中小学教育资源及组卷应用平台
第03讲
集合的基本运算
【培优练习】
一、单选题
1．已知集合，，若，则实数a的值是（
）
A．2
B．
C．2或
D．0，2或
2．对于全集的子集，，若是的真子集，则下列集合中必为空集的是（
）．
A．
B．
C．
D．
3．已知全集U＝R，集合M＝{x|x2+x﹣2≤0}，集合N＝{y|y＝}，则（CUM）∪N等于（ ）
A．{x|x＜﹣2或x≥0}
B．{x|x＞1}
C．{x|x＜﹣1或1＜x≤3}
D．R
4．已知集合，，若，则的可能取值组成的集合为（
）
A．
B．
C．
D．
5．设，，若，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知集合，对于它的任一非空子集，可以将中的每一个元素都乘以再求和，例如，则可求得和为，对的所有非空子集，这些和的总和为（
）
A．92
B．96
C．100
D．192
7．已知全集，若集合，，，A，B的元素个数相同，且对任意的，，则的元素个数最多为（
）
A．20
B．18
C．16
D．以上结果都不正确
8．已知集合，，则（
）
A．
B．
C．或
D．或
9．已知全集，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
10．集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
11．设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（
）
A．
B．
C．
D．
12．全集，集合，集合，图中阴影部分所表示的集合为（
）
A．
B．
C．
D．
13．已知，，则（
）
A．
B．
C．
D．
14．已知集合，集合，若，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
15．高二一班共有学生50人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人，这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有13人，物理、化学只选一科的学生都至少6人，那么选择物理和化学这两门课程的学生人数至多（
）
A．16
B．17
C．18
D．19
16．已知全集，集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
17．已知集合则（
）
A．
B．
C．
D．
18．已知集合，集合，则集合的子集个数为
A．1
B．2
C．3
D．4
19．已知集合，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
20．设，，若，求实数组成的集合的子集个数有
A．2
B．3
C．4
D．8
21．已知集合，，则
A．
B．
C．
D．
22．设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，2）
B．（﹣∞，2]
C．（2，+∞）
D．[2，+∞）
23．已知M,N都是U的子集,则图中的阴影部分表示( )
A．M∪N
B．?U(M∪N)
C．(?UM)∩N
D．?U(M∩N)
24．已知全集，集合，，那么阴影部分表示的集合为
A．
B．
C．
D．
25．已知集合，则
A．
B．
C．
D．
26．设A、B是非空集合，定义：且.
已知，，则等于
A．
B．
C．
D．
27．设函数
的定义域，函数y=ln(1-x)的定义域为,则
A．（1,2）
B．（1,2]
C．（-2,1）
D．[-2,1)
28．已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则AB中元素的个数为
A．1
B．2
C．3
D．4
29．已知集合
则
A．[2,3]
B．（
-2,3
]
C．[1,2）
D．
30．设集合，则=
A．
B．
C．
D．
31．已知全集
，集合
，集合
，则集合
A．
B．
C．
D．
32．已知集合，，定义集合，则中元素的个数为
A．77
B．49
C．45
D．30
33．设集合，
A．
B．
C．
D．
34．已知集合，，则＝（
）
A．
B．
C．
D．
35．设，与是的子集，若，则称为一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”（规定与是两个不同的“理想配集”的个数是（
）
A．16
B．9
C．8
D．4
36．已知集合，，定义集合，则中元素的个数为（
）
A．77
B．49
C．45
D．30
二、多选题
37．（多选）若非空数集满足任意，都有，，则称为“优集”．已知是优集，则下列命题中正确的是（
）
A．是优集
B．是优集
C．若是优集，则或
D．若是优集，则是优集
38．若非空集合G和G上的二元运算“”满足：①，；②，对，：③，使，，有；④，，则称构成一个群.下列选项对应的构成一个群的是（
）
A．集合G为自然数集，“”为整数的加法运算
B．集合G为正有理数集，“”为有理数的乘法运算
C．集合(i为虚数单位)，“”为复数的乘法运算
D．集合，“”为求两整数之和被7除的余数
39．设非空集合S?R.若x，y∈S，都有x+y，x-y，xy∈S，则称S是封闭集.下列结论正确的是（
）
A．有理数集Q是封闭集
B．若S是封闭集，则S一定是无限集
C．一定是封闭集
D．若是封闭集，则一定是封闭集
40．设，，若，则的取值可以是（
）
A．
B．
C．
D．
41．定义，且，叫做集合的对称差，若集合，，则以下说法正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
42．(多选)由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是（
）
A．是一个戴德金分割
B．没有最大元素，有一个最小元素
C．有一个最大元素，有一个最小元素
D．没有最大元素，也没有最小元素
43．对任意A，，记，并称为集合A，B的对称差.例如，若，，则，下列命题中，为真命题的是（
）
A．若A，且，则
B．若A，且，则
C．若A，且，则
D．存在A，，使得
44．对任意A，BR，记A?B＝{x|x∈A∪B，xA∩B}，并称A?B为集合A，B的对称差.例如，若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A?B＝{1，4}，下列命题中，为真命题的是（
）
A．若A，BR且A?B＝B，则A＝
B．若A，BR且A?B＝，则A＝B
C．若A，BR且A?BA，则AB
D．存在A，BR，使得A?B＝?
E.存在A，BR，使得
45．设集合，则下列说法不正确的是（
）
A．若有4个元素，则
B．若，则有4个元素
C．若，则
D．若，则
三、填空题
46．设A是非空数集，若对任意，都有，则称A具有性质P.给出以下命题：
①若A具有性质P，则A可以是有限集；
②若具有性质P，且，则具有性质P；
③若具有性质P，则具有性质P；
④若A具有性质P，且，则不具有性质P.
其中所有真命题的序号是___________.
47．设集合，且，则实数的取值范围是____.
48．设非空集合为实数集的子集，若满足下列两个条件：（1），；（2）对任意、，都有，，，，则称为一个数域，那么命题：①有理数集是一个数域；②若为一个数域，则；③若、都是数域，那么也是一个数域；④若、都是数域，那么也是一个数域，其中真命题的序号为______.
49．已知集合，且若，则所有满足要求的集合的各个元素之和为______.
50．集合，，若，则实数的取值范围是________
51．设集合，，若，则______
.
52．已知全集，集合，则___________．
53．已知，若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是______．
四、双空题
54．设A，B是R中两个子集，对于x∈R，定义：，
①若A?B．则对任意x∈R，m（1-n）=______；
②若对任意x∈R，m+n=1，则A，B的关系为______．
五、解答题
55．已知集合，全集.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
56．已知非空集合S的元素都是整数，且满足：对于任意给定的x，y∈S
(x、y可以相同)，有x+y∈S且x-y∈S.
（1）集合S能否为有限集，若能，求出所有有限集，若不能，请说明理由；
（2）证明：若3∈S且5∈S，则S=Z.
57．已知集合.对于，定义：与的差为；与之间的距离为.
（1）当时，设，求；
（2）若对于任意的，有，求的值并证明：.
58．已知集合，或.
（1）当时，求，；
（2）若，求实数的取值范围.
59．已知集合，．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值．
60．已知集合，集合.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
61．已知集合，，．
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围．
62．已知全集，集合，．
（1）求；
（2）若集合，且满足，，求实数的取值范围．
63．已知全集，集合，
（1）当时，求;
（2）若，求实数的取值范围.
64．设全集为R，集合A＝{x|3≤x<6}，B＝{x|2
（1）分别求A∩B，(?RB)∪A；
（2）已知C＝{x|a65．已知集，，，.
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围.
66．设集合，.
（1）若，求实数a的值；
（2）若，求实数a的取值范围.
67．若集合，.
（1）若，写出的子集；
（2）若，求实数的取值范围.
68．设全集为，集合，．
（1）求；
（2）已知，若，求实数的所有取值构成的集合．
69．已知集合，.
（1）若，求a的取值范围；
（2）若，求a的取值范围.
70．设全集，，，求：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
71．已知集合，集合，.
（1）求集合B；
（2）记，且集合M中有且仅有一个整数，求实数k的取值范围.
72．已知集合为非空数集，定义，.
（1）若集合，直接写出集合及；
（2）若集合，，且，求证；
（3）若集，且，求集合中元素的个数的最大值.
73．给定的正整数，若集合满足，则称为集合的元“好集”.
（1）写出一个实数集的元“好集”；
（2）证明：不存在自然数集的元“好集”；
（3）是否在自然数集的元“好集”?
若存在，请求出所有自然数集的元“好集”；若不存在，请说明理由.
74．已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合：
，．
其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和．
若对于任意的，总有，则称集合具有性质．
（Ⅰ）检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和．
（Ⅱ）对任何具有性质的集合，证明．
（Ⅲ）判断和的大小关系，并证明你的结论．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第03讲
集合的基本运算
【培优练习】
一、单选题
1．已知集合，，若，则实数a的值是（
）
A．2
B．
C．2或
D．0，2或
【答案】D
【分析】
根据，所以，中，由于
的值不确定，考虑的值是否为0，再进行求解.
【详解】
因为，所以，
当时，，符合题意；
当时，，
则，解得，
综上，实数a的值是0或2或.
故选：D
【点睛】
注意题中的取值是否为0的讨论是因为求根时，两边要同时除以，故需讨论.
2．对于全集的子集，，若是的真子集，则下列集合中必为空集的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据题目给出的全集是，，是全集的子集，是的真子集画出集合图形，由图形表示出三个集合间的关系，从而看出是空集的选项．
【详解】
解：集合，，的关系如图，
由图形看出，只有是空集．
故选：B．
【点睛】
本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础题.本题解题的关键在于根据题意，给出集合的图形表示法，数形结合解．
3．已知全集U＝R，集合M＝{x|x2+x﹣2≤0}，集合N＝{y|y＝}，则（CUM）∪N等于（ ）
A．{x|x＜﹣2或x≥0}
B．{x|x＞1}
C．{x|x＜﹣1或1＜x≤3}
D．R
【答案】A
【分析】
解出不等式x2+x﹣2≤0的解集，求出补集，根据集合的运算法则求解.
【详解】
解不等式x2+x﹣2≤0得：-2≤x≤1，CUM=，
N＝{y|y＝}，
（CUM）∪N={x|x＜﹣2或x≥0}.
故选：A
【点睛】
此题考查集合的基本运算，关键在于准确求解二次不等式，根据集合的运算法则求解.
4．已知集合，，若，则的可能取值组成的集合为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
解不等式确定集合，然后由交集的结果确定参数的取值范围．
【详解】
，
，
因为，所以，．又，∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查由集合交集的结果求参数范围，解题时可先确定两个集合中的元素，然后分析交集的结果得出结论．
5．设，，若，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
解集绝对值不等式求得，结合求得的取值范围.
【详解】
由得或，解得或，所以，
由得，解得，所以.
当时，，，符合题意.
当时，由于，所以，解得.
综上所述，的取值范围是.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查根据交集的结果求参数的取值范围.
6．已知集合，对于它的任一非空子集，可以将中的每一个元素都乘以再求和，例如，则可求得和为，对的所有非空子集，这些和的总和为（
）
A．92
B．96
C．100
D．192
【答案】B
【分析】
确定中每个元素在其非空子集中出现的次数，然后根据这个规律求和．
【详解】
的所有非空子集有个，每个元素在个集合出现，
所以所求和的总和为．
故选：B．
【点睛】
本题考查集合的新定义，解题关键是确定中每个元素在其非空子集中出现的次数．考子集的概念与个数问题，属于中档题．
7．已知全集，若集合，，，A，B的元素个数相同，且对任意的，，则的元素个数最多为（
）
A．20
B．18
C．16
D．以上结果都不正确
【答案】C
【分析】
列举出符合条件的A，B的元素，利用A，B的元素个数相同，只需让A，B都取最大元素个数，即可得到的元素个数的最大值.
【详解】
，
，
时，，即，
同理可得，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，A，B的元素个数相同，
若的元素个数最多，
则，共8个元素，
，共8个元素，
的元素个数为，
故选：C.
【点睛】
本题主要考查集合与元素的关系，考查集合的交集、并集的运算，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于中档题.
8．已知集合，，则（
）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】C
【分析】
解不等式确定集合，根据对数函数性质确定集合，再由并集定义计算．
【详解】
或，，
∴或.
故选：C.
【点睛】
本题考查集合并集运算，考查解一元二次不等式，属于基础题．
9．已知全集，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据对数函数和指数函数的性质确定集合，然后由集合运算法则计算．
【详解】
，
，，
所以．
故选：B．
【点睛】
本题考查集合的综合运算，掌握对数函数和指数函数的性质是解题关键．
10．集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据集合的表示方法和一元二次不等式的解法求得集合，，再结合集合的交集的运算，即可求解.
【详解】
由题意，集合，
，
所以.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中结合集合的表示方法，以及一元二次不等式的解法求得集合是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
11．设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
先解出集合、，并确定阴影部分区域所表示集合的意义，即可得出阴影部分区域所表示的集合.
【详解】
解不等式，即，解得，，
，则.
图中阴影部分所表示的集合为，故选C.
【点睛】
本题考查集合运算，解题的关键就是确定阴影部分所表示的集合的意义，考查运算求解能力，属于中等题.
12．全集，集合，集合，图中阴影部分所表示的集合为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
由图可得，阴影部分表示的集合为.求出集合，即求.
【详解】
∵集合，，
由Venn图可知阴影部分对应的集合为，又或，
.
故选：.
【点睛】
本题考查集合的运算，属于基础题.
13．已知，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
首先确定集合中的元素，然后再由集合的运算法则计算．
【详解】
由得或，∴，，
，，，∴ ，即，又，∴或2，即，∴．
故选：A．
【点睛】
本题考查集合的综合运算，解题关键是确定集合中的元素．一定要注意代表元的形式，对于与函数有关的数集，要注意是函数的定义域还是函数的值域．
14．已知集合，集合，若，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
由可得出，可知，解出集合，结合题意可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.
【详解】
且，则，.
若，则，可得，不合乎题意；
若，则，
所以，，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用集合的包含关系求参数，考查计算能力，属于中等题.
15．高二一班共有学生50人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人，这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有13人，物理、化学只选一科的学生都至少6人，那么选择物理和化学这两门课程的学生人数至多（
）
A．16
B．17
C．18
D．19
【答案】C
【分析】
把学生50人看出一个集合，选择物理科的人数组成为集合，选择化学科的人数组成集合，选择生物颗的人数组成集合，根据题意，作出韦恩图，结合韦恩图，即可求解.
【详解】
把学生50人看出一个集合，选择物理科的人数组成为集合，
选择化学科的人数组成集合，选择生物颗的人数组成集合，
要使选择物理和化学这两门课程的学生人数最多，
除这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，
则其它个选择人数均为最少，即得到单选物理的最少6人，
单选化学的最少6人，单选化学、生物的最少3人，
单选物理、生物的最少3人，单选生物的最少4人，
以上人数最少42人，可作出如下图所示的韦恩图，
所以单选物理、化学的人数至多8人，
所以至多选择选择物理和化学这两门课程的学生人数至多人.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了集合的应用，其中解答中根据题意，画出集合运算的韦恩图是解答本题的关键，着重考查数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力.
16．已知全集，集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据补集的运算，求得或，再结合交集的运算，即可求解.
【详解】
由题意，全集，集合，
可得或，
又由集合，所以.
故选：C.
【点睛】
本题考查集合的补集与交集概念及运算，其中解答中熟记集合的交集、补集的概念和运算方法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.
17．已知集合则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
先分别求出集合M,N,由此能求出.
【详解】
故选：B
【点睛】
本题考查了集合的交集和并集运算，考查了学生的数学运算能力，属于基础题.
18．已知集合，集合，则集合的子集个数为
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】
因为直线与抛物线有两个交点，可知集合的交集有2个元素，可知其子集共有个.
【详解】
由题意得，直线与抛物线有2个交点，故的子集有4个.
【点睛】
本题主要考查了集合的交集运算，子集的概念，属于中档题.
19．已知集合，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
首先求得集合B，然后进行交集运算即可.
【详解】
由题意可得：，则.
故选D.
【点睛】
本题主要考查集合的表示方法，交集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
20．设，，若，求实数组成的集合的子集个数有
A．2
B．3
C．4
D．8
【答案】D
【分析】
先解方程得集合A，再根据得，最后根据包含关系求实数，即得结果.
【详解】
,
因为，所以，
因此，对应实数的值为，其组成的集合的子集个数有，选D.
【点睛】
本题考查集合包含关系以及集合子集，考查基本分析求解能力，属中档题.
21．已知集合，，则
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
解一元一次不等式以及对数不等式得到集合和，结合交集的定义计算即可.
【详解】
由题可得集合，，所以，故选A．
【点睛】
本题主要考查了不等式的解法以及交集的运算，需注意对数函数的定义域，属于基础题.
22．设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，2）
B．（﹣∞，2]
C．（2，+∞）
D．[2，+∞）
【答案】B
【详解】
试题分析：当时，，此时成立，当时，，当时，，即，当时，，当时，恒成立，所以的取值范围为，故选B.
考点：集合的关系
23．已知M,N都是U的子集,则图中的阴影部分表示( )
A．M∪N
B．?U(M∪N)
C．(?UM)∩N
D．?U(M∩N)
【答案】B
【分析】
观察图形可知，图中非阴影部分所表示的集合是，从而得出图中阴影部分所表示的集合.
【详解】
由题意，图中非阴影部分所表示的集合是，
所以图中阴影部分所表示的集合为的
补集，
即图中阴影部分所表示的集合为，故选B.
【点睛】
本题主要考查集合的venn图的表示及应用，其中venn图既可以表示一个独立的集合，也可以表示集合与集合之间的关系，熟记venn图的含义是解答的关键.
24．已知全集，集合，，那么阴影部分表示的集合为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
由韦恩图可知阴影部分表示的集合为，求出，计算得到答案
【详解】
阴影部分表示的集合为，
故选
【点睛】
本题主要考查的是韦恩图表达集合的关系和运算，属于基础题
25．已知集合，则
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出的解集，从而求得集合A，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果.
详解：解不等式得，
所以，
所以可以求得，故选B.
点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.
26．设A、B是非空集合，定义：且.
已知，，则等于
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
求出集合中的函数的定义域得到：
，即
可化为或
解得，即
，
则
故选
27．设函数
的定义域，函数y=ln(1-x)的定义域为,则
A．（1,2）
B．（1,2]
C．（-2,1）
D．[-2,1)
【答案】D
【详解】
由得，由得，
故，选D.
【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.
28．已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则AB中元素的个数为
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【详解】
由题意可得，故中元素的个数为2，所以选B.
【名师点睛】集合基本运算的关注点：
(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．
(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．
(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．
29．已知集合
则
A．[2,3]
B．（
-2,3
]
C．[1,2）
D．
【答案】B
【详解】
有由题意可得：
，
则
(
-2,3
]
.
本题选择B选项.
30．设集合，则=
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
试题分析：因为，所以，选A.
【考点】集合的运算
【名师点睛】本题主要考查集合的并集、补集，是一道基础题目.从历年高考题目看，集合的基本运算是必考考点，也是考生必定得分的题目之一.
31．已知全集
，集合
，集合
，则集合
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
,所以，故选A.
考点：集合的运算.
32．已知集合，，定义集合，则中元素的个数为
A．77
B．49
C．45
D．30
【答案】C
【详解】
因为集合，所以集合中有5个元素（即5个点），即图中圆中的整点，集合中有25个元素（即25个点）：即图中正方形中的整点，集合的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个．
考点：1．集合的相关知识，2．新定义题型．
33．设集合，
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
试题分析：依题意.
考点：集合的运算
34．已知集合，，则＝（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
求函数的定义域求得集合，求的范围求得集合，由此求得两个集合的交集.
【详解】
由得，即,对于，，也即，所以.故选D.
【点睛】
本小题主要考查两个集合的交集，考查函数的定义域和曲线的坐标的取值范围，属于基础题.
35．设，与是的子集，若，则称为一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”（规定与是两个不同的“理想配集”的个数是（
）
A．16
B．9
C．8
D．4
【答案】B
【分析】
根据题意，子集和不可以互换，从子集分类讨论，结合计数原理，即可求解.
【详解】
由题意，对子集分类讨论：
当集合，集合可以是，共4中结果；
当集合，集合可以是，共2种结果；
当集合，集合可以是，共2种结果；
当集合，集合可以是，共1种结果，
根据计数原理，可得共有种结果.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了集合新定义及其应用，其中解答正确理解题意，结合集合子集的概念和计数原理进行解答值解答额关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.
36．已知集合，，定义集合，则中元素的个数为（
）
A．77
B．49
C．45
D．30
【答案】A
【分析】
根据题意,利用数形结合表示出集合,然后根据新定义中集合中元素的构成,用平面的点表示即可.
【详解】
因为集合，所以集合中有5个元素（即5个点），即图中圆中的整点（包括边界），集合中有个元素（即49个点）：即图中正方形中的整点，
集合的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个．
含有个元素.
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：本题的解题关键是利用数形结合表示集合的几何意义，从而得解.
二、多选题
37．（多选）若非空数集满足任意，都有，，则称为“优集”．已知是优集，则下列命题中正确的是（
）
A．是优集
B．是优集
C．若是优集，则或
D．若是优集，则是优集
【答案】ACD
【分析】
结合集合的运算，紧扣集合的新定义，逐项推理或举出反例，即可求解.
【详解】
对于A中，任取，
因为集合是优集，则，则，
，则，所以A正确；
对于B中，取，
则或，
令，则，所以B不正确；
对于C中，任取，可得，
因为是优集，则，
若，则，此时；
若，则，此时，
所以C正确；
对于D中，是优集，可得，则为优集；
或，则为优集，所以是优集，所以D正确.
故选：ACD.
【点睛】
解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.
38．若非空集合G和G上的二元运算“”满足：①，；②，对，：③，使，，有；④，，则称构成一个群.下列选项对应的构成一个群的是（
）
A．集合G为自然数集，“”为整数的加法运算
B．集合G为正有理数集，“”为有理数的乘法运算
C．集合(i为虚数单位)，“”为复数的乘法运算
D．集合，“”为求两整数之和被7除的余数
【答案】BCD
【分析】
根据新定义，判断各选项中是否满足题中4个条件即可得．
【详解】
A．时，不满足③，若，则由得，若，则在中设，由得，所以不能构成群；
B．G为正有理数集，①任意两个正有理数的积仍然为正有理数，②显然，对任意，，③对任意正有理数，也是正有理数，且，即，④有理数的乘数满足结合律，B中可构造群；
C．(i为虚数单位)，①可验证中任意两数（可相等）的乘积仍然属于；②，满足任意，有；③，满足任意，存在，有，实质上有；④复数的乘法运算满足结合律，C中可构造群；
D．，①任意两个整数的和不是整数，它除以7的余数一定属于，②，满足对任意，，③，，，除以7余数为0；④加法满足交换律，又除以7的余数等于除以7的余数加除以7的余数的和再除以7所得余数，因此，，D中可构造群；
故选：BCD．
【点睛】
关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是理解新定义，用新定义解题．解题方法是根据新定义的4个条件进行验证，注意实数或复数运算的运算律与新定义中运算的联系可以很快得出结论．
39．设非空集合S?R.若x，y∈S，都有x+y，x-y，xy∈S，则称S是封闭集.下列结论正确的是（
）
A．有理数集Q是封闭集
B．若S是封闭集，则S一定是无限集
C．一定是封闭集
D．若是封闭集，则一定是封闭集
【答案】AC
【分析】
直接利用定义性问题和集合的运算的应用判断、、、的结论．
【详解】
解：对于：有理数集，相加，相减，相乘还为有理数，故正确；
对于：若，则，，此时，故为封闭集，故错误；
对于，任取，，
所以，，
．，故正确；
对于：若，是封闭集，设，，
则，，
但是，不一定属于，所以不一定是封闭集，故错误；
故选：．
40．设，，若，则的取值可以是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】
由可得，求出集合，讨论和，即可得的值.
【详解】
,
由可得，
当时，，满足，所以符合题意；
当时，，
由，则或，可得：或，
综上所述：实数的值可以为：，，
故选：ACD
【点睛】
易错点睛：本题考查利用集合子集关系确定参数问题，易错点是要注意：是任何集合的子集，所以要分集合和集合两种情况讨论，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题.
41．定义，且，叫做集合的对称差，若集合，，则以下说法正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】
根据反比例函数的性质可判断是否正确；然后先分别计算，，判断B选项是否正确，然后计算与，判断D选项是否成立.
【详解】
∵，，故A正确；
∵定义且，
∴，，故B正确；
，故C错误；
，所以，故D正确．
故选：ABD．
【点睛】
本题考查集合的新定义问题，考查集合间的基本运算，属于基础题．解答时，根据题意化简集合，然后结合新定义计算法则计算即可得出答案．
42．(多选)由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是（
）
A．是一个戴德金分割
B．没有最大元素，有一个最小元素
C．有一个最大元素，有一个最小元素
D．没有最大元素，也没有最小元素
【答案】BD
【分析】
根据题意举出实例依次判断选项即可得到答案.
【详解】
对选项A，因为，，，
故A错误；
对选项B，设，，满足戴德金分割，
则中没有最大元素，有一个最小元素，故B正确；
对选项C，若有一个最大元素，有一个最小元素，
则不能同时满足，，故C错误；
对选项D，设，，满足戴德金分割，
此时没有最大元素，也没有最小元素，故D正确.
故选：BD
【点睛】
本题主要考查集合的新定义，同时考查学生分析问题的能力，属于中档题.
43．对任意A，，记，并称为集合A，B的对称差.例如，若，，则，下列命题中，为真命题的是（
）
A．若A，且，则
B．若A，且，则
C．若A，且，则
D．存在A，，使得
【答案】ABD
【分析】
根据新定义及交?并?补集运算，逐一判断即可.
【详解】
解：对于A选项，因为，所以，
所以，且B中的元素不能出现在中，因此，即选项A正确；
对于B选项，因为，所以，
即与是相同的，所以，即选项B正确；
对于C选项，因为，所以，
所以，即选项C错误；
对于D选项，设，，则，，
所以或，又，，
或，，
所以或，
因此，即D正确.
故选：ABD.
【点睛】
本题主要考查新定义，考查了交?并?补集的混合运算，属于中档题．考查了学生的转化与化归能力，逻辑推理能力．
44．对任意A，BR，记A?B＝{x|x∈A∪B，xA∩B}，并称A?B为集合A，B的对称差.例如，若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A?B＝{1，4}，下列命题中，为真命题的是（
）
A．若A，BR且A?B＝B，则A＝
B．若A，BR且A?B＝，则A＝B
C．若A，BR且A?BA，则AB
D．存在A，BR，使得A?B＝?
E.存在A，BR，使得
【答案】ABD
【分析】
根据新定义判断．
【详解】
根据定义，
A.若，则，，，，∴，A正确；
B.若，则，，，B正确；
C.
若，则，，则，C错；
D.时，，，D正确；
E.由定义，，E错．
故选：ABD．
【点睛】
本题考查新定义，解题关键是新定义的理解，把新定义转化为集合的交并补运算．
45．设集合，则下列说法不正确的是（
）
A．若有4个元素，则
B．若，则有4个元素
C．若，则
D．若，则
【答案】ABC
【分析】
首先解方程得到：或,针对a分类讨论即可.
【详解】
（1）当时，，；
（2）当时，，；
（3）当时，，；
（4）当时，，；
故A，B，C，不正确，D正确
故选：ABC
【点睛】
本题考查了集合的交、并运算，考查了学生分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.
三、填空题
46．设A是非空数集，若对任意，都有，则称A具有性质P.给出以下命题：
①若A具有性质P，则A可以是有限集；
②若具有性质P，且，则具有性质P；
③若具有性质P，则具有性质P；
④若A具有性质P，且，则不具有性质P.
其中所有真命题的序号是___________.
【答案】①②④
【分析】
举特例判断①；利用性质P的定义证明②即可；举反例说明③错误；利用反证法，结合举反例判断④.
【详解】
对于①，取集合具有性质P，故A可以是有限集，故①正确；
对于②，取，则，，，，又具有性质P，，，，所以具有性质P，故②正确；
对于③，取，，，，但，故③错误；
对于④，假设具有性质P，即对任意，都有，即对任意，都有，举反例，取，，但，故假设不成立，故④正确；
故答案为：①②④
【点睛】
关键点点睛：本题考查集合新定义，解题的关键是对集合新定义的理解，及举反例，特例证明，考查学生的逻辑推理与特殊一般思想，属于基础题.
47．设集合，且，则实数的取值范围是____.
【答案】
【分析】
由题意，可得是集合的子集，按集合中元素的个数，结合根与系数之间的关系，分类讨论即可求解.
【详解】
由题意，可得是集合的子集，
又，
当是空集时，即方程无解，则满足，解得，即，此时显然符合题意；
当中只有一个元素时，即方程只有一个实数根，此时
，解得，则方程的解为或，并不是集合的子集中的元素，不符合题意，舍去；
当中有两个元素时，则，此时方程的解为，，由根与系数之间的关系，可得两根之和为5，故；当时，可解得，符合题意.综上的取值范围为.
故答案为：
【点睛】
方法点睛：根据集合的运算求参数问题的方法：
1、要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解；
2、若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程（组）求解，此时注意集合中元素的互异性；
3、若集合表示的不等式的解集，常依据数轴转化为不等式（组）求解，此时需要注意端点值是否取到.
48．设非空集合为实数集的子集，若满足下列两个条件：（1），；（2）对任意、，都有，，，，则称为一个数域，那么命题：①有理数集是一个数域；②若为一个数域，则；③若、都是数域，那么也是一个数域；④若、都是数域，那么也是一个数域，其中真命题的序号为______.
【答案】①②③④
【分析】
本题首先可根据题意明确数域的定义，然后根据有理数集满足数域定义判断出①正确，根据数域中包含任意整数和分数判断出②正确，再然后根据判断出③正确，最后根据判断出④正确，即可得出结果.
【详解】
由已知中数域的定义可得：
有理数集满足定义，是一个数域，故①正确；
若为一个数域，则中包含任意整数和分数，故，故②正确；
若、都是数域，那么，
故中的元素均满足定义，也是一个数域，故③正确；
若、都是数域，那么，
故中的元素均满足定义，也是一个数域，故④正确；
故真命题的序号为①②③④，
故答案为：①②③④.
【点睛】
本题考查集合新定义的相关问题的求解，能否根据题意明确数域的定义是解决本题的关键，考查学生从题目中提取信息的能力，考查推理能力，是中档题.
49．已知集合，且若，则所有满足要求的集合的各个元素之和为______.
【答案】24
【分析】
由题意推出集合A是两个集合的子集，求出集合B，C的公共元素得到集合A，进而求出结论.
【详解】
因为集合，且，
所以集合A是的子集，
故A可能为，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3},
所以集合的各个元素之和为，
故答案为：24
【点睛】
本题主要考查集合的基本运算，集合的子集的运算，考查基本知识的应用，属于中档题．
50．集合，，若，则实数的取值范围是________
【答案】
【分析】
先分别求出集合，再由列不等式可求出的取值范围
【详解】
解：由得，且，
解得，所以集合，
由得，，所以集合，
因为，
所以或，
解得或
故答案为：
【点睛】
此题考查的是解分式不等式，解绝对值不等式，集合的交集运算，属于中档题
51．设集合，，若，则______
.
【答案】4
【分析】
由，所以，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，集合，，
因为，所以，故.
故答案为.
【点睛】
本题主要考查了利用集合的运算求解参数问题，其中解答中熟记集合交集的概念，得到是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于容易题.
52．已知全集，集合，则___________．
【答案】
【详解】
因为，所以
53．已知，若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是______．
【答案】
【详解】
试题分析：由题意，得，
；因为，所以若中恰含有一个整数，则，则，即，两边平方，得，解得，即实数的取值范围为；故填．
考点：1．集合的运算；2．一元二次不等式的解法．
四、双空题
54．设A，B是R中两个子集，对于x∈R，定义：，
①若A?B．则对任意x∈R，m（1-n）=______；
②若对任意x∈R，m+n=1，则A，B的关系为______．
【答案】0
A=?RB
【分析】
①由A?B．分x?A和x∈A两种情况讨论；
②对任意x∈R，m+n=1，则m，n的值一个为0，另一个为1，分类讨论即可得出A，B的关系．
【详解】
解：①∵A?B．则x?A时，m=0，m（1-n）=0．
x∈A时，必有x∈B，∴m=n=1，m（1-n）=0．
综上可得：m（1-n）=0．
②对任意x∈R，m+n=1，则m，n的值一个为0，另一个为1，
即x∈A时，必有x?B，或x∈B时，必有x?A，
∴A，B的关系为A=?RB．
故答案为0，A=?RB．
【点睛】
本题考查了集合之间的关系、分类讨论方法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
五、解答题
55．已知集合，全集.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】
（1）求出集合A从而求，再与集合B取交集即可；（2）分和两种情况讨论根据列出不等式（组）求的取值范围.
【详解】
（1）依题意，当时，，则或，
又，
则或.
（2）若，则有，于是有：
当时，显然成立，此时只需，即；
当时，若，则
，所以：
综上所述，的取值范围为：或.
【点睛】
易错点点睛：在利用集合的包含关系求参数时注意以下两点：
（1）已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解；
（2）在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式（或方程）时，要对参数进行讨论.
56．已知非空集合S的元素都是整数，且满足：对于任意给定的x，y∈S
(x、y可以相同)，有x+y∈S且x-y∈S.
（1）集合S能否为有限集，若能，求出所有有限集，若不能，请说明理由；
（2）证明：若3∈S且5∈S，则S=Z.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）若，分析和可得答案；
（2）集合S的元素都是整数，利用已知得到非空集合S是所有整数构成的集合.然后再由，，
得到，且可得答案.
【详解】
（1）能，理由如下：
若，且，由题意知的所有整数倍的数都是中的元素，所以是无限集；若，且，则，符合题意，且是有限集，所以集合S能为有限集，即.
（2）证明：
因为非空集合S的元素都是整数，且,
由，，所以，所以，
所以，，，，
，，，，
所以非空集合S是所有整数构成的集合.
由，，所以，因为，
所以，，，
，
所以2的所有整数倍的数都是中的元素，
即，
且，所以也是集合中的元素，
即，
，
综上所述，.
【点睛】
本题考查对集合性质的理解，关键点是理解，考查了学生分析问题、解决问题的能力，以及推理能力.
57．已知集合.对于，定义：与的差为；与之间的距离为.
（1）当时，设，求；
（2）若对于任意的，有，求的值并证明：.
【答案】（1）；；（2）；证明见解析.
【分析】
（1）直接代入计算和；（2）根据，都有或，可计算得；然后表示出，分别讨论与两种情况.
【详解】
（1）；
；
（2）证明：因为，
，所以对于任意的，即对，都有或，所以得.设
则，当时，；
当时，.
所以
【点睛】
解答该题的关键是需要注意理解并表示出，然后代入化简判断与两种情况.
58．已知集合，或.
（1）当时，求，；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）或，；（2）.
【分析】
（1）将代入集合中确定出，求出与的交集，根据全集求出的补集，求出与补集的并集即可；
（2）由，，以及两集合的交集为空集，对进行分类讨论，把分类结果求并集，即可求出结果．
【详解】
解：（1）将代入集合中的不等式得：，即，
∵或，
∴或，，
则；
（2）∵，或，
当时，；此时满足，
当时，，此时也满足，
当时，，若，则，解得：；
综上所述，实数的取值范围为．
59．已知集合，．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值．
【答案】（1）或；（2）.
【分析】
（1）本题首先可通过求解得出，然后根据即可得出结果；
（2）本题首先可根据得出，然后代入和，通过计算即可得出结果.
【详解】
（1），解得或，集合，
因为，所以或.
（2）因为，所以，
因为，，
所以，
解得，代入验证后满足题意.
【点睛】
关键点点睛：本题考查根据集合与元素之间的关系求参数以及根据集合之间的运算结果求参数，若，则；若，则，考查计算能力，是中档题.
60．已知集合，集合.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）先求出，然后根据集合的并集的概念求解出的结果；
（2）根据得到，由此列出不等式组求解出的取值范围.
【详解】
（1）当时,
，
又，
∴；
（2）∵，
∴，
则有：，
解之得：.
∴实数的取值范围是.
【点睛】
易错点睛：本题考查集合的并集运算以及根据集合的包含关系求解参数范围，根据集合间的包含关系求解参数范围时，要注意分析集合为空集的可能.
61．已知集合，，．
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）本题首先可根据求出集合，然后并集的相关性质即可得出结果；
（2）本题可分为、两种情况进行讨论，然后通过计算即可得出结果.
【详解】
（1）因为集合，，
所以集合，.
（2）因为，，
所以若，则，解得；
若，则，解得，
综上所述，，实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查集合的运算以及根据集合的包含关系求参数，在根据集合的包含关系求参数时，一定要注意讨论集合是空集这种情况，考查计算能力，是中档题.
62．已知全集，集合，．
（1）求；
（2）若集合，且满足，，求实数的取值范围．
【答案】（1）或．（2）．
【分析】
（1）解不等式确定集合，然后由集合运算法则计算；
（2）由，，得，利用包含关系可得参数满足的不等关系，从而得出结论．
【详解】
（1），．
∴或，∴或．
（2）∵，，∴，
∴，解得．
【点睛】
关键点点睛：本题考查集合的综合运算，考查集合的包含关系．集合的运算中确定集合中的元素是解题关键．本题有两个结论值得注意：，．
63．已知全集，集合，
（1）当时，求;
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）先求解出绝对值不等式、分式不等式的解集作为集合，然后根据集合的交集概念求解出的结果；
（2）根据确定出之间的包含关系，由此列出不等式求解出的取值范围.
【详解】
（1）时，，解得或，所以或，
因为，所以，解得，所以，
所以；
（2）由得或，又或
由可知，所以，
即，所以的取值范围是.
【点睛】
结论点睛：根据集合的交、并集运算结果判断集合间的关系：
（1）若，则有；
（2）若，则有.
64．设全集为R，集合A＝{x|3≤x<6}，B＝{x|2（1）分别求A∩B，(?RB)∪A；
（2）已知C＝{x|a【答案】（1）A∩B＝{x|3≤x<6}，(?RB)∪A＝{x|x≤2，或3≤x<6，或x≥9}；（2）
{a|2≤a≤8}
【分析】
（1）根据集合A={x|3≤x<6}，B={x|2（2）由C={x|a【详解】
（1）因为集合A={x|3≤x<6}，B={x|2所以A∩B={x|3≤x<6}；
因为全集为R，集合A={x|3≤x<6}，B={x|2所以或
，
所以∪A或
或；
（2）由C={x|a当时，则，无解；
当时，则，
解得，
综上：实数a取值构成的集合是
【点睛】
本题主要考查集合的基本运算及基本关系应用，关键点是熟悉集合的性质，掌握集合的交并补基本运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
65．已知集，，，.
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）当，在，然后针对与分类讨论求解；
（2）若，则，，若，则只需或，然后解出的取值范围.
【详解】
解：（1）∵，∴或，
∵，则,
当时，，即，
当时，，，解得.
综上所述：.
（2）由题可知，，，解得.
若时，则只需:或，
解得:.
∴
当，的取值范围为.
【点睛】
本题考查集合的运算结果求参数的取值范围问题，难度一般，解答时，因为空集是任何集合的子集，所以解答时注意空集的特殊性.
66．设集合，.
（1）若，求实数a的值；
（2）若，求实数a的取值范围.
【答案】（1）2；（2）或.
【分析】
（1）由，得到，代入方程，得到，求得或，代入验证，即可求解；
（2）由，可得，分和两种情况讨论，结合集合的包含关系，即可求解.
【详解】
（1）由题意，集合，
因为，可得，
把代入方程，可得，解得或；
当时，集合，不符题意舍；
当时，集合，符合题意，
综上可得，实数a的值.
（2）因为，可得，
①当时，则满足，解得；
②当时，集合或或，
若或，则，解得，
此时，不符合题意；
若，由根与系数的关系定理，可得，解答，
综上所述，实数a的取值范围是或.
【点睛】
本题主要考查了元素与集合的关系，以及根据集合的包含关系求解参数问题，其中解答中熟练应用集合的包含关系，分类讨论求解是解答的关键，着重考查分类讨论思想，推理与运算能力.
67．若集合，.
（1）若，写出的子集；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1），，，，，，，；（2）.
【分析】
（1）由得或所以，当时，化简,求出，写出子集即可；（2）由知，对集合中的元素个数分类讨论即可.
【详解】
（1），
若，
则
此时，
其子集为：，，，，，，，；
（2）若，
则，
①若中没有元素即，
则，
此时；
②若中只有一个元素，
则，此时，
集合，故舍；
③若中有两个元素，
则，此时.
因为中也有两个元素，且，
则必有，
由韦达定理得，无解，故舍.
综上所述，当时，.
所以实数的取值范围：.
【点睛】
本题主要考查了集合的并集运算，子集的概念，考查了分类讨论的思想，属于中档题.
68．设全集为，集合，．
（1）求；
（2）已知，若，求实数的所有取值构成的集合．
【答案】（1）或；（2）．
【分析】
（1）根据分式不等式的解法，可求得集合B，进而可求得，根据并集的运算法则，即可得答案；
（2）因为，分别讨论集合为空集和不为空集的情况，列出不等式，即可解得答案.
【详解】
（1）由题意可得，
则或，
因为，
所以或；
（2）因为，
当集合为空集时，则，由于恒成立，故无解；
当集合不为空集时，，解得：，
故实数的取值构成的集合是：．
【点睛】
本题考查分式不等式的解法、集合的并集运算，根据集合的包含关系求参数等知识，根据集合包含关系求参数范围时，要注意分析集合为空集的情况，考查分析理解，求值计算的能力，属中档题.
69．已知集合，.
（1）若，求a的取值范围；
（2）若，求a的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）先计算，再利用数轴即可列出不等式组，解不等式组即可.
（2）先求出时a的取值范围，再求其补集即可.
【详解】
（1）∵，∴或，
若，
则，即∴实数a的取值范围是.
（2）若，则.当时，则得
当时，若
则，得，综上故a的取值范围为，
故时的范围为的补集，即
【点睛】
本题主要考查了集合的交并补运算，属于中档题.
70．设全集，，，求：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【答案】（1）或；（2）；（3）；
（4）或
【分析】
（1）由与，求出两集合的交集，再求补集即可；
（2）由与，求出两集合的并集，再求补集即可即可；
（3）由全集，求出的补集，再求交集即可；
（4）由全集，求出的补集与的补集，再求并即可．
【详解】
全集，，，
（1），或；
（2），；
（3），，
；
（4），，
或．
【点睛】
此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解答本题的关键．
71．已知集合，集合，.
（1）求集合B；
（2）记，且集合M中有且仅有一个整数，求实数k的取值范围.
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）由不等式可得,讨论与的关系,即可得到结果；
（2）先解得不等式,由集合M中有且仅有一个整数,当时,则M中仅有的整数为；当时,则M中仅有的整数为,进而求解即可.
【详解】
解:（1）因为,所以,
当,即时,；
当,即时,；
当,即时,.
（2）由得,
当,即时,M中仅有的整数为,
所以,即；
当,即时,M中仅有的整数为,
所以,即；
综上,满足题意的k的范围为
【点睛】
本题考查解一元二次不等式,考查由交集的结果求参数范围,考查分类讨论思想与运算能力.
72．已知集合为非空数集，定义，.
（1）若集合，直接写出集合及；
（2）若集合，，且，求证；
（3）若集，且，求集合中元素的个数的最大值.
【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）1347.
【分析】
（1）根据题目定义，直接得到集合A+及A﹣；
（2）根据两集合相等即可找到x1，x2，x3，x4的关系；
（3）通过假设A集合{m，m+1，m+2，…，4040}，m≤2020，m∈N，求出相应的A+及A﹣，通过A+∩A﹣＝?建立不等关系求出相应的值．
【详解】
（1）根据题意，由，则，；
（2）由于集合，，且，
所以中也只包含四个元素，即，
剩下的，所以；
（3）设满足题意，其中，
则，
∴，，
∴，
∵，由容斥原理，
中最小的元素为0，最大的元素为，
∴，
∴，
∴，
实际上当时满足题意，证明如下：
设，
则，，
依题意有，即，
故的最小值为674，于是当时，中元素最多，
即时满足题意，
综上所述，集合中元素的个数的最大值是1347.
【点睛】
关键点点睛：第三问集合中元素的个数最多时，应满足中的最大值小于中的最小值，另外容斥原理的应用也是解题的关键.
73．给定的正整数，若集合满足，则称为集合的元“好集”.
（1）写出一个实数集的元“好集”；
（2）证明：不存在自然数集的元“好集”；
（3）是否在自然数集的元“好集”?
若存在，请求出所有自然数集的元“好集”；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析；（3）存在，且自然数集的元“好集”只有一个，且为.
【分析】
（1）根据元“好集”的定义可写出实数集上的一个元“好集”；
（2）设是自然数集上的一个元“好集”，设，分与两种情况讨论
，在时验证是否成立，在时可得出，推出矛盾可得出结论成立；
（3）设是自然数集上的一个元“好集”，设，分与两种情况讨论
，在时验证是否成立，在时推导出，可求得、的值，
代入等式可求得的值，进而可得出结论.
【详解】
（1），则为实数集的一个元“好集”；
（2）设是自然数集上的一个元“好集”，不妨设.
①若，则，则显然不成立；
②若，由可得，，
、且，，，所以不成立.
综上所述，不存在自然数集的元“好集”；
（3）设是自然数集上的元“好集”，不妨设.
①若，则显然不成立；
②若，则，可得，
满足的正整数只能是，，代入可解得.
因此，自然数集上的所有元“好集”为.
【点睛】
本题考查集合的新定义“好集”的应用，考查分类讨论思想的应用，属于难题.
74．已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合：
，．
其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和．
若对于任意的，总有，则称集合具有性质．
（Ⅰ）检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和．
（Ⅱ）对任何具有性质的集合，证明．
（Ⅲ）判断和的大小关系，并证明你的结论．
【答案】（Ⅰ）集合不具有性质，集合具有性质，相应集合，，集合，（Ⅱ）见解析（Ⅲ）
【详解】
解：集合不具有性质．
集合具有性质，其相应的集合和是，
．
（II）证明：首先，由中元素构成的有序数对共有个．
因为，所以；
又因为当时，时，，所以当时，．
从而，集合中元素的个数最多为，
即．
（III）解：，证明如下：
（1）对于，根据定义，，，且，从而．
如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立．
故与也是的不同元素．
可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，
（2）对于，根据定义，，，且，从而．如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也不至少有一个不成立，
故与也是的不同元素．
可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，
由（1）（2）可知，．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)