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第01讲
集合的概念
【培优练习】
一、单选题
1．集合，用列举法可以表示为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
据题意可得是6的约数，然后逐一检验的各个取值是否是正自然数，从而确定的各个可能的取值，进而得到的各个可能的取值,即可得出的列举法表示.
【详解】
∵是6的约数，
，
,得
,得
,得
,得
,得,与已知矛盾，故；
,得；
,得,
与已知矛盾，故
得.
故的值只能是，
对应的值依次为即.
故选：.
【点睛】
本题考查集合的描述法与列举法的转化，关键是根据数的整除性得到的可能的取值，根据的条件进一步确认的可能取值，进一步得到集合的元素.
2．已知，集合，且，则不可能的值是（
）
A．4
B．9
C．16
D．64
【答案】A
【分析】
先设是方程的根，，再依题意分析根均为整数，列举根的所有情况，确定和的可能情况，得到的最小取值和其他可能的情况，即得结果.
【详解】
设是方程的根，则由根和系数的关系知，又，说明方程有一个方程是两个相等的根，其他三个方程是两个不同的根，由于根均为整数且和为4，则方程的根有以下这些情况：…，，乘积分别为…，-60，-45，-32，-21，-12，-5，0，3，4.
因为，故，来自于4前面的任意可能三个不同的数字，最小，故当时最小，等于9，故不可能取4，能取9；当或时可以取16，64.
故选：A.
【点睛】
本题解题关键是能依据题意分析方程的根的可能情况，既是整数又满足和为4，判断，再根据的可能情况，确定的可能结果，以突破难点.
3．定义集合运算：.设，，则集合中的所有元素之和为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】A
【分析】
根据定义，逐个分析的取值情况，由此得到的取值情况，从而集合可确定，则集合中所有元素的和可求.
【详解】
当时，；当时，；
当时，；当时，；
所以，所以中所有元素之和为，
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键是理解的运算方法，由此采用逐个列举的方法可完成结果的求解.
4．已知集合，且，，则下列结论中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
设，，再利用，可得解.
【详解】
由，，设，，
所以，
且，
所以，
故选：C.
【点睛】
关键点点睛，本题的解题关键是，另外本题可以通过列举法得到集合的一些元素，进而排除选项可得解.
5．设所有被4除余数为的整数组成的集合为，即，则下列结论中错误的是（
）
A．
B．，则，
C．
D．，，则
【答案】B
【分析】
首先根据题意，利用的意义，再根据选项判断.
【详解】
A.，所以，正确；
B.若，则，或或或，故B不正确；
C.，所以，故C正确；
D.，，，则，故，故D正确.
故选：B
【点睛】
关键点点睛：本题考查集合新定义，关键是理解的意义，再将选项中的数写出中的形式，就容易判断选项了.
6．用表示非空集合中的元素的个数，定义，已知集合有三个真子集，，若，设实数的所有可能取值构成集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
由已知条件求得，可得出或，然后对实数的取值进行分类讨论，确定方程的解的个数，由此可求得实数的所有可能取值，即可得出的值.
【详解】
由题意可知，集合的真子集个数为，解得，
由题中定义可得，或.
由题意可知，为关于的方程的一根.
当时，则，则方程只有一个实根，可得，
此时，方程无实根，则满足条件；
当时，则关于的方程有三个根，必有，
此时，关于的方程的两根分别为，，分以下两种情况讨论：
①若是方程的一根时，则，解得.
当时，则，合乎题意；
当时，则，合乎题意；
②当方程有两个相等的实根，则，解得.
当时，，合乎题意；
当时，，合乎题意.
因此，，即.
故选：D.
【点睛】
以集合为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．在解本题中，在求出实数的取值后，要代回原集合进行检验，以免产生错解.
7．给定集合，若对于任意、，有，且，则称集合为闭集合，给出如下三个结论：
①集合为闭集合；
②集合为闭集合；
③若集合、为闭集合，则为闭集合．
其中正确结论的个数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
取，，利用闭集合的定义可判断①的正误；利用闭集合的定义可判断②的正误；取，，利用特殊值法可判断③的正误.由此可得出合适的选项.
【详解】
对于命题①，取，，则，则集合不是闭集合，①错误；
对于命题②，任取、，则存在、，使得，，
且，，所以，，，
所以，集合为闭集合，②正确；
对于命题③，若集合、为闭集合，取，，
则或，
取，，则，，
所以，集合不是闭集合，③错误.
因此，正确的结论个数为.
故选：B.
【点睛】
本题考查集合新定义“闭集合”的判断，考查推理能力，属于中等题.
8．在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，给出如下四个结论：①；②；③若整数属于同一“类”，则；④若，则整数属于同一“类”.其中，正确结论的个数是（
）.
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】
根据被除的余数可确定①②的正误；设，，可知被整除，知③正确；设，，可推得结果，知④正确.
【详解】
对于①，，，①正确；
对于②，，即被除余，，②错误；
对于③，设，，，能被整除，
，③正确；
对于④，设，，即，，
不妨令，，，
则，，，，
属于同一“类”，
④正确；
综上所述：正确结论的个数为个.
故选：.
【点睛】
本题考查集合中的新定义的问题，解题关键是明确新定义的具体含义，即通过余数分类，考查学生分析和解决问题的能力.
9．用表示集合A中的元素个数，若集合，，且.设实数的所有可能取值构成集合M，则=（
）
A．3
B．2
C．1
D．4
【答案】A
【分析】
根据题设条件，可判断出d（A）的值为1或3，然后研究的根的情况，分类讨论出a可能的取值．
【详解】
由题意，，，可得的值为1或3，
若，则仅有一根，必为0，此时a=0，则无根，符合题意
若，若仅有一根，必为0，此时a=0，则无根，不合题意，故有二根，一根是0，另一根是a，所以必仅有一根，所以，解得，此时的根为1或，符合题意，
综上，实数a的所有可能取值构成集合，故．
故选：A．
【点睛】
本题考查方程的根的个数的判断以及集合中元素个数，综合性较强，考查了分类讨论的思想及一元二次方程根的个数的研究方法，难度中等．
10．直角坐标平面中除去两点?可用集合表示为（
）
A．
B．或
C．
D．
【答案】C
【分析】
直角坐标平面中除去两点?，其余的点全部在集合中，逐一排除法．
【详解】
直角坐标平面中除去两点、，其余的点全部在集合中，
选项中除去的是四条线；
选项中除去的是或除去或者同时除去两个点，共有三种情况，不符合题意；
选项，则且，即除去两点?，符合题意；
选项，则任意点都不能，即不能同时排除，两点．
故选：C
【点睛】
本题考查了集合的基本概念，考查学生对集合的识别，属于中档题．
11．已知集合A满足条件:若a∈A,则∈A,那么集合A中所有元素的乘积为( )
A．-1
B．1
C．0
D．±1
【答案】B
【分析】
根据题意，令代入进行求解，依次赋值代入进行化简，把集合A中运算的所有形式全部求出，再求出它们的乘积即可.
【详解】
由题意，当时，，
令代入，则，
则，则，
即，所以，故选B.
【点睛】
本题主要考查了元素与集合的关系，以及集合的应用问题，其中解答中正确理解题意，合作选择解答的方法是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
12．下列各组中的集合P与Q表示同一个集合的是( )
A．P是由元素1,,π构成的集合,Q是由元素π,1,构成的集合
B．P是由π构成的集合,Q是由3.14159构成的集合
C．P是由2,3构成的集合,Q是由有序数对(2,3)构成的集合
D．P是满足不等式-1≤x≤1的自然数构成的集合,Q是方程x2=1的解集
【答案】A
【详解】
对于A,集合P,Q中的元素完全相同,所以P与Q表示同一个集合,对于B,C,D,集合P,Q中的元素不相同,所以P与Q不能表示同一个集合.
选A
13．，对于任意实数x恒成立，
则下列关系中立的是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
首先化简集合Q，对任意实数恒成立，则分两种情况：（1）时，易知结论成立，（2）时，无根，则由求得m的范围.
【详解】
，
对m分类：
（1）时，恒成立；
（2）时，需要，解得，
综合（1）（2）知，所以，
因为，所以，故选A.
【点睛】
该题考查的是有关判断集合间的关系的问题，涉及到的知识点有恒成立问题对应参数的取值范围的求法，真子集的概念问题，属于简单题目.
14．设集合，，则A∪B中的元素个数是
A．11
B．10
C．16
D．15
【答案】C
【分析】
首先确定集合A,B，然后求解并集运算确定其中元素的个数即可.
【详解】
由题意可得：,,
据此可得：，
则A∪B中的元素个数是16.
本题选择C选项.
【点睛】
本题主要考查集合的表示方法，并集运算及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
15．由实数x，﹣x，|x|，，组成的集合中，元素最多有（
）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【答案】A
【分析】
根据绝对值的定义和开平方、立方的方法,应对分三种情况分类讨论,根据讨论结果可得答案.
【详解】
当时，，此时集合共有2个元素，
当时，，此时集合共有1个元素，
当时，，此时集合共有2个元素，
综上所述，此集合最多有2个元素.
故选：.
【点睛】
本题考查了元素与集合关系的判断及根式的化简求值,其中解答本题的关键是利用分类讨论思想,对x分三种情况进行讨论,是基础题.
16．设集合A={2，1-a，a2-a+2}，若4∈A，则a=（ ）
A．-3或-1或2
B．-3或-1
C．-3或2
D．-1或2
【答案】C
【解析】
若1?a=4，则a=?3，∴a2?a+2=14，∴A={2,4,14}；
若a2?a+2=4，则a=2或a=?1，检验集合元素的互异性：
a=2时，1?a=?1，∴A={2,?1,4}；
a=?1时,1?a=2(舍)，
本题选择C选项.
17．已知集合，若中只有一个元素，则的值是（
）
A．
B．0或
C．1
D．0或1
【答案】B
【分析】
集合只含有一个元素，说明方程只有一个解.时，方程为一元一次方程，只有一个解，符合条件；时，方程为一元二次方程，若方程只有一个解，需判别式，所以解出即可，这样的值就都求出来了.
【详解】
集合中只含有一个元素，也就意味着方程只有一个解；
（1）当时，方程化为，只有一个解；
（2）当时，若只有一个解，只需，即；
综上所述，可知的值为或.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了描述法表示集合，一元二次方程只有一个解的充要条件，属于中档题.
18．用d（A）表示集合A中的元素个数，若集合A={0，1}，B={x|（x2-ax）（x2-ax+1）=0}，且|d（A）-d（B）|=1．设实数a的所有可能取值构成集合M，则d（M）=（ ）
A．3
B．2
C．1
D．4
【答案】A
【分析】
根据题设条件，可判断出d（B）的值为1或3，然后研究（x2﹣ax）（x2﹣ax+1）＝0的根的情况，分类讨论出a可能的取值．
【详解】
解：由题意，|d（A）-d（B）|=1，d（A）=2，可得d（B）的值为1或3
若d（B）=1，则x2-ax=0仅有一根，必为0，此时a=0，则x2-ax+1=x2+1=0无根，符合题意
若d（B）=3，则x2-ax=0有一根，必为0，此时a=0，则x2-ax+1=x2+1=0无根，不合题意
故x2-ax=0有二根，一根是0，另一根是a，所以x2-ax+1=0必仅有一根，所以△=a2-4=0，解得a=±2
此时x2-ax+1=0为1或-1，符合题意
综上实数a的所有可能取值构成集合M={0，-2，2}，故d（M）=3．
故选：A．
【点睛】
本题考查方程的根的个数的判断以及集合中元素个数，综合性较强，考查了分类讨论的思想及一元二次方程根的个数的研究方法，难度中等．
19．已知，.定义集合，则的元素个数满足（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
先理解题意，然后分①当,时,②当,时,
③当,时,三种情况讨论即可.
【详解】
解:由，,
①当,时,
,
,
此时的元素个数为个,
②当,时,
,
,
这种情况和第①种情况除外均相同,故新增个,
③当,时,
,
,这种情况与前面重复,新增0个,
综合①②③可得:
的元素个数为个,
故选:A.
【点睛】
本题考查了元素与集合关系的判断，重点考查了计数原理的应用，属中档题.
20．非空集合关于运算满足：①对任意、，都有；②存在使对一切都有，则称是关于运算的融洽集，现有下列集合及运算中正确的说法有（
）个
（1）是非负整数集，：实数的加法；
（2）是偶数集，：实数的乘法；
（3）是所有二次三项式组成的集合，多项式的乘法；
（4），：实数的乘法．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】
根据新定义运算判断．
【详解】
（1）任意两个非负整数的和仍然是非负整数，对任意，，，（1）正确；
（2）任意两个偶数的积仍然是偶数，但不存在，对任意，使，（2）错误；
（3）和是两个二次三项式，它们的积不是二次三项式，（3）错误；
（4）设，，则，而且，，（4）正确．
∴正确的有2个．
故选：B.
【点睛】
本题考查新定义，解题关键是对新定义的理解与应用．
21．集合的真子集的个数为15个，则实数m的范围（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
由集合A有15个真子集，可得集合A中有4个元素，解出集合A中的一元二次不等式，可得，分析即可得解.
【详解】
由，可得，
又因为，故：
假设集合A中有n个元素，因此集合A有个真子集，即，
故,所以
故选：C
【点睛】
本题考查了一元二次不等式的解法，集合的真子集的个数等知识点，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于中档题.
22．若集合中的元素都是非零实数，定义，若，且中有4个元素，则的值为（
）
A．1
B．
C．1或
D．1或
【答案】C
【分析】
根据所给定义，求出中的所有元素，再分类讨论可得.
【详解】
解：
根据定义，且中有4个元素，
，，，，，，
当时，解得，不满足条件，
当时，解得，满足条件，
当时，解得，不满足条件，
当时，解得，不满足条件，
当时，解得，满足条件，
当时，解得，不满足条件，
故选：.
【点睛】
本题考查集合中的新定义，分类讨论思想，属于基础题.
23．对于正实数,记是满足下列条件的函数构成的集合:对于任意的实数且,都有成立.下列结论中正确的是
A．若,,则
B．若,且,则
C．若,,则
D．若,且,则
【答案】C
【分析】
由题意知，从而求得．
【详解】
解：对于,
即有,
令,
则,
若,,
即有,,
所以,
则有,
故选：.
【点睛】
本题考查了函数的性质的判断与应用，属于中档题．
24．已知集合,则下列四个元素中属于M的元素的个数是（
）
①;②;③;④
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】C
【分析】
①②③都可以写成的形式，验证是否是有理数，④计算的平方验证，判断.
【详解】
①当时，可得，这与矛盾，
②
，可得
，都是有理数，所以正确，
③，
，可得，都是有理数，所以正确，
④
而
，
，
是无理数，
不是集合中的元素，
只有②③是集合的元素.
故选：C
【点睛】
本题考查元素与集合的关系，意在考查转化与化归的思想，计算能力，属于基础题型.
25．已知x，y均不为0，即的所有可能取值组成的集合中的元素个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】
对由x，y的正负分四种情况去绝对值讨论即可.
【详解】
当x，y同号时，原式的值是0；当x为正、y为负时，原式的值是2；当x为负、y为正时，原式的值是.
综上所述，的所有可能取值组成的集合中的元素个数为3.
故选：C
【点睛】
本题考查绝对值的运算，属于基础题.
26．设集合，集合且，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
对A中元素进行讨论，若满足且则此元素是B集合中的元素.
【详解】
集合，集合，
当时，可得；
当时，可得；
当时，可得.
综上.
故选：C
【点睛】
本题考查集合的含义与表示，属于基础题.
27．已知集合，若，则实数a的值为（
）
A．或4
B．2
C．-2
D．4
【答案】C
【分析】
由集合元素的特性和2属于集合A，直接计算判断求解即可得出答案.
【详解】
由集合，可得，则得，，又因为可得，解得，即C选项正确.
故选：C.
【点睛】
本题考查了集合元素特性的利用，考查了由元素属于集合求参数的问题，属于一般难度的题.
28．已知x，y都是非零实数，可能的取值组成的集合为A，则下列判断正确的是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【分析】
分别讨论的符号，然后对进行化简，进而求出集合A，最后根据集合元素的确定性即可得出答案.
【详解】
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，.
所以，.
故选：B.
【点睛】
本题考查了对含有绝对值符号的式子的化简，考查了集合元素的特点，考查了分类讨论思想，属于一般难度的题.
29．对任意，总有且，若，则满足条件的非空集合的个数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据题意，且，且、不同时在集合中，对集合分两种情况讨论：①且；②和有且只有一个在集合中，分别列举出符合条件的集合，即可得出答案.
【详解】
，，由题意可知且，由于，
所以，和不同时在集合中.
①当且时，则符合条件的集合有：、、，共种；
②若和有且只有一个在集合中，则符合条件的集合有：、、、、、、、，共种.
综上所述，满足条件的非空集合的个数是.
故选：A.
【点睛】
本题考查满足条件的集合个数的求解，列举出满足条件的集合即可，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
30．已知集合，，则集合的元素个数为（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】B
【分析】
解指数不等式求得集合，解分式不等式求得集合，由此求得集合的元素个数.
【详解】
由得，，解得，所以.由解得，所以.所以，共有个元素.
故选：B.
【点睛】
本小题主要考查指数不等式、分式不等式的解法，考查集合元素的判断，属于基础题.
31．对于非空数集M，定义表示该集合中所有元素的和.给定集合，定义集合，则集合的元素的个数为（
）
A．11
B．12
C．13
D．14
【答案】B
【分析】
分别考虑集合为单元素集、双元素集、三元素集、四元素集，然后分别计算出的取值，由此确定出集合中的元素的个数.
【详解】
当集合为单元素集时，可取，此时可取；
当集合为双元素集时，可取，此时可取；
当集合为三元素集时，可取，此时可取，
当集合为四元素集时，可取，此时可取，
综上可知可取，共个值，所以的元素个数为，
故选：B.
【点睛】
本题考查集合中的新定义问题，对学生的理解与分析问题的能力要求较高，难度较难.解答新定义的集合问题，首先要明确集合中表示元素的含义，其次才是解答问题.
32．非空集合具有下列性质：①若、，则；②若、，则，下列判断一定成立的是（
）
（1）；（2）；（3）若、，则；（4）若、，则.
A．（1）（3）
B．（1）（2）
C．（1）（2）（3）
D．（1）（2）（3）（4）
【答案】C
【分析】
假设，可推出，由此可判断（1）的正误；推导出，进而可推导出，，由此可判断（2）的正误；推导出，结合①可判断（3）的正误；若、，假设，推出，可判断（4）的正误.综合可得出结论.
【详解】
由①可知.
对于（1），若，对任意的，，则，
所以，，这与矛盾，（1）正确；
对于（2），若且，则，，，
依此类推可得知，，，，，，（2）正确；
对于（3），若、，则且，由（2）可知，，则，
所以，，（3）正确；
对于（4），由（2）得，，取
，则，所以（4）错误.
故选：C.
【点睛】
本题考查集合的新定义，考查元素与集合的关系的判断，属于较难题.
33．若正方体的棱长为1，则集合中元素的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】
将代入,结合和()化简即可得出集合中元素的个数.
【详解】
①当时
正方体
故:
()
故:
()
中元素的个数为.
②时
此时中元素的个数为.
综上所述,
中元素的个数为.
故选:A.
【点睛】
本题中将化简成和结合时,是解本题的关键.
34．对于集合，给出如下三个结论：①如果，那么；②如果，那么；③如果，，那么.其中正确结论的个数是
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【分析】
①根据，得出，即；
②根据，证明，即；
③根据，，证明．
【详解】
解：集合，，，
对于①，，，
则恒有，
，即，，则，①正确；
对于②，，，
若，则存在，使得，
，
又和同奇或同偶，
若和都是奇数，则为奇数，而是偶数；
若和都是偶数，则能被4整除，而不能被4整除，
，即，②正确；
对于③，，，
可设，，、；
则
那么，③正确．
综上，正确的命题是①②③．
故选．
【点睛】
本题考查了元素与集合关系的判断、以及运算求解能力和化归思想，是难题．
35．已知集合，，定义集合，则中元素个数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
的取值为，，，的取值为，，，，，的不同取值为，，，，，，同理的不同取值为，，，，，，，当时，只能等于零，此时，多出个，同理时，只能等于零，此时，多出个，一共多出个，∴中元素个数，故选．
【方法点睛】本题考查集合与元素、分步计数乘法原理的应用、新定义问题，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义一种运算达到考查集合与元素、分步计数乘法原理的应用的目.
36．若集合，，用表示集合中的元素个数，则
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
当时，，，都是取，，，中的一个，有种，当时，，，都是取，，中的一个，有种，当时，，，都是取，中的一个，有种，当时，，，都取，有种，所以，当时，取，，，中的一个，有种，当时，取，，中的一个，有种，当时，取，中的一个，有种，当时，取，有种，所以、的取值有种，同理，、的取值也有种，所以，所以，故选D．
考点：推理与证明．
37．设非空集合S={x|
m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x2∈S
.
给出如下三个命题：
①若m=1，则S={1}；②若m=
，则
≤
l
≤
1；③
l=，则
其中正确命题的个数是
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【分析】
根据集合中元素与集合的关系，分别列不等式求出范围，即可判断．
【详解】
非空集合S={x|m?x?l}满足：当x∈S时,有∈S.
对于①，若m=1,可得，则，则，∴①对；
对于②，若m=,满足∈S时,有，∴
≤
l
≤
1，②对；
对于③，若l=，可得，则.∴③对
故选：D.
【点睛】
本题主要考查集合与元素的关系，理清元素的性质，根据三个结论列不等式是解题的关键，属于难题.
38．对于正实数，记为满足下述条件的函数构成的集合：且，有.下列结论中正确的是
A．若，则
B．若且，则
C．若，则
D．若且，则
【答案】A
【解析】
试题分析：对于即有，令k=，有-α＜k＜α，不妨设，即有-α1＜kf＜α1，-α2＜kg＜α2，因此有-α1-α2＜kf+kg＜α1+α2，因此有．故选A．
考点：本题考查了元素与集合关系的判断
点评：本题的难点进行简单的合情推理，在能力上主要考查对新信息的理解力及解决问题的能力
39．设非空集合满足：当时，有，给出如下三个命题：①若则；②则；③若则；其中正确的命题的个数为（）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题中条件:“当时,有”对三个命题一一进行验证即可:对于①，,得；对于②，,则对于③，若,则,最后解出不等式,根据解出的结果与四个命题的结论对照,即可得出正确结果有几个.
【详解】
由定义设非空集合满足:当时,有知,符合定义的参数m的值一定大于等于1或小于等于0,惟如此才能保证时,有即,符合条件的n的值一定大于等于0,小于等于1,惟如此才能保证时,有，即,正对各个命题进行判断:
对于①，，故必有可得,正确；
对于②，,则解之可得，正确;
对于③，若,则解之可得,正确，所以正确命题有3个.
故选D.
【点睛】
本小题考查集合的运算及不等式和不等式组的解法.属于创新题,解答的关键是对新定义的概念的正确理解,列出不等关系转化为不等式问题解决.?
?新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决
二、多选题
40．设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有、、、（除数）则称数集是一个数域．例如有理数集是数域；数集也是数域．下列命题是真命题的是（
）
A．整数集是数域
B．若有理数集，则数集必为数域
C．数域必为无限集
D．存在无穷多个数域
【答案】CD
【分析】
利用已知条件中数域的定义判断各命题的真假，关键把握数域是对加减乘除四则运算封闭．
【详解】
要满足对四种运算的封闭，逐个检验；
A.对除法如?Z不满足，所以排除；
B.当有理数集增加一个元素得，而不属于集合，所以不是一个数域,排除；
C.域中任取两个元素，由运算可以生成无穷多个元素，所以正确；
D.
把集合中替换成以外的无理数，可得有无数个数域，所以正确.
故选:CD.
【点睛】
本题考查学生对新定义题型的理解和把握能力，理解数域的定义是解决该题的关键.
41．若集合具有以下性质：（1），；（2）若、，则，且时，.则称集合是“完美集”.下列说法正确的是（
）
A．集合是“完美集”
B．有理数集是“完美集”
C．设集合是“完美集”，、，则
D．设集合是“完美集”，若、且，则
【答案】BCD
【分析】
利用第（2）条性质结合，可判断A选项的正误；利用题中性质（1）（2）可判断B选项的正误；当时，推到出，结合性质（2）可判断C选项的正误；推导出，结合性质（2）可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，取，，则，集合不是“完美集”，A选项错误；
对于B选项，有理数集满足性质（1）、（2），则有理数集为“完美集”，B选项正确；
对于C选项，若，则，，C选项正确；
对于D选项，任取、，若、中有或时，显然；
当、均不为、且当，时，，
则，所以，，，，
所以，若、且，则，从而，D选项正确.
故选：BCD.
【点睛】
本题考查集合的新定义，正确理解定义“完美集”是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.
42．已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则的取值有（
）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】BCD
【分析】
根据条件可知集合中仅有一个元素，由此分析方程为一元一次方程、一元二次方程的情况，从而求解出的值.
【详解】
因为集合仅有个子集，所以集合中仅有一个元素，
当时，，所以，所以，满足要求；
当时，因为集合中仅有一个元素，所以，所以，此时或，满足要求，
故选：BCD.
【点睛】
本题考查根据集合中元素个数求解参数值，其中涉及到根据集合的子集个数确定集合中元素个数，难度一般.集合中元素个数与集合的子集个数的关系：集合中有个元素，则集合有个子集.
43．设，，为实数，，记集合，，若、分别表示集合、的元素的个数，则下列结论能成立的是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】ACD
【分析】
方程的解的个数取决于，至少有一个；方程的解得个数取决于及，分情况讨论举例可得答案.
【详解】
A：当时，方程无实根，所以，或；
当时，，由得，此时；
当，时，，由得，此时；故存在A成立；
B：当时，方程有三个根，所以，，，设为的一个根，即，则，且，故为方程的根，故有三个根，即时，必有，故不可能是，；故B错；
C：当时，由得或；
由得或；只需，即可满足，；故存在C成立；
D：当时，由得，即；由得；即；故存在D成立；
故选：ACD.
【点睛】
本题考查了集合中元素的个数及集合元素的特征，同时考查了二次方程的解，属于中档题．
44．已知，，当时，则集合中实数可能的取值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】
由条件可知方程有两个相等的实根，并且，列式求的值，再代入集合，求方程的实数根．
【详解】
由，得方程有两个相等的实根，且．
从而有解得
从而．
解方程，得．
故选：BC
【点睛】
本题考查集合元素与一元二次方程实数根的关系，重点考查计算能力，属于基础题型.
45．（多选题）已知集合，，则（
）
A．集合
B．集合可能是
C．集合可能是
D．0可能属于B
【答案】ABD
【分析】
根据集合，的定义，及集合元素的特点进行逐一判断即可．
【详解】
∵，∴，故A正确．
∵集合，∴集合中一定包含元素1，2，3，
∵，∴集合可能是，故B正确；
∵不是自然数，∴集合不可能是，故C错误；
∵0是最小的自然数，∴0可能属于集合，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】
本题考查了集合，的概念及集合元素的特点，属于基础题．
第II卷（非选择题）
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三、填空题
46．已知，则实数的值是________.
【答案】1
【分析】
本题可分为、两种情况进行讨论，得出实数的值后代入集合中判断是否成立，即可得出结果.
【详解】
因为，
所以若，则，此时，不满足；
若，则或（舍去），，此时集合为，满足，
故答案为：.
【点睛】
易错点睛：通过元素与集合的关系求参数时，要注意求出的集合中的元素需要满足互异性，考查计算能力，是中档题.
47．已知集合，且，则实数的值为___________.
【答案】或0.
【分析】
根据题意，考虑到各种可能性，分别解方程，并注意检验集合元素的互异性，即可得到答案.
【详解】
若，则或
当时，，符合元素的互异性；
当时，，不符合元素的互异性，舍去
若，则或
当时，，符合元素的互异性；
当时，，不符合元素的互异性，舍去；
故答案为：或0.
【点睛】
关键点点睛：本题考查元素与集合的关系，检验集合元素的互异性排除不符合答案是解题的关键，属基础题.
48．已知集合，设，若方程至少有三组不同的解，则实数的所有可能取值是________
【答案】
【分析】
先将的可能结果列出，然后根据相同结果出现的次数确定出的取值集合.
【详解】
将表示为，可得如下结果：
，
，
，
，
，
其中为，，都出现了次，所以若方程至少有三组不同的解，
则的取值集合为，
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键是理解方程至少有三组不同的解的含义，即的差值出现的次数不小于三次，由此可进行问题的求解.
49．对非空有限数集定义运算“min”：表示集合中的最小元素．现给定两个非空有限数集，，定义集合，我们称为集合，之间的“距离”，记为．现有如下四个命题：
①若，则；②若，则；
③若，则；④对任意有限集合，，，均有．
其中所有真命题的序号为__________．
【答案】①③
【分析】
根据题意可得①③正确，通过举反例可得②④错误.
【详解】
对于结论①，若，则，中最小的元素相同，故①正确；
对于结论②，取集合，，满足，但，故②错误；
对于结论③，若，则中存在相同的元素，则交集非空，故③正确；
对于结论④，取集合，，，可知，，，
则不成立，故④错误.
故答案为：①③．
50．若集合具有以下两条性质，则称集合为一个“好集合”.
（1）且；（2）若、，则，且当时，有.
给出以下命题：
①集合是“好集合”；
②是“好集合”；
③是“好集合”；
④是“好集合”；
⑤设集合是“好集合”，若、，则；
其中真命题的序号是________.
【答案】③④⑤
【分析】
取，结合（1）可判断①的正误；取结合（2）可判断②的正误；利用“好集合”的定义可判断③④的正误；由，可推导出，再结合（1）可判断⑤的正误.
【详解】
对于命题①，，，但，①错误；
对于命题②，，但，②错误；
对于命题③④，显然，集合、均满足（1）（2），所以，、都是“好集合”，③④正确；
对于命题⑤，当时，由于，则，
当，则，⑤正确.
故答案为：③④⑤.
【点睛】
解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，把其转化为我们熟知的基本运算．
四、双空题
51．已知集合，，，若有两个元素，则的取值为______；若有三个元素，则a的取值为______．
【答案】或
【分析】
（1）作出集合A，B的图像，利用为两个元素的集合，说明①直线和与圆各有一个交点且不重合，②直线和重合，且与圆有两个不同的交点，求实数即可；
（2）有三个元素的集合，，，直线和与圆必须交于三个点，即两直线有一个交点在圆上，且两直线与圆还各有一个交点，利用对称性求出实数即可
【详解】
解：（1）为两个元素的集合，
①直线和与圆各有一个交点且不重合，则满足条件，此时，如图（1）所示，
②直线和重合，且与圆有两个不同的交点，则满足条件，此时，，如图（2）所示，
综上，或时，有两个元素，
（2）有三个元素的集合，显然，，
直线和与圆必须交于三个点，即两直线有一个交点在圆上，且两直线与圆还各有一个交点，
因为直线和直线关于直线对称，
所以三个交点为或，
如图（3），（4）所示，此时
故答案为：或，
【点睛】
关键点点睛：此题考查直线与圆的位置关系，考查集合的运算，解题的关键是数形结合，利用直线和直线关于直线对称，找出交点，属于中档题
52．已知满足“如果，则”的自然数构成集合．”
（1）若是一个单元素集合，则______．
（2）满足条件的共有______个．
【答案】
15
【分析】
（1）如果，则,若是一个单元素集合，则得解
（2）讨论集合元素个数得解
【详解】
（1）是一个单元素集合，则，
（2）当集合元素个数为1个时
当集合元素个数为2个时
当集合元素个数为3个时
当集合元素个数为4个时
当集合元素个数为5个时
当集合元素个数为6个时
当集合元素个数为7个时
综上满足条件的共有15个
故答案为；15
【点睛】
本题考查集合元素的构成，属于基础题.
53．（1）若，则实数_____；（2）若，则实数a的取值范围是______.
【答案】4或
【分析】
(1)若，则，或，分别求出m并代回集合中验证是否满足集合的互异性；(2)由知2满足不等式，2代入不等式即可求得a的范围.
【详解】
（1）由，得，此时，，符合题意.
由，得，此时，故舍去.
由，得，
当时，，，符合题意；
当时，，，符合题意，
综上所述，
4或.
（2）因为，所以2不满足不等式，
即2满足不等式，所以，即.
所以实数a的取值范围是.
故答案为：4或；
【点睛】
本题考查根据元素与集合的关系求参数，属于基础题.
54．已知集合至多有一个元素，则的取值范围_________；
若至少有一个元素，则的取值范围__________．
【答案】
【详解】
由题意可知:
当A中仅有一个元素时,
,或,解得:
,;
当A中有0个元素时,
,解得:
;
当A中有两个元素时,
,解得:
;
所以,集合A至多有一个元素时的取值范围为:
,或;
集合A至少有一个元素时的取值范围为:
.
【点睛】
本题考查的集合中元素的个数问题．在解答时,首先应将集合的元素个数问题转化为一元二次方程的根的个数问题,二次项系数为字母时，要讨论字母为0和字母不为0，在字母不为0时则要讨论判别式等于0，大于0，小于0时一元二次方程的根的个数问题．
五、解答题
55．已知由实数组成的集合，，又满足:若，则．
（1）设中含有3个元素，且求A；
（2）能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由；
（3）
中含元素个数一定是个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由．
【答案】（1）；（2）不存在这样的，理由见解析；（3）是，证明见解析.
【分析】
（1）根据题意得，，，故；
（2）假设集合是单元数集合，则，根据矛盾即可得答案；
（3）根据已知条件证明，，是集合的元素即可.
【详解】
解：（1）因为若，则，，
所以，，，
所以.
（2）假设集合是仅含一个元素的单元素集合，
则，即：，
由于，故该方程无解，
所以不能是仅含一个元素的单元素集.
（3）因为，，则，则，
所以，故该集合有三个元素，下证，，互不相等即可.
假设，则，该方程无解，故，不相等，
假设，则，该方程无解，故，不相等，
假设，则，该方程无解，故，不相等.
所以集合中含元素个数一定是个.
【点睛】
本题考查集合与元素的关系，其中第三问解题的关键在于根据已知证明，，互不相等且属于集合即可.考查运算求解能力与逻辑推理能力，是中档题.
56．设数集由实数构成，且满足：若（且），则．
（1）若，则中至少还有几个元素？
（2）集合是否为双元素集合？请说明理由．
（3）若中元素个数不超过，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合．
【答案】（1）中至少还有两个元素；（2）不是双元素集合，答案见解析；（3）．
【分析】
（1）由（且），则，结合可计算得出集合中的元素；
（2）由，逐项可推导出，，结合集合元素满足互异性可得出结论；
（3）由（2）中有三个元素为、、（且），设中还有一个元素，可得出，，由已知条件列方程求出、的值，即可求得集合中的所有元素.
【详解】
（1），．
，．
，．
中至少还有两个元素为，；
（2）不是双元素集合．理由如下：
，，，
由于且，，则，
则，可得，由，即，可得，
故集合中至少有个元素，所以，集合不是双元素集合．
（3）由（2）知中有三个元素为、、（且），
且，
设中有一个元素为，则，，且，
所以，，且集合中所有元素之积为.
由于中有一个元素的平方等于所有元素的积，
设或，解得（舍去）或或．
此时，，，，
由题意得，整理得，
即，解得或或，
所以，．
【点睛】
关键点点睛：本题考查集合中元素相关的问题，解题时要结合题中集合满足的定义推导出其它的元素，以及结合已知条件列方程求解，同时注意集合中元素满足互异性.
57．已知集合，集合．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围；
（3）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）求出集合，利用并集的定义可求得集合；
（2）利用可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围；
（3）分和两种情况讨论，结合可得出关于实数的不等式组，可求得实数的取值范围.
【详解】
（1）当时，，则；
（2）由知，解得，即的取值范围是；
（3）由得
①若，即时，符合题意；
②若，即时，需或．
得或，即．
综上知，即实数的取值范围为．
【点睛】
易错点睛：在求解本题第（3）问时，容易忽略的情况，从而导致求解错误.
58．已知集合．
（1）若中只有一个元素，求的值；
（2）若中至少有一个元素，求的取值范围；
（3）若中至多有一个元素，求的取值范围.
【答案】（1）或；（2）；（3）或.
【分析】
根据集合中元素的个数以及方程的解即可确定的取值范围.
【详解】
解：（1）若中只有一个元素，
则当时，原方程变为，此时符合题意，
当时，方程为二元一次方程，，即，
故当或时，原方程只有一个解；
（2）中至少有一个元素，
即中有一个或两个元素，
由得综合（1）当时中至少有一个元素；
（3）中至多有一个元素，
即中有一个或没有元素
当，
即时原方程无实数解，
结合（1）知当或时中至多有一个元素.
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是理解集合中的元素与方程的根之间的关系.
59．设非空集合具有如下性质：①元素都是正整数；②若则．
（1）请你写出符合条件，且分别含有一个、二个、三个元素的集合各一个；
（2）是否存在恰有6个元素的集合？若存在，写出所有的集合；若不存在，请说明理由；
（3）满足条件的集合S总共有多少个？
【答案】（1）答案见详解；（2）存在，且共有个，答案见详解；（3）个.
【分析】
（1）当集合中只有一个元素，则，得出集合即可；有两个元素时，只需两个元素之和为即可；当有三个元素时，只需其中两个元素之和为，另外一个元素为；
（2）只需选对和为的正整数即可；
（3）集合中元素的个数可以为，，，，，，，，个，先计算出当集合的元素个数为偶数时的个数，同理可得中元素个数为奇数的个数，然后则可得出符合条件的的总个数.
【详解】
解：（1）若集合中只有一个元素，则只需满足，故，则；
若集合中有两个元素，则符合条件；
若集合中有三个元素，则符合条件.
（2）存在，一共有四个：
或或或.
（3）由题意可知，集合中元素的个数可以为，，，，，，，，个，
当集合中元素的个数为偶数时：
含有个元素时，只需在，，，这四对中任选一对，则共有个；
含有个元素时，只需，，，这四对中任选两对，则共有6个；
含有个元素时，只需，，，这四对中任选三对，则共有个；
含有个元素时，则共有个，
所以当集合中元素的个数为偶数时，满足条件的集合共有个，
同理可知，当中元素个数分别为时，符合条件的集合也为个；
由（1）可知，当中只有一个元素时，只有一个，
综上所述，符合条件的共有个.
【点睛】
本题考查集合的新定义问题，考查学生获取新知识、应用新知识的能力，理解题意是关键.
60．已知集合．问是否存在，使
（1）中只有一个元素；
（2）中至多有一个元素；
（3）中至少有一个元素．若存在，分别求出来；若不存在，说明理由．
【答案】（1）存在，或；（2）存在，或；（3）存在，.
【分析】
（1）考虑和两种情况，计算得到答案.
（2）考虑或中只有一个元素，计算得到答案.
（3）中至少有一个元素，即方程有解，考虑方程有一个解或者方程有两个解的情况，计算得到答案.
【详解】
（1）当时，方程只有一解，即；
当，且，即时，方程有两个相等的根，中只有一个元素.
综上所述：当或时，中只有一个元素.
（2）中至多有一个元素，即或中只有一个元素.
由（1）可知或时中只有一个元素，
而，即时方程无解，为空集，
综上所述：当或时，中至多有一个元素.
（3）中至少有一个元素，即方程有解，
时，，即，其中时，方程有两个相等的根，，.
若，方程有两个不相等的根，，，此时.
时，方程有根，.
综上所述：时，中至少有一个元素.
【点睛】
本题考查了根据集合中元素的个数求参数，意在考查学生的计算能力和分类讨论能力.
61．已知是满足下列条件的集合：①②若，则,③若且，则
（1）判断是否正确，说明理由
（2）证明：若则
（3）证明：若则
【答案】（1）正确，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【分析】
（1）根据定义依次确定包含元素；
（2）根据定义确定包含元素，即得结论；
（3）根据定义依次确定包含元素,即得结论
【详解】
（1）正确.
证明如下：由①知
由②可得
由③得
（2）证明：由①知
由题知，
由②可得
又，即
（3）证明：，由②可得，再由③可得
即，
即，
即当
由（2）可知，当
当，可得
【点睛】
本题考查新定义、元素与集合关系，考查综合分析论证判断能力，属中档题.
62．已知、、为非空整数集合，对于1、2、3的任意一个排列i、j、k，若，，则.
（1）证明：三个集合中至少有两个相等；
（2）三个集合中是否可能有两个集合无公共元素？说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）可能，如奇数，偶数
【分析】
（1）由题意三个集合中的元素都为零时，成立；不妨设，为、中最小的非负元素，若，可得的取法矛盾，即证.
（2）举特例比如奇数，偶数即可证出.
【详解】
（1）若，，则，
所以每个集合中均有非负元素，当三个集合中的元素都为零时，
命题显然成立，否则，设、、中的最小正元素为，
不妨设，设为、中最小的非负元素，
不妨设，则，
若，则的取法矛盾，所以，
任取，因，故，
所以包含，同理包含，所以.
（2）可能，比如奇数，偶数，
这时与，与都无公共元素.
【点睛】
本题考查了元素与集合的关系，考查了考生的分析能力，属于中档题.
63．由实数组成的集合A具有如下性质：若，且，那么.
（1）若集合A恰有两个元素，且有一个元素为，求集合A；
（2）是否存在一个含有元素0的三元素集合A；若存在请求出集合，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）或或；（2）存在，.
【分析】
（1）根据题意设集合，然后分类讨论与的大小，根据集合的性质解出，即可得解；
（2）假设存在一个含有元素0的三元素集合A，根据集合中元素的性质可知，，，进一步可知，，不妨设集合且，再根据集合中元素的性质可求得结果.
【详解】
（1）集合A恰有两个元素且.不妨设集合，
当时，由集合A的性质可知，，则或，
解得(舍)或，所以集合
当时，由集合A的性质可知，，则或，
解得或(舍)或所以集合或
综上所述：或或.
（2）假设存在一个含有元素0的三元素集合A，即，
当时，则无意义，当时，则无意义，
所以，，并且，，即，
不妨设集合且，
当时，由题意可知，，
若，即，解得或(舍)，此时集合；
若，则不成立；
若，即(舍)，
当时，由题意可知，，
若，则（舍），
若，则（舍），
若，则不成立，
综上所述，集合A是存在的，.
【点睛】
本题考查了元素与集合的关系，考查了分类讨论思想，属于中档题.
64．下列三个集合：
①{x|y＝x2＋1}；
②{y|y＝x2＋1}；
③{(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们各自的含义是什么？
【答案】(1)它们是不相同的集合．(2)见解析
【解析】
试题分析：由题意，可判定（1）中集合为实数集；（2）中表示集合；（3）中表示二次函数图象上的点作为元素构成的点集，所以三个集合表示不同的集合.
试题解析：
(1)它们是不相同的集合．
(2)集合①是函数y＝x2＋1的自变量x所允许的值组成的集合．因为x可以取任意实数，所以{x|y＝x2＋1}＝R.集合②是函数y＝x2＋1的所有函数值y组成的集合．由二次函数图像知y≥1，所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．
集合③是函数y＝x2＋1图像上所有点的坐标组成的集合．
65．用列举法表示下列集合：
(1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A；
(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解组成的集合M；
(3)方程组
的解组成的集合B；
(4)15的正约数组成的集合N.
【答案】(1)
{－2，－1,0,1,2}(2)
M＝{2,3}(3)
B＝{(x，y)|(3,2)}
(4)
N＝{1,3,5,15}
【分析】
（1）根据题意，得到，即可表示集合；
（2）求解出方程的根，即可表示集合；
（3）求解方程组的解，即可表示集合；
（4）找到的正约数，即可表示集合.
【详解】
(1)，
，
；
(2)解方程
和是方程的根，
；
(3)解方程组得
；
(4)的正约数有四个数字，
．
【点睛】
本题考查集合的列举法，区分点集和数集，属于简单题.
66．已知全集，集合，.
（1）求；
（2）若集合，满足，，求实数的取值范围.
【答案】（1）或.；（2）.
【分析】
（1）求出以及后可得.
（2）根据集合等式关系可得，故可得各集合中范围的端点的大小关系，从而可求实数的取值范围.
【详解】
（1）由题，或，
或.
（2）由得，则，解得，
由得，则，解得，
∴实数的取值范围为．
【点睛】
本题考查集合的交和补以及在包含的条件下参数的取值范围的求法，注意根据集合的等式关系判断出集合之间的包含关系，本题属于中档题.
67．已知集合，其中为常数，且．
（1）若中至少有一个元素，求的取值范围；
（2）若中至多有一个元素，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）对分类讨论：，解出即可判断出是否满足题意．时，中至少有一个元素，满足，解得范围即可得出．
（2）对分类讨论：，直接验证是否满足题意．时，由中至多有一个元素，可得，解得范围即可得出．
【详解】
解：（1），由，解得，满足题意，因此．
时，中至少有一个元素，，解得，．
综上可得：的取值范围是．
（2），由，解得，满足题意，因此．
时，中至多有一个元素，，解得．
综上可得：的取值范围是．
【点睛】
本题考查了集合的性质、一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．
68．已知集合，其中为常数，且.
（1）若A是单元素集合，求的取值范围；
（2）若A中至少有一个元素，求的取值范围；
（3）若A中至多有一个元素，求的取值范围.
【答案】（1）0或；（2）；（3）或
【分析】
（1）分和两种情况，分别讨论方程的解的情况，可求出答案；
（2）分A中只有一个元素和A中有两个元素两种情况，分别讨论方程的解的情况，可求出答案；
（3）分A中只有一个元素和A中没有元素两种情况，分别讨论方程的解的情况，可求出答案；
【详解】
（1）若A是单元素集合，则方程只有一个实数根，
当时，原方程为，解得，满足题意；
当时，一元二次方程只有一个实数根，则，解得.
所以a的值为0或.
（2）若A中只有一个元素，由（1）知或；
若A中有两个元素，则，且，解得.
综上，时，A中至少有一个元素.
（3）若A中只有一个元素，由（1）知或；
若A中没有元素，则，且，解得，此时方程没有实数根.
综上，或时，A中至多有一个元素.
【点睛】
本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，根据题目要求确定集合中方程的根的情况，是解答本题的关键．
69．已知集合，
（1）求证：任何奇数都是中的元素；
（2）判断偶数是否为的元素？请说明理由；
（3）求证：属于的两个元素之积仍属于；
（4）试求中第个正整数.
【答案】（1）证明见解析；（2）数字不是集合中的元素；答案见解析；（3）证明见解析；（4）.
【分析】
（1）由奇数可表示为，，即可证明；
（2）分析集合的元素的特征，即可判断；
（3）不妨任意取，，根据整式乘法即可证明；
（4）由⑴、⑵、⑶可知相邻的个整数中有个是集合的元素，从而计算可得；
【详解】
解：（1）由奇数可表示为，，因此可知任何奇数都是集合中的元素.
（2）分析集合的性质，可得，当，同奇或同偶时，，均为偶数，为4的倍数；当，一奇，一偶时，，均为奇数，为奇数，所以或为偶数，或为的倍数，因此数字不是集合中的元素；
（3）不妨任意取，则，所以
，因为，，所以可知属于集合的两个元素之积仍属于集合；
⑷由⑴、⑵、⑶可知相邻的个整数中必有两个奇数和一个的倍数，则这个数中有个是集合的元素，而分析，故中第个正整数应该是.
【点睛】
本题主要考查元素与集合关系的判断、奇数等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．
70．设集合，
（1）验证5和6是否属于集合M.
（2）关于集合M，还能得出什么结论吗？
【答案】（1）；；（2）答案见解析.
【分析】
（1）元素是否属于集合，即看是否满足集合中的约束条件，即看，，是否有解；
（2）根据集合中的约束条件，对赋值，如可令，或，，得到相关的一些结论，答案不唯一.
【详解】
（1）∵，∴.
设，则，而，
则说明和中一个为偶数，另一个为奇数.另外，
又有是偶数，
这说明和必同为偶数或同为奇数，矛盾.故.
（2）可以得到下列结论：
①一切奇数属于集合M.因任一奇数，∴.
②形如的数也属于M.因，故.
③形如的偶数不属于.可模仿题（1）中的证明.
④属于M的两个整数的积也属于M.
设，
，∵.
【点睛】
本题考查了对集合描述法的理解，元素与集合的关系，对约束条件的分析与理解，属于中档题.
71．已知集合中的元素都是正整数，对任意，定义.若存在正整数k，使得对任意，都有，则称集合S具有性质.记是集合中的最大值.
（1）判断集合和集合是否具有性质，直接写出结论；
（2）若集合S具有性质，求证：
①；
②.
【答案】（1）集合具有性质，集合不具有性质；（2）①证明见解析；②证明见解析.
【分析】
（1）根据定义，任意，都有，对集合A和B进行计算即可；
（2）不妨设，
（i）由得，，所以，再结合新定义即可得解，
（ii）由（i）可知，对任意，都有
，
所以，所以，因为对任意，，所以，所以，即，再利用反证法即可得解.
【详解】
（1）集合具有性质，
集合不具有性质.
（2）证明：不妨设.
（i）由得.
对任意，有，
因为，
所以.
所以对任意，都有，所以.
又因为
，
所以.
（ii）由（i）可知，对任意，都有
，
所以，所以.
因为对任意，，所以，所以，
即，.
若，则当时，，矛盾.所以.
又因为是正整数，所以.
【点睛】
本题考查了关于集合的新定义，考查了对新定义的理解和运算，考查了放缩法和反正法等数学方法，要求较高的计算能力和思维推理能力，属于较难题.
72．已知集合，其中，定义.若，则称与正交
（1）若，写出中与正交的所有元素
（2）令.若，证明：为偶数
【答案】（1），，，，，；（2）证明见解析
【分析】
（1）根据新定义直接写出答案即可.
（2）首先根据题意分别表示出，，即可证明为偶数.
【详解】
（1）中与正交的所有元素为，，，
，，.
（2）对于，存在，
，，使得.
令，.
当时，，当时，，
所以.
所以为偶数.
【点睛】
本题主要考查集合新定义问题，考查学生分析问题的能力，属于难题.
73．在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意的点，定义，任取点，记，若此时成立，则称点相关.
（1）分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由.①；②.
（2）给定，点集，求集合中与点相关的点的个数.
【答案】（1）见解析（2）
【分析】
（1）根据所给定义，代入不等式化简变形可得对应坐标满足的关系，即可判断所给两个点的坐标是否符合定义要求.
（2）根据所给点集，依次判断在四个象限内满足的点个数，坐标轴上及原点的个数，即可求得集合中与点相关的点的个数；
【详解】
若点，相关，则，，而
不妨设
则由定义可知
化简变形可得
（1）对于①，；对应坐标取绝对值，代入可知成立，因此相关；
②对应坐标取绝对值，代入可知，因此不相关.
（2）在第一象限内，，可知且，有个点；同理可知，在第二象限、第三象限、第四象限也各有个点.
在轴正半轴上，点满足条件；在轴负半轴上，点满足条件；
在轴正半轴上，点满足条件；在轴负半轴上，点满足条件；
原点满足条件；
因此集合中共有个点与点相关.
【点睛】
本题考查了集合中新定义的应用，对题意的理解与分析能力的要求较高，属于难题.
74．设表示不超过的最大整数，用，，，…，组成集合的元素，求集合中的元素的个数．
【答案】76
【分析】
取，分别计算的值，再考虑当时的取值情况，从而可得集合中的元素的个数.
【详解】
设，
当时，，此时，
当时，，此时，
当时，，此时，
当时，，此时，
当时，，此时，
当时，，此时，
当时，，此时，
当时，，此时，
当时，，此时，
当时，，此时，
当时，，此时，
当时，，此时，
当时，，此时，
当时，，此时，
当时，，此时，
当时，，此时，
当时，，此时，
当时，，此时，
当时，，此时，
当时，，此时，
当时，，此时，
当时，，此时，
当时，，此时，
当时，，此时，
当时，，此时，
当时，，且，
故当时，均大于或等于25，且两两相异，
故集合中的元素的个数为.
【点睛】
本题考查集合中元素的个数，注意根据前后项差的关系来合理分类讨论，本题计算较为繁琐，为较难题.
75．在平面直角坐标系中，为坐标原点．对任意的点，定义．任取点，，记，，若此时成立，则称点，相关．
（1）分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由；
①，；②，．
（2）给定，，点集．
（）求集合中与点相关的点的个数；
（）若，且对于任意的，，点，相关，求中元素个数的最大值．
【答案】（1）①相关；②不相关.（2）（）个（）.
【分析】
（1）根据所给定义，代入不等式化简变形可得对应坐标满足的关系，即可判断所给两个点的坐标是否符合定义要求.
（2）（）根据所给点集，依次判断在四个象限内满足的点个数，坐标轴上及原点的个数，即可求得集合中与点相关的点的个数；（）由（1）可知相关点满足，利用分类讨论证明，即可求得中元素个数的最大值．
【详解】
若点，相关，则，，而，
不妨设，
则由定义可知，
化简变形可得，
（1）对于①，；对应坐标取绝对值，代入可知成立，因此相关；
②对应坐标取绝对值，代入可知，因此不相关.
（2）（）在第一象限内，，可知且，有个点；同理可知，在第二象限、第三象限、第四象限也各有个点.
在轴正半轴上，点满足条件；在轴负半轴上，点满足条件；
在轴正半轴上，点满足条件；在轴负半轴上，点满足条件；
原点满足条件；
因此集合中共有个点与点相关.
（）若两个不同的点，相关，其中，，，，
可知.
下面证明.
若，则，成立；
若，则，
若，则，亦成立.
由于，
因此最多有个点两两相关，其中最多有个点在第一象限；最少有1个点在坐标轴正半轴上，一个点为原点.
因此中元素个数的最大值为.
【点睛】
本题考查了集合中新定义的应用，对题意的理解与分析能力的要求较高，属于难题.
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第01讲
集合的概念
【培优练习】
一、单选题
1．集合，用列举法可以表示为（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知，集合，且，则不可能的值是（
）
A．4
B．9
C．16
D．64
3．定义集合运算：.设，，则集合中的所有元素之和为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
4．已知集合，且，，则下列结论中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．设所有被4除余数为的整数组成的集合为，即，则下列结论中错误的是（
）
A．
B．，则，
C．
D．，，则
6．用表示非空集合中的元素的个数，定义，已知集合有三个真子集，，若，设实数的所有可能取值构成集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
7．给定集合，若对于任意、，有，且，则称集合为闭集合，给出如下三个结论：
①集合为闭集合；
②集合为闭集合；
③若集合、为闭集合，则为闭集合．
其中正确结论的个数是（
）
A．
B．
C．
D．
8．在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，给出如下四个结论：①；②；③若整数属于同一“类”，则；④若，则整数属于同一“类”.其中，正确结论的个数是（
）.
A．1
B．2
C．3
D．4
9．用表示集合A中的元素个数，若集合，，且.设实数的所有可能取值构成集合M，则=（
）
A．3
B．2
C．1
D．4
10．直角坐标平面中除去两点?可用集合表示为（
）
A．
B．或
C．
D．
11．已知集合A满足条件:若a∈A,则∈A,那么集合A中所有元素的乘积为( )
A．-1
B．1
C．0
D．±1
12．下列各组中的集合P与Q表示同一个集合的是( )
A．P是由元素1,,π构成的集合,Q是由元素π,1,构成的集合
B．P是由π构成的集合,Q是由3.14159构成的集合
C．P是由2,3构成的集合,Q是由有序数对(2,3)构成的集合
D．P是满足不等式-1≤x≤1的自然数构成的集合,Q是方程x2=1的解集
13．，对于任意实数x恒成立，
则下列关系中立的是
A．
B．
C．
D．
14．设集合，，则A∪B中的元素个数是
A．11
B．10
C．16
D．15
15．由实数x，﹣x，|x|，，组成的集合中，元素最多有（
）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
16．设集合A={2，1-a，a2-a+2}，若4∈A，则a=（ ）
A．-3或-1或2
B．-3或-1
C．-3或2
D．-1或2
17．已知集合，若中只有一个元素，则的值是（
）
A．
B．0或
C．1
D．0或1
18．用d（A）表示集合A中的元素个数，若集合A={0，1}，B={x|（x2-ax）（x2-ax+1）=0}，且|d（A）-d（B）|=1．设实数a的所有可能取值构成集合M，则d（M）=（ ）
A．3
B．2
C．1
D．4
19．已知，.定义集合，则的元素个数满足（
）
A．
B．
C．
D．
20．非空集合关于运算满足：①对任意、，都有；②存在使对一切都有，则称是关于运算的融洽集，现有下列集合及运算中正确的说法有（
）个
（1）是非负整数集，：实数的加法；
（2）是偶数集，：实数的乘法；
（3）是所有二次三项式组成的集合，多项式的乘法；
（4），：实数的乘法．
A．1
B．2
C．3
D．4
21．集合的真子集的个数为15个，则实数m的范围（
）
A．
B．
C．
D．
22．若集合中的元素都是非零实数，定义，若，且中有4个元素，则的值为（
）
A．1
B．
C．1或
D．1或
23．对于正实数,记是满足下列条件的函数构成的集合:对于任意的实数且,都有成立.下列结论中正确的是
A．若,,则
B．若,且,则
C．若,,则
D．若,且,则
24．已知集合,则下列四个元素中属于M的元素的个数是（
）
①;②;③;④
A．4
B．3
C．2
D．1
25．已知x，y均不为0，即的所有可能取值组成的集合中的元素个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
26．设集合，集合且，则（
）
A．
B．
C．
D．
27．已知集合，若，则实数a的值为（
）
A．或4
B．2
C．-2
D．4
28．已知x，y都是非零实数，可能的取值组成的集合为A，则下列判断正确的是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
29．对任意，总有且，若，则满足条件的非空集合的个数是（
）
A．
B．
C．
D．
30．已知集合，，则集合的元素个数为（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
31．对于非空数集M，定义表示该集合中所有元素的和.给定集合，定义集合，则集合的元素的个数为（
）
A．11
B．12
C．13
D．14
32．非空集合具有下列性质：①若、，则；②若、，则，下列判断一定成立的是（
）
（1）；（2）；（3）若、，则；（4）若、，则.
A．（1）（3）
B．（1）（2）
C．（1）（2）（3）
D．（1）（2）（3）（4）
33．若正方体的棱长为1，则集合中元素的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
34．对于集合，给出如下三个结论：①如果，那么；②如果，那么；③如果，，那么.其中正确结论的个数是
A．0
B．1
C．2
D．3
35．已知集合，，定义集合，则中元素个数为（
）
A．
B．
C．
D．
36．若集合，，用表示集合中的元素个数，则
A．
B．
C．
D．
37．设非空集合S={x|
m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x2∈S
.
给出如下三个命题：
①若m=1，则S={1}；②若m=
，则
≤
l
≤
1；③
l=，则
其中正确命题的个数是
A．0
B．1
C．2
D．3
38．对于正实数，记为满足下述条件的函数构成的集合：且，有.下列结论中正确的是
A．若，则
B．若且，则
C．若，则
D．若且，则
39．设非空集合满足：当时，有，给出如下三个命题：①若则；②则；③若则；其中正确的命题的个数为（）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
二、多选题
40．设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有、、、（除数）则称数集是一个数域．例如有理数集是数域；数集也是数域．下列命题是真命题的是（
）
A．整数集是数域
B．若有理数集，则数集必为数域
C．数域必为无限集
D．存在无穷多个数域
41．若集合具有以下性质：（1），；（2）若、，则，且时，.则称集合是“完美集”.下列说法正确的是（
）
A．集合是“完美集”
B．有理数集是“完美集”
C．设集合是“完美集”，、，则
D．设集合是“完美集”，若、且，则
42．已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则的取值有（
）
A．
B．
C．0
D．1
43．设，，为实数，，记集合，，若、分别表示集合、的元素的个数，则下列结论能成立的是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
44．已知，，当时，则集合中实数可能的取值为（
）
A．
B．
C．
D．
45．（多选题）已知集合，，则（
）
A．集合
B．集合可能是
C．集合可能是
D．0可能属于B
三、填空题
46．已知，则实数的值是________.
47．已知集合，且，则实数的值为___________.
48．已知集合，设，若方程至少有三组不同的解，则实数的所有可能取值是________
49．对非空有限数集定义运算“min”：表示集合中的最小元素．现给定两个非空有限数集，，定义集合，我们称为集合，之间的“距离”，记为．现有如下四个命题：
①若，则；②若，则；
③若，则；④对任意有限集合，，，均有．
其中所有真命题的序号为__________．
50．若集合具有以下两条性质，则称集合为一个“好集合”.
（1）且；（2）若、，则，且当时，有.
给出以下命题：
①集合是“好集合”；
②是“好集合”；
③是“好集合”；
④是“好集合”；
⑤设集合是“好集合”，若、，则；
其中真命题的序号是________.
四、双空题
51．已知集合，，，若有两个元素，则的取值为______；若有三个元素，则a的取值为______．
52．已知满足“如果，则”的自然数构成集合．”
（1）若是一个单元素集合，则______．
（2）满足条件的共有______个．
53．（1）若，则实数_____；（2）若，则实数a的取值范围是______.
54．已知集合至多有一个元素，则的取值范围_________；
若至少有一个元素，则的取值范围__________．
五、解答题
55．已知由实数组成的集合，，又满足:若，则．
（1）设中含有3个元素，且求A；
（2）能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由；
（3）
中含元素个数一定是个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由．
56．设数集由实数构成，且满足：若（且），则．
（1）若，则中至少还有几个元素？
（2）集合是否为双元素集合？请说明理由．
（3）若中元素个数不超过，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合．
57．已知集合，集合．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围；
（3）若，求实数的取值范围．
58．已知集合．
（1）若中只有一个元素，求的值；
（2）若中至少有一个元素，求的取值范围；
（3）若中至多有一个元素，求的取值范围.
59．设非空集合具有如下性质：①元素都是正整数；②若则．
（1）请你写出符合条件，且分别含有一个、二个、三个元素的集合各一个；
（2）是否存在恰有6个元素的集合？若存在，写出所有的集合；若不存在，请说明理由；
（3）满足条件的集合S总共有多少个？
60．已知集合．问是否存在，使
（1）中只有一个元素；
（2）中至多有一个元素；
（3）中至少有一个元素．若存在，分别求出来；若不存在，说明理由．
61．已知是满足下列条件的集合：①②若，则,③若且，则
（1）判断是否正确，说明理由
（2）证明：若则
（3）证明：若则
62．已知、、为非空整数集合，对于1、2、3的任意一个排列i、j、k，若，，则.
（1）证明：三个集合中至少有两个相等；
（2）三个集合中是否可能有两个集合无公共元素？说明理由.
63．由实数组成的集合A具有如下性质：若，且，那么.
（1）若集合A恰有两个元素，且有一个元素为，求集合A；
（2）是否存在一个含有元素0的三元素集合A；若存在请求出集合，若不存在，请说明理由.
64．下列三个集合：
①{x|y＝x2＋1}；
②{y|y＝x2＋1}；
③{(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们各自的含义是什么？
65．用列举法表示下列集合：
(1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A；
(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解组成的集合M；
(3)方程组
的解组成的集合B；
(4)15的正约数组成的集合N.
66．已知全集，集合，.
（1）求；
（2）若集合，满足，，求实数的取值范围.
67．已知集合，其中为常数，且．
（1）若中至少有一个元素，求的取值范围；
（2）若中至多有一个元素，求的取值范围．
68．已知集合，其中为常数，且.
（1）若A是单元素集合，求的取值范围；
（2）若A中至少有一个元素，求的取值范围；
（3）若A中至多有一个元素，求的取值范围.
69．已知集合，
（1）求证：任何奇数都是中的元素；
（2）判断偶数是否为的元素？请说明理由；
（3）求证：属于的两个元素之积仍属于；
（4）试求中第个正整数.
70．设集合，
（1）验证5和6是否属于集合M.
（2）关于集合M，还能得出什么结论吗？
71．已知集合中的元素都是正整数，对任意，定义.若存在正整数k，使得对任意，都有，则称集合S具有性质.记是集合中的最大值.
（1）判断集合和集合是否具有性质，直接写出结论；
（2）若集合S具有性质，求证：
①；
②.
72．已知集合，其中，定义.若，则称与正交
（1）若，写出中与正交的所有元素
（2）令.若，证明：为偶数
73．在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意的点，定义，任取点，记，若此时成立，则称点相关.
（1）分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由.①；②.
（2）给定，点集，求集合中与点相关的点的个数.
74．设表示不超过的最大整数，用，，，…，组成集合的元素，求集合中的元素的个数．
75．在平面直角坐标系中，为坐标原点．对任意的点，定义．任取点，，记，，若此时成立，则称点，相关．
（1）分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由；
①，；②，．
（2）给定，，点集．
（）求集合中与点相关的点的个数；
（）若，且对于任意的，，点，相关，求中元素个数的最大值．
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