高中数学人教A版（2019） 选修一 第三章 圆锥曲线的方程
一、单选题
1．（2021·枣庄模拟）已知点 在抛物线 ： 上，则 的焦点到其准线的距离为（ ）
A． B． C．1 D．2
2．（2021·青岛模拟）已知双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
3．（2020高二下·济南月考）若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
4．（2021·聊城模拟）已知A，B，C是双曲线 上的三点，直线AB经过原点O，AC经过右焦点F，若 ，且 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·枣庄模拟）已知椭圆 与双曲线 有相同的左焦点 、右焦点 ，点 是两曲线的一个交点，且 .过 作倾斜角为45°的直线交 于 ， 两点（点 在 轴的上方），且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·济宁模拟）已知 、 是双曲线 ： 的左、右焦点，点 是双曲线 上的任意一点（不是顶点），过 作 角平分线的垂线，垂足为 ， 是坐标原点．若 ，则双曲线 的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．（2020·菏泽模拟）已知双曲线 的一条渐近线上存在一点到x轴距离与到原点O的距离之比为 ，则实数a的值为（ ）．
A．2 B．4 C．6 D．8
8．（2020高二上·商河月考）已知椭圆 ： 的短轴长为2，上顶点为 ，左顶点为 ， ， 分别是 的左、右焦点，且 的面积为 ，点 为 上的任意一点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2021·潍坊模拟）已知双曲线 的左，右焦点分别为 ，一条渐近线方程为 ， 为 上一点，则以下说法正确的是（ ）
A． 的实轴长为 B． 的离心率为
C． D． 的焦距为
10．（2021·淄博模拟）设椭圆 的的焦点为 ， ， 是 上的动点，则下列结论正确的是（ ）．
A．离心率 B． 的最大值为3
C． 面积的最大值为 D． 的最小值为2
11．（2021·烟台模拟）已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则（ ）
A． 为 的一个焦点
B．双曲线 的离心率为
C．过点 作直线与 交于 两点，则满足 的直线有且只有两条
D．设 为 上三点且 关于原点对称，则 斜率存在时其乘积为
12．（2020高二上·枣庄期末）我们通常称离心率为 的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆 ： ， 分别为左、右顶点， ， 分别为上、下顶点， ， 分别为左、右焦点，P为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有（ ）
A．
B．
C． 轴，且
D．四边形 的内切圆过焦点 ，
三、填空题
13．（2020高二上·济南期末）已知双曲线 ＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝± x，则它的离心率为 ．
14．（2021·淄博模拟）若抛物线 上的点 到其焦点的距离是点 到 轴距离的3倍，则 等于 .
15．（2021·淄博模拟）已知椭圆C的左 右焦点分别为 ，直线AB过 与椭圆交于A，B两点，当 为正三角形时，该椭圆的离心率为 .
16．（2020高二上·临沂期中）若中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆过点 ，且长轴长是短轴长的 倍，则其标准方程为 .
四、解答题
17．（2020高二上·枣庄期末）已知抛物线 的焦点 与曲线 的右焦点重合.
（1）求抛物线 的标准方程；
（2）若抛物线 上的点 满足 ，求 点的坐标.
18．（2017·青岛模拟）已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1、A2，上、下顶点分别为B2、B1，O为坐标原点，四边形A1B1A2B2的面积为4，且该四边形内切圆的方程为x2+y2= ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若M、N是椭圆C上的两个不同的动点，直线OM、ON的斜率之积等于﹣ ，试探求△OMN的面积是否为定值，并说明理由．
19．（2019·黄冈模拟）已知 为坐标原点，椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，右顶点为 ，上顶点为 ，若 ， ， 成等比数列，椭圆 上的点到焦点 的距离的最大值为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过该椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦 与 ，求 的取值范围．
20．（2017·聊城模拟）已知右焦点为F的椭圆C： + =1（a＞b＞0）过点M（1， ），直线x=a与抛物线L：x2= y交于点N，且 = ，其中O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l与椭圆C交于A、B两点．
①若直线l与x轴垂直，过点P（4，0）的直线PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点；
②已知D为椭圆C的左顶点，若l与直线DM平行，判断直线MA，MB是否关于直线FM对称，并说明理由．
21．（2017高二上·阜宁月考）已知椭圆 的离心率为 ，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线 相切.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知点A、B为动直线 与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点E，使得 为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由.
22．（2018·山东模拟）已知 、 分别是离心率为 的椭圆 ： 的左、右焦点，点 是椭圆 上异于其左、右顶点的任意一点，过右焦点 作 的外角平分线 的垂线 ，交 于点 ，且 （ 为坐标原点）．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若点 在圆 上，且在第一象限，过 作圆 的切线交椭圆于 、 两点，问： 的周长是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】由点 在抛物线上，易知 ， ，故焦点到其准线的距离为 .
故答案为：B.
【分析】 利用点在抛物线上，求解p，即可得到结果.
2．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：C
【分析】 利用双曲线的渐近线的倾斜角求解斜率，得到a，b关系，然后求解离心率即可．
3．【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则 ，解得 ．
故选 ．
【分析】根据题意，方程中x2、y2的分母均大于0，且y2的分母较大，由此建立关于m的不等式组，解之即可得到实数m的取值范围．
4．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】设双曲线的左焦点为 ，连接
由题意知
∴四边形 为矩形，令
∵ ，
∴在 中，
将 代入可得
∴
∴在 中，
即
可得
故答案为：D
【分析】设双曲线的左焦点为 ，连接 ，根据矩形判定可得四边形 为矩形令 ，根据双曲线定义和勾股定理结合已知可求得 ，再在 中由勾股定理得 进而可得 。
5．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】不妨设 为椭圆与双曲线在第一象限内的交点，椭圆方程为 ， ，
由双曲线定义可知： ，又因为 ，所以 ， ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，所以椭圆方程为 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，解得 ，
故答案为：A.
【分析】根据椭圆和双曲线的性质进行运算即可求出。
6．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】依题意，延长 交 于Q，由 是 的角平分线， 可知， 是 的中点， .
又O是 的中点，故 是 的中位线，
所以 ，
故 ，即 ，故 ，
所以双曲线 的渐近线方程为 .
故答案为：D.
【分析】 延长 交 于Q，连接ON，由三角形的中位线定理和双曲线的定义、垂直平分线的性质，结合双曲线的a，b，c的关系，可得渐近线方程．
7．【答案】B
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意，一条渐近线的斜率为 ，
则 ，解得 ．
故答案为：B．
【分析】根据已知可得渐近线的斜率，建立a的方程，即可求出结论.
8．【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由已知的 ，故 .∵ 的面积为 ，
∴ ，∴ .又∵ ，
∴ ， ，∴ ，
又 ，∴ ，
∴ .∴ 的取值范围为 .
故答案为：D.
【分析】由已知和面积得到 ， ，对 进行化简，配方求最值.
9．【答案】A,D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由双曲线方程知：渐近线方程为 ，而一条渐近线方程为 ，
∴ ，故 ，
∴双曲线：实轴长 ，离心率为 ，由于 可能在 不同分支上则有 ，焦距为 .
∴A、D符合题意，B、C不符合题意.
故答案为：AD
【分析】 由双曲线的渐近线方程求得a，再由隐含条件求得c，然后逐一核对四个选项得答案．
10．【答案】A,D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：因为椭圆 ，所以 ， ，所以 ， ， ，所以 ， ， ，A符合题意；
设 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以当 时 ，即 ，B不符合题意；
因为 ，
又 ，所以当 时，即 在短轴的顶点时 面积的取得最大值， ，C不符合题意；
对于D： ，因为 ，所以 ，所以 ，D符合题意；
故答案为：AD
【分析】 由椭圆的方程求出a，b，c，即可求出椭圆的离心率，再设出点P的坐标，即可求出， ，可求出 的最大值， 根据 ，进而可以求出三角形PF1F2的面积的最值，
最后再由 ，进而得出 ，可以判定D是否正确．
11．【答案】B,D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为双曲线 的一条渐近线方程为 ，
所以 ，解得 ，所以双曲线 ，所以 ， ， ，所以则其焦点为 、 ，离心率 ，A不符合题意，B符合题意；过点 作直线与 交于 两点，因为 为双曲线的焦点坐标，当直线的斜率不存在时 ，当直线的斜率为 时， ，所以由双曲线的对称性得，满足 的直线有4条，C不符合题意；
设 ， ， ，所以 ， ，因为 在双曲线上，所以 ， ，两式相减得 ，所以 ，D符合题意；
故答案为：BD
【分析】 由渐近线方程，可得m的方程，求得m，可得a，b，c，可判断A；由双曲线的离心率公式，计算可判断B；分别讨论A，B分别在左、右两支上和都在右支上，结合弦的最小值，可判断C；由点差法和直线的斜率公式，计算可判断D．
12．【答案】B,D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】∵椭圆
∴
对于A，若 ，则 ，∴ ，∴ ，不满足条件，A不符合条件；
对于B， ，∴
∴ ，∴
∴ ，解得 或 （舍去），B符合条件；
对于C， 轴，且 ，∴
∵
∴ ，解得
∵ ，∴
∴ ，不满足题意，C不符合条件；
对于D，四边形 的内切圆过焦点
即四边形 的内切圆的半径为c，∴
∴ ，∴ ，解得 （舍去）或 ，∴ ，D符合条件．
故答案为：BD．
【分析】先求出椭圆的顶点和焦点坐标，对于A，根据椭圆的基本性质求出离心率判断A；对于B，根据勾股定理以及离心率公式判断B，根据结合斜率公式以及离心率公式判断C；由四边形的内切圆过焦点得出内切圆的半径为c，进一步得出，结合离心率公式判断D。
13．【答案】2
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意，得e＝ ＝ ＝ ＝2.
【分析】由双曲线的简单性质结合离心率公式代入数值计算出结果即可。
14．【答案】
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程
【解析】【解答】抛物线 开口向右，准线为 ，
将 的坐标代入抛物线方程得 ，
由于抛物线 上的点 到其焦点的距离是点 到 轴距离的3倍，
根据抛物线的定义有 ，
所以 。
故答案为： 。
【分析】利用抛物线的标准方程确定焦点的位置，进而求出准线的方程，再利用点 在抛物线上，进而结合代入法求出p与的关系式，再利用已知条件抛物线 上的点 到其焦点的距离是点 到 轴距离的3倍，结合抛物线的定义，进而求出p的值。
15．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】不妨设椭圆的方程为 ，
根据椭圆定义， ， ， 为正三角形， ，所以 ，即 为线段AB的中点，根据椭圆的对称性知AB垂直于x轴.
设 ，则 ， .
因为 ，即 ，
所以 .
【分析】离心率只要找到a和c的一个等式关系，条件不够，定义来凑。得出AB垂直X轴，用通径的坐标，加上正三角形的性质，可以得到一个关于a、c的关系式.
16．【答案】 或
【知识点】椭圆的标准方程
【解析】【解答】①当椭圆焦点在 轴时，设其方程为 ，
长轴长是短轴长的 倍， ，又椭圆过 ，
，解得： ， ， 标准方程为 ；②当椭圆焦点在 轴时，设其方程为 ，
长轴长是短轴长的 倍， ，又椭圆过 ，
，解得： ， ， 标准方程为 ；
综上所述：所求椭圆的标准方程为 或 .
故答案为： 或 .
【分析】由椭圆的焦点在 轴上或在轴上加以讨论，分别根据题意求出椭圆的长半轴与短半轴的值，由此写入椭圆的标准方程。
17．【答案】（1）解：由双曲线方程 可得 ， ，
所以 ，解得 .
则曲线 的右焦点为 ，所以 ， .
因此，抛物线 的标准方程为 ；
（2）解：设 ，由抛物线的定义及已知可得 ，解得 .
代入抛物线方程可得 ，解得 ，
所以 点的坐标为 或 .
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【分析】 （1）根据题意可求的抛物线的焦点坐标，从而可求得p，从而可得抛物线C的标准方程；
（2）设P点的坐标为（x0，y0），由抛物线的性质可求得x0，代入抛物线方程中可求得y0，从而可得P点坐标．
18．【答案】解：（Ⅰ）∵四边形A1B1A2B2的面积为4，又可知四边形A1B1A2B2为菱形，
∴ ，即ab=2 ①
由题意可得直线A2B2方程为： ，即bx+ay﹣ab=0，
∵四边形A1B1A2B2内切圆方程为 ，
∴圆心O到直线A2B2的距离为 ，即 ②
由①②解得：a=2，b=1，
∴椭圆C的方程为：
（Ⅱ）若直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），
由 得：（1+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣1）=0∵直线l与椭圆C相交于M，N两个不同的点，
∴△=64m2k2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）＞0得：1+4k2﹣m2＞0③
由韦达定理：
∵直线OM，ON的斜率之积等于 ，
∴ ，
∴ ，
∴2m2=4k2+1满足③…（9分）
∴ ，
又O到直线MN的距离为 ， ，
所以△OMN的面积
若直线MN的斜率不存在，M，N关于x轴对称
设M（x1，y1），N（x1，﹣y1），则 ， ，
又∵M在椭圆上， ，∴ ，
所以△OMN的面积S= = =1．
综上可知，△OMN的面积为定值1
【知识点】椭圆的应用
【解析】【分析】（Ⅰ）利用四边形A1B1A2B2为菱形，求出ab=2，圆心O到直线A2B2的距离为 ，列出方程，求出a，b，即可得到椭圆方程．（Ⅱ）若直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），由 得：（1+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣1）=0，利用韦达定理以及判别式，通过直线OM，ON的斜率之积等于 ，求出三角形的面积，若直线MN的斜率不存在，M，N关于x轴对称，设M（x1，y1），N（x1，﹣y1），求解三角形的面积即可．
19．【答案】（1）解：易知 ，得 ，则 ，
而 ，又 ，得 ， ，
因此，椭圆C的标准方程为
（2）解： 当两条直线中有一条斜率为0时，另一条直线的斜率不存在，由题意易得 ；
当两条直线斜率都存在且不为0时，由 知 ，
设 、 ，直线MN的方程为 ，则直线PQ的方程为 ，
将直线 方程代入椭圆方程并整理得： ，
显然 ， ， ，
，同理得 ，
所以， ，
令 ，则 ， ，设 ，
，所以， ，所以， ，则 ．
综合 可知， 的取值范围是
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的应用
【解析】【分析】(1)利用椭圆的标准方程求出左右焦点坐标和右顶点和上顶点坐标，再利用等比中项公式找出a,b,c的第一个方程，再利用椭圆上的点到焦点最大距离为a+c联立a,c的第二个方程，最后利用椭圆中a,b,c三者的关系式建立第三个方程，从而求出a,b,c的值，从而求出椭圆标准方程。
(2)利用过焦点设出两直线的点斜式方程，再利用两直线垂直斜率之积等于－1的等价条件求出斜率之间的关系式，再利用两点距离公式结合换元法转化为二次函数，最后利用二次函数求值域的方法求出距离之和的取值范围。
20．【答案】（1）解：设N（a，y0），连接MN，由 = ，则OMNF为平行四边形，则y0= ，
将M（1， ）代入抛物线方程：解得：a=2，
将M（1， ）代入椭圆方程： ，解得：b2=3，
∴椭圆的标准方程：
（2）解：①证明：由题意，直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y=k（x﹣4），B（x1，y1），E（x2，y2），
则A（x1，﹣y1）， ，整理得：（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，
x1+x2= ，x1x2= ，①
则直线AE的方程为：y﹣y2= （x﹣x2），令y=0，x=x2﹣ ，
由y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4），
∴x= ，
∴x=1，
∴直线AE与x轴相交于定点（1，0）；
②由题意可知，直线MF的方程为x=1，则kOM= ，设直线l：y= x+n，（n≠1），
设A（x3，y3），B（x4，y4）， ，整理得：x2+nx+n2﹣3=0，
△=n2﹣4×（n2﹣3）=12﹣3n2＞0，即b∈（﹣2，2），且n≠1，
x3+x4=﹣n，x3x4=n2﹣3，
则kMA+kMB= + = +
=1+ + =1+ =1﹣ =0，
直线MA，MB关于直线x=1对称
【知识点】椭圆的应用
【解析】【分析】（1）将由 = ，即可求得N点坐标，将M代入抛物线方程，即可求得a，代入椭圆方程，即可求得b的值，即可求得椭圆方程；（2）①设直线PB的方程，设B，E点坐标，将直线PB代入椭圆方程，求得直线AE的方程，利用韦达定理即可求得x的值，直线AE与x轴相交于定点（1，0）；
②设直线l的方程，代入椭圆方程，由△＞0，即可求得n的取值范围，利用直线的斜率公式及韦达定理kMA+kMB=0，则直线MA，MB关于直线x=1对称．
21．【答案】（1）解：由e= ，得 = ，即c= a，①
以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2+y2=a2，
此圆与直线2x﹣ +6=0相切，∴a= = ，
代入①得c=2，
∴b2=a2﹣c2=2，∴椭圆的方程为
（2）解：由 ，得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，（6分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），∴ ， ，
根据题意，假设x轴上存在定点E（m，0），使得 为定值，
则有 =（x1﹣m，y1） （x2﹣m，y2）=（x1﹣m） （x2﹣m）+y1y2
=
=（k2+1）
=（k2+1） ﹣（2k2+m） +（4k2+m2）
= ，
要使上式为定值，即与k无关，则应有3m2﹣12m+10=3（m2﹣6），
即m= ，此时 = 为定值，定点为（ ）
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；椭圆的应用
【解析】【分析】（1）本题先利用离心率公式求出a与c的关系，再结合直线与圆相切的位置关系，即圆心到切线的距离等于半径的性质，将椭圆的长半轴长作为半径代入其中求出a的值，进而利用a与c的关系求出c的值，最后利用a，b，c三者的关系求出b的值，最后将a与b代入椭圆标准方程中求出椭圆标准方程。
（2）本题利用动直线与圆相交的位置关系，将圆和动直线方程联立求出关于x的一元二次方程，再利用韦达定理，用k将两根之和和两根之积表示出来，再利用数量积坐标表示求出有关m与k有关的式子，最后利用已知条件要使此式子与k无关，从而得出有关m的方程求出m的值，即得到与m有关的定点的坐标。
22．【答案】（1）解：延长 交直线 于点 ，
∵ 为 的外角平分线的垂线，∴ ， 为 的中点，
∴ ，
由椭圆的离心率 ，得 ， ，
∴椭圆的方程为 ．
（2）解：由题意，设 的方程为 （ ， ），
∵直线 与圆 相切，∴ ，即 ，
由 得 ，
设 ， （ ），则 ， ，
，
又 ，
∴ ，
同理 ，
∴ ，
∴ ，
即 的周长为定值6．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的应用
【解析】【分析】（1）延长 F 2 Q 交直线 F 1 P 于点 R ，利用 为 的外角平分线的垂线，可得 ， 为 的中点，结合椭圆的定义求出a，结合离心率公式求出b，即可得出椭圆的方程；
（2）由题意，设 A B 的方程为 y = k x + m （ k < 0 ， m > 0 ），利用直线 A B 与圆 x 2 + y 2 = 8 相切，求出m与k的关系，再将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理、弦长公式，即可得出结论。
1 / 1高中数学人教A版（2019） 选修一 第三章 圆锥曲线的方程
一、单选题
1．（2021·枣庄模拟）已知点 在抛物线 ： 上，则 的焦点到其准线的距离为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】由点 在抛物线上，易知 ， ，故焦点到其准线的距离为 .
故答案为：B.
【分析】 利用点在抛物线上，求解p，即可得到结果.
2．（2021·青岛模拟）已知双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】因为双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：C
【分析】 利用双曲线的渐近线的倾斜角求解斜率，得到a，b关系，然后求解离心率即可．
3．（2020高二下·济南月考）若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则 ，解得 ．
故选 ．
【分析】根据题意，方程中x2、y2的分母均大于0，且y2的分母较大，由此建立关于m的不等式组，解之即可得到实数m的取值范围．
4．（2021·聊城模拟）已知A，B，C是双曲线 上的三点，直线AB经过原点O，AC经过右焦点F，若 ，且 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】设双曲线的左焦点为 ，连接
由题意知
∴四边形 为矩形，令
∵ ，
∴在 中，
将 代入可得
∴
∴在 中，
即
可得
故答案为：D
【分析】设双曲线的左焦点为 ，连接 ，根据矩形判定可得四边形 为矩形令 ，根据双曲线定义和勾股定理结合已知可求得 ，再在 中由勾股定理得 进而可得 。
5．（2021·枣庄模拟）已知椭圆 与双曲线 有相同的左焦点 、右焦点 ，点 是两曲线的一个交点，且 .过 作倾斜角为45°的直线交 于 ， 两点（点 在 轴的上方），且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】不妨设 为椭圆与双曲线在第一象限内的交点，椭圆方程为 ， ，
由双曲线定义可知： ，又因为 ，所以 ， ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，所以椭圆方程为 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，解得 ，
故答案为：A.
【分析】根据椭圆和双曲线的性质进行运算即可求出。
6．（2021·济宁模拟）已知 、 是双曲线 ： 的左、右焦点，点 是双曲线 上的任意一点（不是顶点），过 作 角平分线的垂线，垂足为 ， 是坐标原点．若 ，则双曲线 的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】依题意，延长 交 于Q，由 是 的角平分线， 可知， 是 的中点， .
又O是 的中点，故 是 的中位线，
所以 ，
故 ，即 ，故 ，
所以双曲线 的渐近线方程为 .
故答案为：D.
【分析】 延长 交 于Q，连接ON，由三角形的中位线定理和双曲线的定义、垂直平分线的性质，结合双曲线的a，b，c的关系，可得渐近线方程．
7．（2020·菏泽模拟）已知双曲线 的一条渐近线上存在一点到x轴距离与到原点O的距离之比为 ，则实数a的值为（ ）．
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意，一条渐近线的斜率为 ，
则 ，解得 ．
故答案为：B．
【分析】根据已知可得渐近线的斜率，建立a的方程，即可求出结论.
8．（2020高二上·商河月考）已知椭圆 ： 的短轴长为2，上顶点为 ，左顶点为 ， ， 分别是 的左、右焦点，且 的面积为 ，点 为 上的任意一点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由已知的 ，故 .∵ 的面积为 ，
∴ ，∴ .又∵ ，
∴ ， ，∴ ，
又 ，∴ ，
∴ .∴ 的取值范围为 .
故答案为：D.
【分析】由已知和面积得到 ， ，对 进行化简，配方求最值.
二、多选题
9．（2021·潍坊模拟）已知双曲线 的左，右焦点分别为 ，一条渐近线方程为 ， 为 上一点，则以下说法正确的是（ ）
A． 的实轴长为 B． 的离心率为
C． D． 的焦距为
【答案】A,D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由双曲线方程知：渐近线方程为 ，而一条渐近线方程为 ，
∴ ，故 ，
∴双曲线：实轴长 ，离心率为 ，由于 可能在 不同分支上则有 ，焦距为 .
∴A、D符合题意，B、C不符合题意.
故答案为：AD
【分析】 由双曲线的渐近线方程求得a，再由隐含条件求得c，然后逐一核对四个选项得答案．
10．（2021·淄博模拟）设椭圆 的的焦点为 ， ， 是 上的动点，则下列结论正确的是（ ）．
A．离心率 B． 的最大值为3
C． 面积的最大值为 D． 的最小值为2
【答案】A,D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：因为椭圆 ，所以 ， ，所以 ， ， ，所以 ， ， ，A符合题意；
设 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以当 时 ，即 ，B不符合题意；
因为 ，
又 ，所以当 时，即 在短轴的顶点时 面积的取得最大值， ，C不符合题意；
对于D： ，因为 ，所以 ，所以 ，D符合题意；
故答案为：AD
【分析】 由椭圆的方程求出a，b，c，即可求出椭圆的离心率，再设出点P的坐标，即可求出， ，可求出 的最大值， 根据 ，进而可以求出三角形PF1F2的面积的最值，
最后再由 ，进而得出 ，可以判定D是否正确．
11．（2021·烟台模拟）已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则（ ）
A． 为 的一个焦点
B．双曲线 的离心率为
C．过点 作直线与 交于 两点，则满足 的直线有且只有两条
D．设 为 上三点且 关于原点对称，则 斜率存在时其乘积为
【答案】B,D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为双曲线 的一条渐近线方程为 ，
所以 ，解得 ，所以双曲线 ，所以 ， ， ，所以则其焦点为 、 ，离心率 ，A不符合题意，B符合题意；过点 作直线与 交于 两点，因为 为双曲线的焦点坐标，当直线的斜率不存在时 ，当直线的斜率为 时， ，所以由双曲线的对称性得，满足 的直线有4条，C不符合题意；
设 ， ， ，所以 ， ，因为 在双曲线上，所以 ， ，两式相减得 ，所以 ，D符合题意；
故答案为：BD
【分析】 由渐近线方程，可得m的方程，求得m，可得a，b，c，可判断A；由双曲线的离心率公式，计算可判断B；分别讨论A，B分别在左、右两支上和都在右支上，结合弦的最小值，可判断C；由点差法和直线的斜率公式，计算可判断D．
12．（2020高二上·枣庄期末）我们通常称离心率为 的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆 ： ， 分别为左、右顶点， ， 分别为上、下顶点， ， 分别为左、右焦点，P为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有（ ）
A．
B．
C． 轴，且
D．四边形 的内切圆过焦点 ，
【答案】B,D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】∵椭圆
∴
对于A，若 ，则 ，∴ ，∴ ，不满足条件，A不符合条件；
对于B， ，∴
∴ ，∴
∴ ，解得 或 （舍去），B符合条件；
对于C， 轴，且 ，∴
∵
∴ ，解得
∵ ，∴
∴ ，不满足题意，C不符合条件；
对于D，四边形 的内切圆过焦点
即四边形 的内切圆的半径为c，∴
∴ ，∴ ，解得 （舍去）或 ，∴ ，D符合条件．
故答案为：BD．
【分析】先求出椭圆的顶点和焦点坐标，对于A，根据椭圆的基本性质求出离心率判断A；对于B，根据勾股定理以及离心率公式判断B，根据结合斜率公式以及离心率公式判断C；由四边形的内切圆过焦点得出内切圆的半径为c，进一步得出，结合离心率公式判断D。
三、填空题
13．（2020高二上·济南期末）已知双曲线 ＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝± x，则它的离心率为 ．
【答案】2
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意，得e＝ ＝ ＝ ＝2.
【分析】由双曲线的简单性质结合离心率公式代入数值计算出结果即可。
14．（2021·淄博模拟）若抛物线 上的点 到其焦点的距离是点 到 轴距离的3倍，则 等于 .
【答案】
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程
【解析】【解答】抛物线 开口向右，准线为 ，
将 的坐标代入抛物线方程得 ，
由于抛物线 上的点 到其焦点的距离是点 到 轴距离的3倍，
根据抛物线的定义有 ，
所以 。
故答案为： 。
【分析】利用抛物线的标准方程确定焦点的位置，进而求出准线的方程，再利用点 在抛物线上，进而结合代入法求出p与的关系式，再利用已知条件抛物线 上的点 到其焦点的距离是点 到 轴距离的3倍，结合抛物线的定义，进而求出p的值。
15．（2021·淄博模拟）已知椭圆C的左 右焦点分别为 ，直线AB过 与椭圆交于A，B两点，当 为正三角形时，该椭圆的离心率为 .
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】不妨设椭圆的方程为 ，
根据椭圆定义， ， ， 为正三角形， ，所以 ，即 为线段AB的中点，根据椭圆的对称性知AB垂直于x轴.
设 ，则 ， .
因为 ，即 ，
所以 .
【分析】离心率只要找到a和c的一个等式关系，条件不够，定义来凑。得出AB垂直X轴，用通径的坐标，加上正三角形的性质，可以得到一个关于a、c的关系式.
16．（2020高二上·临沂期中）若中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆过点 ，且长轴长是短轴长的 倍，则其标准方程为 .
【答案】 或
【知识点】椭圆的标准方程
【解析】【解答】①当椭圆焦点在 轴时，设其方程为 ，
长轴长是短轴长的 倍， ，又椭圆过 ，
，解得： ， ， 标准方程为 ；②当椭圆焦点在 轴时，设其方程为 ，
长轴长是短轴长的 倍， ，又椭圆过 ，
，解得： ， ， 标准方程为 ；
综上所述：所求椭圆的标准方程为 或 .
故答案为： 或 .
【分析】由椭圆的焦点在 轴上或在轴上加以讨论，分别根据题意求出椭圆的长半轴与短半轴的值，由此写入椭圆的标准方程。
四、解答题
17．（2020高二上·枣庄期末）已知抛物线 的焦点 与曲线 的右焦点重合.
（1）求抛物线 的标准方程；
（2）若抛物线 上的点 满足 ，求 点的坐标.
【答案】（1）解：由双曲线方程 可得 ， ，
所以 ，解得 .
则曲线 的右焦点为 ，所以 ， .
因此，抛物线 的标准方程为 ；
（2）解：设 ，由抛物线的定义及已知可得 ，解得 .
代入抛物线方程可得 ，解得 ，
所以 点的坐标为 或 .
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【分析】 （1）根据题意可求的抛物线的焦点坐标，从而可求得p，从而可得抛物线C的标准方程；
（2）设P点的坐标为（x0，y0），由抛物线的性质可求得x0，代入抛物线方程中可求得y0，从而可得P点坐标．
18．（2017·青岛模拟）已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1、A2，上、下顶点分别为B2、B1，O为坐标原点，四边形A1B1A2B2的面积为4，且该四边形内切圆的方程为x2+y2= ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若M、N是椭圆C上的两个不同的动点，直线OM、ON的斜率之积等于﹣ ，试探求△OMN的面积是否为定值，并说明理由．
【答案】解：（Ⅰ）∵四边形A1B1A2B2的面积为4，又可知四边形A1B1A2B2为菱形，
∴ ，即ab=2 ①
由题意可得直线A2B2方程为： ，即bx+ay﹣ab=0，
∵四边形A1B1A2B2内切圆方程为 ，
∴圆心O到直线A2B2的距离为 ，即 ②
由①②解得：a=2，b=1，
∴椭圆C的方程为：
（Ⅱ）若直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），
由 得：（1+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣1）=0∵直线l与椭圆C相交于M，N两个不同的点，
∴△=64m2k2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）＞0得：1+4k2﹣m2＞0③
由韦达定理：
∵直线OM，ON的斜率之积等于 ，
∴ ，
∴ ，
∴2m2=4k2+1满足③…（9分）
∴ ，
又O到直线MN的距离为 ， ，
所以△OMN的面积
若直线MN的斜率不存在，M，N关于x轴对称
设M（x1，y1），N（x1，﹣y1），则 ， ，
又∵M在椭圆上， ，∴ ，
所以△OMN的面积S= = =1．
综上可知，△OMN的面积为定值1
【知识点】椭圆的应用
【解析】【分析】（Ⅰ）利用四边形A1B1A2B2为菱形，求出ab=2，圆心O到直线A2B2的距离为 ，列出方程，求出a，b，即可得到椭圆方程．（Ⅱ）若直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），由 得：（1+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣1）=0，利用韦达定理以及判别式，通过直线OM，ON的斜率之积等于 ，求出三角形的面积，若直线MN的斜率不存在，M，N关于x轴对称，设M（x1，y1），N（x1，﹣y1），求解三角形的面积即可．
19．（2019·黄冈模拟）已知 为坐标原点，椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，右顶点为 ，上顶点为 ，若 ， ， 成等比数列，椭圆 上的点到焦点 的距离的最大值为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过该椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦 与 ，求 的取值范围．
【答案】（1）解：易知 ，得 ，则 ，
而 ，又 ，得 ， ，
因此，椭圆C的标准方程为
（2）解： 当两条直线中有一条斜率为0时，另一条直线的斜率不存在，由题意易得 ；
当两条直线斜率都存在且不为0时，由 知 ，
设 、 ，直线MN的方程为 ，则直线PQ的方程为 ，
将直线 方程代入椭圆方程并整理得： ，
显然 ， ， ，
，同理得 ，
所以， ，
令 ，则 ， ，设 ，
，所以， ，所以， ，则 ．
综合 可知， 的取值范围是
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的应用
【解析】【分析】(1)利用椭圆的标准方程求出左右焦点坐标和右顶点和上顶点坐标，再利用等比中项公式找出a,b,c的第一个方程，再利用椭圆上的点到焦点最大距离为a+c联立a,c的第二个方程，最后利用椭圆中a,b,c三者的关系式建立第三个方程，从而求出a,b,c的值，从而求出椭圆标准方程。
(2)利用过焦点设出两直线的点斜式方程，再利用两直线垂直斜率之积等于－1的等价条件求出斜率之间的关系式，再利用两点距离公式结合换元法转化为二次函数，最后利用二次函数求值域的方法求出距离之和的取值范围。
20．（2017·聊城模拟）已知右焦点为F的椭圆C： + =1（a＞b＞0）过点M（1， ），直线x=a与抛物线L：x2= y交于点N，且 = ，其中O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l与椭圆C交于A、B两点．
①若直线l与x轴垂直，过点P（4，0）的直线PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点；
②已知D为椭圆C的左顶点，若l与直线DM平行，判断直线MA，MB是否关于直线FM对称，并说明理由．
【答案】（1）解：设N（a，y0），连接MN，由 = ，则OMNF为平行四边形，则y0= ，
将M（1， ）代入抛物线方程：解得：a=2，
将M（1， ）代入椭圆方程： ，解得：b2=3，
∴椭圆的标准方程：
（2）解：①证明：由题意，直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y=k（x﹣4），B（x1，y1），E（x2，y2），
则A（x1，﹣y1）， ，整理得：（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0，
x1+x2= ，x1x2= ，①
则直线AE的方程为：y﹣y2= （x﹣x2），令y=0，x=x2﹣ ，
由y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4），
∴x= ，
∴x=1，
∴直线AE与x轴相交于定点（1，0）；
②由题意可知，直线MF的方程为x=1，则kOM= ，设直线l：y= x+n，（n≠1），
设A（x3，y3），B（x4，y4）， ，整理得：x2+nx+n2﹣3=0，
△=n2﹣4×（n2﹣3）=12﹣3n2＞0，即b∈（﹣2，2），且n≠1，
x3+x4=﹣n，x3x4=n2﹣3，
则kMA+kMB= + = +
=1+ + =1+ =1﹣ =0，
直线MA，MB关于直线x=1对称
【知识点】椭圆的应用
【解析】【分析】（1）将由 = ，即可求得N点坐标，将M代入抛物线方程，即可求得a，代入椭圆方程，即可求得b的值，即可求得椭圆方程；（2）①设直线PB的方程，设B，E点坐标，将直线PB代入椭圆方程，求得直线AE的方程，利用韦达定理即可求得x的值，直线AE与x轴相交于定点（1，0）；
②设直线l的方程，代入椭圆方程，由△＞0，即可求得n的取值范围，利用直线的斜率公式及韦达定理kMA+kMB=0，则直线MA，MB关于直线x=1对称．
21．（2017高二上·阜宁月考）已知椭圆 的离心率为 ，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线 相切.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知点A、B为动直线 与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点E，使得 为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：由e= ，得 = ，即c= a，①
以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2+y2=a2，
此圆与直线2x﹣ +6=0相切，∴a= = ，
代入①得c=2，
∴b2=a2﹣c2=2，∴椭圆的方程为
（2）解：由 ，得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，（6分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），∴ ， ，
根据题意，假设x轴上存在定点E（m，0），使得 为定值，
则有 =（x1﹣m，y1） （x2﹣m，y2）=（x1﹣m） （x2﹣m）+y1y2
=
=（k2+1）
=（k2+1） ﹣（2k2+m） +（4k2+m2）
= ，
要使上式为定值，即与k无关，则应有3m2﹣12m+10=3（m2﹣6），
即m= ，此时 = 为定值，定点为（ ）
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；椭圆的应用
【解析】【分析】（1）本题先利用离心率公式求出a与c的关系，再结合直线与圆相切的位置关系，即圆心到切线的距离等于半径的性质，将椭圆的长半轴长作为半径代入其中求出a的值，进而利用a与c的关系求出c的值，最后利用a，b，c三者的关系求出b的值，最后将a与b代入椭圆标准方程中求出椭圆标准方程。
（2）本题利用动直线与圆相交的位置关系，将圆和动直线方程联立求出关于x的一元二次方程，再利用韦达定理，用k将两根之和和两根之积表示出来，再利用数量积坐标表示求出有关m与k有关的式子，最后利用已知条件要使此式子与k无关，从而得出有关m的方程求出m的值，即得到与m有关的定点的坐标。
22．（2018·山东模拟）已知 、 分别是离心率为 的椭圆 ： 的左、右焦点，点 是椭圆 上异于其左、右顶点的任意一点，过右焦点 作 的外角平分线 的垂线 ，交 于点 ，且 （ 为坐标原点）．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若点 在圆 上，且在第一象限，过 作圆 的切线交椭圆于 、 两点，问： 的周长是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由．
【答案】（1）解：延长 交直线 于点 ，
∵ 为 的外角平分线的垂线，∴ ， 为 的中点，
∴ ，
由椭圆的离心率 ，得 ， ，
∴椭圆的方程为 ．
（2）解：由题意，设 的方程为 （ ， ），
∵直线 与圆 相切，∴ ，即 ，
由 得 ，
设 ， （ ），则 ， ，
，
又 ，
∴ ，
同理 ，
∴ ，
∴ ，
即 的周长为定值6．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的应用
【解析】【分析】（1）延长 F 2 Q 交直线 F 1 P 于点 R ，利用 为 的外角平分线的垂线，可得 ， 为 的中点，结合椭圆的定义求出a，结合离心率公式求出b，即可得出椭圆的方程；
（2）由题意，设 A B 的方程为 y = k x + m （ k < 0 ， m > 0 ），利用直线 A B 与圆 x 2 + y 2 = 8 相切，求出m与k的关系，再将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理、弦长公式，即可得出结论。
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