2021-2022学年上学期初中数学人教新版九年级上册 22.2二次函数与一元二次方程 同步经典题精练（word版含解析）

2021-2022学年上学期初中数学人教新版九年级同步经典题精练之二次函数与一元二次方程
一、选择题（共8小题）
1．（2020秋?张店区期末）表给出了二次函数的自变量与函数值的部分对应值：那么方程的一个根的近似值可能是　　
1
1.1
1.2
1.3
1.4
0.04
0.59
1.16
A．1.08
B．1.18
C．1.28
D．1.38
2．（2020?滦州市模拟）二次函数的图象如图，对称轴为直线，若关于的一元二次方程为实数）在的范围内有解，则的取值范围是　　
A．
B．
C．
D．
3．（2020?丰泽区校级模拟）若二次函数的对称轴是直线，则关于的方程的解是　　
A．，
B．，
C．，
D．，
4．（2019秋?无棣县期末）若二次函数的图象经过点和，则方程的解为　　
A．，
B．，
C．，
D．，
5．（2019秋?泰安期中）二次函数的图象如图所示，则方程有实数根的条件为　　
A．
B．，
C．，
D．
6．（2019秋?邳州市期中）二次函数，、、为常数）中，函数与自变量的部分对应值如下表，则方程的一个解的范围是　　
3.17
3.18
3.19
0.02
A．
B．
C．
D．
7．（2019?襄州区模拟）二次函数的图象如图，则下列结论：①；②方程的两根之和大于0；③随的增大而增大；④．其中正确的是　　
A．①②③
B．②③④
C．①③④
D．①②④
8．（2019?城区模拟）小李同学在求一元二次方程的近似根时，先在直角坐标系中使用软件绘制了二次函数的图象（如图），接着观察图象与轴的交点和的位置，然后得出该一元二次方程两个根的范围是，，小李同学的这种方法主要运用的数学思想是　　
A．公理化
B．类比思想
C．数形结合
D．模型思想
二、填空题（共6小题）
9．（2020秋?平谷区期末）如图，抛物线的对称轴为，点，点是抛物线与轴的两个交点，若点的坐标为，则点的坐标为　　．
10．（2019?临颍县一模）已知二次函数的自变量和函数值的部分对应值如表所示：
0
1
2
5
0
则当时，的取值范围是　　．
11．（2018秋?偃师市期末）如图，这是二次函数的图象，根据图象可知，函数值小于0时的取值范围为　　．
12．（2018秋?马鞍山期末）已知二次函数，均为常数），当时，函数有最小值．甲乙丙三位同学继续研究，得出以下结论：甲：该函数的最小值为3；乙：是方程的一个根；丙：当时，．若这三个结论中只有一个是错误的，那么得出错误结论的同学是　　
13．（2018秋?和县期末）已知二次函数，，，，为常数），对称轴为直线，它的部分自变量与函数值的对应值如下表．请写出的一个正数解的近似值　　（精确到
0.92
0.38
14．（2018?孝感）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则方程的解是　　．
三、解答题（共4小题）
15．（2019秋?秀屿区期中）如图，抛物线与轴交于，两点，顶点为，交轴于．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）在抛物线的对称轴上是否存在着一点使得的值最小，若存在求出点的坐标．
16．（2019秋?思明区校级期中）我们可以通过下列步骤估计方程方程的根所在的范围．
第一步：画出函数的图象，发现函数图象是一条连续不断的曲线，且与轴的一个交点的横坐标在0，之间．
第二步：因为当时，，当时，，
所以可确定方程的一个根所在的范围是
第三步：通过取0和的平均数缩小所在的范围：
取，因为当时，．又因为当时，，所以
（1）请仿照第二步，通过运算验证方程的另一个根所在的范围是．
（2）在的基础上，重复应用第三步中取平均数的方法，将所在的范围缩小至，使得．
17．（2019秋?如东县期中）可以用如下方法求方程的实数根的范围：
利用函数的图象可知，当时，，当时，，所以方程有一个根在和0之间．
（1）参考上面的方法，求方程的另一个根在哪两个连续整数之间；
（2）若方程有一个根在0和1之间，求的取值范围．
18．（2019?九龙坡区校级三模）已知函数，其中，，请对该函数及其图象进行如下探究：
解析式探究：根据给定的条件，可以确定出该函数的解析式为：　　；
函数图象探究：①根据解析式，完成下表：
0
1
　　　　；
②根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出当时的函数图象；
结合画出的函数图象，解决问题：
①若，、，为图象上的两点，满足；则　　（用、、填空）；
②写出关于的方程的近似解（精确到．
2021-2022学年上学期初中数学人教新版九年级同步经典题精练之二次函数与一元二次方程
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题）
1．（2020秋?张店区期末）表给出了二次函数的自变量与函数值的部分对应值：那么方程的一个根的近似值可能是　　
1
1.1
1.2
1.3
1.4
0.04
0.59
1.16
A．1.08
B．1.18
C．1.28
D．1.38
【答案】
【考点】图象法求一元二次方程的近似根
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识
【分析】观察表中数据得到抛物线与轴的一个交点在和点之间，更靠近点，然后根据抛物线与轴的交点问题可得到方程一个根的近似值．
【解答】解：时，；时，；
抛物线与轴的一个交点在和点之间，更靠近点，
方程有一个根约为1.2．
故选：．
【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根：通过表中数据确定抛物线与轴的交点横坐标的范围，从而得到一元二次方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
2．（2020?滦州市模拟）二次函数的图象如图，对称轴为直线，若关于的一元二次方程为实数）在的范围内有解，则的取值范围是　　
A．
B．
C．
D．
【答案】
【考点】抛物线与轴的交点；图象法求一元二次方程的近似根
【专题】模型思想
【分析】如图，关于的一元二次方程的解就是抛物线与直线的交点的横坐标，利用图象法即可解决问题．
【解答】解：如图，关于的一元二次方程的解就是抛物线与直线的交点的横坐标，由题意可知：，
当时，，
当时，，
由图象可知关于的一元二次方程为实数）在的范围内有解，
直线在直线和直线之间包括直线，
．
故选：．
【点评】本题考查抛物线与轴的交点、一元二次方程等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，画出图象是解决问题的关键，属于中考选择题中的压轴题．
3．（2020?丰泽区校级模拟）若二次函数的对称轴是直线，则关于的方程的解是　　
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】
【考点】二次函数的性质；抛物线与轴的交点
【专题】函数思想
【分析】先根据二次函数的对称轴是直线求出的值，再把的值代入方程，求出的值即可．
【解答】解：二次函数的对称轴是直线，
，解得，
关于的方程可化为，即，
解得，．
故选：．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的对称轴方程是解答此题的关键．
4．（2019秋?无棣县期末）若二次函数的图象经过点和，则方程的解为　　
A．，
B．，
C．，
D．，
【考点】：二次函数图象上点的坐标特征；：抛物线与轴的交点
【专题】535：二次函数图象及其性质；68：模型思想
【分析】利用抛物线与轴的交点问题确定方程的解．
【解答】解：二次函数的图象经过点和，
方程的解为，．
故选：．
【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
5．（2019秋?泰安期中）二次函数的图象如图所示，则方程有实数根的条件为　　
A．
B．，
C．，
D．
【考点】：根的判别式；：抛物线与轴的交点
【专题】67：推理能力；535：二次函数图象及其性质
【分析】根据题意和题目中的函数图象，利用二次函数的性质、二次函数和一元二次方程的关系，可以得到的取值范围，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象可知，
二次函数的最小值是，
时，的最小值是，
方程有实数根，
，
故选：．
【点评】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
6．（2019秋?邳州市期中）二次函数，、、为常数）中，函数与自变量的部分对应值如下表，则方程的一个解的范围是　　
3.17
3.18
3.19
0.02
A．
B．
C．
D．
【考点】：图象法求一元二次方程的近似根；：抛物线与轴的交点；：二次函数的性质
【专题】535：二次函数图象及其性质；67：推理能力
【分析】根据函数的图象与轴的交点就是方程的根，再根据函数的增减性即可判断方程一个根的范围．
【解答】解：由表格中的数据看出和0.02更接近于0，
故应取对应的范围为：，
故选：．
【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，掌握函数的图象与轴的交点与方程的根的关系是解决此题的关键所在．
7．（2019?襄州区模拟）二次函数的图象如图，则下列结论：①；②方程的两根之和大于0；③随的增大而增大；④．其中正确的是　　
A．①②③
B．②③④
C．①③④
D．①②④
【考点】：二次函数图象与系数的关系；：抛物线与轴的交点
【分析】根据抛物线的图象开口向下，与轴的交点在轴的上方，求出、的正负，即可判断①；根据对称轴求出的符号即可判断②；图象被对称轴分成两部分，根据每部分图象的变化情况即可判断③；把代入抛物线，再根据图象的对称轴位置即可判断④．
【解答】解：由图象可知，抛物线开口向下，
，
又抛物线与轴的交点位于轴坐标轴上，
，
，故①正确；
对称轴，，
，
方程的两根之和等于，
，故②正确；
由图象可知：时，随着的增大而增大，
时，随着的增大而减少，故③错误；
令，
由图象可知：，故④正确；
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用，主要考查学生的观察能力和理解能力，二次函数系数符号与抛物线开口方向、对称轴、与轴的交点有关．
8．（2019?城区模拟）小李同学在求一元二次方程的近似根时，先在直角坐标系中使用软件绘制了二次函数的图象（如图），接着观察图象与轴的交点和的位置，然后得出该一元二次方程两个根的范围是，，小李同学的这种方法主要运用的数学思想是　　
A．公理化
B．类比思想
C．数形结合
D．模型思想
【考点】：图象法求一元二次方程的近似根
【分析】结合图象解答题目，属于数形结合的数学思想．
【解答】解：根据函数解析式得到函数图象，结合函数图象得到抛物线与轴交点的大体位置，属于数形结合的数学思想．
故选：．
【点评】本题考查了抛物线与轴的交点．求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标，令，即，解关于的一元二次方程即可求得交点横坐标．
二、填空题（共6小题）
9．（2020秋?平谷区期末）如图，抛物线的对称轴为，点，点是抛物线与轴的两个交点，若点的坐标为，则点的坐标为　　．
【考点】二次函数的性质；抛物线与轴的交点
【专题】二次函数图象及其性质
【分析】根据抛物线的对称轴结合点的横坐标，即可求出点的横坐标，此题得解．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线，点的坐标为，
点的横坐标为，
点的坐标为．
故答案为：．
【点评】本题考查了抛物线与轴的交点以及二次函数的性质，牢记抛物线的对称性是解题的关键．
10．（2019?临颍县一模）已知二次函数的自变量和函数值的部分对应值如表所示：
0
1
2
5
0
则当时，的取值范围是　　．
【考点】：二次函数的性质；：二次函数图象上点的坐标特征；：抛物线与轴的交点
【专题】535：二次函数图象及其性质；68：模型思想
【分析】直接利用图表中数据进而结合二次函数对称性分析得出对称轴以及的取值范围．
【解答】解：如图表所示，可得时，的值最小，则此二次函数图象的对称轴为直线：；
可得，当，以及时，，且图象开口向上，
则当时，的取值范围是：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，利用图表中数据分析得出对称轴是解题关键．
11．（2018秋?偃师市期末）如图，这是二次函数的图象，根据图象可知，函数值小于0时的取值范围为　　．
【考点】：二次函数的性质；：抛物线与轴的交点
【专题】17：推理填空题；535：二次函数图象及其性质
【分析】根据函数图象和二次函数的性质可以直接写出函数值小于0时的取值范围．
【解答】解：由图象可知，
抛物线与轴的两个交点时，，抛物线开口向上，
函数值小于0时的取值范围为，
故答案为：．
【点评】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
12．（2018秋?马鞍山期末）已知二次函数，均为常数），当时，函数有最小值．甲乙丙三位同学继续研究，得出以下结论：甲：该函数的最小值为3；乙：是方程的一个根；丙：当时，．若这三个结论中只有一个是错误的，那么得出错误结论的同学是　乙　
【考点】：二次函数的最值；：抛物线与轴的交点；：二次函数图象上点的坐标特征
【专题】535：二次函数图象及其性质
【分析】设抛物线解析式为，先假若甲的结论正确，则利用顶点式表示出抛物线解析式为，接着利用此解析式对乙、丙的结论进行判断；然后假设乙的结论正确，则抛物线解析式为，接着利用此解析式对甲、丙的结论进行判断．
【解答】解：当时，函数有最小值，
抛物线解析式为，
若甲的结论正确，则抛物线解析式为，
当时，，此时乙的结论错误；
当时，，此时丙的结论正确；
若乙的结论正确，把代入得，解得，此时甲的结论错误；
当时，，此时丙的结论错误．
故答案为乙．
【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
13．（2018秋?和县期末）已知二次函数，，，，为常数），对称轴为直线，它的部分自变量与函数值的对应值如下表．请写出的一个正数解的近似值　2.2　（精确到
0.92
0.38
【考点】：二次函数的性质；：图象法求一元二次方程的近似根
【专题】535：二次函数图象及其性质；67：推理能力
【分析】根据表格数据找出的值接近0的的值，再根据二次函数的对称性列式求解即可．
【解答】解：由表可知，当时，的值最接近0，
所以，方程一个解的近似值为，
设正数解的近似值为，
对称轴为直线，
，
解得．
故答案为：2.2．（答案不唯一，与其相近即可）．
【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，主要利用了二次函数的对称性，仔细观察表中数据确定出值最接近0的的值是解题的关键．
14．（2018?孝感）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则方程的解是　，　．
【考点】抛物线与轴的交点；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征
【专题】二次函数图象及其性质；常规题型
【分析】根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组的解为，，于是易得关于的方程的解．
【解答】解：抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，
方程组的解为，，
即关于的方程的解为，．
所以方程的解是，
故答案为，．
【点评】本题考查抛物线与轴交点、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题，属于中考常考题型．
三、解答题（共4小题）
15．（2019秋?秀屿区期中）如图，抛物线与轴交于，两点，顶点为，交轴于．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）在抛物线的对称轴上是否存在着一点使得的值最小，若存在求出点的坐标．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与轴的交点；轴对称最短路线问题；待定系数法求二次函数解析式
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识
【分析】（1）利用交点式写出抛物线解析式；
（2）利用配方法得到抛物线的对称轴为直线，再确定，连接交直线于，如图，利用两点之间线段最短判断此时的值最小，然后求出直线的解析式即可得到点的坐标．
【解答】解：（1）抛物线解析式为，
即；
（2）存在．
，
抛物线的对称轴为直线，
当时，，则，
连接交直线于，如图，
点与点关于直线对称，
，
，
此时的值最小，
设直线的解析式为，
把，代入得，解得，
直线的解析式为，
当时，，
满足条件的点的坐标为．
【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．也考查了最短路径问题．
16．（2019秋?思明区校级期中）我们可以通过下列步骤估计方程方程的根所在的范围．
第一步：画出函数的图象，发现函数图象是一条连续不断的曲线，且与轴的一个交点的横坐标在0，之间．
第二步：因为当时，，当时，，
所以可确定方程的一个根所在的范围是
第三步：通过取0和的平均数缩小所在的范围：
取，因为当时，．又因为当时，，所以
（1）请仿照第二步，通过运算验证方程的另一个根所在的范围是．
（2）在的基础上，重复应用第三步中取平均数的方法，将所在的范围缩小至，使得．
【考点】根的判别式；根与系数的关系；图象法求一元二次方程的近似根
【专题】一元二次方程及应用；二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力
【分析】（1）计算和时，的值，确定其所在范围是；
（2）先根据第三步2和3的平均数确定，计算时的值，得以，同理再求2.5和3的平均数为2.75，计算时的值，从而得结论．
【解答】解：（1）因为当时，，当时，，
所以可确定方程的一个根所在的范围是；
（2）取，因为当时，．又因为当时，，所以，
取，因为当时，．又因为当时，，所以，
因为．
取，因为当时，．又因为当时，，所以，
因为，
所以即为所求的范围
【点评】本题为阅读理解题，主要考查利用图象法求一元二次方程的近似值、二次函数图象上的点的坐标等知识的综合应用．在解题时注意对题目中所给知识的正确理解，考查了阅读所给材料的理解和运用的能力，运用类比的方法，有一定的难度，注意数形结合、
17．（2019秋?如东县期中）可以用如下方法求方程的实数根的范围：
利用函数的图象可知，当时，，当时，，所以方程有一个根在和0之间．
（1）参考上面的方法，求方程的另一个根在哪两个连续整数之间；
（2）若方程有一个根在0和1之间，求的取值范围．
【考点】：二次函数的性质；：抛物线与轴的交点；：图象法求一元二次方程的近似根
【专题】535：二次函数图象及其性质；66：运算能力；67：推理能力
【分析】（1）计算和时，的值，确定其所在范围是；
（2）根据题意得到，解得即可．
【解答】解：（1）利用函数的图象可知，
当时，，当时，，
所以方程的另一个根在2和3之间；
（2）函数的图象的对称轴为直线，
由题意，得，
解得．
【点评】本题主要考查利用图象法求一元二次方程的近似值、二次函数图象上的点的坐标等知识的综合应用．
18．（2019?九龙坡区校级三模）已知函数，其中，，请对该函数及其图象进行如下探究：
解析式探究：根据给定的条件，可以确定出该函数的解析式为：　　；
函数图象探究：①根据解析式，完成下表：
0
1
　　　　；
②根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出当时的函数图象；
结合画出的函数图象，解决问题：
①若，、，为图象上的两点，满足；则　　（用、、填空）；
②写出关于的方程的近似解（精确到．
【考点】：图象法求一元二次方程的近似根；：一次函数图象上点的坐标特征；：一次函数的图象
【专题】533：一次函数及其应用
【分析】（1）解析式探究：将已知条件代入即可求得该函数解析式；
①将和分别代入函数解析式求出对应的数值；
②在平面直角坐标系中描点，用平滑曲线从左到右顺次连接各点，画出图象；
（2）解决问题：
①观察图象，得出结论；
②画出直线，结合图象即可求得．
【解答】解：（1），，
，
该函数解析式为，
故答案为：，
①当时，，当时，，
故，，
故答案为，；
②根据上表在平面直角坐标系中描点，画出当时的函数图象．
（2）①若，、，为图象上的两点，满足；由图象可知则；
故答案为；
②由图象可知关于的方程的近似解为2.4．
【点评】本题考查了一次函数的图象与性质，图象法求一元二次方程的近似值，列表，画函数图象，观察函数图象．
考点卡片
1．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
2．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
3．一次函数的图象
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
4．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
5．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
6．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；
当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点．
抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
7．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
8．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
9．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）；
②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标；
③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
10．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
11．图象法求一元二次方程的近似根
利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
12．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．