湘教版数学九年级上册同步训练《1.2 反比例函数的图像与性质》
一、单选题
1．（2021·桂林）若点A（1，3）在反比例函数y 的图象上，则k的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：把（1，3）代入反比例函数 得：
＝3，
解得：k＝3，
故答案为：C.
【分析】利用待定系数法求反比例函数k即可.
2．（2021·湘西）如图所示，小英同学根据学习函数的经验，自主尝试在平面直角坐标系中画出了一个解析式为 的函数图象.根据这个函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．图象与 轴没有交点
B．当 时
C．图象与 轴的交点是
D． 随 的增大而减小
【答案】A
【知识点】函数的图象；反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：由图象可得： ，即 ，
A、图象与x轴没有交点，正确，故符合题意；
B、当 时， ，错误，故不符合题意；
C、图象与y轴的交点是 ，错误，故不符合题意；
D、当 时，y随x的增大而减小，且y的值永远小于0，当 时，y随x的增大而减小，且y的值永远大于0，错误，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】由函数解析式知y≠0，故图象与x轴无交点，据此判断A；当 时，函数图象在x轴下方，据此判断B错误；当x=0时，y=-2，即得图象与y轴的交点是 ，据此判断C；由图象知在每个分支上，y随x增大而减小，据此判断D即可.
3．（2021·荆门）在同一直角坐标系中，函数 与 的大致图象是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：当k＞0时，
一次函数y=kx-k经过一、三、四象限，
函数的 （k≠0）的图象在一、二象限，
故答案为：②的图象符合要求.
当k＜0时，
一次函数y=kx-k经过一、二、四象限，
函数的 （k≠0）的图象经过三、四象限，
故答案为：③的图象符合要求.
故答案为：B.
【分析】分两种情况：①当k＞0时，②当k＜0时，据此分别判断一次函数及的图象是否一致即可.
4．（2021·安顺）已知反比例函数 的图象与正比例函数 的图象相交于 两点，若点 的坐标是 ，则点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵反比例函数 的图象与正比例函数 的图象相交于 两点，
∴ 关于原点中心对称，
∵点 的坐标是 ，
∴点 的坐标是 .
故答案为：C.
【分析】由于反比例函数 的图象与正比例函数 的图象的两个交点关于原点对称，利用关于原点对称点的坐标特征即可求出结论.
5．（2021·娄底）根据反比例函数的性质、联系化学学科中的溶质质量分数的求法以及生活体验等，判定下列有关函数 （a为常数且 ）的性质表述中，正确的是（ ）
①y随x的增大而增大；②y随x的增大而减小；③ ；④
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解： ，
又∵ ，
∴随着x的增大， 也会随之增大，
∴ 随着x的增大而减小，
此时 越来越小，则 越来越大，
故随着x的增大y也越来越大.
因此①正确，②错误；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故 ，
因此③正确，④错误；
综上所述，A选项符合.
故答案为：A.
【分析】利用反比例函数的性质，将原函数进行变形，由于，可得随着x的增大 越来越小，则 越来越大，据此判断①②；由于，可得 ，即得 ，据此判断③④.
6．（2021·仙桃）下列说法正确的是（ ）
A．函数 的图象是过原点的射线
B．直线 经过第一 二 三象限
C．函数 ，y随x增大而增大
D．函数 ，y随x增大而减小
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】A、函数 的图象是过原点的直线，则此项说法错误，不符题意；
B、直线 经过第一 二 四象限，则此项说法错误，不符题意；
C、函数 ， 随 增大而增大，则此项说法正确，符合题意；
D、函数 ， 随 增大而增大，则此项说法错误，不符题意；
故答案为：C.
【分析】函数y=2x的图象是过原点的直线，据此判断A；根据一次函数经过的象限与系数的关系判断B；根据反比例函数的性质判断C；根据一次函数的性质判断D.
7．（2021·梧州）如图，在同一平面直角坐标系中，直线y＝t（t为常数）与反比例函数y1 ，y2 的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，则△OAB的面积为（ ）
A．5t B． C． D．5
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积
【解析】【解答】解：如图，记直线y＝t与 轴交于点
由反比例函数的系数 的几何意义可得：
故答案为：C
【分析】记直线y＝t与y轴交于点M，利用反比例函数k的几何意义，可得到△OBM、△OAM的面积，然后根据S△AOB=S△BOM+S△AOM，代入计算可求解.
8．（2021·遵义）已知反比例函数y （k≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝kx+2的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解： 反比例函数y （k≠0）的图象分布在二，四象限，
＜
一次函数y＝kx+2的图象经过一，二，四象限，
故答案为：C
【分析】由图象可知反比例函数的图象分支在二，四象限，可得到k＜0，由此可得到一次函数y＝kx+2的图象所经过的象限.
9．（2021·无锡）一次函数 的图象与x轴交于点B，与反比例函数 的图象交于点 ，且 的面积为1，则m的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】∵一次函数 的图象与x轴交于点B，
∴B(-n，0)，
∵ 的面积为1，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 ，
∴ ，
∴ 或 ，解得：n=-2或n=1或无解，
∴m=2或-1（舍去），
故答案为：B.
【分析】先求出B(-n，0)，将点代入中得m=n+1①， 由的面积为1可得②，联立①②求出m值即可.
10．（2021·威海）一次函数 与反比例函数 的图象交于点 ，点 ．当 时，x的取值范围是（ ）
A． B． 或
C． D． 或
【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵两函数图象交于点 ，点
∴ ， ，解得： ，k2=2
∴ ，
画出函数图象如下图：
由函数图象可得 的解集为：0＜x＜2或x＜-1．
故填D．
【分析】根据题意，由点A以及点B，画出反比例以及一次函数的图象，结合图象，得到x的取值范围。
二、填空题
11．（2021·徐州）如图，点 分别在函数 的图象上，点 在 轴上.若四边形 为正方形，点 在第一象限，则 的坐标是 .
【答案】（2，3）
【知识点】点的坐标；正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵四边形 为正方形，
∴设D点坐标为（m， ），则A点坐标为（ ， ），
∴m-（ ）= ，解得：m=±2（负值舍去），
经检验，m=2是方程的解，
∴D点坐标为（2，3），
故答案是：（2，3）.
【分析】设D点坐标为（m， ），由正方形的性质，可得A点坐标为（ ， ），根据正方形的边长相等，可得m-（ ）= ，求出m值即可.
12．（2021·贵州）如图，若反比例函数 的图象经过等边三角形POQ的顶点P，则△POQ的边长为 .
【答案】2
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，过点P作x轴的垂线于M，
∵△POQ为等边三角形，
∴OP=OQ，OM=QM= OQ，
设P（a， ），
则OM=a，OQ=OP=2a，PM= ，
在Rt△OPM中，
，
∴ = a，
∴a=1（负值舍去），
∴OQ=2a=2，
故答案为：2.
【分析】过点P作x轴的垂线于M，由等边三角形的性质可得OP=OQ，OM=QM= OQ，设P（a， ），可得OM=a，OQ=OP=2a，PM= ，利用勾股定理求出PM=a，据此可得 = a，求出a值即得结论.
13．（2021·毕节）如图，直线 与反比例函数 的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，且 ，连接OA.已知 的面积为12，则k的值为 .
【答案】8
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作AE⊥x轴交x轴于E，过点B作BF⊥x轴交x轴于F
∵AE⊥x轴，BF⊥x轴，AB=BC
∴EF=FC，AE=2BF（中位线定理）
设A点坐标为（ ， ），则B点坐标为（ ， ）
∵OC=OE+EF+FC
∴OC=OE+EF+FC=3a
∴
解得
故答案为：8.
【分析】，过点A作AE⊥x轴交x轴于E，过点B作BF⊥x轴交x轴于F，由AE⊥x轴，BF⊥x轴，AB=BC可得EF=FC，AE=2BF，设A点坐标为（ ， ），则B点坐标为（ ， ），从而可得OC=OE+EF+FC=3a，由于，据此即可求出k值.
14．（2021·铜仁）如图，矩形 的顶点 在反比例函数 的图象上，矩形 的面积为3，则 ；
【答案】3
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】由题可知，S矩形ABOC=|k|=3，
又∵反比例图象过第一象限，
∴k＞0，
∴k=3，
故答案为3.
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义，可得S矩形ABOC=|k|=3，再根据反比例图象过第一象限即可求出k值.
15．（2021·威海）已知点A为直线y=-2x上一点，过点A作 轴，交双曲线 于点B．若点A与点B关于y轴对称，则点A的坐标为 ．
【答案】 或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A为直线 上一点，
∴设点A坐标为 ，
则点B的坐标为 ，
∵点B在双曲线 上，
将 代入 中得：
，
解得： ，
当 时， ，
当 时， ，
∴点A的坐标为 或 ，
故答案为： 或 ．
【分析】根据点A在直线上，可以设出A点的坐标，根据点A和点B关于y轴对称，即可得到点B的坐标，根据反比例函数图象上的坐标关系得到答案即可。
16．（2021·广元）如图，点 在反比例函数 的图象上，点M在x轴的正半轴上，点N在y轴的负半轴上，且 .点 是线段 上一动点，过点A和P分别作x轴的垂线，垂足为点D和E，连接 、 .当 时，x的取值范围是 .
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵点
∴ ，
所以反比例函数的解析式为： ，
因为 ，
∴ ，
设线段MN解析式为： ，
∴ ，
∴ ，
∴线段MN解析式为： ，
联立以上两个解析式得： ，
解得： 或 ，经检验，符合题意；
由图可知，两个函数的图象交点分别为点B和点C，
∴ ， ，
∵ ，
∴P点应位于B和C两点之间，
∴ ，
故答案为： .
【分析】由点 在反比例函数图象上可得k的值，由 可得点M、N的坐标，即可得直线MN的解析式，令直线解析式与反比例解析式相等可得交点B、C的坐标，根据 可得P点应位于B和C两点之间，可得结果.
三、解答题
17．（2021·苏州）如图，在平面直角坐标系中.四边形 为矩形，点 、 分别在 轴和 轴的正半轴上，点 为 的中点已知实数 ，一次函数 的图象经过点 、 ，反比例函数 的图象经过点 ，求 的值.
【答案】解：把 代入 ，得 .
∴ .
∵ 轴，
∴点 横坐标为 .
把 代入 ，得 .
∴ .
∵点 为 的中点，
∴ .
∴ .
∵点 在直线 上，
∴ .
∴
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】根据直线与x轴相交于点C可令y=0，求得x的值可得点C的坐标；由BC⊥x轴可得点B的横坐标和点C的横坐标相等，把点B的横坐标代入反比例函数的解析式可得点B的纵坐标，由线段中点定义可得点D的坐标，再根据点D在反比例函数的图象上可将点D的坐标代入直线解析式可得关于k的方程，解方程可求解.
18．（2021·泰州）如图，点A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2）在反比例函数y＝ （k＜0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为C、D，AC与BD相交于点E.
（1）根据图象直接写出y1、y2的大小关系，并通过计算加以验证；
（2）结合以上信息，从①四边形OCED的面积为2，②BE＝2AE这两个条件中任选一个作为补充条件，求k的值.你选择的条件是 ▲ （只填序号）.
【答案】（1）解：由于图象从左往右是上升的，即自变量增大，函数值也随之增大，故 ；
当x=-6时， ；当x=-2时，
∵ ，k＜0
∴
即
（2）解：∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，OC⊥OD
∴四边形OCED是矩形
∴OD OC=2
∵OC=2
∴OD=1
即
∴点B的坐标为(-6，1)
把点B的坐标代入y＝ 中，得k=-6
若选择条件②，即BE=2AE
∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，OC⊥OD
∴四边形OCED是矩形
∴DE=OC，CE=OD
∵OC=2，DB=6
∴BE=DB-DE=DB-OC=4
∴
∵AE=AC-CE=AC-OD=
即
由（1）知：
∴k=-6；①
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；矩形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）由于图象从左往右是上升的，即自变量增大，函数值也随之增大，故 ；再把点AB的横坐标分别代入反比例函数中，求出y1、y2的值，利用求差法比较即可；
（2）若选①， 可得四边形OCED是矩形，由面积可求出B的坐标，将点B坐标代入反比例函数解析式中，即可求出k值；若选②，可得四边形OCED是矩形，从而求出BE=4，即得，由于 AE=AC-CE=AC-OD= =2，由（1）知 ，据此求出k值.
19．（2021·安顺）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 ，与 轴交于点 ，过点 作 轴，垂足为 ，若 .
（1）求点 的坐标及 的值；
（2）若 ，求一次函数的表达式.
【答案】（1）解：在 中，令y＝0可得 ，解得x＝2，
∴A点坐标为（2，0）；
连接CO，
∵CB ⊥y轴，
∴CB∥x轴，
∴ =3，
∵点C在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∵反比例函数 的图象在二、四象限，
∴ ，即：m=-5
（2）解：∵点A(2，0)，
∴OA=2，
又∵AB= ，
∴在 中，OB= ，
∵CB ⊥y轴，
∴设C(b，2)，
∴ ，即b=-3，即C(-3，2)，
把C(-3，2)代入 ，得： ，解得：k= ，
∴一次函数的解析式为： .
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1） 由求出A（-2，0）， 连接CO，可得 =3，根据反比例函数比例系数k的几何意义，可得，据此求出m值即可；
（2）利用勾股定理求出OB=2，设C(b，2)，将点C代入反比例函数解析式中，求出b值，即得点C坐标，再将点C坐标代入中，求出k值即可.
20．（2021·贵港）如图，一次函数y＝x＋2的图象与反比例函数 的图象相交，其中一个交点的横坐标是1.
（1）求k的值；
（2）若将一次函数y＝x＋2的图象向下平移4个单位长度，平移后所得到的图象与反比例函数 的图象相交于A，B两点，求此时线段AB的长.
【答案】（1）解：将 代入 ，
交点的坐标为 ，
将 代入 ，
解得： ；
（2）解：将一次函数 的图象向下平移4个单位长度得到 ，
由 ，
解得： 或 ，
， ，
.
【知识点】一次函数图象与几何变换；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）将x=1代入y＝x＋2中得y=3，即得交点（1，3），将（1，3）代入 中，即可额求出k值；
（2）先求出平移后的函数解析式为，联立反比例函数解析式为方程组，求解即得A、B坐标，利用两点间的距离公式求出AB即可.
21．（2021·仙桃）如图：在平面直角坐标系中，菱形 的顶点D在y轴上，A，C两点的坐标分别为 ，直线 与双曲线： 交于C， 两点.
（1）求双曲线 的函数关系式及m的值；
（2）判断点B是否在双曲线上，并说明理由；
（3）当 时，请直接写出x的取值范围.
【答案】（1）解：由题意，将点 代入 得： ，
则双曲线 的函数关系式为 ，
将点 代入得： ；
（2）解：点 在双曲线上，理由如下：
由（1）可知，点 的坐标为 ，
将点 代入 得： ，解得 ，
则 ，
当 时， ，即 ，
先将点 向右平移2个单位，再向上平移1个单位可得到点 ，
四边形 是菱形，
点 平移至点 的方式与点 平移至点 的方式相同，
，
，即 ，
对于双曲线 ，
当 时， ，
即点 在双曲线上；
（3）解： 表示的是直线 的图象位于双曲线 的图象的上方，
则结合函数图象得： 或 .
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）将点 代入 中，求出k值即得，再将点 代入中，即可求出m值；
（2）利用待定系数法求出 ，求出当x=0时y值，即得点D（0，1），利用菱形的性质由点A坐标可求出点B坐标，然后将其代入反比例函数解析式中进行检验即可；
（3）由图象可知，当 或 时，直线 的图象位于双曲线 的图象的上方，据此即得结论.
22．（2021·烟台）如图，正比例函数 与反比例函数 的图象交于点A，过点A作 轴于点B， ，点C在线段 上，且 ．
（1）求k的值及线段 的长；
（2）点P为B点上方y轴上一点，当 与 的面积相等时，请求出点P的坐标．
【答案】（1）解：∵ ， ，
∴A点纵坐标为4，代入 ，得 ，解得 ，
则A点坐标为（8，4），代入 ，得 ，解得 ，
设BC为a，则 ，
，
解得， ，则 的长为3
（2）解：设P点坐标为（0，m），
的面积= ， 的面积= ，
由题意得， ，
解得， ，
P点坐标为（0，10）
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出k的值以及BC的长即可；
（2）设出P点的坐标，根据三角形的面积公式求出点P的坐标即可。
1 / 1湘教版数学九年级上册同步训练《1.2 反比例函数的图像与性质》
一、单选题
1．（2021·桂林）若点A（1，3）在反比例函数y 的图象上，则k的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2021·湘西）如图所示，小英同学根据学习函数的经验，自主尝试在平面直角坐标系中画出了一个解析式为 的函数图象.根据这个函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．图象与 轴没有交点
B．当 时
C．图象与 轴的交点是
D． 随 的增大而减小
3．（2021·荆门）在同一直角坐标系中，函数 与 的大致图象是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
4．（2021·安顺）已知反比例函数 的图象与正比例函数 的图象相交于 两点，若点 的坐标是 ，则点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·娄底）根据反比例函数的性质、联系化学学科中的溶质质量分数的求法以及生活体验等，判定下列有关函数 （a为常数且 ）的性质表述中，正确的是（ ）
①y随x的增大而增大；②y随x的增大而减小；③ ；④
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
6．（2021·仙桃）下列说法正确的是（ ）
A．函数 的图象是过原点的射线
B．直线 经过第一 二 三象限
C．函数 ，y随x增大而增大
D．函数 ，y随x增大而减小
7．（2021·梧州）如图，在同一平面直角坐标系中，直线y＝t（t为常数）与反比例函数y1 ，y2 的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，则△OAB的面积为（ ）
A．5t B． C． D．5
8．（2021·遵义）已知反比例函数y （k≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝kx+2的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限
9．（2021·无锡）一次函数 的图象与x轴交于点B，与反比例函数 的图象交于点 ，且 的面积为1，则m的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2021·威海）一次函数 与反比例函数 的图象交于点 ，点 ．当 时，x的取值范围是（ ）
A． B． 或
C． D． 或
二、填空题
11．（2021·徐州）如图，点 分别在函数 的图象上，点 在 轴上.若四边形 为正方形，点 在第一象限，则 的坐标是 .
12．（2021·贵州）如图，若反比例函数 的图象经过等边三角形POQ的顶点P，则△POQ的边长为 .
13．（2021·毕节）如图，直线 与反比例函数 的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，且 ，连接OA.已知 的面积为12，则k的值为 .
14．（2021·铜仁）如图，矩形 的顶点 在反比例函数 的图象上，矩形 的面积为3，则 ；
15．（2021·威海）已知点A为直线y=-2x上一点，过点A作 轴，交双曲线 于点B．若点A与点B关于y轴对称，则点A的坐标为 ．
16．（2021·广元）如图，点 在反比例函数 的图象上，点M在x轴的正半轴上，点N在y轴的负半轴上，且 .点 是线段 上一动点，过点A和P分别作x轴的垂线，垂足为点D和E，连接 、 .当 时，x的取值范围是 .
三、解答题
17．（2021·苏州）如图，在平面直角坐标系中.四边形 为矩形，点 、 分别在 轴和 轴的正半轴上，点 为 的中点已知实数 ，一次函数 的图象经过点 、 ，反比例函数 的图象经过点 ，求 的值.
18．（2021·泰州）如图，点A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2）在反比例函数y＝ （k＜0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为C、D，AC与BD相交于点E.
（1）根据图象直接写出y1、y2的大小关系，并通过计算加以验证；
（2）结合以上信息，从①四边形OCED的面积为2，②BE＝2AE这两个条件中任选一个作为补充条件，求k的值.你选择的条件是 ▲ （只填序号）.
19．（2021·安顺）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 ，与 轴交于点 ，过点 作 轴，垂足为 ，若 .
（1）求点 的坐标及 的值；
（2）若 ，求一次函数的表达式.
20．（2021·贵港）如图，一次函数y＝x＋2的图象与反比例函数 的图象相交，其中一个交点的横坐标是1.
（1）求k的值；
（2）若将一次函数y＝x＋2的图象向下平移4个单位长度，平移后所得到的图象与反比例函数 的图象相交于A，B两点，求此时线段AB的长.
21．（2021·仙桃）如图：在平面直角坐标系中，菱形 的顶点D在y轴上，A，C两点的坐标分别为 ，直线 与双曲线： 交于C， 两点.
（1）求双曲线 的函数关系式及m的值；
（2）判断点B是否在双曲线上，并说明理由；
（3）当 时，请直接写出x的取值范围.
22．（2021·烟台）如图，正比例函数 与反比例函数 的图象交于点A，过点A作 轴于点B， ，点C在线段 上，且 ．
（1）求k的值及线段 的长；
（2）点P为B点上方y轴上一点，当 与 的面积相等时，请求出点P的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：把（1，3）代入反比例函数 得：
＝3，
解得：k＝3，
故答案为：C.
【分析】利用待定系数法求反比例函数k即可.
2．【答案】A
【知识点】函数的图象；反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：由图象可得： ，即 ，
A、图象与x轴没有交点，正确，故符合题意；
B、当 时， ，错误，故不符合题意；
C、图象与y轴的交点是 ，错误，故不符合题意；
D、当 时，y随x的增大而减小，且y的值永远小于0，当 时，y随x的增大而减小，且y的值永远大于0，错误，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】由函数解析式知y≠0，故图象与x轴无交点，据此判断A；当 时，函数图象在x轴下方，据此判断B错误；当x=0时，y=-2，即得图象与y轴的交点是 ，据此判断C；由图象知在每个分支上，y随x增大而减小，据此判断D即可.
3．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：当k＞0时，
一次函数y=kx-k经过一、三、四象限，
函数的 （k≠0）的图象在一、二象限，
故答案为：②的图象符合要求.
当k＜0时，
一次函数y=kx-k经过一、二、四象限，
函数的 （k≠0）的图象经过三、四象限，
故答案为：③的图象符合要求.
故答案为：B.
【分析】分两种情况：①当k＞0时，②当k＜0时，据此分别判断一次函数及的图象是否一致即可.
4．【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵反比例函数 的图象与正比例函数 的图象相交于 两点，
∴ 关于原点中心对称，
∵点 的坐标是 ，
∴点 的坐标是 .
故答案为：C.
【分析】由于反比例函数 的图象与正比例函数 的图象的两个交点关于原点对称，利用关于原点对称点的坐标特征即可求出结论.
5．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解： ，
又∵ ，
∴随着x的增大， 也会随之增大，
∴ 随着x的增大而减小，
此时 越来越小，则 越来越大，
故随着x的增大y也越来越大.
因此①正确，②错误；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故 ，
因此③正确，④错误；
综上所述，A选项符合.
故答案为：A.
【分析】利用反比例函数的性质，将原函数进行变形，由于，可得随着x的增大 越来越小，则 越来越大，据此判断①②；由于，可得 ，即得 ，据此判断③④.
6．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】A、函数 的图象是过原点的直线，则此项说法错误，不符题意；
B、直线 经过第一 二 四象限，则此项说法错误，不符题意；
C、函数 ， 随 增大而增大，则此项说法正确，符合题意；
D、函数 ， 随 增大而增大，则此项说法错误，不符题意；
故答案为：C.
【分析】函数y=2x的图象是过原点的直线，据此判断A；根据一次函数经过的象限与系数的关系判断B；根据反比例函数的性质判断C；根据一次函数的性质判断D.
7．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积
【解析】【解答】解：如图，记直线y＝t与 轴交于点
由反比例函数的系数 的几何意义可得：
故答案为：C
【分析】记直线y＝t与y轴交于点M，利用反比例函数k的几何意义，可得到△OBM、△OAM的面积，然后根据S△AOB=S△BOM+S△AOM，代入计算可求解.
8．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解： 反比例函数y （k≠0）的图象分布在二，四象限，
＜
一次函数y＝kx+2的图象经过一，二，四象限，
故答案为：C
【分析】由图象可知反比例函数的图象分支在二，四象限，可得到k＜0，由此可得到一次函数y＝kx+2的图象所经过的象限.
9．【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】∵一次函数 的图象与x轴交于点B，
∴B(-n，0)，
∵ 的面积为1，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 ，
∴ ，
∴ 或 ，解得：n=-2或n=1或无解，
∴m=2或-1（舍去），
故答案为：B.
【分析】先求出B(-n，0)，将点代入中得m=n+1①， 由的面积为1可得②，联立①②求出m值即可.
10．【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵两函数图象交于点 ，点
∴ ， ，解得： ，k2=2
∴ ，
画出函数图象如下图：
由函数图象可得 的解集为：0＜x＜2或x＜-1．
故填D．
【分析】根据题意，由点A以及点B，画出反比例以及一次函数的图象，结合图象，得到x的取值范围。
11．【答案】（2，3）
【知识点】点的坐标；正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵四边形 为正方形，
∴设D点坐标为（m， ），则A点坐标为（ ， ），
∴m-（ ）= ，解得：m=±2（负值舍去），
经检验，m=2是方程的解，
∴D点坐标为（2，3），
故答案是：（2，3）.
【分析】设D点坐标为（m， ），由正方形的性质，可得A点坐标为（ ， ），根据正方形的边长相等，可得m-（ ）= ，求出m值即可.
12．【答案】2
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，过点P作x轴的垂线于M，
∵△POQ为等边三角形，
∴OP=OQ，OM=QM= OQ，
设P（a， ），
则OM=a，OQ=OP=2a，PM= ，
在Rt△OPM中，
，
∴ = a，
∴a=1（负值舍去），
∴OQ=2a=2，
故答案为：2.
【分析】过点P作x轴的垂线于M，由等边三角形的性质可得OP=OQ，OM=QM= OQ，设P（a， ），可得OM=a，OQ=OP=2a，PM= ，利用勾股定理求出PM=a，据此可得 = a，求出a值即得结论.
13．【答案】8
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作AE⊥x轴交x轴于E，过点B作BF⊥x轴交x轴于F
∵AE⊥x轴，BF⊥x轴，AB=BC
∴EF=FC，AE=2BF（中位线定理）
设A点坐标为（ ， ），则B点坐标为（ ， ）
∵OC=OE+EF+FC
∴OC=OE+EF+FC=3a
∴
解得
故答案为：8.
【分析】，过点A作AE⊥x轴交x轴于E，过点B作BF⊥x轴交x轴于F，由AE⊥x轴，BF⊥x轴，AB=BC可得EF=FC，AE=2BF，设A点坐标为（ ， ），则B点坐标为（ ， ），从而可得OC=OE+EF+FC=3a，由于，据此即可求出k值.
14．【答案】3
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】由题可知，S矩形ABOC=|k|=3，
又∵反比例图象过第一象限，
∴k＞0，
∴k=3，
故答案为3.
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义，可得S矩形ABOC=|k|=3，再根据反比例图象过第一象限即可求出k值.
15．【答案】 或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A为直线 上一点，
∴设点A坐标为 ，
则点B的坐标为 ，
∵点B在双曲线 上，
将 代入 中得：
，
解得： ，
当 时， ，
当 时， ，
∴点A的坐标为 或 ，
故答案为： 或 ．
【分析】根据点A在直线上，可以设出A点的坐标，根据点A和点B关于y轴对称，即可得到点B的坐标，根据反比例函数图象上的坐标关系得到答案即可。
16．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵点
∴ ，
所以反比例函数的解析式为： ，
因为 ，
∴ ，
设线段MN解析式为： ，
∴ ，
∴ ，
∴线段MN解析式为： ，
联立以上两个解析式得： ，
解得： 或 ，经检验，符合题意；
由图可知，两个函数的图象交点分别为点B和点C，
∴ ， ，
∵ ，
∴P点应位于B和C两点之间，
∴ ，
故答案为： .
【分析】由点 在反比例函数图象上可得k的值，由 可得点M、N的坐标，即可得直线MN的解析式，令直线解析式与反比例解析式相等可得交点B、C的坐标，根据 可得P点应位于B和C两点之间，可得结果.
17．【答案】解：把 代入 ，得 .
∴ .
∵ 轴，
∴点 横坐标为 .
把 代入 ，得 .
∴ .
∵点 为 的中点，
∴ .
∴ .
∵点 在直线 上，
∴ .
∴
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】根据直线与x轴相交于点C可令y=0，求得x的值可得点C的坐标；由BC⊥x轴可得点B的横坐标和点C的横坐标相等，把点B的横坐标代入反比例函数的解析式可得点B的纵坐标，由线段中点定义可得点D的坐标，再根据点D在反比例函数的图象上可将点D的坐标代入直线解析式可得关于k的方程，解方程可求解.
18．【答案】（1）解：由于图象从左往右是上升的，即自变量增大，函数值也随之增大，故 ；
当x=-6时， ；当x=-2时，
∵ ，k＜0
∴
即
（2）解：∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，OC⊥OD
∴四边形OCED是矩形
∴OD OC=2
∵OC=2
∴OD=1
即
∴点B的坐标为(-6，1)
把点B的坐标代入y＝ 中，得k=-6
若选择条件②，即BE=2AE
∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，OC⊥OD
∴四边形OCED是矩形
∴DE=OC，CE=OD
∵OC=2，DB=6
∴BE=DB-DE=DB-OC=4
∴
∵AE=AC-CE=AC-OD=
即
由（1）知：
∴k=-6；①
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；矩形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）由于图象从左往右是上升的，即自变量增大，函数值也随之增大，故 ；再把点AB的横坐标分别代入反比例函数中，求出y1、y2的值，利用求差法比较即可；
（2）若选①， 可得四边形OCED是矩形，由面积可求出B的坐标，将点B坐标代入反比例函数解析式中，即可求出k值；若选②，可得四边形OCED是矩形，从而求出BE=4，即得，由于 AE=AC-CE=AC-OD= =2，由（1）知 ，据此求出k值.
19．【答案】（1）解：在 中，令y＝0可得 ，解得x＝2，
∴A点坐标为（2，0）；
连接CO，
∵CB ⊥y轴，
∴CB∥x轴，
∴ =3，
∵点C在反比例函数 的图象上，
∴ ，
∵反比例函数 的图象在二、四象限，
∴ ，即：m=-5
（2）解：∵点A(2，0)，
∴OA=2，
又∵AB= ，
∴在 中，OB= ，
∵CB ⊥y轴，
∴设C(b，2)，
∴ ，即b=-3，即C(-3，2)，
把C(-3，2)代入 ，得： ，解得：k= ，
∴一次函数的解析式为： .
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1） 由求出A（-2，0）， 连接CO，可得 =3，根据反比例函数比例系数k的几何意义，可得，据此求出m值即可；
（2）利用勾股定理求出OB=2，设C(b，2)，将点C代入反比例函数解析式中，求出b值，即得点C坐标，再将点C坐标代入中，求出k值即可.
20．【答案】（1）解：将 代入 ，
交点的坐标为 ，
将 代入 ，
解得： ；
（2）解：将一次函数 的图象向下平移4个单位长度得到 ，
由 ，
解得： 或 ，
， ，
.
【知识点】一次函数图象与几何变换；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）将x=1代入y＝x＋2中得y=3，即得交点（1，3），将（1，3）代入 中，即可额求出k值；
（2）先求出平移后的函数解析式为，联立反比例函数解析式为方程组，求解即得A、B坐标，利用两点间的距离公式求出AB即可.
21．【答案】（1）解：由题意，将点 代入 得： ，
则双曲线 的函数关系式为 ，
将点 代入得： ；
（2）解：点 在双曲线上，理由如下：
由（1）可知，点 的坐标为 ，
将点 代入 得： ，解得 ，
则 ，
当 时， ，即 ，
先将点 向右平移2个单位，再向上平移1个单位可得到点 ，
四边形 是菱形，
点 平移至点 的方式与点 平移至点 的方式相同，
，
，即 ，
对于双曲线 ，
当 时， ，
即点 在双曲线上；
（3）解： 表示的是直线 的图象位于双曲线 的图象的上方，
则结合函数图象得： 或 .
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）将点 代入 中，求出k值即得，再将点 代入中，即可求出m值；
（2）利用待定系数法求出 ，求出当x=0时y值，即得点D（0，1），利用菱形的性质由点A坐标可求出点B坐标，然后将其代入反比例函数解析式中进行检验即可；
（3）由图象可知，当 或 时，直线 的图象位于双曲线 的图象的上方，据此即得结论.
22．【答案】（1）解：∵ ， ，
∴A点纵坐标为4，代入 ，得 ，解得 ，
则A点坐标为（8，4），代入 ，得 ，解得 ，
设BC为a，则 ，
，
解得， ，则 的长为3
（2）解：设P点坐标为（0，m），
的面积= ， 的面积= ，
由题意得， ，
解得， ，
P点坐标为（0，10）
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出k的值以及BC的长即可；
（2）设出P点的坐标，根据三角形的面积公式求出点P的坐标即可。
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