北师版数学九年级上册同步训练《1.2 矩形的性质与判定》
一、单选题
1．（2021七下·吴中期末）如图， 为一长条形纸带， ，将 沿 折叠， 、 两点分别与 、 对应，若 ，则 的度数为（ ）
A．60° B．65° C．72° D．75°
【答案】A
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由翻折的性质可知：∠AEF=∠FEA′，
∵AB∥CD，
∴∠AEF=∠1，
∵∠1=∠2，设∠2=x，则∠AEF=∠1=∠FEA′=x，
∴3x=180°，
∴x=60°，
∴∠AEF=x=60°，
故答案为：A.
【分析】利用折叠的性质可证得∠AEF=∠FEA′，利用平行线的性质可得到∠AEF=∠1，结合已知条件设∠2=x，则∠AEF=∠1=∠FEA′=x，由此可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到∠AEF的度数.
2．（2021·眉山）如图，将直角三角板放置在矩形纸片上，若 ，则 的度数为（ ）
A．42° B．48° C．52° D．60°
【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，延长该直角三角形一边，与该矩形纸片一边的交点记为点D，
由矩形对边平行，可得∠1=∠BAC，
因为BC⊥AB，
∴∠BAC+∠2=90°，
∴∠1+∠2=90°，
因为∠1=48°，
∴∠2=42°；
故答案为：A.
【分析】延长该直角三角形一边，与该矩形纸片一边的交点记为点D，根据平行线的性质得出∠1=∠BAC，然后根据直角三角形的性质求出∠2即可.
3．（2021·连云港）如图，将矩形纸片 沿 折叠后，点D、C分别落在点 、 的位置， 的延长线交 于点G，若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∵矩形纸片 沿 折叠，
∴∠DEF=∠GEF，
又∵AD//BC，
∴∠DEF=∠EFG，
∴∠DEF=∠GEF=∠EFG=64 ，
∵ 是△EFG的外角，
∴ =∠GEF+∠EFG=128
故答案为：A.
【分析】根据矩形的性质求出∠DEF=∠EFG，由折叠可得∠DEF=∠GEF，从而求出∠DEF=∠GEF=∠EFG=64 ，根据三角形的外角可得 =∠GEF+∠EFG，据此计算即可.
4．（2021·攸县模拟）对角线互相垂直平分但不相等的四边形是（ ）
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．平行四边形
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故A不符合题意；
对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故B符合题意；
对角线互相平分且相等的是矩形，故C不符合题意；
对角线互相平分的四边形是平行四边形，故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定条件即可选择.
5．（2020·绵阳）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DF∥BC，∠ABC的平分线BE交DF于点G，GH⊥DF，点E恰好为DH的中点，若AE＝3，CD＝2，则GH＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：过 作 ，交 于点 ，
，
，
，
，
为 中点，
，
，即 ，
，
四边形 为矩形，
，
平分 ， ， ，
，
，
则 ．
故答案为：B．
【分析】过 作 ，交 于点 ，可得 ，得到 与 平行，再由 为 中点，得到 ，同时得到四边形 为矩形，再由角平分线定理得到 ，进而求出 的长，得到 的长．
6．（2020·鄂尔多斯）将三角尺按如图所示放置在一张矩形纸片上，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，∠1＝125°，则∠BFG的大小为（ ）
A．125° B．115° C．110° D．120°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠1+∠BFE＝180°，
∵∠1＝125°，
∴∠BFE＝55°，
∵在△EGF中，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，
∴∠EFG＝180°﹣∠EGF﹣∠FEG＝60°，
∴∠BFG＝∠BFE+∠EFG＝55°+60°＝115°，
故答案为：B．
【分析】根据矩形得出AD∥BC，根据平行线的性质得出∠1+∠BFE＝180°，求出∠BFE，根据三角形内角和定理求出∠EFG，即可求出答案．
7．（2020·菏泽）如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是（ ）
A．互相平分 B．相等
C．互相垂直 D．互相垂直平分
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】根据题意画出图形如下：
答：AC与BD 的位置关系是互相垂直．
证明：∵四边形EFGH是矩形，
∴∠FEH=90°，
又∵点E、F、分别是AD、AB、各边的中点，
∴EF是三角形ABD的中位线，
∴EF∥BD，
∴∠FEH=∠OMH=90°，
又∵点E、H分别是AD、CD各边的中点，
∴EH是三角形ACD的中位线，
∴EH∥AC，
∴∠OMH=∠COB=90°，
即AC⊥BD．
故答案为：C．
【分析】由于顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，再由矩形的判定可知，依次连接对角线互相垂直的四边形各边的中点所得四边形是矩形．
8．（2020·怀化）在矩形 中， 、 相交于点O，若 的面积为2，则矩形 的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形，对角线 、 相交于点O，
∴AC=BD，且OA=OB=OC=OD，
∴ ，
∴矩形 的面积为 ，
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质得到OA=OB=OC=OD，推出 ，即可求出矩形ABCD的面积.
9．（2020·广州）如图，矩形 的对角线 ， 交于点 ， ， ，过点 作 ，交 于点 ，过点 作 ，垂足为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形，
，
，
，
， ，
，
，
，
又 ，
，
，
，
， ，
，
同理可证， ，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理求出AC=BD=10，由矩形的性质得出AO=5，证明 得到OE的长，再证明 可得到EF的长，从而可得到结论．
10．（2020·泰安）如图，矩形 中， 相交于点O，过点B作 交 于点F，交 于点M，过点D作 交 于点E，交 于点N，连接 ．则下列结论：
① ；② ；③ ；④当 时，四边形 是菱形．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的性质
【解析】【解答】∵BF⊥AC
∴∠BMC=90°
又∵
∴∠EDO=∠MBO，DE⊥AC
∴∠DNA=∠BMC=90°
∵四边形ABCD为矩形
∴AD=BC，AD∥BC，DC∥AB
∴∠ADB=∠CBD
∴∠ADB-∠EDO=∠CBD-∠MBO即∠AND=∠CBM
在△AND与△CMB
∵
∴△AND≌△CMB(AAS)
∴AN=CM，DN=BM，故①符合题意．
∵AB∥CD
∴∠NAE=∠MCF
又∵∠DNA=∠BMC=90°
∴∠ANE=∠CMF=90°
在△ANE与△CMF中
∵
∴△ANE≌△CMF（ASA）
∴NE=FM，AE=CF，故③符合题意．
在△NFM与△MEN中
∵
∴△NFM≌△MEN（SAS）
∴∠FNM=∠EMN
∴NF∥EM，故②符合题意．
∵AE=CF
∴DC-FC=AB-AE，即DF=EB
又根据矩形性质可知DF∥EB
∴四边形DEBF为平行四边
根据矩形性质可知OD=AO，
当AO=AD时，即三角形DAO为等边三角形
∴∠ADO=60°
又∵DN⊥AC
根据三线合一可知∠NDO=30°
又根据三角形内角和可知∠ABD=180°-∠DAB-∠ADB=30°
故DE=EB
∴四边形DEBF为菱形，故④符合题意．
故①②③④符合题意
故答案为：D．
【分析】通过判断△AND≌△CMB即可证明①，再判断出△ANE≌△CMF证明出③，再证明出△NFM≌△MEN，得到∠FNM=∠EMN，进而判断出②，通过 DF与EB先证明出四边形为平行四边形，再通过三线合一以及内角和定理得到∠NDO=∠ABD=30°，进而得到DE=BE，即可知四边形为菱形．
二、填空题
11．（2021·株洲）如图所示，线段 为等腰 的底边，矩形 的对角线 与 交于点 ，若 ，则 .
【答案】4
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形 ADBE 的对角线 AB 与 DE 交于点 O ，
∴AB=DE，OE=OD，
∴AB=DE=2OD=4，
∵线段 BC 为等腰 △ABC 的底边，
∴AC=AB=4，
故答案为：4.
【分析】由矩形的性质和等腰三角形的性质可求解.
12．（2020·盘锦）如图，在矩形 中， ，点 和点 分别为 上的点，将 沿 翻折，使点 落在 上的点 处，过点 作 交 于点 ，过点 作 交 于点 .若四边形 与四边形 的面积相等，则 的长为 .
【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： 四边形ABCD为矩形
设 ，则 ，
又
四边形ABHE是矩形，同理可得四边形 是矩形
矩形 的面积 ，矩形ABHE的面积 ，且
四边形 与四边形 的面积相等
由翻折得 ， ，
在 中，由勾股定理得
又
，即 ，化简得
解得
所以 的长为 .
故答案为： .
【分析】设 ，则 ，根据矩形的性质易知四边形ABHE和 是矩形，由其面积相等可得AE长，由翻折的性质可知ME、MF长，由勾股定理可知MC长，利用 的性质可求得x值，即CF长.
13．（2020·郴州）如图，在矩形 中， ．分别以点 为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧相交于点 和 ．作直线 分别与 交于点 ，则 ．
【答案】2 ．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】如图，连接DN，
在矩形ABCD中，AD=4，AB=8，
∴BD= ，
根据作图过程可知：
MN是BD的垂直平分线，
∴DN=BN，OB=OD=2 ，
∴AN=AB-BN=AB-DN=8-DN，
在Rt△ADN中，根据勾股定理，得
DN2=AN2+AD2，
∴DN2=（8-DN）2+42，
解得DN=5，
在Rt△DON中，根据勾股定理，得
ON= ，
∵CD∥AB，
∴∠MDO=∠NBO，
∠DMO=∠BNO，
∵OD=OB，
∴△DMO≌△BNO（AAS），
∴OM=ON= ，
∴MN=2 ．
故答案为：2 ．
【分析】连接DN，在矩形ABCD中，AD=4，AB=8，根据勾股定理可得BD的长，根据作图过程可得，MN是BD的垂直平分线，所以DN=BN，在Rt△ADN中，根据勾股定理得DN的长，在Rt△DON中，根据勾股定理得ON的长，进而可得MN的长．
14．（2020·河南）如图，在边长为 的正方形 中，点 分别是边 的中点，连接 点 分别是 的中点，连接 ，则 的长度为 .
【答案】1
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定与性质
【解析】【解答】过E作 ，过G作 ，过H作 ，垂足分别为P，R，R， 与 相交于I，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴ ，
，
∴四边形AEPD是矩形，
∴ ，
∵点E，F分别是AB，BC边的中点，
∴ ，
， ，
∵点G是EC的中点，
是 的中位线，
，
同理可求： ，
由作图可知四边形HIQP是矩形，
又HP= FC，HI= HR= PC，
而FC=PC，
∴ ，
∴四边形HIQP是正方形，
∴ ，
∴
是等腰直角三角形，
故答案为：1.
【分析】过E作 ，过G作 ，过H作 ， 与 相交于I，分别求出HI和GI的长，利用勾股定理即可求解.
15．（2021·黑龙江）在矩形 中， 2cm，将矩形 沿某直线折叠，使点B与点D重合，折痕与直线 交于点E，且 3cm，则矩形 的面积为 cm2．
【答案】 或
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
①当点E在线段AD上时，如图所示：
由折叠的性质可得 ，
∵ 3cm，
∴在 中， ，
∴ ，
∴ ；
②当点E在线段AD外时，如图所示：
由轴对称的性质可得 ，
∴在Rt△EAB中， ，
∴ ，
∴ ；
综上所述：矩形ABCD的面积为 或 ；
故答案为 或 ．
【分析】先求出 ，再分类讨论，利用勾股定理和矩形的面积公式计算求解即可。
16．（2020·内江）如图，在矩形ABCD中， ， ，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则 的最小值为 ．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，过A作 于 ，延长 ，使 ，过 作 于 ，交 于 ，则 最短，
四边形 为矩形， ， ，
即 的最小值为
故答案为：
【分析】如图，过A作 于 ，延长 ，使 ，过 作 于 ，交 于 ，则 最短，再利用矩形的性质与锐角三角函数求解 即可得到答案．
三、解答题
17．（2021·自贡）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.求证：DE＝BF.
【答案】∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD，
又E、F分别是边AB、CD的中点，
∴DF=BE，
又AB∥CD，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE=BF.
【知识点】平行四边形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】利用矩形的性质可得 AB∥CD，AB=CD， 再利用线段中点的定义去证明DF=BE，然后利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形DEBF是平行四边形，利用平行四边形的性质，可证得结论.
18．（2019·嘉兴）如图，在矩形 ABCD中，点 E，F 在对角线BD．请添加一个条件，使得结论“AE=CF”成立，并加以证明．
【答案】解：添加条件：BE=DF或DE=BF或 AE∥CF或∠AEB=∠DFC或∠DAE=∠BCF或∠AED-∠CFB或∠BAE-∠DCF或∠DCF+∠DAE=90°等.
若选择BE=DF.
证明：在矩形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABE=∠CDF.
∵BE=DF，
∴△ABE≌△CDF(SAS).
∴AE=CF.
【知识点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】利用矩形的性质和平行线的性质，易证AB=CD，∠ABE=∠CDE，添加条件要使AE=CF，可证△ABE≌△CDF，因此若利用SAS，则可添加BE=DF或DE=BF，若利用AAS或ASA，可添加另外两组角中的一组角相等，或添加AE∥CF，或添加AE⊥BD，CF⊥BD，证明即可。
19．（2018·通辽）如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=CD，连接CF．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）若AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）解：∵E是AD的中点，∴AE=DE，∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，∠EAF=∠EDB，
∴△AEF≌△DEB（AAS）
（2）解：连接DF，∵AF∥CD，AF=CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∵△AEF≌△DEB，∴BE=FE，
∵AE=DE，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF=AB，
∵AB=AC，
∴DF=AC，
∴四边形ADCF是矩形
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）利用线段中点的定义，可得出AE=DE，再根据平行线的性质可得出∠AFE=∠DBE，∠EAF=∠EDB，然后利用全等三角形的判定定理，可证得结论。
（2）先证明四边形ADCF是平行四边形，再根据平行四边形的性质及全等三角形的性质，证得AE=DE，就可得出四边形ABDF是平行四边形，得出DF=AB，由AB=AC，可得出DF=AC，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形。
20．（2021·安顺）如图，在矩形 中，点 在 上， ，且 ，垂足为 .
（1）求证： ；
（2）若 ，求四边形 的面积.
【答案】（1）证明：∵在矩形 中，
∴∠D=90°，AB∥CD，
∴∠BAN=∠AMD，
∵ ，
∴∠ANB=90°，即：∠D=∠ANB，
又∵ ，
∴ （AAS）
（2）解：∵ ，
∴AN=DM=4，
∵ ，
∴ ，
∴AB= ，
∴矩形 的面积= ×2=4 ，
又∵ ，
∴四边形 的面积=4 -4-4=4 -8
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质及垂直的定义可得∠D=∠ANB=90°，∠BAN=∠AMD，根据AAS可证 ；
（2） 由 ，可得AN=DM=4，利用勾股定理求出AM，即得AB，由四边形 的面积=矩形ABCD的面积-△ABN的面积-△MAD的面积，据此计算即可.
21．（2021·张家界）如图，在矩形 中，对角线 与 相交于点 ， ，对角线 所在的直线绕点 顺时针旋转角 ，所得的直线 分别交 ， 于点 .
（1）求证： ；
（2）当旋转角 为多少度时，四边形 为菱形？试说明理由.
【答案】（1）证明：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ .
（2）解：当 时四边形 为菱形，
理由：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
又∵ ，
∴四边形 为菱形.
【知识点】菱形的判定；矩形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得 ，利用平行线的性质得出∠AEO=∠CFO，根据AAS可证△AOE≌△COF；
（2）当时四边形 为菱形，理由：先证明四边形 为平行四边，由，可证四边形 为菱形.
22．（2021·泰安）四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点．
（1）若AC＝EC，如图1，求证：四边形BECD为平行四边形；
（2）若AB＝AD，点F是AB上的点，AF＝BE，EG⊥AC于点G，如图2，求证：△DGF是等腰直角三角形．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，CB⊥AE，
又∵AC＝EC，
∴AB＝BE，
∴BE＝CD，BE∥CD，
∴四边形BECD为平行四边形
（2）证明：∵AB＝AD，
∴矩形ABCD是正方形，
∵EG⊥AC，
∴∠E＝∠GAE＝45°，
∴GE＝GA，
又∵AF＝BE，
∴AB＝FE，
∴FE＝AD，
在△EGF和△AGD中，
，
∴△EGF≌△AGD(SAS)，
∴GF＝GD，∠DGA＝∠FGE，
∠DGF＝∠DGA+∠AGF＝∠EGF+∠AGF＝∠AGE＝90°，
∴△DGF是等腰直角三角形
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质，证明四边形BECD为平行四边形；
（2）根据题意，由正方形的判定和性质，证明△EGF≌△AGD，继而由全等三角形的性质证明△DGF为等腰直角三角形即可。
1 / 1北师版数学九年级上册同步训练《1.2 矩形的性质与判定》
一、单选题
1．（2021七下·吴中期末）如图， 为一长条形纸带， ，将 沿 折叠， 、 两点分别与 、 对应，若 ，则 的度数为（ ）
A．60° B．65° C．72° D．75°
2．（2021·眉山）如图，将直角三角板放置在矩形纸片上，若 ，则 的度数为（ ）
A．42° B．48° C．52° D．60°
3．（2021·连云港）如图，将矩形纸片 沿 折叠后，点D、C分别落在点 、 的位置， 的延长线交 于点G，若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·攸县模拟）对角线互相垂直平分但不相等的四边形是（ ）
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．平行四边形
5．（2020·绵阳）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DF∥BC，∠ABC的平分线BE交DF于点G，GH⊥DF，点E恰好为DH的中点，若AE＝3，CD＝2，则GH＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2020·鄂尔多斯）将三角尺按如图所示放置在一张矩形纸片上，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，∠1＝125°，则∠BFG的大小为（ ）
A．125° B．115° C．110° D．120°
7．（2020·菏泽）如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是（ ）
A．互相平分 B．相等
C．互相垂直 D．互相垂直平分
8．（2020·怀化）在矩形 中， 、 相交于点O，若 的面积为2，则矩形 的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
9．（2020·广州）如图，矩形 的对角线 ， 交于点 ， ， ，过点 作 ，交 于点 ，过点 作 ，垂足为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2020·泰安）如图，矩形 中， 相交于点O，过点B作 交 于点F，交 于点M，过点D作 交 于点E，交 于点N，连接 ．则下列结论：
① ；② ；③ ；④当 时，四边形 是菱形．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．（2021·株洲）如图所示，线段 为等腰 的底边，矩形 的对角线 与 交于点 ，若 ，则 .
12．（2020·盘锦）如图，在矩形 中， ，点 和点 分别为 上的点，将 沿 翻折，使点 落在 上的点 处，过点 作 交 于点 ，过点 作 交 于点 .若四边形 与四边形 的面积相等，则 的长为 .
13．（2020·郴州）如图，在矩形 中， ．分别以点 为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧相交于点 和 ．作直线 分别与 交于点 ，则 ．
14．（2020·河南）如图，在边长为 的正方形 中，点 分别是边 的中点，连接 点 分别是 的中点，连接 ，则 的长度为 .
15．（2021·黑龙江）在矩形 中， 2cm，将矩形 沿某直线折叠，使点B与点D重合，折痕与直线 交于点E，且 3cm，则矩形 的面积为 cm2．
16．（2020·内江）如图，在矩形ABCD中， ， ，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则 的最小值为 ．
三、解答题
17．（2021·自贡）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.求证：DE＝BF.
18．（2019·嘉兴）如图，在矩形 ABCD中，点 E，F 在对角线BD．请添加一个条件，使得结论“AE=CF”成立，并加以证明．
19．（2018·通辽）如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=CD，连接CF．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）若AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
20．（2021·安顺）如图，在矩形 中，点 在 上， ，且 ，垂足为 .
（1）求证： ；
（2）若 ，求四边形 的面积.
21．（2021·张家界）如图，在矩形 中，对角线 与 相交于点 ， ，对角线 所在的直线绕点 顺时针旋转角 ，所得的直线 分别交 ， 于点 .
（1）求证： ；
（2）当旋转角 为多少度时，四边形 为菱形？试说明理由.
22．（2021·泰安）四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点．
（1）若AC＝EC，如图1，求证：四边形BECD为平行四边形；
（2）若AB＝AD，点F是AB上的点，AF＝BE，EG⊥AC于点G，如图2，求证：△DGF是等腰直角三角形．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由翻折的性质可知：∠AEF=∠FEA′，
∵AB∥CD，
∴∠AEF=∠1，
∵∠1=∠2，设∠2=x，则∠AEF=∠1=∠FEA′=x，
∴3x=180°，
∴x=60°，
∴∠AEF=x=60°，
故答案为：A.
【分析】利用折叠的性质可证得∠AEF=∠FEA′，利用平行线的性质可得到∠AEF=∠1，结合已知条件设∠2=x，则∠AEF=∠1=∠FEA′=x，由此可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到∠AEF的度数.
2．【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，延长该直角三角形一边，与该矩形纸片一边的交点记为点D，
由矩形对边平行，可得∠1=∠BAC，
因为BC⊥AB，
∴∠BAC+∠2=90°，
∴∠1+∠2=90°，
因为∠1=48°，
∴∠2=42°；
故答案为：A.
【分析】延长该直角三角形一边，与该矩形纸片一边的交点记为点D，根据平行线的性质得出∠1=∠BAC，然后根据直角三角形的性质求出∠2即可.
3．【答案】A
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∵矩形纸片 沿 折叠，
∴∠DEF=∠GEF，
又∵AD//BC，
∴∠DEF=∠EFG，
∴∠DEF=∠GEF=∠EFG=64 ，
∵ 是△EFG的外角，
∴ =∠GEF+∠EFG=128
故答案为：A.
【分析】根据矩形的性质求出∠DEF=∠EFG，由折叠可得∠DEF=∠GEF，从而求出∠DEF=∠GEF=∠EFG=64 ，根据三角形的外角可得 =∠GEF+∠EFG，据此计算即可.
4．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故A不符合题意；
对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故B符合题意；
对角线互相平分且相等的是矩形，故C不符合题意；
对角线互相平分的四边形是平行四边形，故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定条件即可选择.
5．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：过 作 ，交 于点 ，
，
，
，
，
为 中点，
，
，即 ，
，
四边形 为矩形，
，
平分 ， ， ，
，
，
则 ．
故答案为：B．
【分析】过 作 ，交 于点 ，可得 ，得到 与 平行，再由 为 中点，得到 ，同时得到四边形 为矩形，再由角平分线定理得到 ，进而求出 的长，得到 的长．
6．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠1+∠BFE＝180°，
∵∠1＝125°，
∴∠BFE＝55°，
∵在△EGF中，∠EGF＝90°，∠FEG＝30°，
∴∠EFG＝180°﹣∠EGF﹣∠FEG＝60°，
∴∠BFG＝∠BFE+∠EFG＝55°+60°＝115°，
故答案为：B．
【分析】根据矩形得出AD∥BC，根据平行线的性质得出∠1+∠BFE＝180°，求出∠BFE，根据三角形内角和定理求出∠EFG，即可求出答案．
7．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】根据题意画出图形如下：
答：AC与BD 的位置关系是互相垂直．
证明：∵四边形EFGH是矩形，
∴∠FEH=90°，
又∵点E、F、分别是AD、AB、各边的中点，
∴EF是三角形ABD的中位线，
∴EF∥BD，
∴∠FEH=∠OMH=90°，
又∵点E、H分别是AD、CD各边的中点，
∴EH是三角形ACD的中位线，
∴EH∥AC，
∴∠OMH=∠COB=90°，
即AC⊥BD．
故答案为：C．
【分析】由于顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，再由矩形的判定可知，依次连接对角线互相垂直的四边形各边的中点所得四边形是矩形．
8．【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形，对角线 、 相交于点O，
∴AC=BD，且OA=OB=OC=OD，
∴ ，
∴矩形 的面积为 ，
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质得到OA=OB=OC=OD，推出 ，即可求出矩形ABCD的面积.
9．【答案】C
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形，
，
，
，
， ，
，
，
，
又 ，
，
，
，
， ，
，
同理可证， ，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理求出AC=BD=10，由矩形的性质得出AO=5，证明 得到OE的长，再证明 可得到EF的长，从而可得到结论．
10．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的性质
【解析】【解答】∵BF⊥AC
∴∠BMC=90°
又∵
∴∠EDO=∠MBO，DE⊥AC
∴∠DNA=∠BMC=90°
∵四边形ABCD为矩形
∴AD=BC，AD∥BC，DC∥AB
∴∠ADB=∠CBD
∴∠ADB-∠EDO=∠CBD-∠MBO即∠AND=∠CBM
在△AND与△CMB
∵
∴△AND≌△CMB(AAS)
∴AN=CM，DN=BM，故①符合题意．
∵AB∥CD
∴∠NAE=∠MCF
又∵∠DNA=∠BMC=90°
∴∠ANE=∠CMF=90°
在△ANE与△CMF中
∵
∴△ANE≌△CMF（ASA）
∴NE=FM，AE=CF，故③符合题意．
在△NFM与△MEN中
∵
∴△NFM≌△MEN（SAS）
∴∠FNM=∠EMN
∴NF∥EM，故②符合题意．
∵AE=CF
∴DC-FC=AB-AE，即DF=EB
又根据矩形性质可知DF∥EB
∴四边形DEBF为平行四边
根据矩形性质可知OD=AO，
当AO=AD时，即三角形DAO为等边三角形
∴∠ADO=60°
又∵DN⊥AC
根据三线合一可知∠NDO=30°
又根据三角形内角和可知∠ABD=180°-∠DAB-∠ADB=30°
故DE=EB
∴四边形DEBF为菱形，故④符合题意．
故①②③④符合题意
故答案为：D．
【分析】通过判断△AND≌△CMB即可证明①，再判断出△ANE≌△CMF证明出③，再证明出△NFM≌△MEN，得到∠FNM=∠EMN，进而判断出②，通过 DF与EB先证明出四边形为平行四边形，再通过三线合一以及内角和定理得到∠NDO=∠ABD=30°，进而得到DE=BE，即可知四边形为菱形．
11．【答案】4
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形 ADBE 的对角线 AB 与 DE 交于点 O ，
∴AB=DE，OE=OD，
∴AB=DE=2OD=4，
∵线段 BC 为等腰 △ABC 的底边，
∴AC=AB=4，
故答案为：4.
【分析】由矩形的性质和等腰三角形的性质可求解.
12．【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： 四边形ABCD为矩形
设 ，则 ，
又
四边形ABHE是矩形，同理可得四边形 是矩形
矩形 的面积 ，矩形ABHE的面积 ，且
四边形 与四边形 的面积相等
由翻折得 ， ，
在 中，由勾股定理得
又
，即 ，化简得
解得
所以 的长为 .
故答案为： .
【分析】设 ，则 ，根据矩形的性质易知四边形ABHE和 是矩形，由其面积相等可得AE长，由翻折的性质可知ME、MF长，由勾股定理可知MC长，利用 的性质可求得x值，即CF长.
13．【答案】2 ．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】如图，连接DN，
在矩形ABCD中，AD=4，AB=8，
∴BD= ，
根据作图过程可知：
MN是BD的垂直平分线，
∴DN=BN，OB=OD=2 ，
∴AN=AB-BN=AB-DN=8-DN，
在Rt△ADN中，根据勾股定理，得
DN2=AN2+AD2，
∴DN2=（8-DN）2+42，
解得DN=5，
在Rt△DON中，根据勾股定理，得
ON= ，
∵CD∥AB，
∴∠MDO=∠NBO，
∠DMO=∠BNO，
∵OD=OB，
∴△DMO≌△BNO（AAS），
∴OM=ON= ，
∴MN=2 ．
故答案为：2 ．
【分析】连接DN，在矩形ABCD中，AD=4，AB=8，根据勾股定理可得BD的长，根据作图过程可得，MN是BD的垂直平分线，所以DN=BN，在Rt△ADN中，根据勾股定理得DN的长，在Rt△DON中，根据勾股定理得ON的长，进而可得MN的长．
14．【答案】1
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定与性质
【解析】【解答】过E作 ，过G作 ，过H作 ，垂足分别为P，R，R， 与 相交于I，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴ ，
，
∴四边形AEPD是矩形，
∴ ，
∵点E，F分别是AB，BC边的中点，
∴ ，
， ，
∵点G是EC的中点，
是 的中位线，
，
同理可求： ，
由作图可知四边形HIQP是矩形，
又HP= FC，HI= HR= PC，
而FC=PC，
∴ ，
∴四边形HIQP是正方形，
∴ ，
∴
是等腰直角三角形，
故答案为：1.
【分析】过E作 ，过G作 ，过H作 ， 与 相交于I，分别求出HI和GI的长，利用勾股定理即可求解.
15．【答案】 或
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
①当点E在线段AD上时，如图所示：
由折叠的性质可得 ，
∵ 3cm，
∴在 中， ，
∴ ，
∴ ；
②当点E在线段AD外时，如图所示：
由轴对称的性质可得 ，
∴在Rt△EAB中， ，
∴ ，
∴ ；
综上所述：矩形ABCD的面积为 或 ；
故答案为 或 ．
【分析】先求出 ，再分类讨论，利用勾股定理和矩形的面积公式计算求解即可。
16．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，过A作 于 ，延长 ，使 ，过 作 于 ，交 于 ，则 最短，
四边形 为矩形， ， ，
即 的最小值为
故答案为：
【分析】如图，过A作 于 ，延长 ，使 ，过 作 于 ，交 于 ，则 最短，再利用矩形的性质与锐角三角函数求解 即可得到答案．
17．【答案】∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD，
又E、F分别是边AB、CD的中点，
∴DF=BE，
又AB∥CD，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE=BF.
【知识点】平行四边形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】利用矩形的性质可得 AB∥CD，AB=CD， 再利用线段中点的定义去证明DF=BE，然后利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形DEBF是平行四边形，利用平行四边形的性质，可证得结论.
18．【答案】解：添加条件：BE=DF或DE=BF或 AE∥CF或∠AEB=∠DFC或∠DAE=∠BCF或∠AED-∠CFB或∠BAE-∠DCF或∠DCF+∠DAE=90°等.
若选择BE=DF.
证明：在矩形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABE=∠CDF.
∵BE=DF，
∴△ABE≌△CDF(SAS).
∴AE=CF.
【知识点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】利用矩形的性质和平行线的性质，易证AB=CD，∠ABE=∠CDE，添加条件要使AE=CF，可证△ABE≌△CDF，因此若利用SAS，则可添加BE=DF或DE=BF，若利用AAS或ASA，可添加另外两组角中的一组角相等，或添加AE∥CF，或添加AE⊥BD，CF⊥BD，证明即可。
19．【答案】（1）解：∵E是AD的中点，∴AE=DE，∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，∠EAF=∠EDB，
∴△AEF≌△DEB（AAS）
（2）解：连接DF，∵AF∥CD，AF=CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∵△AEF≌△DEB，∴BE=FE，
∵AE=DE，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF=AB，
∵AB=AC，
∴DF=AC，
∴四边形ADCF是矩形
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）利用线段中点的定义，可得出AE=DE，再根据平行线的性质可得出∠AFE=∠DBE，∠EAF=∠EDB，然后利用全等三角形的判定定理，可证得结论。
（2）先证明四边形ADCF是平行四边形，再根据平行四边形的性质及全等三角形的性质，证得AE=DE，就可得出四边形ABDF是平行四边形，得出DF=AB，由AB=AC，可得出DF=AC，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形。
20．【答案】（1）证明：∵在矩形 中，
∴∠D=90°，AB∥CD，
∴∠BAN=∠AMD，
∵ ，
∴∠ANB=90°，即：∠D=∠ANB，
又∵ ，
∴ （AAS）
（2）解：∵ ，
∴AN=DM=4，
∵ ，
∴ ，
∴AB= ，
∴矩形 的面积= ×2=4 ，
又∵ ，
∴四边形 的面积=4 -4-4=4 -8
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质及垂直的定义可得∠D=∠ANB=90°，∠BAN=∠AMD，根据AAS可证 ；
（2） 由 ，可得AN=DM=4，利用勾股定理求出AM，即得AB，由四边形 的面积=矩形ABCD的面积-△ABN的面积-△MAD的面积，据此计算即可.
21．【答案】（1）证明：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ .
（2）解：当 时四边形 为菱形，
理由：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
又∵ ，
∴四边形 为菱形.
【知识点】菱形的判定；矩形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得 ，利用平行线的性质得出∠AEO=∠CFO，根据AAS可证△AOE≌△COF；
（2）当时四边形 为菱形，理由：先证明四边形 为平行四边，由，可证四边形 为菱形.
22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，CB⊥AE，
又∵AC＝EC，
∴AB＝BE，
∴BE＝CD，BE∥CD，
∴四边形BECD为平行四边形
（2）证明：∵AB＝AD，
∴矩形ABCD是正方形，
∵EG⊥AC，
∴∠E＝∠GAE＝45°，
∴GE＝GA，
又∵AF＝BE，
∴AB＝FE，
∴FE＝AD，
在△EGF和△AGD中，
，
∴△EGF≌△AGD(SAS)，
∴GF＝GD，∠DGA＝∠FGE，
∠DGF＝∠DGA+∠AGF＝∠EGF+∠AGF＝∠AGE＝90°，
∴△DGF是等腰直角三角形
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质，证明四边形BECD为平行四边形；
（2）根据题意，由正方形的判定和性质，证明△EGF≌△AGD，继而由全等三角形的性质证明△DGF为等腰直角三角形即可。
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