第01讲 集合的概念(考点讲解)（解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台
第01讲
集合的概念
【学习目标】
1.通过实例了解集合的含义．
2.掌握集合中元素的三个特性．
3.体会元素与集合的“从属关系”，记住常用数集的表示符号并会应用．
4.掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法．
5.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．
【知识结构】
【考点总结】
一、集合的概念
1．元素与集合的概念
(1)元素：我们把研究对象统称为元素．
表示：通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示
(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称集)．
表示：通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示
2．集合中元素的特性
二、元素与集合的关系
1．元素与集合的关系
【注】对∈和?的理解
(1)符号“∈”“?”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a?A”这两种结果．
(2)∈和?具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．
2．集合的分类及常用数集
(1)分类
(2)常用的数集：
数集
非负整数集(或自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N
或N＋
Z
Q
R
(3)常用数集关系网
实数集R
三、集合的表示法
1、列举法
定义：把集合中的全部元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合，这种表示集合的方法叫做列举法．{a1，a2，a3，…，an}
用列举法表示集合应注意的问题　
(1)元素个数少且有限时，全部列举，如{1,2,3,4}；
(2)元素间用“，”分隔开；元素不能重复，不考虑顺序；
(3)元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1
000的所有自然数”可以表示为{1,2,3，…，1
000}；
(4)元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如：自然数集N可以表示为{0,1,2,3，…}．
2、描述法
如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质．
定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法．
3、Venn图
在数学中，用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．
【例题讲解】
题型一　集合的判定问题
例1、下列每组对象能否构成一个集合：
(1)我们班的所有高个子同学；
(2)不超过20的非负数；
(3)直角坐标平面内第一象限的一些点；
(4)的近似值的全体．
解　(1)“高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合．(2)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；(3)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(4)“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以“的近似值”不能构成集合．
规律方法　判断一组对象能否构成集合的依据
【训练1】　给出下列说法：
①中国所有的直辖市可以构成一个集合；
②高一(1)班较胖的同学可以构成一个集合；
③正偶数的全体可以构成一个集合；
④大于2
011且小于2
017的所有整数不能构成集合．
其中正确的有________(填序号)．
解析　②中由于“较胖”的标准不明确，不满足集合元素的确定性，所以②错误；④中的所有整数能构成集合，故④错误．
答案　①③
【例题解析】
题型二　元素与集合的关系
例2、(1)给出下列关系：①∈R；②?Q；③|－3|?N；④|－|∈Q；⑤0?N.其中正确的个数为(　　)
A．1　　　
B．2　　　
C．3　　
D．4
(2)集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
解析　(1)①②正确；③④⑤不正确．
(2)∵∈N，x∈N，∴当x＝0时，＝2∈N，∴x＝0满足题意；当x＝1时，＝3∈N，∴x＝1满足题意；当x＝2时，＝6∈N，∴x＝2满足题意，当x>3时，<0不满足题意，所以集合A中的元素为0,1,2.
答案　(1)B　(2)0,1,2
规律方法　判断元素与集合关系的两个关键点
判断一个元素是否属于一个集合，一要明确集合中所含元素的共同特征，二要看该元素是否满足该集合中元素的共同特征．
【训练2】设集合M是由不小于2的数组成的集合，a＝，则下列关系中正确的是(　　)
A．a∈M　　　
B．a?M
C．a＝M　　
D．a≠M
解析　判断一个元素是否属于某个集合，关键是看这个元素是否具有这个集合中元素的特征，若具有就是，否则不是．∵<2，∴a?M.
答案　B
题型三　集合中元素的特性
例3、已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3是集合A中的元素，试求实数a的值．
解　因为－3是集合A中的元素，
所以－3＝a－3或－3＝2a－1.
若－3＝a－3，则a＝0，
此时集合A含有两个元素－3，－1，符合要求；
若－3＝2a－1，则a＝－1，
此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合要求．
综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.
【训练1】　(变换条件)若把本例中的条件“－3是集合A中的元素”去掉，求a的取值范围．
解　由集合元素的互异性知a－3≠2a－1，解得a≠－2，故实数a的取值范围是a≠－2.
【训练2】　(变换条件)若本例中的集合A含有两个元素1和a2，且a∈A，则实数a的值是什么？
解　由a∈A可知，当a＝1时，此时a2＝1，与集合元素的互异性矛盾，所以a≠1；当a＝a2时，a＝0或1(舍去)．综上可知a＝0.
规律方法　利用集合中元素的互异性求参数的策略及注意点
(1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中的元素的互异性对集合中的元素进行检验．
(2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用．
二、集合的表示
知识点　集合的表示方法
(1)列举法：
①定义：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法；
②形式：A＝{a1，a2，a3，…，an}．
(2)描述法：
①定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法；
②写法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
题型一　用列举法表示集合
例1、用列举法表示下列集合：
(1)15的正约数组成的集合；
(2)不大于10的正偶数集；
(3)方程组的解集．
解　(1)因为15的正约数为1,3,5,15，
所以所求集合可表示为{1,3,5,15}．
(2)因为不大于10的正偶数有2,4,6,8,10，
所以所求集合可表示为{2,4,6,8,10}．
(3)解方程组得
所以所求集合可表示为{(－3,0)}．
规律方法　用列举法表示集合的三个注意点
(1)用列举法表示集合时，首先要注意元素是数、点，还是其他的类型，即先定性．
(2)列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便．
(3)搞清集合是有限集还是无限集是选择恰当的表示方法的关键．
【训练1】　用列举法表示下列集合：
(1)绝对值小于5的偶数；
(2)24与36的公约数；
(3)方程组的解集．
解　(1)绝对值小于5的偶数集为{－2，－4,0,2,4}，是有限集．
(2){1,2,3,4,6,12}，是有限集．
(3)由得
∴方程组的解集为{(x，y)|}＝{(x，y)|}＝{(1,1)}，是有限集.
题型二　用描述法表示集合
例2、用描述法表示下列集合：
(1)正偶数集；
(2)被3除余2的正整数的集合；
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
解　(1)偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N
，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N
}．
(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．
(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．
【训练1】　(变换条件)例2(3)改为“用描述法表示平面直角坐标系中位于第二象限的点的集合．”
解　位于第二象限的点(x，y)的横坐标为负，纵坐标为正，
即x<0，y>0，故第二象限的点的集合为{(x，y)|x<0，y>0}．
【训练2】　(变换条件)例2(3)改为“用描述法表示图中阴影部分点(含边界)的坐标的集合．”
解　本题是用图形语言给出的问题，要求把图形语言转换为符号语言．用描述法表示(即用符号语言表示)为{(x，y)|－1≤x≤，－≤y≤1，且xy≥0}．
规律方法　用描述法表示集合的注意点
(1)“竖线”前面的x∈R可简记为x；
(2)“竖线”不可省略；
(3)p(x)可以是文字语言，也可以是数学符号语言，能用数学符号表示的尽量用数学符号表示；
(4)同一集合用描述法表示可以不唯一．
题型三　集合表示方法的综合应用
例3、(1)用列举法表示集合A＝＝________.
(2)集合A＝{x∈kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.
(1)解析　∵x∈Z且∈N，∴1≤6－x≤8，－2≤x≤5.当x＝－2时，1∈N；当x＝－1时，?N；当x＝0时，?N；当x＝1时，?N；当x＝2时，2∈N；当x＝3时，?N；当x＝4时，4∈N；当x＝5时，8∈N.综上可知A＝{－2,2,4,5}．
答案　{－2,2,4,5}
(2)解　①当k＝0时，原方程为16－8x＝0.
∴x＝2，此时A＝{2}；
②当k≠0时，
∵集合A中只有一个元素，
∴方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根．
∴Δ＝64－64k＝0，即k＝1.
从而x1＝x2＝4，∴A＝{4}．
综上可知，实数k的值为0或1.
当k＝0时，A＝{2}；
当k＝1时，A＝{4}．
规律方法　1.识别集合的两个步骤：
一看代表元素：例如{x|p(x)}表示数集，{(x，y)|y＝p(x)}表示点集；
二看条件：即看代表元素满足什么条件(公共特性)．
2．方程ax2＋bx＋c＝0的根的个数
在涉及ax2＋bx＋c＝0的根的集合中，要讨论二次项的系数a是否为0，当a＝0时，方程为bx＋c＝0是一次方程，再分b是否为0两种情况讨论其根的个数；当a≠0时，方程ax2＋bx＋c＝0为二次方程，结合判别式的符号判定其根的个数．
【训练1】　用列举法表示下列集合．
(1)A＝{y|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}；
(2)B＝{(x，y)|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}．
解　(1)因为y＝－x2＋6≤6，且x∈N，y∈N，
所以x＝0,1,2时，y＝6,5,2，符合题意，
所以A＝{2,5,6}．
(2)(x，y)满足条件y＝－x2＋6，x∈N，y∈N，
则应有
所以B＝{(0,6)，(1,5)，(2,2)}．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)