高中数学人教A版（2019） 选修二 第五章 一元函数的导数及其应用

高中数学人教A版（2019） 选修二 第五章 一元函数的导数及其应用
一、单选题
1．（2021·潍坊模拟）关于函数 ， 的性质，以下说法正确的是（　　）
A．函数 的周期是
B．函数 在 上有极值
C．函数 在 单调递减
D．函数 在 内有最小值
【答案】D
【知识点】函数的周期性；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】对于A，因为 ，当 时， ，所以函数 的周期不是 ，A不符合题意；
对于B，因为 ，设 ，
，当 时， ，
所以 ，即 ，故函数 在 上单调递减，B不符合题意；
对于C， ，所以函数 在 上不单调，C不符合题意；
对于D，因为当 时， ，当 时， ，当且仅当 时取等号，而 在 上单调递增，所以当 时，函数 取得最小值，D符合题意．
故答案为：D.
【分析】利用周期函数的定义，从而求出函数的周期，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，进而求出函数的最小值，从而选出说法正确的选项。
2．（2020高二下·烟台期末）已知函数 为偶函数，则 在 处的切线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】奇函数与偶函数的性质；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】 函数 为偶函数，
，即 ，解得 ，
，则 ，
，且 ，
切线方程为 ，整理得 .
故答案为：A.
【分析】首先由偶函数的性质即可求出a的值，由此得到函数的解析式，再对其求导并计算出，再由点斜式求出结果即可。
3．（2020高三上·威海期末）若关于 的方程 在 上有两个不等的实数根，则实数 的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由 得出 ，
则 ，
，
设 ， ，
故 ，
在 上为减函数， ，
故 时 ； 时 ，
故 在 上为增函数，在 上为减函数，
，
且 时 ； 时 ，
与 的图象要有两个交点，
则 的取值范围为 。
故答案为：B。
【分析】由 得出 ，则 ，再利用求导的运算法则和导数的公式求出函数f(x)的导函数，再设 ， ，结合求导的方法判断函数g(x)的单调性，进而判断出函数f(x)的单调性，从而求出函数f(x)的最大值，再利用函数求极限的方法结合方程的根与两函数图象交点的横坐标的等价关系，进而由关于 的方程 在 上有两个不等的实数根，推出两函数 与 的图象要有两个交点，再利用两函数的图象求出实数a的取值范围。
4．（2020高三上·济南开学考）若函数 有两个不同的极值点，则实数 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：因为 有两个不同的极值点，
所以 在 有2个不同的零点，
所以 在 有2个不同的零点，
所以 ，
解可得， ．
故答案为：D．
【分析】求出函数的导数，结合二次函数的性质即可求出实数 的取值范围 。
5．（2020高二下·济宁期末）函数 的极大值点为（　　）
A． B． C．0 D．2
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】函数 ，则
由 得， 或
由 得，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增.
所以当 时函数 有极大值.
故函数 的极大值点为：
故答案为：A
【分析】首先对函数求导结合导函数的性质即可得出函数g(x)的单调性，再由函数的单调性即可求出函数的极值。
6．（2021·青岛模拟）定义在 上的奇函数 的图象连续不断，其导函数为 ，对任意正实数 恒有 ，若 ，则不等式 的解集是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；函数的单调性与导数正负的关系；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】因为 是定义在 上的奇函数，所以 ，
所以当 时，有 ，
所以 为奇函数，
且对于正实数
有 ，即 ，
所以 ，
所以 在 是增函数，又因为 为奇函数，
所以 c，
由 得 ，
所以 ，即 ，解得 或 ，
故答案为：D.
【分析】由函数奇偶性推出 为奇函数，再结合导数推出 为奇函数，再解对数不等式即可求得D正确。
7．（2020高二下·烟台期末）若函数 在其定义域上不单调，则实数 的取值范围为（　　）
A． 或 B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】可得 ，
在其定义域上不单调等价于方程 有两个解，
，解得 或 .
故答案为：A.
【分析】 首先求出函数的导数，得到f′（x）=0有变号零点，再结合二次函数的性质可求．
8．（2020高二下·聊城期末）函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解： 的定义域是 ，
，
令 ，解得： ，令 ，解得： ，
故 在 递减，在 递增，
若函数 在区间 上单调递减，
则 且 且 ，解得： ，
故答案为：A．
【分析】根据题意首先求出函数的定义域再对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，结合二次函数的性质即可求出m的取值范围即可。
二、多选题
9．（2021·淄博模拟）已知 是自然对数的底数，则下列不等关系中不正确的是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】令 ，则 ，当 时 ，当 时
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，故
则 得 ，A不符合题意；
得 ，B符合题意；
得 ，C不符合题意；
对D项，令 ，则 ，当 时 ，当 时
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 ，得 ，化为 ，D不符合题意
故答案为：ACD
【分析】 构造函数，利用导数研究函数的单调性，即可得到结论．
10．（2020高二上·临沂期末）设函数 ，则关于 的方程 的实数根的个数可能为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】
，
即函数 在 上单调递减，在 上单调递增
当 时， ， ，
则函数 与 的图象如下图所示
平移直线 可知，函数 与 的交点个数可能为
则关于 的方程 的实数根的个数可能为
故答案为：BCD
【分析】利用导数确定函数的单调性，进而得出函数的图像，数形结合得出方程实数根的个数。
11．（2021·济宁模拟）已知函数 ，其中 是自然对数的底数，下列说法中正确的是（　　）
A．函数 的周期为
B． 在区间 上是减函数
C． 是奇函数
D． 在区间 上有且仅有一个极值点
【答案】A,C,D
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】对于A： ，
A符合题意；
对于B：由 ，
得 ，
当 时， ，
所以 在区间 上是增函数，
B不正确；
对于C： ，
设 ，
则
，
所以函数 即 是奇函数；
C符合题意；
对于D：由 ，
得 ，
而 ，
（1）当 时， ，
所以 ，
即 在区间 单调递减，
又 ，
，
所以 在区间 上存在唯一零点；
（2）当 时， ，
又 ，
则 ，
则 在区间 上无零点，
综上可得： 在区间 上有且仅有一个极值点；
D符合题意；
故答案为：ACD.
【分析】 求出f（x+2π）=f（x）即可判断选项A；求出f′（x），利用导数与单调性的关系即可判断选项B；利用函数奇偶性的定义即可判断选项C；利用导数可得f（x）的单调性，从而判断极值点个数，即可判断选项D．
12．（2020高三上·临沂期中）记函数 与 的定义域的交集为 ，若存在 ，使得对任意 ，不等式 恒成立，则称 构成“相关函数对”．下列所给的两个函数构成“相关函数对”的有（　　）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B,D
【知识点】函数的概念及其构成要素；函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】根据函数的新定义，可得两个函数的图象有一个交点，
且交点的两侧图象一侧满足 ，另一侧满足 ，
对于A中，令 ，可得 ，
当 时， ，函数单调递增；
当 时， ，函数单调递减，
所以当 时，函数 取得最小值，最小值为 ，
即 ，所以 恒成立，不符合题意；
对于B中，令 ，可得 ，
所以函数 单调递增，
又由 ，
设 满足 ，且 ，
则对任意 ，不等式 恒成立，符合题意；
对于C中，函数 ， ，
根据一次函数和二次函数的性质，可得函数 的图象由两个交点，
此时不满足题意；
对于D中，令 ，可得 ，
所以 在定义域 单调递增，
又由 ，所以方程 只有一个实数根，设为 ，
则满足对任意 ，不等式 恒成立，符合题意，
故答案为：BD。
【分析】利用已知条件结合相关函数对的定义，从而利用不等式恒成立问题的求解方法，结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最值，进而找出所给的两个函数构成“相关函数对”的选项。
三、填空题
13．（2021·聊城模拟）曲线 在 处的切线的倾斜角为 ，则 　 　．
【答案】
【知识点】导数的几何意义；同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】由题得 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：
【分析】根据导数即可求得切线倾斜角正切值，再由三角函数公式即可求得。
14．（2021·肥城模拟）已知函数 ，当 时，函数 在区间 上有唯一零点，则实数 的取值范围是　 　．
【答案】(2，3]
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由 得 ，等价于函数 的图象与函数 的图象有唯一的公共点，当 时， ，
设 ， ，则 ，
因为 ， ，所以 ，所以 在区间 上单调递减，
因为 ， ，
所以存在唯一的 ，使得 ，
且当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
又 ， ，函数 的图象与函数 的图象有唯一的公共点，
所以 ，所以 的取值范围是(2，3]。
故答案为：(2，3]。
【分析】利用函数零点的定义，由 得 ，再利用函数的零点与两函数图象交点的横坐标的等价关系，等价于函数 的图象与函数 的图象有唯一的公共点，当 时，结合导数的运算法则求出函数f(x)的导函数，则 ，设 ， ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数 在区间 上单调递减，再利用零点存在性定理得出存在唯一的 ，使得 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，则当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，又因为 ， ，函数 的图象与函数 的图象有唯一的公共点，从而求出实数a的取值范围。
15．（2021·济南模拟）已知函数 ，若关于 的不等式 恒成立，则实数a的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】 ， 在 恒成立，
∴ 在 单调递增， 时， ， ，
使得 ，即 ；
且 ， ，
∴ 在 单调递减，在 单调递增，
∴
，解得： ，
∴实数a的取值范围为 ，
故答案为： .
【分析】根据题意对函数求导结合导函数的性质即可得出函数f(x)的单调性，再由函数的单调性即可得出即成立，由此得出a的取值范围。
16．（2021·潍坊模拟）从抛物线 的准线 上一点 引抛物线的两条切线 、 ，且 、 为切点，若直线 的倾斜角为 ，则 点的横坐标为　 　.
【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；两条直线的交点坐标
【解析】【解答】设点 ，设点 、 ，对函数 求导得 ，
所以，直线 的方程为 ，即 ，即 ，
同理可知，直线 的方程为 ，
由于点 为直线 、 的公共点，则 ，
所以，点 、 的坐标满足直线方程 ，
所以，直线 的方程为 ，由题意可得 ，解得 。
故答案为： 。
【分析】因为抛物线 的准线 上有一点 ，所以设点 ，设点 、 ，再利用求导的方法求出函数在切点处的切线的斜率，再利用点斜式求出函数在切点处的切线PA和PB方程，由于点 为直线 、 的公共点，再联立两切线方程求出点 、 的坐标满足的直线方程 ，从而求出直线AB的斜率，再利用直线的倾斜角与直线的斜率的关系式，从而求出t的值，进而求出点P的横坐标。
四、解答题
17．（2021·淄博模拟）已知函数 ．
（1）判断函数 在 上的单调性；
（2）证明函数 在 内存在唯一的极值点 ，且 ．
【答案】（1）解：由于 ，
得 ，
设 ，其导函数 ，
在区间 上， ， 单调递减，且 ，
所以在区间 上， ，
所以在区间 上， ，
所以函数 在 上的单调递减．
（2）证明：由第（1）问，在区间 上， ， 单调递增，
且 ， ，
所以存在唯一的 ，使得 ，
在区间 上， ， 单调递减，
在区间 上， ， 单调递增，
所以 为函数 在 上的唯一极小值，
其中 ， ，
所以 ，且 ， ，
由于 ，
．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）含有多个函数的函数单调性用导数 ， 由 ，不好求根，再进行二次求导 和 得出 上， ，所以函数 在 上的单调递减；
（2）由第一问的单调性， 在区间 上， ， 单调递增，在区间 上， ， 单调递减，在区间 上， 单调递增， 为函数 在 上的唯一极小值，最后由 ， ，所以 ，且 ， ， ，得出结论.
18．（2021·潍坊模拟）已知函数 ，其中 ， 为自然对数的底数.
（Ⅰ）设 是函数 的导函数，求函数 在区间 上的最小值；
（Ⅱ）若 ，函数 在区间 内有零点，求 的取值范围
【答案】（Ⅰ）
①当 时， ，所以 .
②当 时，由 得 .
若 ，则 ；若 ，则 .
所以当 时， 在 上单调递增，所以 .
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 .
当 时， 在 上单调递减，所以 .
（Ⅱ）设 为 在区间 内的一个零点，则由 可知，
在区间 上不可能单调递增，也不可能单调递减.
则 不可能恒为正，也不可能恒为负.
故 在区间 内存在零点 .
同理 在区间 内存在零点 .
所以 在区间 内至少有两个零点.
由（Ⅰ）知，当 时， 在 上单调递增，故 在 内至多有一个零点.
当 时， 在 上单调递减，故 在 内至多有一个零点.
所以 .
此时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
因此 ，必有
.
由 得： ，有
.
解得 .
当 时， 在区间 内有最小值 .
若 ，则 ，
从而 在区间 上单调递增，这与 矛盾，所以 .
又 ，
故此时 在 和 内各只有一个零点 和 .
由此可知 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增.
所以 ， ，
故 在 内有零点.
综上可知， 的取值范围是 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；反证法的应用；函数零点存在定理
【解析】【分析】 （Ⅰ）利用导数的运算法则求出函数f(x)的导函数g(x)，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数g(x)的单调性，从而求出函数g(x)的最小值。
（Ⅱ）设 为 在区间 内的一个零点，则由 可知，
在区间 上不可能单调递增，也不可能单调递减.则 不可能恒为正，也不可能恒为负，再利用零点存在性定理，故 在区间 内存在零点 ，同理 在区间 内存在零点 ，所以 在区间 内至少有两个零点，由（Ⅰ）知，当 时， 在 上单调递增，故 在 内至多有一个零点，当 时， 在 上单调递减，故 在 内至多有一个零点，从而求出实数a的取值范围，再利用函数f(x)的单调性，从而求出函数g(x)的最值，从而得出函数 在区间 上单调递增，这与 矛盾，所以 ，再利用零点存在性定理得出此时 在 和 内各只有一个零点 和 ，由此可知 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，再利用零点存在性定理得出函数 在 内有零点，综上所述，从而求出实数a的取值范围。
19．（2021·青岛模拟）已知函数 .
（1）求 的最小值；
（2）若存在区间 ，使 在 上的值域为 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1））函数 的定义域为 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，即 的最小值为 .
（2） ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，
所以 在 上单调递增，
为满足题意，必须 ，
即 在 有两个不同的实数解，
所以 ，记 ，
则 ，
再令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，且 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 ，
又所以 ，解得 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）由导数求最值。
（2）通过两次求导推出 在 上单调递增，再由题意得
可得 在 有两个不同的实数解，得出 ，设 由导数推出 在 上单调递减，在 上单调递增 ，可推出 ，解得 。
20．（2021·潍坊模拟）设函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若关于 的方程 有两个实根，设为 ， （ ），证明： ．
【答案】（1）解：由于 ，又 ，
故在点 的切线斜率 ，
因此所求切线方程 ，
即
（2）解：由于 ，
故 时， ， 单调递减，
时， ， 单调递增，
由图易知， ， ，
由（1）可知，在 点的切线方程为 ，
设 与 的交点横坐标为 ，且
即 ，下证 ．
由于 在 单调递减，故只需证明 即可．
设 （ ）．
，
故 ， ，函数单调递减，
， ，函数单调递增，
因此 ，
即 ．
又 在 处的切线方程为 ，
设 与 的交点横坐标为 ，即 ，下证 ．
由于 在 单调递增，故只需证明 即可，
设 ，
，函数在 单调递减， ，
即 ．
综上易知， ，
即
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；分析法的思考过程、特点及应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1） 利用求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，从而求出切点坐标，再利用点斜式求出曲线在切点处的切线的方程。
（2） 利用求导的方法判断函数的单调性，从而画出函数的图象，由于 ，由图易知， ， ，由（1）可知，在 点的切线方程为 ，设 与 的交点横坐标为 ，且 ，即 ，下证 ，由于函数 在 单调递减，故只需证明 即可，设 （ ），再利用求导的方法判断函数的单调性，因此 ，即 ，又因为函数 在 处的切线方程为 ，设 与 的交点横坐标为 ，即 ，下证 ，由于 在 单调递增，故只需证明 即可，设 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，则 ，即 ，综上证出 成立。
21．（2021·济南模拟）已知函数 ， .（ ……为自然对数的底数）
（1）设函数 ，当 时，求函数 零点的个数；
（2）求证： .
【答案】（1）由题意得： ，∴ ，
当 时， ， ， ，故 ，
∴ 在 上单调递增； ， ，
且 的图象在 内连续不断，
∴存在唯一的 ，使得 ，∴函数 在 内的零点个数是1.
（2）要证 ，即证 ，
设 ，则 ，
∴ 在 单调递减，∴ ，∴ ，
故要证（*）成立，只需证明 ，
设 ，则
令 ，即证明 ，令 ， ，
所以 在 单调递增，在 单调递减， ，
所以 ，故原命题成立.
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；函数的零点
【解析】【分析】(1)根据题意对其求导结合导函数的性质即可得出函数h（x）的单调性，由函数的单调性以及零点的定义即可得证出结论。
(2)由已知条件即可得出，构造函数，对其求导结合导函数的性质即可得出函数F(x)的单调性，由函数的单调性即可得到即，因此只需证明 ，令再结合导函数的性质求出函数的单调性，结合函数的单调性求出函数的最值，因此得到从而得证出结论。
22．（2021·日照模拟）已知函数 ．
（1）若 讨论 的单调性；
（2）当 时，讨论函数 的极值点个数．
【答案】（1）由题意，函数 定义域为 ，
可得 ，
令 ，可得 ，
因为 所以 ，所以 在 上为增函数，
又因为 ，所以 ， ， ， ，
所以 的增区间为 ， 的减区间为 ．
（2）①当 时，由（1）可知 在 上有唯一极小值 ，
所以极值点个数为1个．
②当 时，则 ，得 ，
当 时， ， 时， ，
所以 ，
令 ， ．
因为 ，所以 ，即 在 上单调递减，
所以 ，
所以（ⅰ）当 时， ，在 上 恒成立，即
在 上恒成立，所以 无极值点．
（ⅱ）当 时， ， ，即
易知 ，
所以存在唯一 使得 ，且当 时， ，当 时， ，则 在 处取得极大值；
又 ，所以当 时， ，当 时， ，
即 在 处取得极小值；故此时极值点个数为2，
综上所述：
当 时， 的极值点个数为0；
当 时， 的极值点个数为2；
当 时， 的极值点个数为1.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】利用已知条件结合对数函数的定义域，从而求出函数 的定义域，再利用求导的方法判断函数 的单调性，从而讨论出若 时函数 的单调性。
（2）利用分类讨论的方法结合已知条件，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而讨论出函数的极值点的个数。
1 / 1高中数学人教A版（2019） 选修二 第五章 一元函数的导数及其应用
一、单选题
1．（2021·潍坊模拟）关于函数 ， 的性质，以下说法正确的是（　　）
A．函数 的周期是
B．函数 在 上有极值
C．函数 在 单调递减
D．函数 在 内有最小值
2．（2020高二下·烟台期末）已知函数 为偶函数，则 在 处的切线方程为（　　）
A． B． C． D．
3．（2020高三上·威海期末）若关于 的方程 在 上有两个不等的实数根，则实数 的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
4．（2020高三上·济南开学考）若函数 有两个不同的极值点，则实数 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．（2020高二下·济宁期末）函数 的极大值点为（　　）
A． B． C．0 D．2
6．（2021·青岛模拟）定义在 上的奇函数 的图象连续不断，其导函数为 ，对任意正实数 恒有 ，若 ，则不等式 的解集是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2020高二下·烟台期末）若函数 在其定义域上不单调，则实数 的取值范围为（　　）
A． 或 B．
C． D．
8．（2020高二下·聊城期末）函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2021·淄博模拟）已知 是自然对数的底数，则下列不等关系中不正确的是（　　）．
A． B． C． D．
10．（2020高二上·临沂期末）设函数 ，则关于 的方程 的实数根的个数可能为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
11．（2021·济宁模拟）已知函数 ，其中 是自然对数的底数，下列说法中正确的是（　　）
A．函数 的周期为
B． 在区间 上是减函数
C． 是奇函数
D． 在区间 上有且仅有一个极值点
12．（2020高三上·临沂期中）记函数 与 的定义域的交集为 ，若存在 ，使得对任意 ，不等式 恒成立，则称 构成“相关函数对”．下列所给的两个函数构成“相关函数对”的有（　　）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
三、填空题
13．（2021·聊城模拟）曲线 在 处的切线的倾斜角为 ，则 　 　．
14．（2021·肥城模拟）已知函数 ，当 时，函数 在区间 上有唯一零点，则实数 的取值范围是　 　．
15．（2021·济南模拟）已知函数 ，若关于 的不等式 恒成立，则实数a的取值范围为　 　．
16．（2021·潍坊模拟）从抛物线 的准线 上一点 引抛物线的两条切线 、 ，且 、 为切点，若直线 的倾斜角为 ，则 点的横坐标为　 　.
四、解答题
17．（2021·淄博模拟）已知函数 ．
（1）判断函数 在 上的单调性；
（2）证明函数 在 内存在唯一的极值点 ，且 ．
18．（2021·潍坊模拟）已知函数 ，其中 ， 为自然对数的底数.
（Ⅰ）设 是函数 的导函数，求函数 在区间 上的最小值；
（Ⅱ）若 ，函数 在区间 内有零点，求 的取值范围
19．（2021·青岛模拟）已知函数 .
（1）求 的最小值；
（2）若存在区间 ，使 在 上的值域为 ，求实数 的取值范围.
20．（2021·潍坊模拟）设函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若关于 的方程 有两个实根，设为 ， （ ），证明： ．
21．（2021·济南模拟）已知函数 ， .（ ……为自然对数的底数）
（1）设函数 ，当 时，求函数 零点的个数；
（2）求证： .
22．（2021·日照模拟）已知函数 ．
（1）若 讨论 的单调性；
（2）当 时，讨论函数 的极值点个数．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】函数的周期性；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】对于A，因为 ，当 时， ，所以函数 的周期不是 ，A不符合题意；
对于B，因为 ，设 ，
，当 时， ，
所以 ，即 ，故函数 在 上单调递减，B不符合题意；
对于C， ，所以函数 在 上不单调，C不符合题意；
对于D，因为当 时， ，当 时， ，当且仅当 时取等号，而 在 上单调递增，所以当 时，函数 取得最小值，D符合题意．
故答案为：D.
【分析】利用周期函数的定义，从而求出函数的周期，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，进而求出函数的最小值，从而选出说法正确的选项。
2．【答案】A
【知识点】奇函数与偶函数的性质；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】 函数 为偶函数，
，即 ，解得 ，
，则 ，
，且 ，
切线方程为 ，整理得 .
故答案为：A.
【分析】首先由偶函数的性质即可求出a的值，由此得到函数的解析式，再对其求导并计算出，再由点斜式求出结果即可。
3．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由 得出 ，
则 ，
，
设 ， ，
故 ，
在 上为减函数， ，
故 时 ； 时 ，
故 在 上为增函数，在 上为减函数，
，
且 时 ； 时 ，
与 的图象要有两个交点，
则 的取值范围为 。
故答案为：B。
【分析】由 得出 ，则 ，再利用求导的运算法则和导数的公式求出函数f(x)的导函数，再设 ， ，结合求导的方法判断函数g(x)的单调性，进而判断出函数f(x)的单调性，从而求出函数f(x)的最大值，再利用函数求极限的方法结合方程的根与两函数图象交点的横坐标的等价关系，进而由关于 的方程 在 上有两个不等的实数根，推出两函数 与 的图象要有两个交点，再利用两函数的图象求出实数a的取值范围。
4．【答案】D
【知识点】函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：因为 有两个不同的极值点，
所以 在 有2个不同的零点，
所以 在 有2个不同的零点，
所以 ，
解可得， ．
故答案为：D．
【分析】求出函数的导数，结合二次函数的性质即可求出实数 的取值范围 。
5．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】函数 ，则
由 得， 或
由 得，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增.
所以当 时函数 有极大值.
故函数 的极大值点为：
故答案为：A
【分析】首先对函数求导结合导函数的性质即可得出函数g(x)的单调性，再由函数的单调性即可求出函数的极值。
6．【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；函数的单调性与导数正负的关系；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】因为 是定义在 上的奇函数，所以 ，
所以当 时，有 ，
所以 为奇函数，
且对于正实数
有 ，即 ，
所以 ，
所以 在 是增函数，又因为 为奇函数，
所以 c，
由 得 ，
所以 ，即 ，解得 或 ，
故答案为：D.
【分析】由函数奇偶性推出 为奇函数，再结合导数推出 为奇函数，再解对数不等式即可求得D正确。
7．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】可得 ，
在其定义域上不单调等价于方程 有两个解，
，解得 或 .
故答案为：A.
【分析】 首先求出函数的导数，得到f′（x）=0有变号零点，再结合二次函数的性质可求．
8．【答案】A
【知识点】二次函数的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解： 的定义域是 ，
，
令 ，解得： ，令 ，解得： ，
故 在 递减，在 递增，
若函数 在区间 上单调递减，
则 且 且 ，解得： ，
故答案为：A．
【分析】根据题意首先求出函数的定义域再对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，结合二次函数的性质即可求出m的取值范围即可。
9．【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】令 ，则 ，当 时 ，当 时
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，故
则 得 ，A不符合题意；
得 ，B符合题意；
得 ，C不符合题意；
对D项，令 ，则 ，当 时 ，当 时
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 ，得 ，化为 ，D不符合题意
故答案为：ACD
【分析】 构造函数，利用导数研究函数的单调性，即可得到结论．
10．【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】
，
即函数 在 上单调递减，在 上单调递增
当 时， ， ，
则函数 与 的图象如下图所示
平移直线 可知，函数 与 的交点个数可能为
则关于 的方程 的实数根的个数可能为
故答案为：BCD
【分析】利用导数确定函数的单调性，进而得出函数的图像，数形结合得出方程实数根的个数。
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】对于A： ，
A符合题意；
对于B：由 ，
得 ，
当 时， ，
所以 在区间 上是增函数，
B不正确；
对于C： ，
设 ，
则
，
所以函数 即 是奇函数；
C符合题意；
对于D：由 ，
得 ，
而 ，
（1）当 时， ，
所以 ，
即 在区间 单调递减，
又 ，
，
所以 在区间 上存在唯一零点；
（2）当 时， ，
又 ，
则 ，
则 在区间 上无零点，
综上可得： 在区间 上有且仅有一个极值点；
D符合题意；
故答案为：ACD.
【分析】 求出f（x+2π）=f（x）即可判断选项A；求出f′（x），利用导数与单调性的关系即可判断选项B；利用函数奇偶性的定义即可判断选项C；利用导数可得f（x）的单调性，从而判断极值点个数，即可判断选项D．
12．【答案】B,D
【知识点】函数的概念及其构成要素；函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】根据函数的新定义，可得两个函数的图象有一个交点，
且交点的两侧图象一侧满足 ，另一侧满足 ，
对于A中，令 ，可得 ，
当 时， ，函数单调递增；
当 时， ，函数单调递减，
所以当 时，函数 取得最小值，最小值为 ，
即 ，所以 恒成立，不符合题意；
对于B中，令 ，可得 ，
所以函数 单调递增，
又由 ，
设 满足 ，且 ，
则对任意 ，不等式 恒成立，符合题意；
对于C中，函数 ， ，
根据一次函数和二次函数的性质，可得函数 的图象由两个交点，
此时不满足题意；
对于D中，令 ，可得 ，
所以 在定义域 单调递增，
又由 ，所以方程 只有一个实数根，设为 ，
则满足对任意 ，不等式 恒成立，符合题意，
故答案为：BD。
【分析】利用已知条件结合相关函数对的定义，从而利用不等式恒成立问题的求解方法，结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最值，进而找出所给的两个函数构成“相关函数对”的选项。
13．【答案】
【知识点】导数的几何意义；同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】由题得 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：
【分析】根据导数即可求得切线倾斜角正切值，再由三角函数公式即可求得。
14．【答案】(2，3]
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由 得 ，等价于函数 的图象与函数 的图象有唯一的公共点，当 时， ，
设 ， ，则 ，
因为 ， ，所以 ，所以 在区间 上单调递减，
因为 ， ，
所以存在唯一的 ，使得 ，
且当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
又 ， ，函数 的图象与函数 的图象有唯一的公共点，
所以 ，所以 的取值范围是(2，3]。
故答案为：(2，3]。
【分析】利用函数零点的定义，由 得 ，再利用函数的零点与两函数图象交点的横坐标的等价关系，等价于函数 的图象与函数 的图象有唯一的公共点，当 时，结合导数的运算法则求出函数f(x)的导函数，则 ，设 ， ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数 在区间 上单调递减，再利用零点存在性定理得出存在唯一的 ，使得 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，则当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，又因为 ， ，函数 的图象与函数 的图象有唯一的公共点，从而求出实数a的取值范围。
15．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】 ， 在 恒成立，
∴ 在 单调递增， 时， ， ，
使得 ，即 ；
且 ， ，
∴ 在 单调递减，在 单调递增，
∴
，解得： ，
∴实数a的取值范围为 ，
故答案为： .
【分析】根据题意对函数求导结合导函数的性质即可得出函数f(x)的单调性，再由函数的单调性即可得出即成立，由此得出a的取值范围。
16．【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；两条直线的交点坐标
【解析】【解答】设点 ，设点 、 ，对函数 求导得 ，
所以，直线 的方程为 ，即 ，即 ，
同理可知，直线 的方程为 ，
由于点 为直线 、 的公共点，则 ，
所以，点 、 的坐标满足直线方程 ，
所以，直线 的方程为 ，由题意可得 ，解得 。
故答案为： 。
【分析】因为抛物线 的准线 上有一点 ，所以设点 ，设点 、 ，再利用求导的方法求出函数在切点处的切线的斜率，再利用点斜式求出函数在切点处的切线PA和PB方程，由于点 为直线 、 的公共点，再联立两切线方程求出点 、 的坐标满足的直线方程 ，从而求出直线AB的斜率，再利用直线的倾斜角与直线的斜率的关系式，从而求出t的值，进而求出点P的横坐标。
17．【答案】（1）解：由于 ，
得 ，
设 ，其导函数 ，
在区间 上， ， 单调递减，且 ，
所以在区间 上， ，
所以在区间 上， ，
所以函数 在 上的单调递减．
（2）证明：由第（1）问，在区间 上， ， 单调递增，
且 ， ，
所以存在唯一的 ，使得 ，
在区间 上， ， 单调递减，
在区间 上， ， 单调递增，
所以 为函数 在 上的唯一极小值，
其中 ， ，
所以 ，且 ， ，
由于 ，
．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）含有多个函数的函数单调性用导数 ， 由 ，不好求根，再进行二次求导 和 得出 上， ，所以函数 在 上的单调递减；
（2）由第一问的单调性， 在区间 上， ， 单调递增，在区间 上， ， 单调递减，在区间 上， 单调递增， 为函数 在 上的唯一极小值，最后由 ， ，所以 ，且 ， ， ，得出结论.
18．【答案】（Ⅰ）
①当 时， ，所以 .
②当 时，由 得 .
若 ，则 ；若 ，则 .
所以当 时， 在 上单调递增，所以 .
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 .
当 时， 在 上单调递减，所以 .
（Ⅱ）设 为 在区间 内的一个零点，则由 可知，
在区间 上不可能单调递增，也不可能单调递减.
则 不可能恒为正，也不可能恒为负.
故 在区间 内存在零点 .
同理 在区间 内存在零点 .
所以 在区间 内至少有两个零点.
由（Ⅰ）知，当 时， 在 上单调递增，故 在 内至多有一个零点.
当 时， 在 上单调递减，故 在 内至多有一个零点.
所以 .
此时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
因此 ，必有
.
由 得： ，有
.
解得 .
当 时， 在区间 内有最小值 .
若 ，则 ，
从而 在区间 上单调递增，这与 矛盾，所以 .
又 ，
故此时 在 和 内各只有一个零点 和 .
由此可知 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增.
所以 ， ，
故 在 内有零点.
综上可知， 的取值范围是 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；反证法的应用；函数零点存在定理
【解析】【分析】 （Ⅰ）利用导数的运算法则求出函数f(x)的导函数g(x)，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数g(x)的单调性，从而求出函数g(x)的最小值。
（Ⅱ）设 为 在区间 内的一个零点，则由 可知，
在区间 上不可能单调递增，也不可能单调递减.则 不可能恒为正，也不可能恒为负，再利用零点存在性定理，故 在区间 内存在零点 ，同理 在区间 内存在零点 ，所以 在区间 内至少有两个零点，由（Ⅰ）知，当 时， 在 上单调递增，故 在 内至多有一个零点，当 时， 在 上单调递减，故 在 内至多有一个零点，从而求出实数a的取值范围，再利用函数f(x)的单调性，从而求出函数g(x)的最值，从而得出函数 在区间 上单调递增，这与 矛盾，所以 ，再利用零点存在性定理得出此时 在 和 内各只有一个零点 和 ，由此可知 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，再利用零点存在性定理得出函数 在 内有零点，综上所述，从而求出实数a的取值范围。
19．【答案】（1））函数 的定义域为 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，即 的最小值为 .
（2） ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，
所以 在 上单调递增，
为满足题意，必须 ，
即 在 有两个不同的实数解，
所以 ，记 ，
则 ，
再令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，且 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 ，
又所以 ，解得 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）由导数求最值。
（2）通过两次求导推出 在 上单调递增，再由题意得
可得 在 有两个不同的实数解，得出 ，设 由导数推出 在 上单调递减，在 上单调递增 ，可推出 ，解得 。
20．【答案】（1）解：由于 ，又 ，
故在点 的切线斜率 ，
因此所求切线方程 ，
即
（2）解：由于 ，
故 时， ， 单调递减，
时， ， 单调递增，
由图易知， ， ，
由（1）可知，在 点的切线方程为 ，
设 与 的交点横坐标为 ，且
即 ，下证 ．
由于 在 单调递减，故只需证明 即可．
设 （ ）．
，
故 ， ，函数单调递减，
， ，函数单调递增，
因此 ，
即 ．
又 在 处的切线方程为 ，
设 与 的交点横坐标为 ，即 ，下证 ．
由于 在 单调递增，故只需证明 即可，
设 ，
，函数在 单调递减， ，
即 ．
综上易知， ，
即
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；分析法的思考过程、特点及应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1） 利用求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，从而求出切点坐标，再利用点斜式求出曲线在切点处的切线的方程。
（2） 利用求导的方法判断函数的单调性，从而画出函数的图象，由于 ，由图易知， ， ，由（1）可知，在 点的切线方程为 ，设 与 的交点横坐标为 ，且 ，即 ，下证 ，由于函数 在 单调递减，故只需证明 即可，设 （ ），再利用求导的方法判断函数的单调性，因此 ，即 ，又因为函数 在 处的切线方程为 ，设 与 的交点横坐标为 ，即 ，下证 ，由于 在 单调递增，故只需证明 即可，设 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，则 ，即 ，综上证出 成立。
21．【答案】（1）由题意得： ，∴ ，
当 时， ， ， ，故 ，
∴ 在 上单调递增； ， ，
且 的图象在 内连续不断，
∴存在唯一的 ，使得 ，∴函数 在 内的零点个数是1.
（2）要证 ，即证 ，
设 ，则 ，
∴ 在 单调递减，∴ ，∴ ，
故要证（*）成立，只需证明 ，
设 ，则
令 ，即证明 ，令 ， ，
所以 在 单调递增，在 单调递减， ，
所以 ，故原命题成立.
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；函数的零点
【解析】【分析】(1)根据题意对其求导结合导函数的性质即可得出函数h（x）的单调性，由函数的单调性以及零点的定义即可得证出结论。
(2)由已知条件即可得出，构造函数，对其求导结合导函数的性质即可得出函数F(x)的单调性，由函数的单调性即可得到即，因此只需证明 ，令再结合导函数的性质求出函数的单调性，结合函数的单调性求出函数的最值，因此得到从而得证出结论。
22．【答案】（1）由题意，函数 定义域为 ，
可得 ，
令 ，可得 ，
因为 所以 ，所以 在 上为增函数，
又因为 ，所以 ， ， ， ，
所以 的增区间为 ， 的减区间为 ．
（2）①当 时，由（1）可知 在 上有唯一极小值 ，
所以极值点个数为1个．
②当 时，则 ，得 ，
当 时， ， 时， ，
所以 ，
令 ， ．
因为 ，所以 ，即 在 上单调递减，
所以 ，
所以（ⅰ）当 时， ，在 上 恒成立，即
在 上恒成立，所以 无极值点．
（ⅱ）当 时， ， ，即
易知 ，
所以存在唯一 使得 ，且当 时， ，当 时， ，则 在 处取得极大值；
又 ，所以当 时， ，当 时， ，
即 在 处取得极小值；故此时极值点个数为2，
综上所述：
当 时， 的极值点个数为0；
当 时， 的极值点个数为2；
当 时， 的极值点个数为1.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】利用已知条件结合对数函数的定义域，从而求出函数 的定义域，再利用求导的方法判断函数 的单调性，从而讨论出若 时函数 的单调性。
（2）利用分类讨论的方法结合已知条件，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而讨论出函数的极值点的个数。
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