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第01讲
集合的概念
【基础练习】
一、单选题
1．已知集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
先求得集合M，再根据元素与集合的关系，集合与集合的关系可得选项.
【详解】
因为集合，所以，
故选：D.
2．下列集合中，结果是空集的是(
)
A．{x∈R|x2-1=0}
B．{x|x>6或x<1}
C．{(x，y)|x2+y2=0}
D．{x|x>6且x<1}
【答案】D
【分析】
分析是否有元素在各选项的集合中，再作出判断.
【详解】
A选项：，不是空集；B选项：{x|x>6或x<1}，不是空集；
C选项：(0,0)∈{(x，y)|x2+y2=0}，不是空集；D选项：不存在既大于6又小于1的数，
即：{x|x>6且x<1}=.
故选：D
3．下面有四个语句:
①集合N
中最小的数是0;
②-a?N，则a∈N;
③a∈N，b∈N，则a+b的最小值是2;
④x2+1=2x的解集中含有两个元素.
其中说法正确的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】A
【分析】
根据题意依次判断即可.
【详解】
因为N
是不含0的自然数，所以①错误;
取a=，则-?N，
?N，所以②错误;
对于③，当a=b=0时，a+b取得最小值是0，而不是2，所以③错误;
对于④，解集中只含有元素1，故④错误.
故选：A
4．若由a2，2019a组成的集合M中有两个元素，则a的取值可以是（
）
A．0
B．2019
C．1
D．0或2019
【答案】C
【分析】
根据集合的元素互异性判断即可.
【详解】
若集合M中有两个元素，则a2≠2
019a.即a≠0且a≠2
019.
故选：C.
5．下列各对象可以组成集合的是（
）
A．与1非常接近的全体实数
B．某校2015-2016学年度笫一学期全体高一学生
C．高一年级视力比较好的同学
D．与无理数相差很小的全体实数
【答案】B
【分析】
根据集合定义与性质一一判断即可.
【详解】
A中对象不确定，故错；B中对象可以组成集合；C中视力比较好的对象不确定，故错；D中相差很小的对象不确定，故错.
故选：B
6．下列说法正确的是（
）
A．所有著名的作家可以形成一个集合
B．0与
的意义相同
C．集合
是有限集
D．方程的解集只有一个元素
【答案】D
【分析】
根据集合的相关概念逐项分析即可.
【详解】
所有著名的作家是模糊的，不可以形成一个集合，故A错误；
0可以表示一元素，表示的是集合，故B错误；
集合是无限集，故C错误；
由得，则方程的解集为
故D正确.
故选：D.
7．下列元素与集合的关系表示不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据元素与集合的关系直接判断即可.
【详解】
根据元素与集合的关系可得，，，，故D不正确，符合题意.
故选：D.
8．已知集合A={}，，则等于（
）
A．1
B．-1
C．1或-1
D．1或
【答案】D
【分析】
根据属于的定义，结合代入法和集合元互异性进行求解即可.
【详解】
因为，所以或，
当时，解得或，
当时，此时集合，符合集合元互异性，
当时，，不符合集合元互异性，
当时，，此时，符合集合元互异性，
所以等于1或，
故选：D
9．集合，则以下错误的是（
）
A．－2∈M
B．3∈M
C．M
={－2，3}
D．M＝－2，3
【答案】D
【分析】
解一元二次方程，得到方程的解集，再逐个判断.
【详解】
，，且.
A、B、C正确，D项集合的表示方法错误.
故选：D.
10．下列选项中元素的全体可以组成集合的是（
）
A．2007年所有的欧盟国家
B．校园中长的高大的树木
C．学校篮球水平较高的学生
D．中国经济发达的城市
【答案】A
【分析】
根据集合元素的确定性进行判断即可.
【详解】
A：因为2007年欧盟国家是确定的，所以本选项符合题意；
B：因为不确定什么样子的树木叫高大的树木，所以本选项不符合题意；
C：因为不确定篮球水平较高是一种什么水平，所以本选项不符合题意；
D：因为不确定经济水平什么样叫发达，所以本选项不符合题意，
故选：A
11．下列各组对象：①接近于的数的全体；②比较小的正整数全体；③平面上到点的距离等于的点的全体；④正三角形的全体；⑤的近似值的全体.其中能构成集合的组数有（
）
A．组
B．组
C．组
D．组
【答案】A
【分析】
根据集合元素满足确定性可判断①②③④⑤中的对象能否构成集合，即可得出结论.
【详解】
①“接近于的数的全体”的对象不确定，不能构成集合；
②“比较小的正整数全体”的对象不确定，不能构成集合；
③“平面上到点的距离等于1的点的全体”的对象是确定的，能构成集合；
④“正三角形的全体”的对象是确定的，能构成集合；
⑤“的近似值的全体的对象”不确定，不能构成集合；
故③④正确.
故选：A.
12．设A＝{y|y＝﹣1+x﹣2x2}，若m∈A，则必有（
）
A．m∈{正有理数}
B．m∈{负有理数}
C．m∈{正实数}
D．m∈{负实数}
【答案】D
【分析】
求出函数的值域，就是集合A，进而可判断结果
【详解】
解：因为，
所以；
∴若m∈A，则m＜0，所以m∈{负实数}.
故选：D.
13．，对任意的，总有（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
依次将和代入讨论求解即可得答案.
【详解】
解：将代入得显然成立，故
将代入不等式得，即
，显然成立，∴；
所以
故选：B.
14．能够组成集合的是（
）
A．与2非常数接近的全体实数
B．很著名的科学家的全体
C．某教室内的全体桌子
D．与无理数π相差很小的数
【答案】C
【分析】
由集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性，进行判断即可
【详解】
解：A.与2非常接近的数不确定，∴不能构成集合；
B.“很著名”，怎么算很著名，不确定，∴不能构成集合；
C.某教室内的桌子是确定的，∴可构成集合；
D.“相差很小”，怎么算相差很小是不确定的，∴不能构成集合.
故选：C.
15．下面四个命题正确的是（
）
A．10以内的质数集合是{0，3，5，7}
B．“个子较高的人”不能构成集合
C．方程x2﹣2x+1=0的解集是{1，1}
D．偶数集为{x|x=2k，x∈N}
【答案】B
【分析】
根据集合中元素的特征进行判断即可，对于A，由于0不是质数，从而可得结论；对于B，由集合元素的确定性判断即可；对于C，由集合中元素的互异性判断；对于D，由于偶数中也包含负偶数，所以可判断其正误
【详解】
解：10以内的质数集合是{2，3，5，7}，故选项A不正确；
“个子较高的人”不能构成集合，“个子较高的人”不满足集合的确定性，故选项B正确；
方程x2﹣2x+1=0的解集是{1，1}，不满足集合的互异性，故选项C不正确；
偶数集为{x|x=2k，k∈Z}，故选项D不正确.
故选：B.
16．已知集合，集合，则集合中元素的个数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
求出集合，由此可得出结果.
【详解】
因为集合，所以，集合，
因此，集合中的元素个数为.
故选：B.
17．下列各组对象不能构成集合的是（
）
A．上课迟到的学生
B．年高考数学难题
C．所有有理数
D．小于的正整数
【答案】B
【分析】
根据集合中元素的三要素判断．
【详解】
上课迟到的学生属于确定的互异的对象，所以能构成集合；年高考数学难题界定不明确，所以不能构成集合；任意给一个数都能判断是否为有理数，所以能构成集合；小于的正整数分别为，所以能够组成集合.
故选：
18．如果集合中的元素是三角形的边长，那么这个三角形一定不可能是（
）
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
【答案】D
【分析】
由集合元素的互异性可得解.
【详解】
根据集合元素的互异性可知，该三角形一定不可能是等腰三角形.
故选：D.
19．在中，正确的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】
根据数集的表示方法，逐个判定，即可求解.
【详解】
由数集的表示方法知为自然数集，为正整数集，为有理数集，
可得，，不正确；正确；
故选：A.
20．方程组的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
利用代入法和消元法即可求解.
【详解】
，两式相加可得，所以，
将代入可得，
所以，
所以方程组的解集是，
故选：D
21．设集合，，，则集合中元素的个数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
分别在集合中取，由此可求得所有可能的取值，进而得到结果.
【详解】
当，时，；当，时，；
当，或时，；当，时，；
当，或，时，；当，时，；
，故中元素的个数为个.
故选：B.
22．设集合A={1，2，3}，B={4，5}，C={x+y|x∈A，y∈B}，则C中元素的个数为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【分析】
直接求出集合C即可.
【详解】
集合A={1，2，3}，B={4，5}，C={x+y|x∈A，y∈B}，
所以C={5，6，7,8}.
即C中元素的个数为4.
故选：B.
23．设集合，则C中元素的个数为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【分析】
由中元素求出，重复的不另算，即可得．
【详解】
时，的值依次为，有4个不同值，即，因此中有4个元素．
故选：B．
24．已知集合只有一个元素，则的取值集合为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
对参数分类讨论，结合判别式法得到结果.
【详解】
解：①当时，，此时满足条件；
②当时，中只有一个元素的话，，解得，
综上，的取值集合为，．
故选：D．
25．已知集合，，则集合中元素的个数为（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【分析】
根据集合列举求解.
【详解】
因为集合，，
所以集合，
故选：C
26．下列命题中正确的（
）
①0与{0}表示同一个集合；
②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}；
③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}；
④集合{x|4
A．只有①和④
B．只有②和③
C．只有②
D．以上语句都不对
【答案】C
【分析】
由集合的表示方法判断①，④；由集合中元素的特点判断②，③．
【详解】
①{0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误；
②符合集合中元素的无序性，正确；
③不符合集合中元素的互异性，错误；
④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示．
故选：C.
27．设是有理数，集合，在下列集合中；
（1）；（2）；（3）；（4）；与相同的集合有（
）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【答案】B
【分析】
将分别代入（1）、（2）、（3）中，化简并判断与是否一一对应，再举反例判断（4）.
【详解】
对于（1），由，得，一一对应，则
对于（2），由，得，一一对应，则
对于（3），由，得，一一对应，则
对于（4），，但方程无解，则与不相同
故选：B
28．设集合，则中元素的个数为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【分析】
根据不等式的特征用列举法表示集合进行求解即可.
【详解】
因为，所以当时，由可得：；
当时，由可得：；
当时，由可得：，
当，时，由可知：不存在整数使该不等式成立，
所以,
因此中元素的个数为5.
故选：C
29．由实数所组成的集合，最多可含有（
）个元素
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【分析】
把分别可化为，，，，，，根据集合中元素的互异性，即可得到答案．
【详解】
由题意，当时所含元素最多，
此时分别可化为，，，
所以由实数所组成的集合，最多可含有3个元素．
故选：B
30．已知集合，则中元素的个数为（
）
A．15
B．14
C．13
D．12
【答案】C
【分析】
根据列举法，确定圆及其内部整点个数即可得出结果.
【详解】
，
，
当时，；
当时，；
当时，
当时，；
当时，；
所以共有个，
故选：C.
31．下列判断正确的个数为（
）
（1）所有的等腰三角形构成一个集合；
（2）倒数等于它自身的实数构成一个集合；
（3）质数的全体构成一个集合；
（4）由2，3，4，3，6，2构成含有6个元素的集合．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】
利用集合的定义和特点逐一判断即可.
【详解】
在（1）中，所有的等腰三角形构成一个集合，故（1）正确；
在（2）中，若，则a2＝1，∴a＝±1，构成的集合为{1，﹣1}，故（2）正确；
在（3）中，质数的全体构成一个集合，任何一个质数都在此集合中，不是质数的都不在，故（3）正确；
在（4）中，集合中的元素具有互异性，构成的集合为{2，3，4，6}，含4个元素，故（4）错误．
故选：C
32．下列集合中不同于另外三个集合的是（
）
A．{x|x＝1}
B．{x|x﹣1＝0}
C．{x＝1}
D．{1}
【答案】C
【分析】
由集合的表示方法可选出答案.
【详解】
通过观察得到：A，B，D中的集合元素都是实数，而C中集合的元素不是实数，是等式x＝1；
∴C中的集合不同于另外3个集合．
故选：C
33．下列说法中正确的是（
）
A．班上爱好足球的同学，可以组成集合
B．方程x（x﹣2）2＝0的解集是{2，0，2}
C．集合{1，2，3，4}是有限集
D．集合{x|x2+5x+6＝0}与集合{x2+5x+6＝0}是含有相同元素的集合
【答案】C
【分析】
根据构成集合中对象的确定性判断A，由集合中元素的互异性判断B，根据集合有限集的定义判断C，分析集合中元素判断D.
【详解】
班上爱好足球的同学是不确定的，所以构不成集合，选项A不正确；
方程x（x﹣2）2＝0的所有解的集合可表示为{2，0，2}，由集合中元素的互异性知，选项B不正确；
集合{1，2，3，4}中有4个元素，所以集合{1，2，3，4}是有限集，选项C正确；
集合{x2+5x+6＝0}是列举法，表示一个方程的集合，{x|x2+5x+6＝0}表示的是方程的解集，是两个不同的集合，选项D不正确．
故选：C．
34．集合，则中元素的个数为（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【分析】
先求得集合A，再由已知求得集合B，由此可得选项．
【详解】
由已知得，又，所以中元素的个数为个．
故选：C.
35．非空集合A具有下列性质：①若，则；②若，则，下列判断一定成立的是（
）
（1）（2）（3）若，则（4）若，则
A．（1）（3）
B．（1）（4）
C．（1）（2）（3）
D．（2）（3）（4）
【答案】C
【分析】
假设，推出矛盾，可判断（1）正确；推导出，进而可推导出，，由此可判断（2）的正误；推导出，结合①可判断（3）的正误；若、，假设，推出，可判断（4）的正误.综合可得出结论.
【详解】
对于（1），若，则，因此；而对于，时，显然无意义，不满足，所以，故（1）正确；
对于（2），若且，则，，，
依此类推可得知，，，，，，（2）正确；
对于（3），若、，则且，由（2）可知，，则，
所以，，（3）正确；
对于（4），由（2）得，，取
，则，所以（4）错误.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：
求解本题的关键在于理解题中所给集合的性质，结合性质，确定集合中元素的特征，利用元素与集合之间的关系，结合选项，逐项求解即可.
36．下列说法正确的是（
）
A．方程的解集是
B．方程的解集为{(-2，3)}
C．集合M={y|y=x2+1，x∈R}与集合P={(x，y)|y=x2+1，x∈R}表示同一个集合
D．方程组的解集是{(x，y)|x=-1且y=2}
【答案】D
【分析】
根据集合表示方法依次判断即可.
【详解】
对于A，方程的解集是，故A错误；
对于B，方程的解集为，故B错误；
对于C，集合表示数集，集合表示点集，故不是同一集合，故C错误；
对于D，由解得，故解集为{(x，y)|x=-1且y=2}，故D正确.
故选：D.
37．方程组的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
首先求出二元一次方程组的解，再写出其解集；
【详解】
解：因为，所以
所以方程组的解集为
故选：C
38．已知集合，则（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】
由元素与集合的关系即可求解.
【详解】
,
故选：D
39．若集合中只有一个元素，则实数的值为（
）
A．
B．
C．
D．或
【答案】D
【分析】
分和两种情况讨论，结合集合中只有一个元素可求得实数的值.
【详解】
当时，，合乎题意；
当时，关于的方程有两个相等的实根，则，解得.
综上所述，或.
故选：D.
40．下列叙述正确的是（
）．
A．方程的根构成的集合为
B．
C．集合且表示的集合是
D．集合与集合是不同的集合
【答案】B
【分析】
解出、可判断AC的正误，由集合的无序性可得D的正误，，可得B的正误.
【详解】
方程的根为，故A错误；
，故B正确；
由可解得，故C错误；
集合与集合是相同的集合，故D错误
故选：B
二、多选题
41．已知集合，且，则实数的可能值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】
由已知条件可得出关于实数的等式，结合集合中的元素满足互异性可得出实数的值.
【详解】
已知集合且，则或，
解得或或.
若，则，合乎题意；
若，则，合乎题意；
若，则，合乎题意.
综上所述，或或.
故选：ABD.
42．由实数0、、、、、所组成的集合中，含有元素的个数可能为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】AC
【分析】
分，，三种情况讨论的值，根据元素的互异性确定元素个数，即可求得集合中元素的最多个数.
【详解】
∵，，故当时，这几个实数均为0，含有元素的个数为1个；
当时，它们分别是，含有元素的个数为3个；
当时，它们分别是.，含有元素的个数为3个；
故选：AC
【点睛】
解题关键在于根据元素的互异性进行分类讨论即可，属于基础题
43．设P是一个数集，且至少含有两个元素．若对任意的a，b∈P，都有a＋b，a－b，ab，∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域，例如有理数集Q是一个数域，有下列说法正确的是（
）
A．数域必含有0，1两个数；
B．整数集是数域；
C．若有理数集，则数集M必为数域；
D．数域必为无限集．
【答案】AD
【分析】
根据数域的定义逐项进行分析即可．
【详解】
数集P有两个元素m，N，则一定有m－m＝0，＝1(设m≠0)，A正确；
因为1∈Z，2∈Z，，所以整数集不是数域，B不正确；
令数集，则，但，所以C不正确；
数域中有1，一定有1＋1＝2，1＋2＝3，递推下去，可知数域必为无限集，D正确．
故选：AD
44．下面表示同一个集合的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】
对选项中的集合元素逐一分析判断即可.
【详解】
A选项中，集合P中方程无实数根，故，表示同一个集合；
B选项中，集合P中有两个元素2，5，集合Q中页有两个元素2，5，表示同一个集合；
C选项中，集合P中有一个元素是点，集合
Q中有一个元素是点，元素不同，不是同一集合；
D选项中，集合表示所有奇数构成的集合，集合也表示所有奇数构成的集合，表示同一个集合.
故选：ABD.
45．已知全集，集合、满足，则下列选项正确的有（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】
根据题意，做出韦恩图，再依次讨论各选项即可得答案.
【详解】
解：根据题意得，集合、、关系如图所示：
全集，集合、满足，
则，，，．
故选：BD．
三、填空题
46．定义集合运算，集合，则集合所有元素之和为________
【答案】18
【分析】
由题意可得，进而可得结果.
【详解】
当
当
当
当
和为
故答案为：18
47．集合是单元素集合，则实数________
【答案】0，2或18
【分析】
集合是单元素集合，即方程只有一个根，分和两种情况，求出实数即可．
【详解】
当时，，符合题意；
当时，令，即，解得或
故答案为：0，2或18
48．集合且，用列举法表示集合________
【答案】
【分析】
由已知可得，则，解得且，结合题意，逐个验证，即可求解.
【详解】
由题意，集合且，可得，则，
解得且，
当时，，满足题意；
当时，，不满足题意；
当时，，不满足题意；
当时，，满足题意；
当时，，满足题意；
当时，，满足题意；
当时，，此时分母为零，不满足题意；
当时，，满足题意；
当时，，满足题意；
当时，，满足题意；
当时，，不满足题意；
当时，，不满足题意；
当时，，满足题意；
综上可得，集合.
故答案为：.
49．已知，则x的值为__________．
【答案】0或2
【分析】
根据，由，，，
并利用集合的特性判断求解.
【详解】
因为，
所以当时，集合为
不成立；
当
时，集合为
，成立；
当
时，解得
（舍去）或，
若，则集合为，成立.
所以x的值为0或2
故答案为：0或2
50．已知，若，则实数的值是______．
【答案】
【分析】
利用元素和集合的关系，以及集合的互异性可求解．
【详解】
，或，
当时，，则，不满足集合的互异性，舍去．
当时，解得：，（舍去），此时符合题意．
故答案为：
四、双空题
51．，，则的取值范围_________；，，则=____．
【答案】
1
【分析】
由得即可求范围，由得可求值.
【详解】
①由得；
②由得
故答案为：；1
52．设直线上的点集为P，则P＝__________．点（2，7）与P的关系为（2，7）___P．
【答案】
【分析】
，然后判断点适不适合方程即可得到答案.
【详解】
点用（x，y）表示，指在直线上的所有的点的集合，
即
而点（2，7）适合方程y＝2x+3
∴点（2，7）在直线上，从而点属于集合P
故答案为：；
53．数列令表示集合中元素个数.
（1）假设1，3，5，7，9，那么=____________________；
（2）假设（为常数），那么=____________________；
【答案】7
【分析】
（1）根据题意写出所有,中的元素即可；
（2）需要进行分类讨论，和两种情况，结合等差数列性质即可求解；
【详解】
（1）当1，3，5，7，9，有5个数时，，故；
（2）当时，说明数列是常数列，则，为常数，则，故；
当时，假设数列首项为1，公差为1，则，，，利用类比推理可得，假设（为常数），那么；
综上所述，
【点睛】
本题考查数列与集合新定义结合的理解，学会利用数列研究集合中元素性质是关键，本题中采用的类比推理法，从特殊到一般，在处理复杂问题时，值得借鉴，属于中档题
54．设，为质数，为奇数，则_____；__________
.
【答案】
【分析】
由题意可知，，，，根据集合的运算，求解即可.
【详解】
为质数，为奇数
，，
，
故答案为：；
【点睛】
本题考查集合的运算，注意，，属于较易题.
55．设全集，，，则______________，______________.
【答案】4
3
【分析】
根据，可得，即可求解的值，得到答案.
【详解】
由题意，全集，集合，
因为，可得，解得.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了利用集合的运算求解参数问题，其中解答中熟记集合的基本运算，列出方程组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
五、解答题
56．设A是由一些实数构成的集合，若a∈A，则
∈A，且1?A，
（1）若3∈A，求A.
（2）证明:若a∈A，则.
【答案】（1）;（2）证明见解析.
【分析】
根据题意求依次求解即可.
【详解】
(1)因为3∈A，
所以，
所以，
所以，
所以.
(2)因为a∈A，
所以，
所以.
57．已知集合.
（1）若A是空集，求的取值范围；
（2）若A中只有一个元素，求的值，并求集合A；
（3）若A中至多有一个元素，求的取值范围
【答案】（1）；（2）当时，；当时，；（3）.
【分析】
（1）方程ax2﹣3x+2＝0无解，则，根据判别式即可求解；
（2）分a＝0和a≠0讨论即可；
（3）综合（1）（2）即可得出结论.
【详解】
（1）若A是空集，则方程ax2﹣3x+2＝0无解此时
＝9-8a＜0即a
所以的取值范围为
（2）若A中只有一个元素
则方程ax2﹣3x+2＝0有且只有一个实根
当a＝0时方程为一元一次方程，满足条件
当a≠0，此时＝9﹣8a＝0，解得：a
∴a＝0或a
当时，；当时，
（3）若A中至多只有一个元素，则A为空集，或有且只有一个元素
由（1），（2）得满足条件的a的取值范围是.
58．已知数列中，，，且数列中任意相邻两项具有2倍关系.记所有可能取值的集合为，其元素和为．
（1）证明为单元素集，并用列举法写出，；
（2）由（1）的结果，设，归纳出，（只要求写出结果），并求，指出与的倍数关系．
【答案】（1）证明见解析，，；（2）答案见解析.
【分析】
（1）由，，且数列中任意相邻两项具有2倍关系，可得为单元素集，进而可列举出，；
（2）由（1）的结果，归纳得，，并利用等比数列求和公式计算出，进而得出与的倍数关系．
【详解】
（1）证明：∵，
数列中任意相邻两项具有2倍关系，∴或．
∵，而，∴．
∴为单元素集．
由此，得，，
则，．
（2）由（1）的结果，归纳得，
．
，
因为中的每一个元素的两倍构成的集合等于，
所以．
59．已知，求的值．
【答案】
【分析】
分a＝0、a﹣1＝0、a2﹣1＝0三种情况讨论即可.
【详解】
由已知条件得：
若a＝0，则集合为{0，﹣1，﹣1}，不满足集合元素的互异性，∴a≠0；
若a﹣1＝0，a＝1，则集合为{1，0，0}，显然a≠1；
若a2﹣1＝0则a＝±1，由上面知a＝1不符合条件；a＝﹣1时，集合为{﹣1，﹣2，0}；
∴a＝﹣1．
60．若集合A中含有三个元素，，，且，求实数a的值.
【答案】或.
【分析】
由已知得或或，解之可求得实数a的值，代入集合中检验是否满足元素的互异性，可得答案.
【详解】
①若，则，此时，满足题意.
②若，则，此时，不满足元素的互异性.
③若，则.当时，，满足题意；当时，由②知不合题意.
综上可知或.
61．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0}．
（1）若A∩B＝{2}，求实数a的值；
（2）若A∪B＝A，求实数a的取值范围；
（3）若U＝R，A∩(?UB)＝A，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
－1或－3；
（2）
a≤－3
；（3）
a<－3或－3－1＋.
【分析】
（1）根据题意可知，将代入方程求出a，再求出集合，根据集合的运算结果验证a的值即可.
（2）根据题意可得，讨论或，利用判断式求出实数a的取值范围即可.
（3）根据题意可得，讨论或，解方程组即可求解.
【详解】
由题意知A＝{1，2}．
（1）∵A∩B＝{2}，∴2∈B，
将x＝2代入x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，得a2＋4a＋3＝0，所以a＝－1或a＝－3.
当a＝－1时，B＝{－2，2}，满足条件；
当a＝－3时，B＝{2}，也满足条件．
综上可得，a的值为－1或－3.
（2）∵A∪B＝A，∴B?A.
对于方程x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，
①当Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3)<0，
即a<－3时，B＝?，满足条件；
②当Δ＝0，即a＝－3时，B＝{2}，满足条件；
③当Δ>0，即a>－3时，B＝A＝{1，2}才能满足条件，这是不可能成立的．
综上可知，a的取值范围是a≤－3.
（3）∵A∩(?UB)＝A，∴A??UB，∴A∩B＝?.
对于方程x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，
①当Δ<0，即a<－3时，B＝?，满足条件．
②当Δ＝0，即a＝－3时，B＝{2}，A∩B＝{2}，不满足条件．
③当Δ>0，即a>－3时，只需1?B且2?B即可．
将x＝2代入x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，得a＝－1或a＝－3；
将x＝1代入x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，得a＝－1±，∴a≠－1，a≠－3且a≠－1±，
综上，a的取值范围是a<－3或－3－1＋.
62．集合，．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）由，可得，即可列出不等关系，求出的取值范围；
（2）由，且，可列出不等关系，求出的取值范围.
【详解】
（1）由集合，，
因为，所以，则，
即实数的取值范围为.
（2）因为，且，所以，
故实数的取值范围为.
63．已知集合，其中.
（1）1是中的一个元素，用列举法表示A；
（2）若中至多有一个元素，试求a的取值范围.
【答案】（1）（2）或
【分析】
（1）由得，代入，解得的元素后，可得解；
（2）按照集合中元素的个数分类讨论，可求得结果.
【详解】
（1）因为，所以，得，
所以.
（2）当中只有一个元素时，只有一个解，
所以或，
所以或，
当中没有元素时，无解，所以，解得，
综上所述：或.
【点睛】
易错点点睛：容易忽视的情况，错把方程默认为一元二次方程，造成漏解.
64．设数集由实数构成，且满足：若(且)，则.
（1）若，试证明中还有另外两个元素；
（2）集合是否为双元素集合，并说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）不是双元素集合，理由见解析.
【分析】
（1）根据，则，由求解.
（2）根据，，进行递推求解.
【详解】
（1）∵若，则，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴中另外两个元素分别为-1，.
（2）∵，，
∴，且，，，
所以集合中至少有3个元素，
所以集合A不是双元素集合.
65．已知集合.
（1）若是空集，求的取值范围；
（2）若中只有一个元素，求的值，并求集合.
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【分析】
（1）若是空集，则只需二次方程无解，；
（2）若为空集，当时显然成立，当时，只需.
【详解】
解：（1）若是空集，则关于的方程没有实数解.
当时，，不满足题意，所以，且，所以.
（2）若中只有一个元素.
①当时，，满足题意；
②当时，，所以.
综上所述，的集合为.
若，则有；若，则有.
【点睛】
本题考查根据集合中元素的个数求参数的取值范围，较简单，根据方程根的个数求解即可.
66．已知集合中的元素1，4，，且实数满足，求实数的值.
【答案】，2，0.
【分析】
由实数满足：，4，，得到或，或，结合互异性能求出实数的取值．
【详解】
因为实数满足，
所以或或，
解得或或或或，
当时，集合中含有1，4，1，不合题意；当或或时，满足题意.所以实数的值为，2，0.
【点睛】
本题主要考查已知集合与元素的关系求参数，解题时要认真审题，注意集合中元素互异性的合理运用，是基础题．
67．已知集合，．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围；
（3）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）（3）
【分析】
（1）先分，，三种情况讨论分别得到集合B，再对每一种情况列出要使成立的关于的不等式（组），求得实数的取值范围；
（2）先分，，三种情况讨论分别得到集合B，再对每一种情况列出要使成立的关于的不等式（组），求得实数的取值范围；
（3）显然时不满足，再分时，需且需满足；时，且需满足，从而得到实数的取值范围．
【详解】
（1）若，
当时，，显然不成立：
当时，,所以，要使，应满足，解得；
当时，，，要使，应满足，此时无解．
综上，若，则实数的取值范围是．
（2）要满足，
当时，，满足条件；
当时，,，要使，则或，∴或；
当时，，，要使，则或，∴．
综上，若，则实数的取值范围是．
（3）要满足，显然当时，不满足；
当时，,，此时且需满足，故满足．
当时，，，此时且需满足，此时无解，
所以实数的取值范围是．
故得解.
【点睛】
本题考查根据两集合的交集运算结果求解参数的问题，属于基础题.
求解集合问题需注意以下三点：
（1）认清元素的属性．在求解集合问题时，认清集合中元素的属性（是点集、数集或其他情形）和化简集合是正确求解的两个先决条件．
（2）注意元素的互异性．在求解含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性．
（3）防范空集．在求解有关，等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑是否成立，以防漏解．
68．已知，，，且，求实数.
【答案】
【分析】
集合中有三个元素，是集合中的元素，所以只能是除6外的其它两个，分别让和等于求解的值．
【详解】
解：，
或
由，解得，此时，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；
由，得（舍，或
当时，，
此时，，适合题意．
．
【点睛】
本题考查集合与元素关系的判断，考查分类讨论的数学思想，解答的关键是掌握集合中元素的互异性，属基础题．
69．已知集合，，，全集为实数集R.
（1）求，；
（2）如果，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；或；（2）
【分析】
（1）判断集合的关系，求得，先求，再求；
（2）由已知条件，并结合数轴，得到实数的取值范围.
【详解】
（1），，
或，或；
（2），
【点睛】
本题考查集合的运算，以及根据集合的关系求参数的取值范围，重点考查计算能力，属于基础题型.
70．已知集合为小于6的正整数}，为小于10的素数}，集合为24和36的正公因数}．
（1）试用列举法表示集合且；
（2）试用列举法表示集合且．
【答案】(1)
；（2）.
【分析】
（1）求出集合，则，即可求出；
（2）根据集合中元素的特征，即可写出.
【详解】
由题意，，.
（1）.
（2）.且
【点睛】
本题考查集合的表示法和集合的运算，属于基础题.
71．已知集合
（1）若A中元素有且只有一个，求实数a的取值范围.
（2）若A中元素至少有一个，求实数a的取值范围.
（3）若A中元素至多一个，求实数a的取值范围.
【答案】（1）a=0或a=；（2）a≤；（3）a=0或a≥.
【分析】
（1）当时，易知方程只有一解，当
时，令
求解.
（2）当时，易知方程只有一解，当
时，令
求解.
（3）当时，易知方程只有一解，当
时，令
求解.
【详解】
（1）当时，成立；
当时，，解得，
综上：a=0或a=，
所以当A中元素有且只有一个时，实数a的取值范围是a=0或a=；
（2）当时，成立；
当时，，解得，
综上：a≤，
所以当A中元素至少有一个时，实数a的取值范围是a≤；
（3）当时，成立；
当时，，解得，
综上：a=0或a≥.
所以当A中元素至多一个时，实数a的取值范围是a=0或a≥.
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解的个数，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于基础题.
72．已知集合的元素全为实数，且满足：若，则．若，求出中其他所有元素．
【答案】
【分析】
根据定义依次计算即可得答案.
【详解】
解：因为若，则，
所以当时，；
当时，，
当时，，
当时，，
综上中其他所有元素为：.
【点睛】
本题考查集合的元素的求解，是基础题.
73．设,，集合，求．
【答案】
【分析】
根据题意，集合，注意到后面集合中有元素0，由集合相等的意义，结合集合中元素的特征，可得，进而分析可得、的值，计算可得答案．
【详解】
解：根据题意，集合，
又，
，即，
，
；
故，，
则，
故答案为：
【点睛】
本题考查集合元素的特征与集合相等的含义，注意从特殊元素下手，有利于找到解题切入点．
74．若集合A={x∣}中只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.
【答案】实数k的值为0或1，当时，；当，
【分析】
集合A={x∣}中只有一个元素，即方程只有一个解，再讨论当时，当时方程的解的个数，再求集合即可.
【详解】
解：由集合A={x∣}中只有一个元素，
即方程只有一个解，
①当时，方程为，解得，即；
②当时，方程只有一个解，则，即，
即方程为，解得，即，
综合①②可得：实数k的值为0或1，当时，；当，.
【点睛】
本题考查了方程的解的个数问题，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属基础题.
75．用另一种方法表示下列集合：
（1）{（x，y）|2x+3y=12，x，y∈N}；
（2）{0，1，4，9，16，25，36，49}；
（3）{平面直角坐标系中第二象限内的点}．
【答案】（1）{（3，2），（6，0），（0,4）}
（2）{x|x=n2，n∈N，0≤n≤7}
（3）{（x，y）|x＜0，y＞0}．
【分析】
（1）直接利用集合的列举法，写出结果即可．
（2）直接利用集合的描述法，写出结果即可
（3）根据第二象限的坐标范围，写出结果即可
【详解】
（1）{（x，y）|2x+3y=12，x，y∈N}={（3，2），（6，0），（0,4）}；
（2）{0，1，4，9，16，25，36，49}={x|x=n2，n∈N，0≤n≤7}；
（3）{平面直角坐标系中第二象限内的点}={（x，y）|x＜0，y＞0}．
【点睛】
本题考查集合的表示方法，基本知识的应用．
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第01讲
集合的概念
【基础练习】
一、单选题
1．已知集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．下列集合中，结果是空集的是(
)
A．{x∈R|x2-1=0}
B．{x|x>6或x<1}
C．{(x，y)|x2+y2=0}
D．{x|x>6且x<1}
3．下面有四个语句:
①集合N
中最小的数是0;
②-a?N，则a∈N;
③a∈N，b∈N，则a+b的最小值是2;
④x2+1=2x的解集中含有两个元素.
其中说法正确的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
4．若由a2，2019a组成的集合M中有两个元素，则a的取值可以是（
）
A．0
B．2019
C．1
D．0或2019
5．下列各对象可以组成集合的是（
）
A．与1非常接近的全体实数
B．某校2015-2016学年度笫一学期全体高一学生
C．高一年级视力比较好的同学
D．与无理数相差很小的全体实数
6．下列说法正确的是（
）
A．所有著名的作家可以形成一个集合
B．0与
的意义相同
C．集合
是有限集
D．方程的解集只有一个元素
7．下列元素与集合的关系表示不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知集合A={}，，则等于（
）
A．1
B．-1
C．1或-1
D．1或
9．集合，则以下错误的是（
）
A．－2∈M
B．3∈M
C．M
={－2，3}
D．M＝－2，3
10．下列选项中元素的全体可以组成集合的是（
）
A．2007年所有的欧盟国家
B．校园中长的高大的树木
C．学校篮球水平较高的学生
D．中国经济发达的城市
11．下列各组对象：①接近于的数的全体；②比较小的正整数全体；③平面上到点的距离等于的点的全体；④正三角形的全体；⑤的近似值的全体.其中能构成集合的组数有（
）
A．组
B．组
C．组
D．组
12．设A＝{y|y＝﹣1+x﹣2x2}，若m∈A，则必有（
）
A．m∈{正有理数}
B．m∈{负有理数}
C．m∈{正实数}
D．m∈{负实数}
13．，对任意的，总有（
）
A．
B．
C．
D．
14．能够组成集合的是（
）
A．与2非常数接近的全体实数
B．很著名的科学家的全体
C．某教室内的全体桌子
D．与无理数π相差很小的数
15．下面四个命题正确的是（
）
A．10以内的质数集合是{0，3，5，7}
B．“个子较高的人”不能构成集合
C．方程x2﹣2x+1=0的解集是{1，1}
D．偶数集为{x|x=2k，x∈N}
16．已知集合，集合，则集合中元素的个数为（
）
A．
B．
C．
D．
17．下列各组对象不能构成集合的是（
）
A．上课迟到的学生
B．年高考数学难题
C．所有有理数
D．小于的正整数
18．如果集合中的元素是三角形的边长，那么这个三角形一定不可能是（
）
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
19．在中，正确的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
20．方程组的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
21．设集合，，，则集合中元素的个数为（
）
A．
B．
C．
D．
22．设集合A={1，2，3}，B={4，5}，C={x+y|x∈A，y∈B}，则C中元素的个数为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
23．设集合，则C中元素的个数为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
24．已知集合只有一个元素，则的取值集合为（
）
A．
B．
C．
D．
25．已知集合，，则集合中元素的个数为（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
26．下列命题中正确的（
）
①0与{0}表示同一个集合；
②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}；
③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}；
④集合{x|4A．只有①和④
B．只有②和③
C．只有②
D．以上语句都不对
27．设是有理数，集合，在下列集合中；
（1）；（2）；（3）；（4）；与相同的集合有（
）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
28．设集合，则中元素的个数为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
29．由实数所组成的集合，最多可含有（
）个元素
A．2
B．3
C．4
D．5
30．已知集合，则中元素的个数为（
）
A．15
B．14
C．13
D．12
31．下列判断正确的个数为（
）
（1）所有的等腰三角形构成一个集合；
（2）倒数等于它自身的实数构成一个集合；
（3）质数的全体构成一个集合；
（4）由2，3，4，3，6，2构成含有6个元素的集合．
A．1
B．2
C．3
D．4
32．下列集合中不同于另外三个集合的是（
）
A．{x|x＝1}
B．{x|x﹣1＝0}
C．{x＝1}
D．{1}
33．下列说法中正确的是（
）
A．班上爱好足球的同学，可以组成集合
B．方程x（x﹣2）2＝0的解集是{2，0，2}
C．集合{1，2，3，4}是有限集
D．集合{x|x2+5x+6＝0}与集合{x2+5x+6＝0}是含有相同元素的集合
34．集合，则中元素的个数为（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
35．非空集合A具有下列性质：①若，则；②若，则，下列判断一定成立的是（
）
（1）（2）（3）若，则（4）若，则
A．（1）（3）
B．（1）（4）
C．（1）（2）（3）
D．（2）（3）（4）
36．下列说法正确的是（
）
A．方程的解集是
B．方程的解集为{(-2，3)}
C．集合M={y|y=x2+1，x∈R}与集合P={(x，y)|y=x2+1，x∈R}表示同一个集合
D．方程组的解集是{(x，y)|x=-1且y=2}
37．方程组的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
38．已知集合，则（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
39．若集合中只有一个元素，则实数的值为（
）
A．
B．
C．
D．或
40．下列叙述正确的是（
）．
A．方程的根构成的集合为
B．
C．集合且表示的集合是
D．集合与集合是不同的集合
二、多选题
41．已知集合，且，则实数的可能值为（
）
A．
B．
C．
D．
42．由实数0、、、、、所组成的集合中，含有元素的个数可能为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
43．设P是一个数集，且至少含有两个元素．若对任意的a，b∈P，都有a＋b，a－b，ab，∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域，例如有理数集Q是一个数域，有下列说法正确的是（
）
A．数域必含有0，1两个数；
B．整数集是数域；
C．若有理数集，则数集M必为数域；
D．数域必为无限集．
44．下面表示同一个集合的是（
）
A．
B．
C．
D．
45．已知全集，集合、满足，则下列选项正确的有（
）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
46．定义集合运算，集合，则集合所有元素之和为________
47．集合是单元素集合，则实数________
48．集合且，用列举法表示集合________
49．已知，则x的值为__________．
50．已知，若，则实数的值是______．
四、双空题
51．，，则的取值范围_________；，，则=____．
53．数列令表示集合中元素个数.
（1）假设1，3，5，7，9，那么=____________________；
（2）假设（为常数），那么=____________________；
54．设，为质数，为奇数，则_____；__________
.
55．设全集，，，则______________，______________.
五、解答题
56．设A是由一些实数构成的集合，若a∈A，则
∈A，且1?A，
（1）若3∈A，求A.
（2）证明:若a∈A，则.
57．已知集合.
（1）若A是空集，求的取值范围；
（2）若A中只有一个元素，求的值，并求集合A；
（3）若A中至多有一个元素，求的取值范围
58．已知数列中，，，且数列中任意相邻两项具有2倍关系.记所有可能取值的集合为，其元素和为．
（1）证明为单元素集，并用列举法写出，；
（2）由（1）的结果，设，归纳出，（只要求写出结果），并求，指出与的倍数关系．
59．已知，求的值．
60．若集合A中含有三个元素，，，且，求实数a的值.
61．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0}．
（1）若A∩B＝{2}，求实数a的值；
（2）若A∪B＝A，求实数a的取值范围；
（3）若U＝R，A∩(?UB)＝A，求实数a的取值范围．
62．集合，．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
63．已知集合，其中.
（1）1是中的一个元素，用列举法表示A；
（2）若中至多有一个元素，试求a的取值范围.
64．设数集由实数构成，且满足：若(且)，则.
（1）若，试证明中还有另外两个元素；
（2）集合是否为双元素集合，并说明理由.
65．已知集合.
（1）若是空集，求的取值范围；
（2）若中只有一个元素，求的值，并求集合.
66．已知集合中的元素1，4，，且实数满足，求实数的值.
67．已知集合，．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围；
（3）若，求实数的取值范围．
68．已知，，，且，求实数.
69．已知集合，，，全集为实数集R.
（1）求，；
（2）如果，求实数a的取值范围.
70．已知集合为小于6的正整数}，为小于10的素数}，集合为24和36的正公因数}．
（1）试用列举法表示集合且；
（2）试用列举法表示集合且．
71．已知集合
（1）若A中元素有且只有一个，求实数a的取值范围.
（2）若A中元素至少有一个，求实数a的取值范围.
（3）若A中元素至多一个，求实数a的取值范围.
72．已知集合的元素全为实数，且满足：若，则．若，求出中其他所有元素．
73．设,，集合，求．
74．若集合A={x∣}中只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.
75．用另一种方法表示下列集合：
（1）{（x，y）|2x+3y=12，x，y∈N}；
（2）{0，1，4，9，16，25，36，49}；
（3）{平面直角坐标系中第二象限内的点}．
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