北师版数学九年级上册同步训练《1.1菱形的性质与判定》

北师版数学九年级上册同步训练《1.1菱形的性质与判定》
一、单选题
1．（2021·河南）关于菱形的性质，以下说法不正确的是（　　）
A．四条边相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形
2．（2021·成都）如图，四边形 是菱形，点E，F分别在 边上，添加以下条件不能判定 的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2021·嘉兴）将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．矩形 D．菱形
4．（2020·南通）下列条件中，能判定 ABCD是菱形的是（　　）
A．AC＝BD B．AB⊥BC C．AD＝BD D．AC⊥BD
5．（2020·通辽）如图， 是 的中线，四边形 是平行四边形，增加下列条件，能判断 是菱形的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2020·盐城）如图，在菱形 中，对角线 相交于点 为 中点， .则线段 的长为：（　　）
A． B． C．3 D．5
7．（2020·荆州）如图，点E在菱形ABCD的AB边上，点F在BC边的延长线上，连接CE，DF，对于下列条件：① ；② ；③ ；④ ，只选其中一个添加，不能确定 的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
8．（2020·安顺）菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（　　）
A．5 B．20 C．24 D．32
9．（2020·绥化）如图，四边形 是菱形，E、F分别是 、 两边上的点，不能保证 和 一定全等的条件是（　　）
A． B． C． D．
10．（2020·西藏）如图，下列四个条件中，能判定平行四边形ABCD为菱形的是（　　）
A．∠ADB＝90° B．OA＝OB C．OA＝OC D．AB＝BC
二、填空题
11．（2021·长沙）如图，菱形 的对角线 ， 相交于点 ，点 是边 的中点，若 ，则 的长为　 　.
12．（2021·凉山）菱形 中，对角线 ，则菱形的高等于　 　.
13．（2021·金华）如图，菱形 的边长为 ， ，将该菱形沿AC方向平移 得到四边形 ， 交CD于点E，则点E到AC的距离为　 　 .
14．（2021·山西）如图，在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ， ， ， ，交 于点 ，则 的长为　 　．
15．（2020·玉林）如图，将两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形ABCD　 　菱形（填“是”或“不是”）.
16．（2020·盘锦）如图，菱形 的边长为4， ，分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于 两点，直线 交 于点 ，连接 ，则 的长为　 　.
三、解答题
17．（2021·菏泽）如图，在菱形 中，点 、 分别在 、 上，且 ，求证： ．
18．（2020·福建）如图，点E、F分别在菱形 的边 ， 上，且 ．
求证： ．
19．（2019·恩施）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线，分别交AD、BC于点E、F，连接AF、CE.试判断四边形AECF的形状，并证明.
20．（2021·随县）如图，在菱形 中， ， 是对角线 上的两点，且 .
（1）求证： ≌ ；
（2）证明四边形 是菱形.
21．（2021·扬州）如图，在 中， 的角平分线交 于点D， .
（1）试判断四边形 的形状，并说明理由；
（2）若 ，且 ，求四边形 的面积.
22．（2021·遂宁）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F.
（1）求证：AE＝CF；
（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：A、菱形的四条边都相等，A选项正确，不符合题意；
B、菱形的对角线不一定相等，B选项错误，符合题意；
C、菱形的对角线互相垂直，C选项正确，不符合题意；
D、菱形是轴对称图形，D选项正确，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】菱形的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有两条对称轴，据此判断.
2．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；菱形的性质
【解析】【解答】解： ∵四边形 是菱形，
∴AB=AD，∠B=∠D，
A. 添加 可以，
在△ABE和△ADF中，
，
∴ (SAS)，
故答案为：A可以；
B.添加 可以，
在△ABE和△ADF中
，
∴ (AAS)；
故答案为：B可以；
C. 添加 不可以，条件是边边角故不能判定；
故答案为：C不可以；
D. 添加 可以，
在△ABE和△ADF中
，
∴ (SAS).
故答案为：D可以；
故答案为：C.
【分析】根据全等三角形的判定“①三边对应相等的两个三角形全等；②两边及夹角对应相等的两个三角形全等；③两角及夹边对应相等的两个三角形全等；④两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等”可求解.
3．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】如图，由题意可知，剪下的图形是四边形BACD，
由折叠的性质可知CA = AB，
∴△ABC是等腰三角形，
又∵△ABC和△BCD关于直线CD对称，
∴AB=BD=AC=CD，
∴四边形BACD是菱形，
故答案为：D.
【分析】对折即根据轴对称得到的图形，由对折的性质即可得出CA=CB，最后得到的图形可得是沿对角线折叠2次后，剪去一个三角形得到的，从而得出AB=BD=AC=CD，根据菱形的判定定理即可判断.
4．【答案】D
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形；
故答案为：D.
【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可知，当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形.
5．【答案】A
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：A、若 ，则AD=BD=CD=AE，∵四边形ADCE是平行四边形，则此时四边形ADCE为菱形，符合题意；
B、若 ，则四边形ADCE是矩形，不符合题意；
C、若 ，则∠ADC=90°，则四边形ADCE是矩形，不符合题意；
D、若 ，而AB＞AD，则AE≠AD，无法判断四边形ADCE为菱形，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据菱形的判定方法逐一分析即可.
6．【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形
∴ ， ，
∴△BOC是直角三角形
∴
∴BC=5
∵H为BC中点
∴
故最后答案为 .
【分析】因为菱形的对角线互相垂直且平分，从而有 ， ， ，又因为H为BC中点，借助直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可作答.
7．【答案】C
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解： 四边形 是菱形，
， ，
，
① 添加 ，
，
② 添加 ， ，
，
，
③ 添加 ，
不能确定 ；
④ 添加 ，
，
故答案为： .
【分析】三角形全等的判定条件中只有“边边角”是不能确定三角形全等的，其它像“SAS”，“AAS”，“ASA”都是可以确定三角形全等的，由此可知本题的正确答案为C.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
根据题意得AO＝ ，BO＝ ，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，
∴△AOB是直角三角形，
∴AB＝ ，
∴此菱形的周长为：5×4＝20.
故答案为：B.
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可.
9．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】∵四边形 是菱形，
∴AB=BC=CD=DA， ， ，
如果 ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ (ASA)，故A符合题意；
如果EC=FC，
∴BC-EC=CD-FC，即BE=DF，
∵ ，
∴ (SAS)，故B符合题意；
如果AE=AF，
∵AB=DA， ，
是SSA，则不能判定 和 全等，故C不符合题意；
如果 ，
则 ，
∴ (SAS)，故D符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据菱形的性质结合全等三角形的判定方法，对各选项分别判断即可得解．
10．【答案】D
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：A、平行四边形ABCD中，∠ADB＝90°，
不能判定四边形ABCD为菱形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，不能判定四边形ABCD为菱形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，不能判定四边形ABCD为菱形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形；故选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据菱形的判定定理和矩形的判定定理分别对各个选项进行推理判断即可.
11．【答案】12
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解： 四边形 是菱形，
，
点 是边 的中点，
是 的中位线，
，
故答案为：12.
【分析】由菱形的对角线互相垂直平分可得OA=OC，AC⊥BD，由已知可知OE是三角形ABC的中位线，根据中位线定理得BC=2OE可求解.
12．【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，过A作AE⊥BC，垂足为E，即AE为菱形ABCD的高，
∵菱形ABCD中，AC=10，BD=24，
∴OB= BD=12，OA= AC=5，
在Rt△ABO中，AB=BC= =13，
∵S菱形ABCD= ，
∴ ，
解得：AE= ，
故答案为： .
【分析】过A作AE⊥BC，垂足为E，即AE为菱形ABCD的高，由菱形的性质得OB=BD，OA=AC，在Rt△ABO中，用勾股用定理可求得AB=BC的值，然后根据菱形的面积S=AC×BD=BC×AE可得关于AE的方程，解方程可求解.
13．【答案】2
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】∵∠BAD=60°，
∴连接对角线AC，BD，则AC⊥BD，且AC平分∠BAD，
∴在Rt△ADO中，
利用勾股定理得
又∵AC=2AO，
∴AC= ，
由题可知 = ，
∴A’C= ；
由平移可知 =∠DAC=30°，而∠DAC=∠DCA，
∴ =∠DCA，即 = =30°，
∴ 是等腰三角形；
过点E作EF⊥AC，垂足为F，如图所示：
则由等腰三角形三线合一可得：A’F=FC= ，
在Rt△ECF中， ，设EF=x，则EC=2x，
由勾股定理得：
，解得x=2，
故填：2.
【分析】 连接AC，BD，利用菱形的性质可证得AC⊥BD，AC平分∠BAD， 利用勾股定理求出AO的长，即可得到AC的长；再利用平移的性质可求出A’C的长，同时可证得△EA’C是等腰三角形，过点E作EF⊥AC于点F，利用等腰三角形的性质，可求出A’F、FC的长；设EF=x，则EC=2x，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到点E到AC的距离.
14．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，O为AC中点，
∴ ，
故答案为： ．
【分析】根据菱形的性质和平行线的性质可得OE是三角形ABC的中位线，可得。
15．【答案】是
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：如图，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
作AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F，
∵两张等宽的长方形纸条交叉叠放在一起，
∴AE＝AF，
∴S平行四边形ABCD＝BC AE＝DC AF，
∴BC＝DC，
∴ ABCD是菱形.
故答案为：是.
【分析】作AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F，根据两张等宽的长方形纸条交叉叠放在一起可得AE＝AF，再根据等面积法证明BC＝DC，进而证明四边形ABCD的形状一定是菱形.
16．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接BE，如图：
由题意可知，MN垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴ ，则∠AEB=90°，
在等腰直角三角形ABE中，AB=4，
∴BE=AE= ，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，
∴∠EBC=∠AEB=90°，
在Rt△BCE中，由勾股定理，则
；
故答案为： .
【分析】连接BE，由垂直平分线的性质和等腰直角三角形的性质，得BE=AE= ， 再得∠EBC=90°，利用勾股定理即可求出CE的长度.
17．【答案】 四边形 是菱形
在 和 中
(ASA)
即 ．
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】菱形的四条边相等，对角相等。全等三角形证明方法之一：ASA
解题关键：熟记菱形的性质及掌握全等三角形的判定与性质。
18．【答案】证明：∵四边形 是菱形，
∴ ， ．
在 和 中，
∴ ，
∴ ．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；菱形的性质
【解析】【分析】根据菱形的性质可知AB=AD，∠B=∠D，再结合已知条件BE=DF即可证明 后即可求解．
19．【答案】证明：四边形AECF为菱形.证明如下：
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，
∵O是AC中点，
∴AO=CO，
在△AOE和△COF中 ，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE=CF，
∵EF⊥AC，OA=OC，
∴AF=CF，AE=CE，
∴AF=CF=AE=CE
∴平行四边形AECF为菱形.
【知识点】全等三角形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【分析】 四边形AECF为菱形，理由如下：根据二直线平行，内错角相等得出∠1=∠2，从而利用AAS判断出△AOE≌△COF，根据全等三角形的对应边相等得出 AE=CF， 根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出 AF=CF，AE=CE， 故 AF=CF=AE=CE ，根据四边相等的四边形是菱形得出结论.
20．【答案】（1）证明：∵四边形 为菱形，
∴ ，且 ，
又∵ ，
∴ ≌
（2）证明：连接 交 于点 ，
∵四边形 为菱形，
∴ ，且 为 ， 中点，
又∵ ，
∴
∴ 与 互相垂直且平分，
故四边形 是菱形
【知识点】菱形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用菱形的性质可证得∠BAE=∠DCF，AB=CD；利用SAS可证得结论.
（2）连接BD交AC于点O，利用菱形的性质可证得AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，结合已知条件可证得EO=FO；然后利用对角线互相垂直平分的四边形是菱形，可证得结论.
21．【答案】（1）解：四边形AFDE是菱形，理由是：
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AFDE是平行四边形，
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAD=∠EAD，
∵DE∥AB，
∴∠EDA=∠FAD，
∴∠EDA=∠EAD，
∴AE=DE，
∴平行四边形AFDE是菱形
（2）解：∵∠BAC=90°，
∴四边形AFDE是正方形，
∵AD= ，
∴AF=DF=DE=AE= =2，
∴四边形AFDE的面积为2×2=4
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；正方形的判定与性质
【解析】【分析】（1）四边形AFDE是菱形，理由：由DE∥AB，DF∥AC，可证四边形AFDE是平行四边形，根据平行线的性质及角平分线的定义可得∠EDA=∠EAD，由等角对等边可得AE=DE，即可证明；
（2） 由∠BAC=90°，可证菱形AFDE是正方形，由对角线的长可求出边长，然后求出正方形的面积即可.
22．【答案】（1）证明：∵四边形 是平行四边形
∴OA＝OC，BE∥DF
∴∠E＝∠F
在△AOE和△COF中
∴
∴AE＝CF
（2）解：当EF⊥BD时，四边形BFDE是菱形，理由如下：
如图：连结BF，DE
∵四边形 是平行四边形
∴OB＝OD
∵
∴
∴四边形 是平行四边形
∵EF⊥BD，
∴四边形 是菱形
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质可证得OA＝OC，BE∥DF，利用平行线的性质可得∠E＝∠F；再利用AAS证明△AOE≌△COF，利用全等三角形的性质，可证得结论.
（2）当EF⊥BD时，四边形BFDE是菱形，连接BF，DE，平行四边形的性质及全等三角形的性质，可证得OB=OD，OF=OE，由此可推出四边形BFDE是平行四边形，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得结论.
1 / 1北师版数学九年级上册同步训练《1.1菱形的性质与判定》
一、单选题
1．（2021·河南）关于菱形的性质，以下说法不正确的是（　　）
A．四条边相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形
【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：A、菱形的四条边都相等，A选项正确，不符合题意；
B、菱形的对角线不一定相等，B选项错误，符合题意；
C、菱形的对角线互相垂直，C选项正确，不符合题意；
D、菱形是轴对称图形，D选项正确，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】菱形的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有两条对称轴，据此判断.
2．（2021·成都）如图，四边形 是菱形，点E，F分别在 边上，添加以下条件不能判定 的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；菱形的性质
【解析】【解答】解： ∵四边形 是菱形，
∴AB=AD，∠B=∠D，
A. 添加 可以，
在△ABE和△ADF中，
，
∴ (SAS)，
故答案为：A可以；
B.添加 可以，
在△ABE和△ADF中
，
∴ (AAS)；
故答案为：B可以；
C. 添加 不可以，条件是边边角故不能判定；
故答案为：C不可以；
D. 添加 可以，
在△ABE和△ADF中
，
∴ (SAS).
故答案为：D可以；
故答案为：C.
【分析】根据全等三角形的判定“①三边对应相等的两个三角形全等；②两边及夹角对应相等的两个三角形全等；③两角及夹边对应相等的两个三角形全等；④两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等”可求解.
3．（2021·嘉兴）将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．矩形 D．菱形
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】如图，由题意可知，剪下的图形是四边形BACD，
由折叠的性质可知CA = AB，
∴△ABC是等腰三角形，
又∵△ABC和△BCD关于直线CD对称，
∴AB=BD=AC=CD，
∴四边形BACD是菱形，
故答案为：D.
【分析】对折即根据轴对称得到的图形，由对折的性质即可得出CA=CB，最后得到的图形可得是沿对角线折叠2次后，剪去一个三角形得到的，从而得出AB=BD=AC=CD，根据菱形的判定定理即可判断.
4．（2020·南通）下列条件中，能判定 ABCD是菱形的是（　　）
A．AC＝BD B．AB⊥BC C．AD＝BD D．AC⊥BD
【答案】D
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形；
故答案为：D.
【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可知，当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形.
5．（2020·通辽）如图， 是 的中线，四边形 是平行四边形，增加下列条件，能判断 是菱形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：A、若 ，则AD=BD=CD=AE，∵四边形ADCE是平行四边形，则此时四边形ADCE为菱形，符合题意；
B、若 ，则四边形ADCE是矩形，不符合题意；
C、若 ，则∠ADC=90°，则四边形ADCE是矩形，不符合题意；
D、若 ，而AB＞AD，则AE≠AD，无法判断四边形ADCE为菱形，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据菱形的判定方法逐一分析即可.
6．（2020·盐城）如图，在菱形 中，对角线 相交于点 为 中点， .则线段 的长为：（　　）
A． B． C．3 D．5
【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形
∴ ， ，
∴△BOC是直角三角形
∴
∴BC=5
∵H为BC中点
∴
故最后答案为 .
【分析】因为菱形的对角线互相垂直且平分，从而有 ， ， ，又因为H为BC中点，借助直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可作答.
7．（2020·荆州）如图，点E在菱形ABCD的AB边上，点F在BC边的延长线上，连接CE，DF，对于下列条件：① ；② ；③ ；④ ，只选其中一个添加，不能确定 的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解： 四边形 是菱形，
， ，
，
① 添加 ，
，
② 添加 ， ，
，
，
③ 添加 ，
不能确定 ；
④ 添加 ，
，
故答案为： .
【分析】三角形全等的判定条件中只有“边边角”是不能确定三角形全等的，其它像“SAS”，“AAS”，“ASA”都是可以确定三角形全等的，由此可知本题的正确答案为C.
8．（2020·安顺）菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（　　）
A．5 B．20 C．24 D．32
【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
根据题意得AO＝ ，BO＝ ，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，
∴△AOB是直角三角形，
∴AB＝ ，
∴此菱形的周长为：5×4＝20.
故答案为：B.
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可.
9．（2020·绥化）如图，四边形 是菱形，E、F分别是 、 两边上的点，不能保证 和 一定全等的条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】∵四边形 是菱形，
∴AB=BC=CD=DA， ， ，
如果 ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ (ASA)，故A符合题意；
如果EC=FC，
∴BC-EC=CD-FC，即BE=DF，
∵ ，
∴ (SAS)，故B符合题意；
如果AE=AF，
∵AB=DA， ，
是SSA，则不能判定 和 全等，故C不符合题意；
如果 ，
则 ，
∴ (SAS)，故D符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据菱形的性质结合全等三角形的判定方法，对各选项分别判断即可得解．
10．（2020·西藏）如图，下列四个条件中，能判定平行四边形ABCD为菱形的是（　　）
A．∠ADB＝90° B．OA＝OB C．OA＝OC D．AB＝BC
【答案】D
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：A、平行四边形ABCD中，∠ADB＝90°，
不能判定四边形ABCD为菱形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，不能判定四边形ABCD为菱形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，不能判定四边形ABCD为菱形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形；故选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据菱形的判定定理和矩形的判定定理分别对各个选项进行推理判断即可.
二、填空题
11．（2021·长沙）如图，菱形 的对角线 ， 相交于点 ，点 是边 的中点，若 ，则 的长为　 　.
【答案】12
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解： 四边形 是菱形，
，
点 是边 的中点，
是 的中位线，
，
故答案为：12.
【分析】由菱形的对角线互相垂直平分可得OA=OC，AC⊥BD，由已知可知OE是三角形ABC的中位线，根据中位线定理得BC=2OE可求解.
12．（2021·凉山）菱形 中，对角线 ，则菱形的高等于　 　.
【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，过A作AE⊥BC，垂足为E，即AE为菱形ABCD的高，
∵菱形ABCD中，AC=10，BD=24，
∴OB= BD=12，OA= AC=5，
在Rt△ABO中，AB=BC= =13，
∵S菱形ABCD= ，
∴ ，
解得：AE= ，
故答案为： .
【分析】过A作AE⊥BC，垂足为E，即AE为菱形ABCD的高，由菱形的性质得OB=BD，OA=AC，在Rt△ABO中，用勾股用定理可求得AB=BC的值，然后根据菱形的面积S=AC×BD=BC×AE可得关于AE的方程，解方程可求解.
13．（2021·金华）如图，菱形 的边长为 ， ，将该菱形沿AC方向平移 得到四边形 ， 交CD于点E，则点E到AC的距离为　 　 .
【答案】2
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】∵∠BAD=60°，
∴连接对角线AC，BD，则AC⊥BD，且AC平分∠BAD，
∴在Rt△ADO中，
利用勾股定理得
又∵AC=2AO，
∴AC= ，
由题可知 = ，
∴A’C= ；
由平移可知 =∠DAC=30°，而∠DAC=∠DCA，
∴ =∠DCA，即 = =30°，
∴ 是等腰三角形；
过点E作EF⊥AC，垂足为F，如图所示：
则由等腰三角形三线合一可得：A’F=FC= ，
在Rt△ECF中， ，设EF=x，则EC=2x，
由勾股定理得：
，解得x=2，
故填：2.
【分析】 连接AC，BD，利用菱形的性质可证得AC⊥BD，AC平分∠BAD， 利用勾股定理求出AO的长，即可得到AC的长；再利用平移的性质可求出A’C的长，同时可证得△EA’C是等腰三角形，过点E作EF⊥AC于点F，利用等腰三角形的性质，可求出A’F、FC的长；设EF=x，则EC=2x，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到点E到AC的距离.
14．（2021·山西）如图，在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ， ， ， ，交 于点 ，则 的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，O为AC中点，
∴ ，
故答案为： ．
【分析】根据菱形的性质和平行线的性质可得OE是三角形ABC的中位线，可得。
15．（2020·玉林）如图，将两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形ABCD　 　菱形（填“是”或“不是”）.
【答案】是
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：如图，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
作AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F，
∵两张等宽的长方形纸条交叉叠放在一起，
∴AE＝AF，
∴S平行四边形ABCD＝BC AE＝DC AF，
∴BC＝DC，
∴ ABCD是菱形.
故答案为：是.
【分析】作AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F，根据两张等宽的长方形纸条交叉叠放在一起可得AE＝AF，再根据等面积法证明BC＝DC，进而证明四边形ABCD的形状一定是菱形.
16．（2020·盘锦）如图，菱形 的边长为4， ，分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于 两点，直线 交 于点 ，连接 ，则 的长为　 　.
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接BE，如图：
由题意可知，MN垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴ ，则∠AEB=90°，
在等腰直角三角形ABE中，AB=4，
∴BE=AE= ，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，
∴∠EBC=∠AEB=90°，
在Rt△BCE中，由勾股定理，则
；
故答案为： .
【分析】连接BE，由垂直平分线的性质和等腰直角三角形的性质，得BE=AE= ， 再得∠EBC=90°，利用勾股定理即可求出CE的长度.
三、解答题
17．（2021·菏泽）如图，在菱形 中，点 、 分别在 、 上，且 ，求证： ．
【答案】 四边形 是菱形
在 和 中
(ASA)
即 ．
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】菱形的四条边相等，对角相等。全等三角形证明方法之一：ASA
解题关键：熟记菱形的性质及掌握全等三角形的判定与性质。
18．（2020·福建）如图，点E、F分别在菱形 的边 ， 上，且 ．
求证： ．
【答案】证明：∵四边形 是菱形，
∴ ， ．
在 和 中，
∴ ，
∴ ．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；菱形的性质
【解析】【分析】根据菱形的性质可知AB=AD，∠B=∠D，再结合已知条件BE=DF即可证明 后即可求解．
19．（2019·恩施）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线，分别交AD、BC于点E、F，连接AF、CE.试判断四边形AECF的形状，并证明.
【答案】证明：四边形AECF为菱形.证明如下：
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，
∵O是AC中点，
∴AO=CO，
在△AOE和△COF中 ，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE=CF，
∵EF⊥AC，OA=OC，
∴AF=CF，AE=CE，
∴AF=CF=AE=CE
∴平行四边形AECF为菱形.
【知识点】全等三角形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【分析】 四边形AECF为菱形，理由如下：根据二直线平行，内错角相等得出∠1=∠2，从而利用AAS判断出△AOE≌△COF，根据全等三角形的对应边相等得出 AE=CF， 根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出 AF=CF，AE=CE， 故 AF=CF=AE=CE ，根据四边相等的四边形是菱形得出结论.
20．（2021·随县）如图，在菱形 中， ， 是对角线 上的两点，且 .
（1）求证： ≌ ；
（2）证明四边形 是菱形.
【答案】（1）证明：∵四边形 为菱形，
∴ ，且 ，
又∵ ，
∴ ≌
（2）证明：连接 交 于点 ，
∵四边形 为菱形，
∴ ，且 为 ， 中点，
又∵ ，
∴
∴ 与 互相垂直且平分，
故四边形 是菱形
【知识点】菱形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用菱形的性质可证得∠BAE=∠DCF，AB=CD；利用SAS可证得结论.
（2）连接BD交AC于点O，利用菱形的性质可证得AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，结合已知条件可证得EO=FO；然后利用对角线互相垂直平分的四边形是菱形，可证得结论.
21．（2021·扬州）如图，在 中， 的角平分线交 于点D， .
（1）试判断四边形 的形状，并说明理由；
（2）若 ，且 ，求四边形 的面积.
【答案】（1）解：四边形AFDE是菱形，理由是：
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AFDE是平行四边形，
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAD=∠EAD，
∵DE∥AB，
∴∠EDA=∠FAD，
∴∠EDA=∠EAD，
∴AE=DE，
∴平行四边形AFDE是菱形
（2）解：∵∠BAC=90°，
∴四边形AFDE是正方形，
∵AD= ，
∴AF=DF=DE=AE= =2，
∴四边形AFDE的面积为2×2=4
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；正方形的判定与性质
【解析】【分析】（1）四边形AFDE是菱形，理由：由DE∥AB，DF∥AC，可证四边形AFDE是平行四边形，根据平行线的性质及角平分线的定义可得∠EDA=∠EAD，由等角对等边可得AE=DE，即可证明；
（2） 由∠BAC=90°，可证菱形AFDE是正方形，由对角线的长可求出边长，然后求出正方形的面积即可.
22．（2021·遂宁）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F.
（1）求证：AE＝CF；
（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由.
【答案】（1）证明：∵四边形 是平行四边形
∴OA＝OC，BE∥DF
∴∠E＝∠F
在△AOE和△COF中
∴
∴AE＝CF
（2）解：当EF⊥BD时，四边形BFDE是菱形，理由如下：
如图：连结BF，DE
∵四边形 是平行四边形
∴OB＝OD
∵
∴
∴四边形 是平行四边形
∵EF⊥BD，
∴四边形 是菱形
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质可证得OA＝OC，BE∥DF，利用平行线的性质可得∠E＝∠F；再利用AAS证明△AOE≌△COF，利用全等三角形的性质，可证得结论.
（2）当EF⊥BD时，四边形BFDE是菱形，连接BF，DE，平行四边形的性质及全等三角形的性质，可证得OB=OD，OF=OE，由此可推出四边形BFDE是平行四边形，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得结论.
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