第03讲 集合的基本运算(考点讲解)（解析版）

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第03讲
集合的基本运算
【学习目标】
1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集
2.能使用Venn图表示集合的并集、交集运算结果
3.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确进行集合的并集与交集运算
4.理解全集、补集的概念(难点)，准确翻译和使用补集符号和Venn图
5.会求补集，并能解决一些集合综合运算的问题．
【知识结构】
【考点总结】
一、并集
1．并集的定义
自然语言
符号语言
图形语言
由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为集合A与B的并集，记作A∪B
A∪B＝
{x|x∈A，或x∈B}
2.并集的性质
A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪?＝A，A?A∪B.
二、交集
定义
文字语言
一般地，由属于A且属于B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作AB．(读作“A交B”)
符号语言
AB＝{x|xA，且xB}
图形语言
性质
(1)AA＝A，A＝；(2)AB＝BA；
(3)ABA，ABB；(4)AB＝AAB；
(5)(AB)C＝A(BC)；
(6)(AB)(AB)
释疑点
对交集的理解　(1)概念中“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合的元素．
(2)概念中的“所有”两字不能省，否则将会漏掉一些元素，一定要将相同元素全部找出．如A＝{1,2,3,4}，B＝{2,3,4,5}，则AB＝{2,3,4}，而不是AB＝{2,3}，{2,4}或{3,4}．
(3)当集合A和集合B无公共元素时，不能说集合A，B没有交集，而是AB＝．
(4)定义中“xA，且xB”与“x(AB)”是等价的，即由既属于A，又属于B的元素组成的集合为AB．而只属于集合A或只属于集合B的元素，不属于AB．
三、补集与全集
(1)全集
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，记作U．
(2)补集
定义
文字语言
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的补集，简称为集合A的补集，记作UA．
符号语言
UA＝{x|xU，且xA}
图形语言
性质
(1)UAU；
(2)UU＝，U＝U；
(3)U(UA)＝A；
(4)A(UA)＝U；A(UA)＝
对补集的理解　
(1)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．
(2)UA包含三层意思：①AU；②UA是一个集合，且UAU；③UA是由U中所有不属于A的元素构成的集合．
(3)若xU，则xA或xUA，二者必居其一．
四、集合的运算
(1)集合的基本运算
①对于用列举法表示的集合，这里要注意集合元素的特征，做到不重不漏．
②当集合A，B都有无穷多个元素时，应当注意端点值的取舍，我们可以把端点值代入题目中进行验证．
③用描述法给出的集合，先明确集合中元素的一般符号及其共同特征，然后在确定了集合中元素的前提下，再着手进行集合的运算．
(2)集合的混合运算
解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，如求(UA)B时，先求出UA，再求交集；求U(AB)时，先求出AB，再求补集．
注意以下规律：
(1)①U(AB)＝(UA)(UB)，如图a；②U(AB)＝(UA)(UB)，如图b．
(2)①A(BC)＝(AB)C．
②A(BC)＝(AB)C．
③A(BC)＝(AB)(AC)．
④A(BC)＝(AB)(AC)．
五、Venn图的应用
(1)借助于Venn图分析集合的运算问题，可以使问题简捷地获得解决．利用Venn图将本来抽象的集合问题直观形象地表现出来，体现了数形结合思想的优越性．
在使用Venn图时，可将全集分成四部分，如图所示．
Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ这四部分的含义如下：
Ⅰ：A(UB)；
Ⅱ：AB；
Ⅲ：(UA)B；
Ⅳ：(UA)(UB)(或U(AB))．
(2)比较集合运算的三种语言形式可以看出，Venn图可以把一些不明确的数量关系直观地表示出来，从而达到化繁为简、化抽象为直观的目的．
利用Venn图解决生活中的问题时，先把生活中的问题转化成集合问题，借助于Venn图的直观性把它表示出来，再根据集合中元素的互异性求出问题的解．
【例题讲解】
题型一　并集的概念及简单应用
例1、(1)设集合M＝{4,5,6,8}，集合N＝{3,5,7,8}，那么M∪N等于(　　)
A．{3,4,5,6,7,8}　　　B．{5,8}
C．{3,5,7,8}　　
D．{4,5,6,8}
(2)已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q等于(　　)
A．{x|－1≤x＜3}　　　
B．{x|－1≤x≤4}
C．{x|x≤4}　　
D．{x|x≥－1}
解析　(1)由定义知M∪N＝{3,4,5,6,7,8}．
(2)在数轴上表示两个集合，如图，可得P∪Q＝{x|x≤4}．
答案　(1)A　(2)C
规律方法　求集合并集的两种方法
(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；
(2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解，此时要注意集合的端点能否取到．
【训练1】　已知集合M＝{0,1,3}，N＝{x|x＝3a，a∈M}，则M∪N＝(　　)
A．{0}　　　
B．{0,3}　　　
C．{1,3,9}　　
D．{0,1,3,9}
解析　易知N＝{0,3,9}，故M∪N＝{0,1,3,9}．
答案　D
题型二　交集的概念及简单应用
例2、(1)A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为(　　)
A．{2}　　　
B．{3}
C．{－3,2}　　
D．{－2,3}
(2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B＝(　　)
A．{x|0≤x≤2}　　　
B．{x|1≤x≤2}
C．{x|0≤x≤4}　　
D．{x|1≤x≤4}
解析　(1)易知A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，B＝{－3,2}，图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{2}，故选A．
(2)在数轴上表示出集合A与B，如图所示．
则由交集的定义知，A∩B＝{x|0≤x≤2}．
答案　(1)A　(2)A
规律方法　求集合A∩B的常见类型
(1)若A，B的代表元素是方程的根，则应先解方程求出方程的根后，再求两集合的交集．
(2)若集合的代表元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，解集是点集．
(3)若A，B是无限数集，可以利用数轴来求解，但要注意利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心圈表示．
【训练2】　(1)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为(　　)
A．5　　　
B．4　　　
C．3　　
D．2
(2)已知M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，则M∩N＝(　　)
A．x＝3，y＝－1　　　
B．(3，－1)
C．{3，－1}　　
D．{(3，－1)}
解析　(1)8＝3×2＋2,14＝3×4＋2，故A∩B＝{8,14}，故选D．
(2)由得故M∩N＝{(3，－1)}．
答案　(1)D　(2)D
题型三　并集、交集的运算性质及应用
【探究1】　设A，B是两个集合，若已知A∩B＝A，A∪B＝B，由此可分别得到集合A与B具有怎样的关系？
解　A∩B＝A?A∪B＝B?A?B，即A∩B＝A，A∪B＝B，A?B三者为等价关系．
【探究2】　若集合＝{x|x2＋2x－a＝0}＝?，求a的取值范围．
解　由题意知方程x2＋2x－a＝0无实根，故Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.
【探究3】　设集合A＝{1,2}，若B?A，求B.
解　B＝?或{1}或{2}或{1,2}．
【探究4】　设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a－1)x＋(a2－5)＝0}．
(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；
(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
解　(1)由题可知：A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，∵A∩B＝{2}，∴2∈B，将2带入集合B中得：4＋4(a－1)＋(a2－5)＝0，解得：a＝－5或a＝1.
当a＝－5时，集合B＝{2,10}符合题意；
当a＝1时，集合B＝{2，－2}，符合题意．
综上所述：a＝－5或a＝1.
(2)若A∪B＝A，则B?A，∵A＝{1,2}，∴B＝?或B＝{1}或{2}或{1,2}．
若B＝?，则Δ＝4(a－1)2－4(a2－5)＝24－8a<0，解得a>3；
若B＝{1}，则即不成立；
若B＝{2}，则即不成立；
若B＝{1,2}，则即此时不成立，综上a>3.
规律方法　利用集合交集、并集的性质解题的依据及关注点
(1)依据：A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A.
(2)关注点：当集合A?B时，若集合A不确定，运算时要考虑A＝?的情况，否则易漏解．
【训练3】　已知集合A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1或x＞5}，若A∩B＝?，求实数a的取值范围．
解　由A∩B＝?，
(1)若A＝?，有2a＞a＋3，∴a＞3.
(2)若A≠?，如下图：
∴解得－≤a≤2.
综上所述，a的取值范围是{a|－≤a≤2或a＞3}．
二、补集及综合应用
【考点总结】
知识点　补集的概念
(1)全集：
①定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
②记法：全集通常记作U.
(2)补集
文字语言
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作?UA
符号语言
?UA＝{x|x∈U且x?A}
图形语言
【例题解析】
题型一　补集的基本运算
例1、(1)设集合U＝R，M＝{x|x>2或x<0}，则?UM＝(　　)
A．{x|0≤x≤2}　　　
B．{x|0C．{x|x<0或x>2}　　
D．{x|x≤0或x≥2}
(2)已知全集U＝{1,2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，?UA＝{3}，则实数a＝________.
解析　(1)如图，在数轴上表示出集合M，可知?UM＝{x|0≤x≤2}．
(2)由题意可知解得a＝2.
答案　(1)A　(2)2
规律方法　求补集的方法
(1)列举法表示：从全集U中去掉属于集合A的所有元素后，由所有余下的元素组成的集合．
(2)由不等式构成的无限集表示：借助数轴，取全集U中集合A以外的所有元素组成的集合．
【训练1】　(1)已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3(2)设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若?UA＝{1,2}，则实数m＝________.
解析　(1)借助数轴得?UA＝{x|x＝－3或x>4}．
(2)∵?UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，∴0,3是方程x2＋mx＝0的两个根，∴m＝－3.
答案　(1){x|x＝－3或x>4}　(2)－3
题型二　集合交、并、补的综合运算
例2、已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2解　利用数轴，分别表示出全集U及集合A，B，先求出?UA及?UB，再求解．
则?UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，
?UB＝{x|x<－3，或2所以A∩B＝{x|－2(?UA)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}；
A∩(?UB)＝{x|2规律方法　1.求解与不等式有关的集合问题的方法
解决与不等式有关的集合问题时，画数轴(这也是集合的图形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到．
2．求解集合混合运算问题的一般顺序
解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，再计算其他部分．
【训练2】　已知集合S＝{x|1求：(1)(?SA)∩(?SB)；(2)?S(A∪B)；(3)(?SA)∪(?SB)；(4)?S(A∩B)．
解　(1)如图所示，可得
A∩B＝{x|3≤x<5}，A∪B＝{x|2≤x<7}，
?SA＝{x|1?SB＝{x|1由此可得：(1)(?SA)∩(?SB)＝{x|1(2)?S(A∪B)＝{x|1(3)(?SA)∪(?SB)＝{x|1(4)?S(A∩B)＝{x|1题型三　根据补集的运算求参数的值或范围
【探究1】　如果a∈?UB，那么元素a与集合B有什么关系？“a∈A∩(?UB)”意味着什么？
解　如果a∈?UB，那a?B，“a∈A∩(?UB)”意味着a∈A且a?B.
【探究2】　是否存在元素a，使得a∈A且a∈?UA？若集合A＝{x|－2解　不存在a，使得a∈A且a∈?UA；若A＝{x|－23}．
【探究3】　(1)已知集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}和B＝{x|x2－ax＋b＝0}，满足B∩(?UA)＝{2}，A∩(?UB)＝{4}，U＝R，求实数a，b的值．
(2)已知集合A＝{x|2a－2解　(1)∵B∩(?UA)＝{2}，∴2∈B，但2?A.
∵A∩(?UB)＝{4}，∴4∈A，但4?B.
∴解得∴a，b的值分别为，－.
(2)?RB＝{x|x≤1或x≥2}≠?.
∵A??RB，
∴分A＝?和A≠?两种情况讨论．
①若A＝?，此时有2a－2≥a，∴a≥2.
②若A≠?，则有或∴a≤1.
综上所述，a≤1或a≥2.
规律方法　由集合的补集求解参数的方法
(1)有限集：由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解．
(2)无限集：与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解．
【训练3】　设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，?UA＝{5}，求实数a的值．
解　∵?UA＝{5}，∴5∈U，且5?A.
∴a2＋2a－3＝5，解得a＝2或a＝－4.
当a＝2时，|2a－1|＝3≠5，此时A＝{3,2}，U＝{2,3,5}符合题意．
当a＝－4时，|2a－1|＝9，此时A＝{9,2}，U＝{2,3,5}，
不满足条件?UA＝{5}，故a＝－4舍去．
综上知a＝2.
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