2021-2022学年上学期初中数学人教新版九年级上册 第二十五章 概率初步 同步经典题精练（word版含解析）

2021-2022学年上学期初中数学人教新版九年级同步经典题精练之概率初步
一、选择题（共7小题）
1．（2021?龙岩模拟）如图是超市的两个摇奖转盘，只有当两个转盘指针同时指在偶数上时才能获一等奖，则摇奖人中一等奖的概率是　　
A．
B．
C．
D．
2．（2021?龙湾区模拟）一个不透明的袋子中只装有5个红球，从中随机摸出一个球是黑球　　
A．属于随机事件
B．可能性大小为
C．属于不可能事件
D．是必然事件
3．（2021?惠州一模）在六张卡片上分别写有，，1.5，5，0，六个数，从中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是　　
A．
B．
C．
D．
4．（2020?任城区一模）如图，由四个直角边分别是6和8的全等直角三角形拼成的“赵爽弦图”，随机往大正方形区域内投针一次，则针扎在小正方形部分的概率是　　
A．
B．
C．
D．
5．（2019?金乡县模拟）下列事件中，是必然事件的是　　
A．掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上
B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯
C．如果，那么
D．将花生油滴在水中，油会浮在水面上
6．（2018?阜新）如图所示，阴影是两个相同菱形的重合部分，假设可以随机在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是　　
A．
B．
C．
D．
7．（2018?达州）下列说法正确的是　　
A．“打开电视机，正在播放《达州新闻》”是必然事件
B．天气预报“明天降水概率”是指明天有一半的时间会下雨”
C．甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是，，则甲的成绩更稳定
D．数据6，6，7，7，8的中位数与众数均为7
二、填空题（共4小题）
8．（2020?开福区校级一模）小明和小红玩抛硬币游戏，连续抛两次，小明说：“如果两次都是正面，那么你赢；如果两次是一正一反，则我赢．”判断该游戏　　（填“公平”或“不公平”
．
9．（2019春?江宁区期中）3月12日是中国的植树节，如图是某种幼树在移植过程中成活率的统计图，估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为　　（结果精确到．
10．（2019?西城区一模）小芸一家计划去某城市旅行，需要做自由行的攻略，父母给她分配了一项任务：借助网络评价选取该城市的一家餐厅用餐．小芸根据家人的喜好，选择了甲、乙、丙三家餐厅，对每家餐厅随机选取了1000条网络评价，统计如下：
等级评价条数餐厅
五星
四星
三星
二星
一星
合计
甲
538
210
96
129
27
1000
乙
460
187
154
169
30
1000
丙
486
388
81
13
32
1000
（说明：网上对于餐厅的综合评价从高到低，依次为五星、四星、三星、二星和一星）小芸选择在　　（填“甲”、“乙”或“丙”
餐厅用餐，能获得良好用餐体验（即评价不低于四星）的可能性最大．
11．（2019?沙坪坝区模拟）某校选修课深受学生喜爱，小重和小庆从“川剧”、“古筝”和“蜀绣”中任选一门学习，两人恰好都选到“川剧”的概率是　　．
12．（2018秋?徽县期末）下列事件中：①太阳从西边出来；②树上的苹果飞到月球上；③普通玻璃从三楼摔到一楼的水泥地面上碎了；④小颖的数学测试得了100分．
随机事件为　
　；必然事件为　
　；不可能事件为　
　（只填序号）
三、解答题（共6小题）
13．（2020秋?中站区期末）甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘、分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示．游戏规定：转动两个转盘停止后，指针必须指到某一数字，否则重转．
（1）请用树状图或列表法列出所有可能的结果；
（2）若指针所指的两个数字都是方程的解时，则甲获胜；若指针所指的两个数字都不是方程的解时，则乙获胜，问他们两人谁获胜的概率大？请分析说明．
14．（2019春?沂源县期中）一盒乒乓球中共有6只，其中2只次品，4只正品，正品和次品大小和形状完全相同，每次任取3只，出现了下列事件：（1）3只正品；（2）至少有一只次品；（3）3只次品；（4）至少有一只正品
指出这些事件分别是什么事件．
15．（2019春?灵石县期末）在学习了“求简单随机事件发生的可能性大小”知识后，小敏，小聪，小丽三人分别编写了一道有关随机事件的试题并进行了解答．小敏，小聪，小丽编写的试题分别是下面的（1）（2）（3）．
（1）一个不透明的盒子里装有4个红球，2个白球，除颜色外其它都相同，搅均后，从中随意摸出一个球，摸出红球的可能性是多少？
解：（摸出一个红球）．
（2）口袋里装有如图所示的1角硬币2枚、5角硬币2枚、1
元硬币1枚．搅均后，从中随意摸出一枚硬币，摸出1角硬币的可能性是多少？
解：（摸出1角的硬币）．
（3）如图，是一个转盘，盘面上有5个全等的扇形区域，每个区域显示有不同的颜色，轻轻转动转盘，当转盘停止后，指针对准红色区域的可能性是多少？
解：（指针对准红色区域）．
根据以上材料回答问题：
小敏，小聪，小丽三人中，谁编写的试题及解答是正确的，并简要说明其他两人所编试题或解答的不足之处．
16．（2019?商南县一模）小明和小亮玩一个游戏：取三张大小、质地都相同的卡片，上面分别标有数字2、3、4（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下．小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和．
（1）请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为6的概率．
（2）如果和为奇数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜．你认为这个游戏规则对双方公平吗？做出判断，并说明理由．
17．（2019?南安市模拟）在“书香校园”活动中，某校为了解学生家庭藏书情况，随机抽取本校部分学生进行调查，并绘制成部分统计图表如下：
类别
家庭藏书本
学生人数
20
50
66
根据以上信息，解答下列问题：
（1）该调查的样本容量为　　，　　；
（2）随机抽取一位学生进行调查，刚好抽到类学生的概率是　　；
（3）若该校有2000名学生，请估计全校学生中家庭藏书不少于76本的人数．
18．（2018春?高邮市期末）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个．
（1）先从袋子中取出个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件．请完成下列表格：
事件
必然事件
随机事件
的值
　
　
　
　
（2）先从袋子中取出个红球，再放入个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个球是黑球的可能性大小是，求的值．
2021-2022学年上学期初中数学人教新版九年级同步经典题精练之概率初步
参考答案与试题解析
一、选择题（共7小题）
1．（2021?龙岩模拟）如图是超市的两个摇奖转盘，只有当两个转盘指针同时指在偶数上时才能获一等奖，则摇奖人中一等奖的概率是　　
A．
B．
C．
D．
【答案】
【考点】列表法与树状图法
【专题】统计与概率；数据分析观念
【分析】方法一：根据题意和图形，可以求得摇奖人中一等奖的概率，本题得以解决．
方法二：根据题意和图形，可以画出相应的树状图，尤其是要注意第二个扇形3和4对应的圆心角不同，4对应的是3的2倍，相当于有1个3，两个4．
【解答】解：方法一：由图可得，
摇奖人中一等奖的概率是：，
故选：．
方法二：
在第二个扇形统计图中，4对应的圆心角是，相当于4出现两次，3出现一次，
树状图如下所示：
由图可知，一共有6种可能性，其中两次都是都是偶数的有2种可能性，故摇奖人中一等奖的概率是，
故选：．
【点评】本题主要考查概率问题，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
2．（2021?龙湾区模拟）一个不透明的袋子中只装有5个红球，从中随机摸出一个球是黑球　　
A．属于随机事件
B．可能性大小为
C．属于不可能事件
D．是必然事件
【答案】
【考点】随机事件；可能性的大小
【专题】概率及其应用；数据分析观念
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．
【解答】解：一个不透明的袋子中只装有5个红球，从中随机摸出一个球是黑球属于不可能事件；
故选：．
【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．（2021?惠州一模）在六张卡片上分别写有，，1.5，5，0，六个数，从中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是　　
A．
B．
C．
D．
【答案】
【考点】无理数；概率公式
【分析】先找出无理数，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：六张卡片上分别写有，，1.5，5，0，六个数，无理数的是，，
从中任意抽取一张卡片上的数为无理数的概率是：．
故选：．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
4．（2020?任城区一模）如图，由四个直角边分别是6和8的全等直角三角形拼成的“赵爽弦图”，随机往大正方形区域内投针一次，则针扎在小正方形部分的概率是　　
A．
B．
C．
D．
【考点】：几何概率；：勾股定理的证明
【专题】543：概率及其应用
【分析】先利用勾股定理计算的长，然后用小正方形的面积除以大正方形的面积即可．
【解答】解：，
所以小正方形的面积，
所以针扎在小正方形部分的概率．
故选：．
【点评】本题考查了几何概率：某事件的概率相应事件所占的面积与总面积之比．也考查了勾股定理．
5．（2019?金乡县模拟）下列事件中，是必然事件的是　　
A．掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上
B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯
C．如果，那么
D．将花生油滴在水中，油会浮在水面上
【考点】：随机事件
【专题】65：数据分析观念；543：概率及其应用
【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．根据定义即可解决．
【解答】解：．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上是随机事件．
．车辆随机到达一个路口，遇到红灯是随机事件；
．如果，那么，也可能是，此事件是随机事件；
．将花生油滴在水中，油会浮在水面上是必然事件；
故选：．
【点评】该题考查的是对必然事件的概念的理解；解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
6．（2018?阜新）如图所示，阴影是两个相同菱形的重合部分，假设可以随机在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是　　
A．
B．
C．
D．
【考点】：菱形的性质；：几何概率
【专题】1：常规题型；543：概率及其应用
【分析】先设阴影部分的面积是，得出整个图形的面积是，再根据几何概率的求法即可得出答案．
【解答】解：设阴影部分的面积是，则整个图形的面积是，
则这个点取在阴影部分的概率是，
故选：．
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
7．（2018?达州）下列说法正确的是　　
A．“打开电视机，正在播放《达州新闻》”是必然事件
B．天气预报“明天降水概率”是指明天有一半的时间会下雨”
C．甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是，，则甲的成绩更稳定
D．数据6，6，7，7，8的中位数与众数均为7
【考点】：算术平均数；：中位数；：众数；：方差；：随机事件；：概率的意义
【专题】1：常规题型
【分析】直接利用随机事件以及众数、中位数的定义以及方差的定义分别分析得出答案．
【解答】解：、打开电视机，正在播放《达州新闻》”是随机事件，故此选项错误；
、天气预报“明天降水概率，是指明天有下雨的可能，故此选项错误；
、甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是，，则甲的成绩更稳定，正确；
、数据6，6，7，7，8的中位数为7，众数为：6和7，故此选项错误；
故选：．
【点评】此题主要考查了随机事件以及众数、中位数的定义以及方差的定义，正确把握相关定义是解题关键．
二、填空题（共4小题）
8．（2020?开福区校级一模）小明和小红玩抛硬币游戏，连续抛两次，小明说：“如果两次都是正面，那么你赢；如果两次是一正一反，则我赢．”判断该游戏　不公平　（填“公平”或“不公平”
．
【考点】：列表法与树状图法；：游戏公平性
【专题】67：推理能力；543：概率及其应用
【分析】游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．
【解答】解：所有可能出现的结果如下表所示：
正
反
正
（正，正）
（正，反）
反
（反，正）
反，反）
因为抛两枚硬币，所有机会均等的结果为：正正，正反，反正，反反，
所以出现两个正面的概率为，一正一反的概率为，
因为二者概率不等，所以游戏不公平．
故答案为：不公平．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
9．（2019春?江宁区期中）3月12日是中国的植树节，如图是某种幼树在移植过程中成活率的统计图，估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为　0.88　（结果精确到．
【考点】：利用频率估计概率
【专题】542：统计的应用
【分析】根据概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率解答即可．
【解答】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率
这种幼树移植成活率的概率约为0.88．
故答案为：0.88．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．
10．（2019?西城区一模）小芸一家计划去某城市旅行，需要做自由行的攻略，父母给她分配了一项任务：借助网络评价选取该城市的一家餐厅用餐．小芸根据家人的喜好，选择了甲、乙、丙三家餐厅，对每家餐厅随机选取了1000条网络评价，统计如下：
等级评价条数餐厅
五星
四星
三星
二星
一星
合计
甲
538
210
96
129
27
1000
乙
460
187
154
169
30
1000
丙
486
388
81
13
32
1000
（说明：网上对于餐厅的综合评价从高到低，依次为五星、四星、三星、二星和一星）小芸选择在　丙　（填“甲”、“乙”或“丙”
餐厅用餐，能获得良好用餐体验（即评价不低于四星）的可能性最大．
【考点】：可能性的大小；：统计表
【专题】543：概率及其应用
【分析】不低于四星，即四星与五星的和居多为符合题意的餐厅．
【解答】解：不低于四星，即比较四星和五星的和，丙最多．
故答案是：丙．
【点评】考查了可能性的大小和统计表．解题的关键是将问题转化为比较四星和五星的和的多少．
11．（2019?沙坪坝区模拟）某校选修课深受学生喜爱，小重和小庆从“川剧”、“古筝”和“蜀绣”中任选一门学习，两人恰好都选到“川剧”的概率是　　．
【考点】：列表法与树状图法
【专题】543：概率及其应用
【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好都选到“川剧”的结果数，然后概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两人恰好都选到“川剧”的结果数为1
所以两人恰好都选到“川剧”的概率
故答案为．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．
12．（2018秋?徽县期末）下列事件中：①太阳从西边出来；②树上的苹果飞到月球上；③普通玻璃从三楼摔到一楼的水泥地面上碎了；④小颖的数学测试得了100分．
随机事件为　④　；必然事件为　
　；不可能事件为　
　（只填序号）
【考点】：随机事件
【分析】确定事件包括必然事件和不可能事件：
必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．如③；
不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．如①②；
随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．如④．
【解答】解：根据分析，知
随机事件为④；
必然事件为③；
不可能事件为①②．
【点评】理解概念是解决这类基础题的主要方法．
三、解答题（共6小题）
13．（2020秋?中站区期末）甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘、分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示．游戏规定：转动两个转盘停止后，指针必须指到某一数字，否则重转．
（1）请用树状图或列表法列出所有可能的结果；
（2）若指针所指的两个数字都是方程的解时，则甲获胜；若指针所指的两个数字都不是方程的解时，则乙获胜，问他们两人谁获胜的概率大？请分析说明．
【考点】一元二次方程的解；列表法与树状图法
【专题】常规题型
【分析】（1）首先根据题意画出树状图或列表，然后由表格或树状图求得所有等可能的结果；
（2）首先求得方程的解，由概率公式即可求得甲获胜与乙获胜的概率，继而求得他们两人谁获胜的概率大．
【解答】解：（1）列表如下：
1
2
3
4
2
3
4
（2）因为，方程的解是：，，
所以，从上表中可看出，指针所指的两个数字有12种等可能的结果，其中两个数字都是方程的解有4次，两个数字都不是方程的解有2次，
所以，（甲胜），（乙胜），
所以，此游戏甲获胜的概率大．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概以及解一元二次方程．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．
14．（2019春?沂源县期中）一盒乒乓球中共有6只，其中2只次品，4只正品，正品和次品大小和形状完全相同，每次任取3只，出现了下列事件：（1）3只正品；（2）至少有一只次品；（3）3只次品；（4）至少有一只正品
指出这些事件分别是什么事件．
【考点】：随机事件
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．
【解答】解：（1），（2）可能发生，也可能不发生，是随机事件．
（3）一定不会发生，是不可能事件．
（4）一定发生，是必然事件．
【点评】解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
15．（2019春?灵石县期末）在学习了“求简单随机事件发生的可能性大小”知识后，小敏，小聪，小丽三人分别编写了一道有关随机事件的试题并进行了解答．小敏，小聪，小丽编写的试题分别是下面的（1）（2）（3）．
（1）一个不透明的盒子里装有4个红球，2个白球，除颜色外其它都相同，搅均后，从中随意摸出一个球，摸出红球的可能性是多少？
解：（摸出一个红球）．
（2）口袋里装有如图所示的1角硬币2枚、5角硬币2枚、1
元硬币1枚．搅均后，从中随意摸出一枚硬币，摸出1角硬币的可能性是多少？
解：（摸出1角的硬币）．
（3）如图，是一个转盘，盘面上有5个全等的扇形区域，每个区域显示有不同的颜色，轻轻转动转盘，当转盘停止后，指针对准红色区域的可能性是多少？
解：（指针对准红色区域）．
根据以上材料回答问题：
小敏，小聪，小丽三人中，谁编写的试题及解答是正确的，并简要说明其他两人所编试题或解答的不足之处．
【考点】：随机事件；：概率的意义
【专题】1：常规题型
【分析】直接利用概率的意义分别分析得出答案．
【解答】答：第一个小敏的试题及答案是正确的．
小聪的试题中，因为1角、5角、1元的硬币大小不同，不符合每个结果发生的可能性都相同的条件，因此不能用上述求随机事件可能性的方法解答．
小丽的试题中，因为轻轻转动转盘时，指针指向每个区域机会不等，不具有随机性，也不符合每个结果发生的可能性都相同的条件，因此也不能用上述解答方法解答．
【点评】此题主要考查了概率的意义，正确理解概率的意义是解题关键．
16．（2019?商南县一模）小明和小亮玩一个游戏：取三张大小、质地都相同的卡片，上面分别标有数字2、3、4（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下．小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和．
（1）请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为6的概率．
（2）如果和为奇数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜．你认为这个游戏规则对双方公平吗？做出判断，并说明理由．
【考点】列表法与树状图法；游戏公平性
【专题】概率及其应用；常规题型
【分析】（1）首先根据题意列表，然后根据表求得所有等可能的结果与两数和为6的情况，再利用概率公式求解即可；
（2）分别求出和为奇数、和为偶数的概率，即可得出游戏的公平性．
【解答】解：（1）列表如下：
2
3
4
2
3
4
由表可知，总共有9种结果，其中和为6的有3种，
则这两数和为6的概率；
（2）这个游戏规则对双方不公平．
理由：因为（和为奇数），（和为偶数），而，
所以这个游戏规则对双方是不公平的．
【点评】此题考查了列表法求概率．注意树状图与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的情况．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
17．（2019?南安市模拟）在“书香校园”活动中，某校为了解学生家庭藏书情况，随机抽取本校部分学生进行调查，并绘制成部分统计图表如下：
类别
家庭藏书本
学生人数
20
50
66
根据以上信息，解答下列问题：
（1）该调查的样本容量为　200　，　　；
（2）随机抽取一位学生进行调查，刚好抽到类学生的概率是　　；
（3）若该校有2000名学生，请估计全校学生中家庭藏书不少于76本的人数．
【考点】：总体、个体、样本、样本容量；：用样本估计总体；：概率公式；：频数（率分布表
【专题】541：数据的收集与整理
【分析】（1）调查的样本容量为（人，（人；
（2）刚好抽到类学生的概率是；
（3）全校学生中家庭藏书不少于76本的人数：（人．
【解答】解：（1）调查的样本容量为（人，
（人，
故答案为200，64；
（2）刚好抽到类学生的概率是，
故答案为
0.1；
（3）全校学生中家庭藏书不少于76本的人数：（人．
答：全校学生中家庭藏书不少于76本的人数为660人．
【点评】本题考查了统计图与概率，熟练掌握条形统计图与扇形统计图是解题的关键．
18．（2018春?高邮市期末）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个．
（1）先从袋子中取出个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件．请完成下列表格：
事件
必然事件
随机事件
的值
　4　
　
　
（2）先从袋子中取出个红球，再放入个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个球是黑球的可能性大小是，求的值．
【考点】：随机事件；：可能性的大小
【专题】1：常规题型；543：概率及其应用
【分析】（1）当袋子中全部为黑球时，摸出黑球才是必然事件，否则就是随机事件；
（2）利用概率公式列出方程，求得的值即可．
【解答】解：（1）当袋子中全为黑球，即摸出4个红球时，摸到黑球是必然事件；
，当摸出2个或3个红球时，摸到黑球为随机事件，
事件
必然事件
随机事件
的值
4
2、3
故答案为：4；2、3．
（2）依题意，得，
解得，
所以的值为2．
【点评】本题考查的是概率的求法．如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率（A）．
考点卡片
1．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．
如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
　　比如4＝4.0，13＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2＝1.414213562．
　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303
003
000
300
003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
2．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
3．勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
4．菱形的性质
（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
（2）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（3）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）
5．总体、个体、样本、样本容量
（1）定义
①总体：我们把所要考察的对象的全体叫做总体；
②个体：把组成总体的每一个考察对象叫做个体；
③样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；
④样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量．
（2）关于样本容量
样本容量只是个数字，没有单位．
6．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差
）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
7．频数（率）分布表
1、在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．
2、列频率分布表的步骤：
　　（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．
　　（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．
　　（3）将数据分组．
　　（4）列频率分布表．
8．统计表
统计表可以将大量数据的分类结果清晰，一目了然地表达出来．
统计调查所得的原始资料，经过整理，得到说明社会现象及其发展过程的数据，把这些数据按一定的顺序排列在表格中，就形成“统计表”．统计表是表现数字资料整理结果的最常用的一种表格．
统计表是由纵横交叉线条所绘制的表格来表现统计资料的一种形式．
9．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则＝（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
10．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
11．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
12．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
13．随机事件
（1）确定事件
事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
（2）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1；
②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0；
③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．
14．可能性的大小
随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：
（1）理论计算又分为如下两种情况：
第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算．
（2）实验估算又分为如下两种情况：
第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率．
第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验．
15．概率的意义
（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p．
（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．
（3）概率取值范围：0≤p≤1．
（4）必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0．
（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．
（5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题．
16．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）＝．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
17．几何概率
所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即
P＝g的测度G的测度
简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
18．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
19．游戏公平性
（1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
（2）概率＝．
20．利用频率估计概率
（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．