③，判断抛物线与轴的交点，根据图象判断、的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：二次函数满足以下三个条件：①，②，③，
由①可知当时，则抛物线与轴有两个交点，当时，则抛物线与轴无交点；
由②可知：当时，，
由③可知：，
，必须，
符合条件的有、，
由的图象可知，对称轴直线，，，抛物线交的负半轴，，则，
由的图象可知，对称轴直线，，，抛物线交的负半轴，，则有可能，
故满足条件的图象可能是，
故选：．
【点评】此题考查了二次函数各系数与函数图象的关系，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
6．（2019?淮安区模拟）把抛物线向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得抛物线是　　
A．
B．
C．
D．
【考点】：二次函数图象与几何变换
【分析】易得原抛物线的顶点，然后得到经过平移后的新抛物线的顶点，根据平移不改变二次项的系数可得新抛物线解析式．
【解答】解：抛物线的顶点坐标是，向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后抛物线的顶点坐标是，
所以平移后抛物线的解析式为：
故选：．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，抛物线平移问题，实际上就是两条抛物线顶点之间的问题，找到了顶点的变化就知道了抛物线的变化．
7．（2019?滨湖区模拟）将抛物线平移得到抛物线，则这个平移过程正确的是　　
A．向左平移3个单位
B．向右平移3个单位
C．向上平移3个单位
D．向下平移3个单位
【考点】：二次函数图象与几何变换
【专题】46：几何变换
【分析】先利用顶点式得到两抛物线的顶点坐标，然后通过点的平移情况判断抛物线平移的情况．
【解答】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为，
点向左平移3个单位可得到，
将抛物线向左平移3个单位得到抛物线．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
8．（2018秋?西陵区期末）二次函数的图象可能是　　
A．
B．
C．
D．
【答案】
【考点】二次函数的图象
【分析】利用排除法解决：首先由，可以判定抛物线开口向下，去掉、；再进一步由对称轴，可知正确，错误；由此解决问题．
【解答】解：，，
抛物线开口向下，、不正确，
又对称轴，而的对称轴是直线，
只有符合要求．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数图象与性质，观察图象得到二次函数经过的点的坐标是解题的关键．
9．（2018秋?惠山区期末）若点，，都在抛物线上，则下列结论正确的是　　
A．
B．
C．
D．
【考点】：二次函数图象上点的坐标特征
【专题】53：函数及其图象
【分析】利用图象法即可解决问题．
【解答】解：观察二次函数的图象可知：．
故选：．
【点评】本题考查二次函数图象上的点的特征，解题的关键是学会利用图象法比较函数值的大小．
10．（2018?平房区二模）二次函数与轴交点坐标为　　
A．
B．
C．
D．
【考点】：二次函数图象上点的坐标特征
【专题】：探究型
【分析】根据题目中的函数解析式，令，求出相应的的值，即可解答本题．
【解答】解：
当时，，
即二次函数与轴交点坐标为，
故选：．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确二次函数与轴交点的横坐标等于0．
二、填空题（共4小题）
11．（2019秋?西城区校级期中）请写出一个开口向上且与轴交点坐标为的抛物线的表达式：　　．
【考点】：待定系数法求二次函数解析式；：二次函数的性质
【专题】66：运算能力；535：二次函数图象及其性质
【分析】根据开口方向向上，对称轴为直线，且与轴的交点坐标为得，，，即可得出抛物线的解析式．
【解答】解：抛物线开口方向向上，且与轴的交点坐标为，
抛物线的解析式为．
故答案为．
【点评】本题考查了二次函数的性质，根据开口方向，对称轴以及与轴的交点坐标，确定，，的值是解题的关键．
12．（2019?漯河一模）若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是　　．
【考点】二次函数图象与系数的关系
【专题】二次函数图象及其性质；数据分析观念
【分析】可先求得抛物线的对称轴，再由条件可求得关于的不等式，可求得答案．
【解答】解：，
对称轴为，
，
抛物线开口向下，
在对称轴右侧随的增大而减小，
当时，随的增大而减小，
，解得，
故答案为：．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，由函数的增减性得到关于的不等式是解题的关键．
13．（2018秋?鸡西期末）抛物线的对称轴是　　．
【考点】：二次函数的性质
【专题】66：运算能力；535：二次函数图象及其性质
【分析】根据二次函数的对称轴是直线计算．
【解答】解：抛物线的对称轴是：，
故答案为：．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴是直线是解题的关键．
14．（2018秋?大兴区期末）已知抛物线经过，，对于任意，点均不在抛物线上．若，则的取值范围是　　．
【考点】：二次函数图象上点的坐标特征
【专题】535：二次函数图象及其性质
【分析】依照题意画出图形，由二次函数图象上点的坐标特征可得出当时或，再结合图形即可找出：当时，若点均不在抛物线上，则，此题得解．
【解答】解：依照题意，画出图形，如图所示．
当时，或，
当时，若点均不在抛物线上，则．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键．
三、解答题（共6小题）
15．（2020?利辛县模拟）已知抛物线．
（1）请用配方法求出顶点的坐标；
（2）如果该抛物线沿轴向左平移个单位后经过原点，求的值．
【考点】：二次函数的三种形式；：二次函数图象上点的坐标特征；：二次函数图象与几何变换；：二次函数的性质
【专题】535：二次函数图象及其性质
【分析】（1）直接利用配方法求出二次函数的顶点坐标即可；
（2）直接求出图象与轴的交点，进而得出平移规律．
【解答】解：（1）
，
故该函数的顶点坐标为：；
（2）当时，，
解得：，，
即图象与轴的交点坐标为：，，
故该抛物线沿轴向左平移3个单位后经过原点，
即．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确得出顶点坐标是解题关键．
16．（2019秋?河北期中）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）．如果、分别从、同时出发，那么经过多少秒，四边形的面积最小．
【考点】：二次函数的最值
【专题】536：二次函数的应用
【分析】设经过秒，四边形的面积最小，根据题意列出的面积关于的解析式，根据二次函数的性质求出的面积的最大值，得到答案．
【解答】解：设经过秒，四边形的面积最小
由题意得，，，
则，
的面积
，
当时，的面积的最大值是，
此时四边形的面积最小．
【点评】本题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键．
17．（2019?杭州模拟）已知二次函数．
（1）求出二次函数图象的对称轴；
（2）若该二次函数的图象经过点，且整数，满足，求二次函数的表达式；
（3）对于该二次函数图象上的两点，，，，设，当时，均有，请结合图象，直接写出的取值范围．
【考点】二次函数的图象；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识
【分析】（1）由对称轴公式即可求解；
（2）观察函数图象，在给定的范围内，找出对应关系，即可求得二次函数的表达式；
（3）分类讨论，利用函数图象，结合函数的对称性即可得出的取值范围．
【解答】解：（1）二次函数图象的对称轴是；
（2）该二次函数的图象经过点，
，
，
把代入，
得．
当时，，则．
而为整数，
，则，
二次函数的表达式为；
当时，，则．
而为整数，
或，
则对应的或，
二次函数的表达式为或；
（3）当时，均有，
二次函数的对称轴是直线，
，
①当时，有，即
，
，
，
，
该二次函数图象上的两点，，，，
设，当时，均有，
．
②当时，，即
，或，
，或
，
，
该二次函数图象上的两点，，，，
设，当时，均有，
比的最大值还大，或比的最小值还小，这是不存在的，
故时，的值不存在，
综上，当时，．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，求二次函数的对称轴，关键是灵活应用二次函数的性质解题．
18．（2019?海淀区一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和．
（1）求的值及、满足的关系式；
（2）若抛物线在、两点间从左到右上升，求的取值范围；
（3）结合函数图象判断，抛物线能否同时经过点、？若能，写出一个符合要求的抛物线的表达式和的值，若不能，请说明理由．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与系数的关系
【专题】二次函数图象及其性质；数形结合
【分析】（1）直接将两点代入解析式可求，以及，之间的关系式．
（2）根据抛物线的性质可知，当时，抛物线对称轴右边的随增大而增大，结合抛物线对称轴和两点位置列出不等式即可求解．，
（3）用反证法，先假设抛物线能同时经过点、得出抛物线对称轴是直线，由抛物线对称性质可知，经过点也必经过这样与已知在抛物线上矛盾，从而命题得到证明．
【解答】解：（1）抛物线经过点和．
，
，．
（2）由1可得：，
对称轴为直线，
抛物线在、两点间从左到右上升，当时，对称轴在点左侧，如图：
即：，解得：，
．、两点间从左到右上升，
当时，抛物线在、两点间从左到右上升，
（3）抛物线不能同时经过点、．
理由如下：
若抛物线同时经过点、．则对称轴为：，
由抛物线经过点可知抛物线经过，与抛物线经过相矛盾，
故：抛物线不能同时经过点、
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，灵活利用抛物线对称轴的公式是解题的关键．
19．（2018秋?西城区期末）小明利用函数与不等式的关系，对形如
为正整数）的不等式的解法进行了探究．
（1）下面是小明的探究过程，请补充完整：
①对于不等式，观察函数的图象可以得到如表格：
的范围
的符号
由表格可知不等式的解集为．
②对于不等式，观察函数的图象可以得到如表表格：
的范围
的符号
由表格可知不等式的解集为　或　．
③对于不等式，请根据已描出的点画出函数的图象；
观察函数的图象补全下面的表格：
的范围
的符号
　　
　　
由表格可知不等式的解集为　　．
小明将上述探究过程总结如下：对于解形如为正整数）的不等式，先将，，按从大到小的顺序排列，再划分的范围，然后通过列表格的办法，可以发现表格中的符号呈现一定的规律，利用这个规律可以求这样的不等式的解集．
（2）请你参考小明的方法，解决下列问题：
①不等式的解集为　　．
②不等式的解集为　　．
【考点】：二次函数的图象；：一次函数的图象；：一次函数与一元一次不等式
【专题】533：一次函数及其应用；524：一元一次不等式（组及应用；535：二次函数图象及其性质
【分析】（1）②根据表格中的数据可以直接写出不等式的解集；
③根据表格中的数据可以直接写出不等式的解集；
（2）①根据小明的方法，可以直接写出该不等式的解集；
②根据小明的方法，可以直接写出该不等式的解集．
【解答】解：（1）②由表格可知不等式的解集为或，
故答案为：或；
③图象如右图所示，
当时，，当时，，
由表格可知不等式的解集为或，
故答案为：，，或；
（2）①不等式的解集为或或，
故答案为：或或；
②不等式的解集为或且，
故答案为：或且
【点评】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象、一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，写出相应的不等式的解集．
20．（2018秋?丰台区期末）函数是二次函数．
（1）如果该二次函数的图象与轴的交点为，那么　　；
（2）在给定的坐标系中画出（1）中二次函数的图象．
【考点】：二次函数图象上点的坐标特征；：二次函数的图象
【专题】535：二次函数图象及其性质
【分析】（1）由抛物线与轴交于，将，代入抛物线解析式，即可求出的值；
（2）由（1）求得解析式，配方后找出顶点坐标，根据确定出的解析式列出相应的表格，由表格得出7个点的坐标，在平面直角坐标系中描出7个点，然后用平滑的曲线作出抛物线的图象．
【解答】解：（1）该函数的图象与轴交于点，
把，代入解析式得：，
解得，
故答案为；
（2）由（1）可知函数的解析式为，
，
顶点坐标为；
列表如下：
0
1
2
3
4
0
3
4
3
0
描点；
画图如下：
【点评】此题考查了待定系数法确定函数解析式，函数图象的画法，以及二次函数的图象上点的坐标特征．
考点卡片
1．一次函数的图象
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
2．正比例函数的图象
正比例函数的图象．
3．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
4．一次函数与一元一次不等式
（1）一次函数与一元一次不等式的关系
从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）
对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）．
当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜；
当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞．
5．二次函数的定义
（1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．
6．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
7．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
8．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；
当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点．
抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
9．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
10．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
11．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
12．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）；
②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标；
③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
13．二次函数的三种形式
二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）；
②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；
③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）．