高中数学人教A版（2019） 选修三 第六章 计数原理
一、单选题
1．（2020高二下·菏泽期末）已知 ， （ ）
A．1 B．m C． D．0
2．（2020高二下·淄博期末）参加完某项活动的6名成员合影留念，前排和后排各3人，不同排法的种数为（ ）
A．360 B．720 C．2160 D．4320
3．（2020高二下·临沂期末）现有4名同学去听同时进行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（ ）
A．60 B．64 C．81 D．360
4．（2020高二下·烟台期中）3位女生和2位男生站成一排照相，其中男生不能站在一起的排法种数为（ ）
A．72 B．60 C．36 D．3
5．（2020高二下·淄博期末） 展开式的常数项为（ ）
A．-56 B．-28 C．56 D．28
6．（2020高二下·枣庄期末）若 展开式的常数项等于 ，则 （ ）
A．-3 B．-2 C．2 D．3
7．（2020高二下·烟台期中）某教育局安排4名骨干教师分别到3所农村学校支教，若每所学校至少安排1名教师，且每名教师只能去所学校，则不同安排方案有（ ）
A．6种 B．24种 C．36种 D．72种
8．（2020高二下·潍坊期中）已知 则 （ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
二、多选题
9．（2020高二下·滨州期末）2020年3月，为促进疫情后复工复产期间安全生产，滨州市某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到 ， ， 三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是（ ）
A．若 企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种
B．若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种
C．若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到 企业，则所有不同分派方案共12种
D．所有不同分派方案共 种
10．（2020高二下·聊城期末）若 ，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2020高二下·莒县期中）已知二项式 的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是 ，则下列说法正确的是（ ）
A．所有项的系数之和为1 B．所有项的系数之和为-1
C．含 的项的系数为240 D．含 的项的系数为-240
12．（2020高二下·潍坊期中）关于 的说法，正确的是（ ）
A．展开式中的二项式系数之和为2048
B．展开式中只有第6项的二项式系数最大
C．展开式中第6项和第7项的二项式系数最大
D．展开式中第6项的系数最大
三、填空题
13．（2020高二下·烟台期中）由 组成没有重复数字的五位奇数有 个.
14．（2020高二下·济宁期末） 的展开式中的常数项为 .
15．（2020高二下·淄博期末）用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻面不同色，共有 种涂法.
16．（2020高二下·济南期末）某老师安排甲、乙、丙、丁4名同学从周一至周五值班，每天安排1人，每人至少1天，若甲连续两天值班，则不同的安排方法种数为 .（请用数字作答）
四、解答题
17．（2020高二下·菏泽期末）已知 的展开式中，第4项的系数与第5项的系数之比为 .
（1）求n值；
（2）求展开式中的常数项.
18．（2020高二下·泰安期末）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.
①第5项的系数与第3项的系数之比是14：3；②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55；③ .
已知在 的展开式中，________.
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中含 的项.
19．（2020高二下·莒县期中）男运动员6名，女运动员4名，其中男 女队长各1名.现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
（1）男运动员3名，女运动员2名；
（2）队长中至少有1人参加；
（3）既要有队长，又要有女运动员.
20．（2020高二下·栖霞月考）有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒子内.
（1）共有几种放法？
（2）恰有2个盒子不放球，有几种放法？
21．（2019高二下·日照月考）设 .
（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）求 的值
22．（2020高二下·栖霞月考）有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.
（1）选5人排成一排；
（2）排成前后两排，前排4人，后排3人；
（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
（4）全体排成一排，女生必须站在一起；
（5）全体排成一排，男生互不相邻.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】 .
故答案为：D
【分析】 借助于组合数的性质，化简计算即可．
2．【答案】B
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：分两步完成：
第一步：从6人中选3人排前排： 种不同排法；
第二步：剩下的3人排后排： 种不同排法，
再按照分步乘法计数原理： 种不同排法，
故答案为：B.
【分析】根据题意由排列组合以及分步计数原理结合已知条件计算出答案即可。
3．【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】每名同学可以选3个课外知识讲座的其中一个，根据分步乘法计数原理可知
不同选法的种数是
故答案为：C
【分析】由已知条件结合分步计数原理计算出结果即可。
4．【答案】A
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】先排3位女生，再把2位男生插入空档中，因此排法种数 ．
故答案为：A．
【分析】 根据题意，分2步进行分析：①将3为女生全排列，②3为女生排好后，有4个空位，在其中任选2个，安排两个男生，由分步计数原理计算可得答案．
5．【答案】D
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】 展开式的通项公式为 ，
当 ，即 时，常数项为： ，
故答案为：D．
【分析】首先求出二项展开式的通项公式，再已知条件令求出r的值，代入通项公式计算出答案即可。
6．【答案】C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解： 展开式的通项公式为： ，
所以当 时， 项的系数为： ，
的展开式无常数项，
所以 展开式的常数项为： ，解得：
故答案为：C.
【分析】首先根据题意得出二项展开式的通项公式，再对k赋值计算出答案即可。
7．【答案】C
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】由题意，先从4名骨干教师任取2名共有 种取法，
所以不同安排方案有： .
故答案为：C
【分析】 根据题意，分2步进行分析：①在4位教师中任选2个，安排到其中1所农村学校，②将剩下的2位教师安排到其他两个农村学校，由分步计数原理计算可得答案．
8．【答案】C
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】由 ，
令 得： ，则 ，
令 得： ，
所以 ，则 。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合赋值法得出和，进而求出的值。
9．【答案】A,B,C
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】对于A：若 企业没有派医生去，每名医生有 种选择，则共用 种，
若 企业派1名医生则有 种，所以共有 种.
对于B：若每家企业至少分派1名医生，则有 种，
对于C：若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到 企业，
若甲企业分 人，则有 种；若甲企业分 人，则有 种，
所以共有 种.
对于D：所有不同分派方案共有 种.
故答案为：ABC
【分析】 根据分类加法和分步乘法计数原理及排列组合的知识对每个选项分别求解即可求得结论．
10．【答案】A,C,D
【知识点】二项式定理；二项式定理的应用
【解析】【解答】解： ，
故令 ，可得 ，故 正确．
对于所给等式，令 ，可得 ，
令 ，可得 ，
两式相减除以2，可得 ，故 错误．
对于所给等式，令 ，可得 ，故 ，
故 正确．
对于所给等式，两边分别对 求导数，
可得 ，
再令 ，可得 ，故 正确，
故答案为：ACD．
【分析】首先由特殊值法代入计算出从而判断出选项A正确，同理即可判断出选项B错误，C正确，再由导数的运算性质代入数值计算出结果即可判断出选项D正确，由此得出答案。
11．【答案】A,C
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】二项式 展开式通项为：
，
因为展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是 ，
所以 ，解得 ；
则该二项式为 ，
令 ，则所有项的系数之和为 ，A符合题意，B不符合题意；
则展开式的通项公式为 ，
令 ，则 ，因此含 的项的系数为 ，C符合题意，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出二项式 的展开式中第2项与第3项的二项式系数，再利用二项式 的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是 ， 进而求出n的值，再利用二项式系数的性质求出 所有项的系数之和 ，再利用二项式定理求出的展开式中的通项公式求出含 的项的系数。
12．【答案】A,C
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】 的展开式中的二项式系数之和为 ，所以 正确；
因为 为奇数，所以展开式中有 项，中间两项（第6项和第7项）的二项式系数相等且最大，所以 不正确， 正确；
展开式中第6项的系数为负数，不是最大值，所以 不正确.
故答案为：AC
【分析】利用二项式的系数的性质结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出二项式的系数的方法，进而求出二项式系数之和和二项式系数的最大值。从而找出正确的选项。
13．【答案】13440
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】有0的五位奇数有 个，无0的五位奇数有 个，所以所有的五位奇数有 ＋ ＝13440个．
故答案为：13440．
【分析】 根据题意，分3步进行分析：①在1、3、5、7、9五个数字中任选1个，作为五位数的个位，②五位数的万位数字不为0，易得万位有有8种选法，③在剩下的8个数字中，任选3个安排在千位、百位、十位，由分步计数原理计算可得答案．
14．【答案】-3
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】 的展开式中的常数项为 .
故答案为：-3
【分析】根据题意求出二项展开式的通项公式再结合题意代入数值计算出结果即可。
15．【答案】72
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：先给底面涂色，有4种涂法，设4个侧面为 、 、 、 ，
然后给 面涂色，有3种；给 面涂色，有2种；
给 面，若 与 相同色，则 面可以涂2种；若 与 不同色，则 面可以涂1种，
所以共有 ．
故答案为：72．
【分析】结合已知条件由乘法计数原理计算出结果即可。
16．【答案】24
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】从周一至周五值班，甲连续两天值班，乙、丙、丁每人值班一天，可知
⒈周一到周五任选连续的两天安排给甲值班，则有： 种安排方法
⒉甲值班两天除外，其它三天安排乙、丙、丁值班，则有： 种安排方法
以上两步是分步计数方法：故总的不同的安排方法为 = 24种
故答案为：24
【分析】 根据题意，分2步进行分析：先分析甲连续2天上班的情况，再将剩下三个人进行全排列，由分步计数原理计算可得答案．
17．【答案】（1）解： ，
所以 ，
，
所以 ，
解得 ；
（2）解： ，其中 ，
令 ，解得 ，
所以展开式中的常数项为 .
【知识点】二项式定理
【解析】【分析】 （1）利用通项求出第4项、第5项的系数，解方程求出n的值；
（2）令通项中x的指数为0，即可求出常数项．
18．【答案】（1）解：可知 ，
方案一：选条件①，
由题可知 ，
，
，
解得 或 （舍去），
所以展开式共有11项，其中二项式系数最大的项是第六项，
，
所以展开式中二项式系数最大的项是第6项， ；
方案二：选条件②，
由题可知 ，
整理得 ，解得 或 （舍去），
所以展开式共有11项，其中二项式系数最大的项是第六项，
，
所以展开式中二项式系数最大的项是第6项， ；
方案三：选条件③
，
，
所以展开式共有11项，其中二项式系数最大的项是第六项，
，
所以展开式中二项式系数最大的项是第6项， ；
（2）解：方案一：选条件①，
由（1）知 ，
令 ， ， ，
所以展开式中含 的项是第一项，为 ；
方案二：选条件②，
同方案一（2）；
方案三：选条件③，
同方案一（2）.
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【分析】 (1)由题意利用，二项式系数的性质，求得n的值，再利用通项公式求得展开式中二项式系数最大的项.
(2)由题意利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中含的项.
19．【答案】（1）解：分两步完成：
第一步，选3名男运动员，有 种选法；
第二步，选2名女运动员，有 种选法.由分步乘法计数原理可得，共有 (种)选法.
（2）解：方法一(直接法)可分类求解：
“只有男队长”的选法种数为 ；
“只有女队长”的选法种数为 ；
“男 女队长都入选”的选法种数为 ，
所以共有 (种)选法.
方法二(间接法)从10人中任选5人有 种选法，
其中不选队长的方法有 种.所以“至少有1名队长”的选法有 (种).
（3）解：当有女队长时，其他人任意选，共有 种选法；当不选女队长时，必选男队长，共有 种选法，其中不含女运动员的选法有 种，所以不选女队长时的选法共有 种.所以既要有队长又要有女运动员的选法共有 (种).
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合组合数公式，再结合分步乘法计数原理，进而求出男运动员3名，女运动员2名的选派方法。
（2）利用直接法和间接法的方法结合组合数公式，进而求出队长中至少有1人参加的选派方法。
（3）利用已知条件结合组合数公式，再利用分类加法计数原理和间接法，进而求出既要有队长，又要有女运动员的选派方法。
20．【答案】（1）解：每一个球有4种放法，故共有44＝256（种）
（2）解：恰有2个盒子不放球，也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中，有两类放法；
第一类，1个盒子放3个小球，1个盒子放1个小球，先把小球分组，有 种，再放到2个小盒中有 种放法，共有 种方法；
第二类，2个盒子中各放2个小球有 种放法，
故恰有2个盒子不放球的方法共有 种放法.
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）明确共有4个球，每个球都有4种放法，盒子可以不放球，根据分步计数原理求解.（2）首先明确有两个盒子不放球的含义是将4个球放入2个盒子中，放球分为两类，一类是1个盒子放3个另一个放1个，二类是两个盒子各放2个，分别求出每一类的放法，再用加法计数原理求解.
21．【答案】（1）解：令 ，得 .
令 ，得 .①
∴
（2）解：令 ，得 .② 与① 式联立，
① -② 得 ，
所以
（3）解： （令 ）
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）利用特殊值法求出 的值。
（2）利用特殊值法联立作差求出 的值。
（3）利用特殊值法结合绝对值的定义求出 的值 。
22．【答案】（1）解：从7人中选5人排列，有 （种）.
（2）解：分两步完成，先选4人站前排，有 种方法，余下3人站后排，有 种方法，共有 （种）.
（3）解：（特殊元素优先法）先排甲，有5种方法，其余6人有 种排列方法，共有 （种）.
（4）解：（捆绑法）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有 种方法，再将女生全排列，有 种方法，共有 （种）.
（5）解：（插空法）先排女生，有 种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有 种方法，共有 （种）.
【知识点】排列及排列数公式
【解析】【分析】（1）按照排列的定义求解（2）分两步完成，先选4人站前排进行排列，余下3人站后排进行排列，然后相乘求解（3）先考虑甲，再其余6人进行排列，然后相乘求解.（4）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，再将女生全排列，然后相乘求解.（5）先排女生，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，然后相乘求解.
1 / 1高中数学人教A版（2019） 选修三 第六章 计数原理
一、单选题
1．（2020高二下·菏泽期末）已知 ， （ ）
A．1 B．m C． D．0
【答案】D
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】 .
故答案为：D
【分析】 借助于组合数的性质，化简计算即可．
2．（2020高二下·淄博期末）参加完某项活动的6名成员合影留念，前排和后排各3人，不同排法的种数为（ ）
A．360 B．720 C．2160 D．4320
【答案】B
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：分两步完成：
第一步：从6人中选3人排前排： 种不同排法；
第二步：剩下的3人排后排： 种不同排法，
再按照分步乘法计数原理： 种不同排法，
故答案为：B.
【分析】根据题意由排列组合以及分步计数原理结合已知条件计算出答案即可。
3．（2020高二下·临沂期末）现有4名同学去听同时进行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（ ）
A．60 B．64 C．81 D．360
【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】每名同学可以选3个课外知识讲座的其中一个，根据分步乘法计数原理可知
不同选法的种数是
故答案为：C
【分析】由已知条件结合分步计数原理计算出结果即可。
4．（2020高二下·烟台期中）3位女生和2位男生站成一排照相，其中男生不能站在一起的排法种数为（ ）
A．72 B．60 C．36 D．3
【答案】A
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】先排3位女生，再把2位男生插入空档中，因此排法种数 ．
故答案为：A．
【分析】 根据题意，分2步进行分析：①将3为女生全排列，②3为女生排好后，有4个空位，在其中任选2个，安排两个男生，由分步计数原理计算可得答案．
5．（2020高二下·淄博期末） 展开式的常数项为（ ）
A．-56 B．-28 C．56 D．28
【答案】D
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】 展开式的通项公式为 ，
当 ，即 时，常数项为： ，
故答案为：D．
【分析】首先求出二项展开式的通项公式，再已知条件令求出r的值，代入通项公式计算出答案即可。
6．（2020高二下·枣庄期末）若 展开式的常数项等于 ，则 （ ）
A．-3 B．-2 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解： 展开式的通项公式为： ，
所以当 时， 项的系数为： ，
的展开式无常数项，
所以 展开式的常数项为： ，解得：
故答案为：C.
【分析】首先根据题意得出二项展开式的通项公式，再对k赋值计算出答案即可。
7．（2020高二下·烟台期中）某教育局安排4名骨干教师分别到3所农村学校支教，若每所学校至少安排1名教师，且每名教师只能去所学校，则不同安排方案有（ ）
A．6种 B．24种 C．36种 D．72种
【答案】C
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】由题意，先从4名骨干教师任取2名共有 种取法，
所以不同安排方案有： .
故答案为：C
【分析】 根据题意，分2步进行分析：①在4位教师中任选2个，安排到其中1所农村学校，②将剩下的2位教师安排到其他两个农村学校，由分步计数原理计算可得答案．
8．（2020高二下·潍坊期中）已知 则 （ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】由 ，
令 得： ，则 ，
令 得： ，
所以 ，则 。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合赋值法得出和，进而求出的值。
二、多选题
9．（2020高二下·滨州期末）2020年3月，为促进疫情后复工复产期间安全生产，滨州市某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到 ， ， 三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是（ ）
A．若 企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种
B．若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种
C．若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到 企业，则所有不同分派方案共12种
D．所有不同分派方案共 种
【答案】A,B,C
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】对于A：若 企业没有派医生去，每名医生有 种选择，则共用 种，
若 企业派1名医生则有 种，所以共有 种.
对于B：若每家企业至少分派1名医生，则有 种，
对于C：若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到 企业，
若甲企业分 人，则有 种；若甲企业分 人，则有 种，
所以共有 种.
对于D：所有不同分派方案共有 种.
故答案为：ABC
【分析】 根据分类加法和分步乘法计数原理及排列组合的知识对每个选项分别求解即可求得结论．
10．（2020高二下·聊城期末）若 ，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A,C,D
【知识点】二项式定理；二项式定理的应用
【解析】【解答】解： ，
故令 ，可得 ，故 正确．
对于所给等式，令 ，可得 ，
令 ，可得 ，
两式相减除以2，可得 ，故 错误．
对于所给等式，令 ，可得 ，故 ，
故 正确．
对于所给等式，两边分别对 求导数，
可得 ，
再令 ，可得 ，故 正确，
故答案为：ACD．
【分析】首先由特殊值法代入计算出从而判断出选项A正确，同理即可判断出选项B错误，C正确，再由导数的运算性质代入数值计算出结果即可判断出选项D正确，由此得出答案。
11．（2020高二下·莒县期中）已知二项式 的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是 ，则下列说法正确的是（ ）
A．所有项的系数之和为1 B．所有项的系数之和为-1
C．含 的项的系数为240 D．含 的项的系数为-240
【答案】A,C
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】二项式 展开式通项为：
，
因为展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是 ，
所以 ，解得 ；
则该二项式为 ，
令 ，则所有项的系数之和为 ，A符合题意，B不符合题意；
则展开式的通项公式为 ，
令 ，则 ，因此含 的项的系数为 ，C符合题意，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出二项式 的展开式中第2项与第3项的二项式系数，再利用二项式 的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是 ， 进而求出n的值，再利用二项式系数的性质求出 所有项的系数之和 ，再利用二项式定理求出的展开式中的通项公式求出含 的项的系数。
12．（2020高二下·潍坊期中）关于 的说法，正确的是（ ）
A．展开式中的二项式系数之和为2048
B．展开式中只有第6项的二项式系数最大
C．展开式中第6项和第7项的二项式系数最大
D．展开式中第6项的系数最大
【答案】A,C
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】 的展开式中的二项式系数之和为 ，所以 正确；
因为 为奇数，所以展开式中有 项，中间两项（第6项和第7项）的二项式系数相等且最大，所以 不正确， 正确；
展开式中第6项的系数为负数，不是最大值，所以 不正确.
故答案为：AC
【分析】利用二项式的系数的性质结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出二项式的系数的方法，进而求出二项式系数之和和二项式系数的最大值。从而找出正确的选项。
三、填空题
13．（2020高二下·烟台期中）由 组成没有重复数字的五位奇数有 个.
【答案】13440
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】有0的五位奇数有 个，无0的五位奇数有 个，所以所有的五位奇数有 ＋ ＝13440个．
故答案为：13440．
【分析】 根据题意，分3步进行分析：①在1、3、5、7、9五个数字中任选1个，作为五位数的个位，②五位数的万位数字不为0，易得万位有有8种选法，③在剩下的8个数字中，任选3个安排在千位、百位、十位，由分步计数原理计算可得答案．
14．（2020高二下·济宁期末） 的展开式中的常数项为 .
【答案】-3
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】 的展开式中的常数项为 .
故答案为：-3
【分析】根据题意求出二项展开式的通项公式再结合题意代入数值计算出结果即可。
15．（2020高二下·淄博期末）用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻面不同色，共有 种涂法.
【答案】72
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：先给底面涂色，有4种涂法，设4个侧面为 、 、 、 ，
然后给 面涂色，有3种；给 面涂色，有2种；
给 面，若 与 相同色，则 面可以涂2种；若 与 不同色，则 面可以涂1种，
所以共有 ．
故答案为：72．
【分析】结合已知条件由乘法计数原理计算出结果即可。
16．（2020高二下·济南期末）某老师安排甲、乙、丙、丁4名同学从周一至周五值班，每天安排1人，每人至少1天，若甲连续两天值班，则不同的安排方法种数为 .（请用数字作答）
【答案】24
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】从周一至周五值班，甲连续两天值班，乙、丙、丁每人值班一天，可知
⒈周一到周五任选连续的两天安排给甲值班，则有： 种安排方法
⒉甲值班两天除外，其它三天安排乙、丙、丁值班，则有： 种安排方法
以上两步是分步计数方法：故总的不同的安排方法为 = 24种
故答案为：24
【分析】 根据题意，分2步进行分析：先分析甲连续2天上班的情况，再将剩下三个人进行全排列，由分步计数原理计算可得答案．
四、解答题
17．（2020高二下·菏泽期末）已知 的展开式中，第4项的系数与第5项的系数之比为 .
（1）求n值；
（2）求展开式中的常数项.
【答案】（1）解： ，
所以 ，
，
所以 ，
解得 ；
（2）解： ，其中 ，
令 ，解得 ，
所以展开式中的常数项为 .
【知识点】二项式定理
【解析】【分析】 （1）利用通项求出第4项、第5项的系数，解方程求出n的值；
（2）令通项中x的指数为0，即可求出常数项．
18．（2020高二下·泰安期末）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.
①第5项的系数与第3项的系数之比是14：3；②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55；③ .
已知在 的展开式中，________.
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中含 的项.
【答案】（1）解：可知 ，
方案一：选条件①，
由题可知 ，
，
，
解得 或 （舍去），
所以展开式共有11项，其中二项式系数最大的项是第六项，
，
所以展开式中二项式系数最大的项是第6项， ；
方案二：选条件②，
由题可知 ，
整理得 ，解得 或 （舍去），
所以展开式共有11项，其中二项式系数最大的项是第六项，
，
所以展开式中二项式系数最大的项是第6项， ；
方案三：选条件③
，
，
所以展开式共有11项，其中二项式系数最大的项是第六项，
，
所以展开式中二项式系数最大的项是第6项， ；
（2）解：方案一：选条件①，
由（1）知 ，
令 ， ， ，
所以展开式中含 的项是第一项，为 ；
方案二：选条件②，
同方案一（2）；
方案三：选条件③，
同方案一（2）.
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【分析】 (1)由题意利用，二项式系数的性质，求得n的值，再利用通项公式求得展开式中二项式系数最大的项.
(2)由题意利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中含的项.
19．（2020高二下·莒县期中）男运动员6名，女运动员4名，其中男 女队长各1名.现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
（1）男运动员3名，女运动员2名；
（2）队长中至少有1人参加；
（3）既要有队长，又要有女运动员.
【答案】（1）解：分两步完成：
第一步，选3名男运动员，有 种选法；
第二步，选2名女运动员，有 种选法.由分步乘法计数原理可得，共有 (种)选法.
（2）解：方法一(直接法)可分类求解：
“只有男队长”的选法种数为 ；
“只有女队长”的选法种数为 ；
“男 女队长都入选”的选法种数为 ，
所以共有 (种)选法.
方法二(间接法)从10人中任选5人有 种选法，
其中不选队长的方法有 种.所以“至少有1名队长”的选法有 (种).
（3）解：当有女队长时，其他人任意选，共有 种选法；当不选女队长时，必选男队长，共有 种选法，其中不含女运动员的选法有 种，所以不选女队长时的选法共有 种.所以既要有队长又要有女运动员的选法共有 (种).
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合组合数公式，再结合分步乘法计数原理，进而求出男运动员3名，女运动员2名的选派方法。
（2）利用直接法和间接法的方法结合组合数公式，进而求出队长中至少有1人参加的选派方法。
（3）利用已知条件结合组合数公式，再利用分类加法计数原理和间接法，进而求出既要有队长，又要有女运动员的选派方法。
20．（2020高二下·栖霞月考）有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒子内.
（1）共有几种放法？
（2）恰有2个盒子不放球，有几种放法？
【答案】（1）解：每一个球有4种放法，故共有44＝256（种）
（2）解：恰有2个盒子不放球，也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中，有两类放法；
第一类，1个盒子放3个小球，1个盒子放1个小球，先把小球分组，有 种，再放到2个小盒中有 种放法，共有 种方法；
第二类，2个盒子中各放2个小球有 种放法，
故恰有2个盒子不放球的方法共有 种放法.
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【分析】（1）明确共有4个球，每个球都有4种放法，盒子可以不放球，根据分步计数原理求解.（2）首先明确有两个盒子不放球的含义是将4个球放入2个盒子中，放球分为两类，一类是1个盒子放3个另一个放1个，二类是两个盒子各放2个，分别求出每一类的放法，再用加法计数原理求解.
21．（2019高二下·日照月考）设 .
（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）求 的值
【答案】（1）解：令 ，得 .
令 ，得 .①
∴
（2）解：令 ，得 .② 与① 式联立，
① -② 得 ，
所以
（3）解： （令 ）
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）利用特殊值法求出 的值。
（2）利用特殊值法联立作差求出 的值。
（3）利用特殊值法结合绝对值的定义求出 的值 。
22．（2020高二下·栖霞月考）有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.
（1）选5人排成一排；
（2）排成前后两排，前排4人，后排3人；
（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
（4）全体排成一排，女生必须站在一起；
（5）全体排成一排，男生互不相邻.
【答案】（1）解：从7人中选5人排列，有 （种）.
（2）解：分两步完成，先选4人站前排，有 种方法，余下3人站后排，有 种方法，共有 （种）.
（3）解：（特殊元素优先法）先排甲，有5种方法，其余6人有 种排列方法，共有 （种）.
（4）解：（捆绑法）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有 种方法，再将女生全排列，有 种方法，共有 （种）.
（5）解：（插空法）先排女生，有 种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有 种方法，共有 （种）.
【知识点】排列及排列数公式
【解析】【分析】（1）按照排列的定义求解（2）分两步完成，先选4人站前排进行排列，余下3人站后排进行排列，然后相乘求解（3）先考虑甲，再其余6人进行排列，然后相乘求解.（4）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，再将女生全排列，然后相乘求解.（5）先排女生，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，然后相乘求解.
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