【备考2022】近十年（2012-2021）全国各地高考数学真题分类汇编 数列大题（含解析）

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2012-2021十年高考数学真题分类精编
数列大题
（精解精析）
一、解答题
1．(2021年高考全国乙卷理科)记为数列的前项和，为数列的前项积，已知
．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求的通项公式．
2.(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
(1)求的公比；
(2)若，求数列的前项和．
3.(2019·天津·文)设是等差数列，是等比数列，公比大于0；已知，，.
(1)求和的通项公式；
(2)设数列满足，求.
4.(2019·全国2·文)已知是各项均为正数的等比数列，，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
5.(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知数列和满足，，
，．
(1)证明：是等比数列，是等差数列；
(2)求和的通项公式．
6.(2018·天津·文)设是等差数列，其前项和为；是等比数列，公比大于0，其前项和为.已知，，，.
(1)求和；
(2)若，求正整数的值.
7.(2018·全国1·文)已知数列满足，.设
(1)求；
(2)判断数列是否为等比数列，并说明理由；
(3)求的通项公式.
8.(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)等比数列中，，
(1)求的通项公式；
(2)记为的前项和，若，求．
9.(2018·北京·文T15)设是等差数列，且，
(1)求的通项公式；
(2)求
10.(2017·全国1·文)设为等比数列的前项和，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)求，并判断是否成等差数列.
11.(2017·全国2·文)已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，，
，.
(1)若，求的通项公式；
(2)若，求.
12.(2017·全国3·文)设数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
13.(2017·天津·理)已知为等差数列，前项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，
，，.
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前项和.
14.(2017·山东·理)已知是各项均为正数的等比数列，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点，…得到折线，求由该折线与直线，，所围成的区域的面积.
15.(2017·山东·文)已知是各项均为正数的等比数列，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)为各项非零的等差数列，其前项和为.已知，求数列的前
项和.
16.(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)为等差数列的前项和，且；记，其中表示不超过的最大整数，如，
(I)求；
(II)求数列的前1000项和．
17.(2016·全国2·文)等差数列中，，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数
18.(2016·天津·文)已知是等比数列，前项和为，且，.
(1)求的通项公式；
(2)若对任意的是和的等差中项，求数列的前项和.
19.(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知数列的前项和，其中.
(Ⅰ)证明是等比数列，并求其通项公式；
(Ⅱ)若，求.
20.(2016·浙江·文)设数列的前项和为.已知，，
(1)求通项公式；
(2)求数列的前项和.
21.(2016·北京·文)已知是等差数列，是等比数列，且，，，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
22.(2016·山东·理文)已知数列的前项和，是等差数列，且
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
23.(2015高考数学新课标1理科)为数列的前项和．已知，
(Ⅰ)求的通项公式：
(Ⅱ)设，求数列的前项和
24.(2015·北京·文)已知等差数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)设等比数列满足，.问:与数列的第几项相等?
25.(2015·重庆·文)已知等差数列满足，前3项和
(1)求的通项公式；
(2)设等比数列满足，，求的前项和.
26.(2015·福建·文)等差数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求的值.
27.(2015·安徽·文)已知数列是递增的等比数列，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的前项和，，求数列的前项和.
28.(2015·山东·文)已知数列是首项为正数的等差数列，数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
29.(2015·浙江·文)若数列、满足，，，
.
(1)求与；
(2)记数列的前项和为，求.
30.(2015·湖北·文)设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，已知
，，，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)当时，记，求数列的前项和.
31.(2014·全国1·理)已知数列的前项和为，，，，其中为常数.
(1)证明:；
(2)是否存在，使得为等差数列?并说明理由.
32.(2014高考数学课标2理科)已知数列满足，．
(Ⅰ)证明是等比数列，并求的通项公式；
(Ⅱ)证明：
33.(2014·福建·文)在等比数列中，，.
(1)求；
(2)设，求数列的前项和.
34.(2014·湖南·文)已知数列的前项和，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
35.(2014·山东·理)已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
36.(2014·安徽·文)数列满足，，
(1)证明:数列是等差数列；
(2)设，求数列的前项和.
37.(2014·全国·文)数列满足，，.
(1)设，证明是等差数列；
(2)求的通项公式.
38.(2013·全国2·文)已知等差数列的公差不为零，，且成等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)求.
39.(2013·全国1·文)已知等差数列的前项和满足，.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
40.(2012·湖北)已知等差数列前三项的和为，前三项的积为8.
(1)求等差数列的通项公式；
(2)若成等比数列，求数列的前项和.
二．参考答案
1.解析：（1）由已知得，且，，
取，由得，
∵为数列前项积，∴，，
所以，
由于，所以，即，
所以数列是以为首项，以为公差等差数列；
（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
，，
当时，，
当时，，显然对于不成立，
∴
2.解析：（1）设的公比为，为的等差中项，
，
；
（2）设前项和为，，
，①
，②
①②得，
，
．
3.解析：(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为.
依题意，得，解得
故，.
(2)
记，
①
则，
②
②-①得，.
所以
4.解析：(1)设的公比为，由题设得，解得(舍去)或.
因此的通项公式为.
(2)由(1)得，
∴数列的前项和为.
5.解析：(1)由题意可知，，，，
所以，即，
所以数列是首项为1、公比为的等比数列，，
因为，
所以，数列是首项1、公差为2的等差数列，
(2)由(1)可知，，，
所以，.
6.解析：(1)设等比数列的公比为.由，，可得；因为
，可得，故，所以.
设等差数列的公差为.由，可得.由，可得
，从而，，故.所以.
(2)由(1)，有.
由，可得，
整理得，解得(舍)，或.
所以的值为4.
7.解析：(1)由条件可得
将代入得，，而，所以.
将代入得，，所以
从而，，.
(2)是首项为1，公比为2的等比数列.
由条件可得，即，又，所以是首项为1，公比为2的等比数列；
(3)由(2)可得，所以.
8.解析：（1）设的公比为，由题设得
由已知得，解得（舍去），或
故或
（2）若，则，由，得，此方程没有正整数解
若，则，由，得，解得
综上，．
9.解析：(1)设等差数列的公差为，
∵.
∴
又，∴.∴
(2)由(1)知
∵，∴是以2为首项，2为公比的等比数列.
∴
10.解析：(1)设的公比为.
由题设可得
解得.故的通项公式为.
(2)由(1)可得.
由于
故成等差数列.
11.解析：设的公差为，的公比为，
则，.
由得.①
(1)由，得.②
联立①和②解得
因此的通项公式为.
(2)由，得
解得或.
当时，由①得，则.
当时，由①得，则.
12.解析：(1)因为，
故当时，.
两式相减得；所以.
又由题设可得，
从而的通项公式为.
(2)记的前项和为.
由(1)知.
则.
13.解析：(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为.由已知，得
，
而，所以.又因为，解得，所以.
由，可得.①
由，可得②
联立①②，解得，，由此可得.
所以，数列的通项公式为，数列的通项公式为.
(2)设数列的前项和为，由，，
有，
故，
上述两式相减，得
14.解析：(1)设数列的公比为，由已知.
由题意得，解得，
因此数列的通项公式为.
(2)过向轴作垂线，垂足分别为.由(1)得，
记梯形的面积为，
由题意，
所以
.
①
又，
②
①—②得
所以
15.解析：(1)设的公比为，由题意知:，，又，解得，，所以.
(2)由题意知:
又，，所以.
令，则
因此
又
两式相减得，所以
16.解析：（1）设的公差为，据已知有，解得．
所以数列的通项公式为．
，，．
（2）因为
所以数列的前1000项和为．
17.解析：(1)设数列的公差为，
由题意有，
解得，.
所以的通项公式为
(2)由(1)知，
当时，，；
同理，当时，；
当时，；
当时，；
所以数列的前10项和为.
18.解析：(1)设数列的公比为.
由已知，有，解得，或.
又由，知，所以，故而.所以
(2)由题意，得，
即是首项为，公差为1的等差数列.
设数的前项和为，
则
19.解析：(1)由题意得，故，，.
由，得，即.
由，得，所以.
因此是首项为，公比为的等比数列，于是.
(2)由(1)得，由得，解得.
20.解析：(1)由题意得即
又当时，由，得.
所以数列的通项公式为，
(2)设，.
当时，由于，故.
设数列的前项和为，则.
当时，，
所以
21.解析：(1)等比数列的公比，所以，.
设等差数列的公差为，因为，，所以，即.
所以.
(2)由(1)知，，.因此.
从而数列的前项和
22.解析：(1)由题意知当时，，
当时，，所以.
设数列的公差为.
由，即
可解得，.所以.
(2)由(1)知
又
得，
，
两式作差，得
即，所以.
23.解析：（Ⅰ）当时，，因为，所以，
当时，，
即，因为，所以，
所以数列{}是首项为3，公差为2的等差数列，
所以=；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=，
所以数列{}前项和
=
=．
24.解析：(1)设等差数列的公差为.
因为，所以.
又因为，所以，故.
所以.
(2)设等比数列的公比为.
因为，，所以，.
所以.
由得.
所以与数列的第63项相等.
25.解析：(1)设的公差为，则由已知条件得，，化简得
，，
解得，，
故通项公式
(2)由(1)得，
设的公比为，则，从而，
故的前项和
26.解析：(1)设等差数列的公差为.
由已知得
解得，所以.
(2)由(1)可得.
所以
27.解析：(1)由题设知，
又，可解得或(舍去).
由得公比，故.
(2)
又，
所以.
28.解析：(1)设数列的公差为.
令，得，所以.
令，得，所以.
解得，，所以.
(2)由(1)知，
所以，
所以，
两式相减，得.
所以
29.解析：(1)由，，得.
由题意知:当时，，故；
当时，，整理得，
所以.
(2)由(1)知
因此，
，
所以.
故
30.解析：(1)由题意有，解得或
故或
(2)由，知，故
于是，
①
.
②
①-②可得，
故
31.解析：(1)证明由题设，，，
两式相减，得
由于，所以.
(2)解由题设，，，可得.
由(1)知，.令，解得.
故.
由此可得是首项为1，公差为4的等差数列，；是首项为3，公差为4的等差数列，.所以，.
因此存在，使得数列为等差数列.
32.解析：（Ⅰ）由，得，且
所以是首相为，公比为3的等比数列。
因此，所以的通项公式为．
（Ⅱ）由（1）知
当时，，所以
于是
所以
33.解析：(1)设的公比为，依题意，得
解得，因此.
(2)因为，
所以数列的前项和.
34.解析：(1)当时，；
当时，.
故数列的通项公式为.
(2)由(1)知，.记数列的前项和为，
则.
记，
则，
故数列的前项和
35.解析：(1)因为，，，
由题意得，
解得，所以.
(2).
当为偶数，
当为奇数，.
所以.
36.解析：(1)证明由已知可得，即.
所以是以为首项，1为公差的等差数列.
(2)解由(1)得，所以，从而.
，
①
.
②
①-②得，
所以
37.解析：(1)证明由得，即.
又，
所以是首项为1，公差为2的等差数列.
(2)解由(1)得，即
于是
所以，即.
又，所以的通项公式为.
38.解析：(1)设的公差为.
由题意，，即.于是.
又，所以(舍去)，.
故.
(2)令.
由(1)知，故是首项为25，公差为的等差数列.
从而
39.解析：(1)设的公差为，则
由已知可得解得，.
故的通项公式为.
(2)由(1)知，
从而数列的前项和为.
40.解析：(1)设等差数列的公差为，则，，
由题意得，解得或
所以由等差数列通项公式可得或
(2)当时，分别为，不成等比数列，不满足条件；
当时，分别为，成等比数列，满足条件.
故
记数列的前项和为.
当时，；
当时，；
当时，
当时，满足此式。
综上，
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精品试卷·第
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